2016-2017学年辽宁省锦州市高二(上)期末数学试卷(理科)含解析

2016-2017学年辽宁省锦州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠02．设a，b，c∈R，且a＞b，则下列选项中一定成立的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b33．已知命题P：∀x＞0，总有2x＞1，则￢P为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．∃x≤0，使得2x≤1 D．∃x＞0，使得2x≤14．“a＜1”是“lna＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．6．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3=+1，则a32+2a2a6+a3a7=（）A．4 B．6 C．8 D．7．若x，y满足条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．5 B．1 C．D．﹣18．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1289．若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则|AB|=（）A．12 B．10 C．8 D．610．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形11．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．712．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．若＜0，化简﹣3的结果为．14．已知向量，，若，则x+y=．15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°；已知山高BC=200m，则山高MN=．16．求和：=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：直线x﹣2y+3=0与抛物线y2=mx（m≠0）没有交点；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，试求实数m 的取值范围．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2=4S ．△ABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求a﹣b的取值范围．19．（12分）已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，且成等差数列；数列{b n}的前n项和为S n，且，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列{}的前n项和T n．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．21．（12分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22．（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．2016-2017学年辽宁省锦州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答．【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，故选D．【点评】本题考察命题中的逆否关系，可以从字面理解“逆否”：先逆后否．2．设a，b，c∈R，且a＞b，则下列选项中一定成立的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】对a，b，c的符号进行讨论即可得出答案．【解答】解：当c=0时，显然ac=bc，故A错误；当a＞0＞b时，，故B错误；当0＞a＞b时，a2＜b2，故C错误；∵y=x3是增函数，且a＞b，∴a3＞b3，故D正确．故选D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．已知命题P：∀x＞0，总有2x＞1，则￢P为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．∃x≤0，使得2x≤1 D．∃x＞0，使得2x≤1【分析】由已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：命题P：∀x＞0，总有2x＞1，则￢P为∃x＞0，总有2x≤1，故选：D【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，难度不大，属于基础题．4．（2016•衡阳二模）“a＜1”是“lna＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【分析】当a=0时，满足a＜1，但此时lna＜0不成立．若lna＜0，由对数函数得性质得0＜a＜1，满足a＜1．【解答】解：a＜1推不出“lna＜0”，比如当a=0时．若lna＜0，由对数函数得性质得0＜a＜1，满足a＜1．故选B．【点评】本题利用对数的知识考查充要条件的知识．属于基础题．5．（2010•云南模拟）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．6．（2012•济南校级一模）在各项均为正数的等比数列{a n}中，=+1，则a32+2a2a6+a3a7=（）a3A．4 B．6 C．8 D．【分析】由等比数列的性质可得==，把已知条件代入即可求解【解答】解：由等比数列的性质可得====8故选C【点评】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题7．若x，y满足条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．5 B．1 C．D．﹣1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：出不等式组对应的平面区域如图：，由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（2，﹣1）将A（2，﹣1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y=4+1=5，即z=2x﹣y的最大值为5．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，注意使用数形结合．8．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【分析】利用等差中项求出a6，然后利用等差数列求和求解即可．【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和以及性质的应用，属容易题．9．（2015•莆田一模）若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB 中点到y轴的距离为3，则|AB|=（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y轴的距离．【解答】解：直线y=kx﹣k恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物y2=4x的线准线x=﹣1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，故选：C．【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．10．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【分析】利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A 和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵cosB=，cosA=，∴a2+c2﹣b2=2ac•cosB，b2+c2﹣a2=2bc•cosA，∴===，又=，∴==，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．11．（2014•鹿城区校级模拟）设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用双曲线的定义、勾股定理，△F1PF2面积是9，可得c2﹣a2=9，结合双曲线的离心率是=，求出a，c，可得b，即可求出a+b的值．