直线与椭圆的位置关系

学习目标：
今天特指
椭圆
• 1.给出直线与圆锥曲线的方程 能够判断它们的位置关系 • 2.能够根据位置关系解决一 些简单问题
问题一：直线与椭圆公共点的个数有几种可能？
1.有两个不同的公共点 =〉相交 2.有且只有一个公共点 =〉相切 3.没有公共点 =〉相离
问题二：如何判定直线与椭圆的位置关系？
答：和直线与圆位置关系的判定方法相同
课堂练习
5.直线y=kx+2和椭圆2x 3 y 6 有 交点，则k的取值范围是＿＿
2 2
析:把y=kx+2代入椭圆2x 3 y 6
2 2
得： 3k 2 ) x 2 12 kx 6 0 (2 得: 144k 2 4 6 (2 3k 2 ) 0 6 6 即3k 2 0 k 或k 3 3
3、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2两 点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，直
线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为
_________
1 2
相交 ＿＿
x2 y2 4.直线y=kx+1与椭圆 4 2 1 的位置关系是
8
6
4
例3.如果点Ａ的坐标为（１，１），F1是椭圆 2 2 的左焦点，点Ｐ是椭圆上 的动 5x 9 y 45 点，求:（1）2|PA | +3 | PF1 | 的最小值； （2）|PA | +| PF1 |的最大值和最小值．
分析：（1） 2|PA | +3 | PF1 |=2(|PA | +d1)=d 易得：11； （2）设右焦点为 F2 , 欲求 PA PF1 的最大 值．怎样使它与 PF1 PF2 联系在一起呢？
消去y得：x 9 x y 1 2 24 2
2 2
y=2x+m
8mx 2m 4 0
2
（1）由 0得 3 2 m 3 2
（2）由 0得 m = 3 2
（3) 由 0得 m<-3 2或m 3 2
小结:(1)相交=>△>0,相切=>△=0,相离=> △<0. (2)计算准确,一元二次方程在步骤中必须出现。
x1 x2 n x0 2 mn
y1 y2 m y0 2 mn
由题设得:
m 2 n 2
1
又 AB 2 x1 x2 2
x1 x2
2
2
4 x1 x2

