分离变量法

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第1步: 分离变量 假设定解问题的解为：u ( x, t ) = X ( x )T (t ) 代入原方程得： XT ′′ − a 2 X ′′T = 0
X ′′ T ′′ ⇒ = 2 X aT
数学物理方程
= −λ
X ′′ + λX = 0 常微分 ′′ + λa 2T = 0 T
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第2步: 求解第1个常微分方程 X ′′ + λX = 0 求解第1
数学物理方程
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步骤小结 第1步: 分离变量 —> 若干常微分方程 第2步: 求解其中1个常微分方程 —> 本征函数, 本征值 求解其中1 本征函数, 第3步: 将本征值代入其余方程—> 若干本征函数 将本征值代入其余方程— 第4步: “组装”本征函数 —> 原方程的本征解 “组装”本征函数 第5步: 本征解的“叠加” —> 原方程的通解 第6步: 代入其余定解条件 —> 确定待定常数 _____
L[u1 ] = f1 , L[u2 ] = f 2
数学物理方程
L[u1 + u2 ] = f1 + f 2
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二、分离变量法 齐次方程、齐次边界条件、非齐次初始条件： 例1. 两端固定的1维有界弦的自由有界振动. 两端固定的1维有界弦的自由有界振动.
utt − a u xx = 0 (0 < x < L, t > 0) u (0, t ) = 0, u ( L, t ) = 0 (t ≥ 0) u ( x,0) = ϕ ( x), ut ( x,0) = ψ ( x), (0 ≤ x ≤ L)
T (t ) = An cos(nπat L) + Bn sin(nπat L)
nπat nπat nπx u n ( x, t ) = An cos ) + Bn sin sin L L L
由叠加原理可得原波动方程通解的形式为: 由叠加原理可得原波动方程通解的形式为:
于是得到原波动方程的一个特解: 于是得到原波动方程的一个特解:
解：
2
(n = 1, 2, L)
λn就是本征值，对应的本征函数就是方程的非0 就是本征值，对应的本征函数就是方程的非0
yn ( x) = Cn sin( nπx l )
数学物理方程
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第3步: 求解第2个常微分方程 T ′′ + λa T = 0 求解第2
2
将本征值 λn = (nπ L) 2 代入上面方程得到通解: 代入上面方程得到通解:
∂2 ∂2 ∂2 可看作线性算符 L = [ − a 2 ( 2 + 2 )] ∂t 2 ∂x ∂y
作用在函数u上的结果: 作用在函数u上的结果:
L[u ] = 0
utt − a 2 (u xx + u yy ) = f ( x, y, t )
数学物理方程
L[u ] = f
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线性叠加性质
1. 若u1和u2分别是齐次方程L[u]=0的解，则它们的线性 分别是齐次方程L ]=0的解，则它们的线性 组合仍是L ]=0的解。 组合仍是L[u]=0的解。
数学物理方程
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内容安排顺序 本章内容前后衔接，系统性强，“集成度”高，顺 序从简单到复杂，步步深入：
先学习齐次方程齐次边界的解法——分离变量； 先学习齐次方程齐次边界的解法——分离变量； (强调分离变量) 强调分离变量) 再学习特殊齐次方程(非含时问题)的解法——处理 再学习特殊齐次方程(非含时问题)的解法——处理 复杂边界条件； (强调线性叠加) 强调线性叠加) 接着对付非其次方程——分离变量＋线性叠加 接着对付非其次方程——分离变量＋线性叠加 (看似复杂，实则水到渠成) 看似复杂，实则水到渠成) 最后拿下三维方程的多次分离变量解法； (厚积薄发，对全章的回顾) 厚积薄发，对全章总结。
数学物理方程
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§4-1 一般齐次方程的解法 一、线性叠加原理
合速度、合力、多个点电荷的总电势； 同样，对于线性偏微分方程，也有叠加性质； 同样，对于线性偏微分方程，也有叠加性质； 线性偏微分方程是某种线性算符作用在函数上的 结果; 结果; 例如：
utt − a 2 (u xx + u yy ) = 0 波动方程
y = C exp( − λ x) + D exp(− − λ x)
代入边界条件: 代入边界条件: y(0)=C+D=0 ==> C=－D C=－
y (l ) = C exp( − λ l ) + D exp(− − λ l ) = C[exp( − λ l ) − exp(− − λ l )] = 0
L[u1 ] = 0, L[u2 ] = 0 L[u1 ] = f , L[u2 ] = 0
L[c1u1 + c2u2 ] = 0 L[u1 + u2 ] = f
2. 若u1是非齐次方程L[u]=f的解，u2是相应齐次方程 是非齐次方程L ]=f的解，u L[u]=0的解，则u1+u2仍是L[u]=f的解。 ]=0的解，则u 仍是L ]=f 3. 若u1是非齐次方程L[u]=f1的解，u2是非齐次方程 是非齐次方程L ]=f 的解，u L[u]=f2的解，则u1+u2是L[u]=f1+f2的解。 ]=f 的解，则u ]=f
∞
上两式实际上是ϕ(x)和ψ(x)展开后的傅立叶级数 (再具体点，就是正弦级数)。 再具体点，就是正弦级数)
数学物理方程
An和Bn，傅氏级数的系数怎么求？
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回忆和复习( 回忆和复习(书P25)
nπx f ( x) = ∑ bn sin L n =1
∞
2 L nπξ bn = ∫ f (ξ ) sin dξ L 0 L 2 L nπξ An = ∫ ϕ (ξ ) sin dξ L 0 L
得到C 得到C=0, y=0, 不是非0解, 所以λ<0时得不到本征值. 不是非0 <0时得不到本征值.