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则|m﹣n|=2a①由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=4c2，②则①2﹣②得：﹣2mn=4a2﹣4c2，∴mn=2c2﹣2a2，∵△F1PF2面积是9，∴c2﹣a2=9，∵双曲线的离心率是=，∴c=5，a=4，∴b=3，∴a+b=7．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解．12．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．【解答】解：由题意得F1（﹣c，0）），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），∴线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于﹣1，∴•=﹣1，∴m2=﹣（+c）•（﹣3c）≥0，∴a4﹣2a2c2﹣3c4≤0，∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2≥，或e2≤﹣1（舍去），∴e≥．又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故选：D．【点评】本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．若＜0，化简﹣3的结果为﹣4x．【分析】用穿根法解分式不等式，求得x的范围，从而化简所给的式子．【解答】解：＜0，等价于（3x﹣5）（x+2）＜0，等价于﹣2＜x＜，故﹣3=|3x﹣5|﹣|x+2|﹣3=5﹣3x﹣（x+2）﹣3=﹣4x，故答案为：﹣4x．【点评】本题主要考查用穿根法解分式不等式，属于基础题．14．已知向量，，若，则x+y=6．【分析】根据向量共线及横坐标相同可得两向量相等，从而得出x，y的值．【解答】解：∵，且它们的横坐标相同，∴，∴x=2，y=4，∴x+y=6，故答案为6．【点评】本题考查了空间向量的位置关系，属于基础题．15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°；已知山高BC=200m，则山高MN=300m．【分析】在△ABC中，求出AC，在△AMC中，利用正弦定理求出AM，然后在Rt△AMN中，求解MN．【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=200，∴AC==200，在△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，由正弦定理可得AM==200，在Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=200=300（m）．故答案为300m．【点评】本题考查正弦定理在三角形的解法中的应用，考查转化思想以及计算能力．16．求和：=1+（n﹣1）•2n．【分析】利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：，2T n=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，∴，故答案为：1+（n﹣1）•2n．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：直线x﹣2y+3=0与抛物线y2=mx（m≠0）没有交点；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，试求实数m 的取值范围．【分析】分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．【解答】解：若直线x﹣2y+3=0与抛物线y2=mx（m≠0）没有交点，则由x﹣2y+3=0得x=2y﹣3，代入y2=mx得y2=m（2y﹣3），得y2﹣2my+3m=0，则由△=4m2﹣12m＜0，解得0＜m＜3，若方程+=1表示双曲线，则m（5﹣2m）＜0，得m＞或m＜0，若p∨q为真，p∧q为假，则p，q为一真一假，若p真q假，则得0＜m≤，若p假q真，则得m≥3或m＜0，综上实数m的取值范围是m≥3或m＜0或0＜m≤．【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2=4S ．△ABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求a﹣b的取值范围．【分析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，可得cosC=sinC，由同角的商数关系和特殊角的函数值，可得角C；（2）运用正弦定理和两角差的正弦公式，结合正弦函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由a2+b2﹣c2=4S△ABC得：a2+b2﹣c2=4×absinC=2absinC，即=sinC，即cosC=sinC，即为tanC=1，又角C为△ABC的内角，所以∠C=45°；（2）由正弦定理得：====2，可得a=2sinA，b=2sinB，所以a﹣b=2sinA﹣sinB=2sin A﹣sin（﹣A）=2sinA﹣（cosA+sinA）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），又因为0＜A＜π，所以﹣＜A﹣＜，可得﹣＜sin（A﹣）＜1，所以﹣1＜sin（A﹣）＜，故a﹣b的取值范围是（﹣1，）．【点评】本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的运用，属于中档题．19．（12分）已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，且成等差数列；数列{b n}的前n项和为S n，且，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列{}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由已知条件可知求得q，求出数列{a n}的通项公式，再由{b n}的前n项和公式，写出{b n}的通项公式；（Ⅱ）写出{c n}再利用列项法，求T n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由题知，又∵成等差数列，∴3a2=a1+2a3，∴，解得q=1或，…（2分）又由{a n}为递减数列，于是，∴．…（4分）当n=1时，b1=2，当n≥2时又b1=2满足该式∴数列{b n}的通项公式为b n=2n（n∈N*）…（8分）（Ⅱ）由于=﹣n（n+1）∴…（10分）∴故（n∈N*）…（12分）【点评】本题主要考察求等比等差数列的通项公式，以及裂项法求前n项和的公式，属于中档题．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．【分析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量，，的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量，计算与的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E （1，2，0）．∴，，，∴，，∴DE⊥CA，DE⊥CP，又CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．（Ⅱ），设是平面PDE的一个法向量，则，∴，令x=2，则y=1，z=2，即，∴=4，||=3，||=2，∴cos＜＞==．∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量在几何证明中的应用，属于中档题．21．（12分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？【分析】（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．【解答】解：（1）设反比例系数为k（k≠0），有因为当t=0时x=1，代入得k=2，所以；易得：，化简得：；（2），当且仅当t=7时取等号；所以，当2017年的促销费投入7万元时，工厂的年利润最大为42万元．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP 的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与=即可得到关于t 系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．===，∴S四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．。