2
2n mn
4n 1 mn
m n mn 2 2 2 2 mn 1 2 解 (1) (2) 得 m n 3 3
PA PF1 2a PF2 PA 2a PA PF2
6 AF2 6
| PA | | PF 1| 2a (| PF |2 PA |) a 2 F A 2 | 6 | |
2
2
数形结合简便直观
典型例题
例4.设AB为过椭圆 的中心的 弦,F1是左焦点,求ABF1 的面积的最大值.
典型例题
x y 例5 已知椭圆 1，能否在椭圆 4 3
2 2
上找到一点Ｍ，使点Ｍ到左准线Ｌ的距 离 ｜ＭＮ｜为点Ｍ到两焦点 F1，F 的距 2 离的等比中项？并说明理由．
解:假设椭圆上存在一点 M ( x0 , y0 ) 满足题意
1 由椭圆方程,得:a=2, b= 3 ,c=1, e= 2 左准线Ｌ：x=-4, |MN|= x0 4 x0 4
课堂练习
1.直线 相切 系是＿＿
y
y
3 x 1 2
与 x 4 y 1 的位置关
2 2
析:由{
x 4y 1
2 2
3 x 1 2
得 4x 4 3x 3 0 △=0
2
课堂练习
2、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有 公共点，则m的取值范围是 [1,5） 。
x y 1
2 2
mx ny 1 2 m nx 2nx n 1 0
设: Ax1 , y1 Bx2 , y2 C x0 , y0 则
2n x1 x2 mn
n 1 x1 x2 mn 2n 2m y1 y2 2 x1 x2 2 mn mn
(1)求证:x1+x2=8;
A(x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等 差数列.
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT 的斜率.
2
-10
-5
L
L' 5
10
-2
H
-4
-6
-8
例1：已知直线l :y=2x+m, 试问当m 取何值时，直线l与椭圆c: (1) 相交 (2)相切 (3)相离
x2 y 2 椭圆c:4 2 1
2
解：由
{
(8m) 4 9 (2m 4) 8m 2 144 当 3 2 m 3 2时，直线和椭圆相交。 当m 3 2时， 直线和椭圆相切。 当m<-3 2或m 3 2时， 直线和椭圆相离。
增补拓展
直线与椭圆的位置 关系
复习回顾
思考一：直线与圆有几种位置关系？ • 答：有三种：相交、相切、相离。
思考二：如何判定直线与圆的位置关系？
• 1 几何法：
• （1）d<r =〉 相交 • （2）d=r =〉 相切 • （3）d>r =〉 相离 • 2 代数法： • 把直线与圆的方程联立方程组，消去x (或y)得到 2 关于y（或x）的一元二次方程 ax bx c 0 (a≠0) • (1) △>0 =〉相交 • (2) △=0 =〉相切 • (3) △<0 =〉相离
课堂小结
(1) △>0 (2) △=0 (3) △<0 〈=〉相交 〈=〉相切 〈=〉相离
今天特指 椭圆
1.知识： 直线与圆锥曲线的位置关系：
2.方法：数形结合，转化，类比的数学思想方法。
巩固提高
x2 y2 1 9 1.已知椭圆 25 A(4,0),B(2,2)是椭圆
内的两点,P是椭圆上任意一点.求 (1) 5 PA 4 PB 的最小值; (2) PA PB 的最大值和最小值. 2 2 x y 1 2.已知椭圆 上不同的三点 25 9
若｜ＭＮ｜是 MF1 与 MF2 的等比中项
典型例题
由椭圆第二定义，得：
1 MF1 a ex 0 2 x0 2
2
1 MF2 a ex 0 2 x0 2
12 解得： x0 4 或 x0 5 因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆上，故应有
1 1 x0 4 2 x0 2 x0 2 2
x2 y2 1 25 16
思路1：把∆ABF1分割 成∆AOF1 和 ∆BOF1 思路2：把∆ABF 补形为
1
F1
A
B
O F2
平行四边形AF1BF2
SABF1 1 1 1 S AF1 BF2 SAF1F2 6 | y | 6 4 12 2 2 2
化归思想，化繁为简。
2 x0 2，显然横坐标为 x0 4
或
12 x0 的点不能在椭圆上，故点Ｍ不存在 5
例6椭圆 mx ny 1 ,与直线
2 2
x y 1相交
于A,B两点,C是AB的中点,若 AB 2 2 ,OC 斜率为 2 (O为原点方程组 得
又由方程组
x y 1
n 2m
2
AB 1 1 x1 x2 2 2
2

得
m n mn 1 2 m n

1
2
解 (1) (2) 得
1 m 3
2
2 n 3
2
所以,椭圆方程为
x 2y 1 3 3
小结
今天特指 椭圆
1.直线与圆锥曲线的位置关系,可转化为 直线与圆锥曲线方程的公共解问题,体现 了方程的思想,数形结合也是解决直线和 圆锥曲线位置关系的常用方法. 2.一些最值问题用函数思想,如运用根与 系数间关系求中点和弦长问题,是经常使 用的方法.
2
典型例题
例2.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与x 轴的负半轴交于A,与y轴的负半轴交于B,F1是 7 左焦点,F1到直线AB的距离 F1 H OB 求椭 7 圆的离心率. 2 2 x y 思路:设椭圆方程为 a 2 b 2 1(a b 0)
寻找a,b,c的关系式.
1 e 2
2
x2 2 y2 所以,椭圆方程为 1 3 3
2 x 解法二: 由得OC的方程为 y 2 2
由方程组
y
x y 1
2
x
解得
C 2 2 , 2 1


mx2 ny2 1 m nx2 2nx n 1 0 得
x1 x2 n 2 2 2 mn