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y”+λy=0 y=0
λ=0时，通解为: y=C+Dx. =0时，通解为: C+Dx.
代入边界条件: (0)=C 代入边界条件: y(0)=C=0, y(l)=Dl=0. )=Dl=0. 所以C=D=0, =0,不是非0 所以C=D=0, y=0,不是非0解, λ=0时得不到本征值。 =0时得不到本征值。
= −λ
X ′′ + λX = 0 常微分 2 T ′′ + λa T = 0 17
第2步：求本征值
X ′′ + λX = 0 求解得： X ( x) = C1 cos( λ x) + C2 sin( λ x) 由边界条件： X (0) = 0, X ′( L) = 0
u (0, t ) = 0, u ( L, t ) = 0
边界条件转化为: 边界条件转化为: X (0)T (t ) = 0, X ( L)T (t ) = 0
QT (t ) ≠ 0, ∴ X (0) = 0, X ( L) = 0
第1个方程转化为: 个方程转化为:
X′′ + λX = 0 X (0) = 0, X (L) = 0
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例 2. 书P74, 例题① 例题① 单簧管一端封闭一端开放，管内空气柱作均匀振动, 单簧管一端封闭一端开放，管内空气柱作均匀振动, 定解问题的数学描述如下，求本征振动模式。
utt − a 2u xx = 0 (0 < x < L)
u (0, t ) = 0, u x ( L, t ) = 0
∞
u ( x,0) = ϕ ( x), ut ( x,0) = ψ ( x), (0 ≤ x ≤ L)
nπx u ( x,0) = ϕ ( x) = ∑ An sin L n =1
∞
将初始条件代入方程的通解得：
nπa nπx ut ( x,0) = ψ ( x) = ∑ Bn sin L n =1 L
nπx ϕ ( x) = ∑ An sin L n =1
∞
nπa nπx ψ ( x) = ∑ Bn sin L n =1 L nπa 2 L nπξ Bn = ∫ ψ (ξ ) sin dξ L L 0 L
∞
至此，原方程的通解形式得以确定。
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上例中的物理意义
形式解u x,t)=X 形式解u(x,t)=X(x)T(t)代表一种驻波——能量不沿x方向 代表一种驻波——能量不沿x 传播的仿佛驻立不前的波： X(x)是驻波在x点处的振幅，不同点处的最大振幅 是驻波在x点处的振幅，不同点处的最大振幅 不同，振幅为0的点称为波节，令X 不同，振幅为0的点称为波节，令X(x)取极值的点 称为波腹； 称为波腹； T(t)是驻波波形的相位变化因子，各个点(所有x)处 是驻波波形的相位变化因子，各个点(所有x 波形的相位按照同一种规律随着t 波形的相位按照同一种规律随着t同步地改变，没 有相位滞后现象。
解：定解条件给全了吗？ 为什么没给出初始条件？
本征振动模式与初始条件无关. 本征振动模式与初始条件无关.
第1步: 分离变量 假设定解问题的解为：u ( x, t ) = X ( x )T (t ) 代入原方程得： XT ′′ − a 2 X ′′T = 0
数学物理方程
X ′′ T ′′ ⇒ = 2 X aT
数学物理方程
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分离变量法的主要思想 将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原 方程拆分成多个更简单的只含1 方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常 微分方程； 运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个 齐次的或易于求解的方程； 利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙 方法，求出各个方程的通解； 最后将这些通解“组装”起来。