比较余数和除数的大小
除法的被除数
除法的被除数除法是数学中常见的运算方式，用来计算一个数如何被另一个数整除的。
在除法中，被除数是被除以的数，而除数是用来除以被除数的数。
本文将深入探讨除法的被除数，包括其定义、性质以及在实际应用中的例子。
被除数是除法运算中的一个重要概念。
被除数指的是被除以除数的数，它是除法算式中的第一个数。
除法的算式通常表示为“被除数 ÷除数 = 商”，其中商表示除法运算的结果。
在数学中，被除数具有以下一些重要性质：1. 整除性：如果一个数能够被另一个数整除，那么被除数必然是这个数的倍数。
也就是说，如果被除数能够被除数整除，那么被除数一定能够被除数所表示的倍数整除。
2. 余数：当被除数不能被除数整除时，除法运算会产生一个余数。
余数是被除数除以除数所得的余下的数。
例如，在算式7 ÷ 2 = 3中，被除数7不能被除数2整除，余数为1。
3. 大小比较：被除数和除数之间的大小关系决定了商的大小。
如果被除数小于等于除数，则商小于等于1，反之亦然。
被除数和除数的大小关系对商的大小有直接影响。
除法的概念在日常生活和实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见例子：1. 分配物品：假设有10个苹果需要平均分给2个人，这里苹果的数量就是被除数，人的数量是除数。
通过除法运算，我们可以得出每个人应分得的苹果数量。
2. 时间和速度计算：在旅行中，我们经常需要计算到达目的地所需的时间或者速度。
时间和速度之间的关系可以通过除法运算得出。
例如，如果我们要行驶100公里，而平均时速是每小时50公里，那么到达目的地所需的时间就是被除数除以除数得到的商。
3. 经济学中的指标计算：在经济学中，许多指标的计算都依赖于除法运算。
例如，GDP（国内生产总值）是一个国家经济繁荣的指标，它是通过将国内生产的总值除以总人口得到的。
总之，除法的被除数是指运算中被除以的数。
被除数在除法运算中起着重要的作用，决定了商的大小、是否能被除数整除以及是否会产生余数。
余数和除数的关系
余数和除数的关系
1、在有余数的除法里，余数和除数之间的关系是：商×除数＋余数=被除数。
2、余数必然小于除数
例：6÷3=2……0，余数0小于除数3。
余数性质
1、如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c 整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
2、a与b的和除以c的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
3、a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5
的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于
3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
除数知识点总结及答案
除数知识点总结及答案在数学中，除数是指被除数在进行除法运算的过程中，即除以另一个数的操作中，所要除以的那个数。
在除法运算中，被除数被除数÷除数所得的商为商，余数为余数，被除数÷除数所得的商与余数的关系为被除数=商×除数+余数。
为了更好地理解除数的概念，接下来将系统总结除数的相关知识点。
一、除数的概念除数是指在除法运算中被除数所要除以的数，它是除法运算中的一个重要因素。
被除数除以除数得到的商和余数是除法运算的结果。
在数学符号中，除法运算用符号“÷”表示，如12÷3=4。
在这个例子中，12为被除数，3为除数，4为商，0为余数。
二、除数的作用1. 在除法运算中，除数是用来确定被除数能够被除尽的次数的，也即是除法运算中商的大小。
2. 除数还用于计算除法运算的余数，余数在数学中有着重要的作用，它常常用于判断两个数的大小、奇偶性以及数的整除性等问题。
3. 除数还可用来判断两个数之间的倍数关系，被除数是除数的倍数说明这两个数之间存在倍数关系，这在解决实际问题时常常会用到。
三、除数的性质1. 除数不能为0。
0不能做除数，因为任何数除以0都是没有意义的，数学中规定0不能出现在除数的位置上。
2. 当被除数大于除数时，商的值是不大于被除数的值的，这是除法运算中的一个重要性质，它保证了商的确定性。
四、除数与倍数的关系1. 如果一个数能被另一个数整除，那么这两个数之间存在倍数关系，即被除数是除数的倍数。
2. 除数为0的情况下，0是任何数的倍数，因为任何数乘以0都等于0。
这也是除数的一个重要性质。
3. 除数的倍数也可以是负数，当除数为负数时，它的倍数可以是正数和负数。
五、常见问题1. 除数为0时，除法运算有何特殊性质？当除数为0时，由于任何数除以0都没有意义，因此数学规定除数不能为0，除数为0使得除法运算失去了意义。
在实际问题中，遇到除数为0时需要注意避免这种情况的出现。
2. 除数为负数时，与除数为正数有何区别？当除数为负数时，其倍数仍可为正数和负数，但需要注意被除数的正负性对商的正负性产生影响，这是在解决实际问题时注意的一点。
深入理解除法的商与余数的概念
深入理解除法的商与余数的概念数学中，除法是一种基本的运算方法，用于计算两个数的商和余数。
在学习除法的过程中，理解商和余数的概念是非常重要的。
本文将深入探讨除法的商和余数，并解释其在数学中的应用。
一、商的概念商是除法运算中的一个重要概念，它表示一个数被另一个数除以的结果。
在数学中，我们用符号“÷”表示除法运算，例如：10 ÷ 2 = 5。
在这个例子中，10是被除数，2是除数，5是商。
商可以是整数，也可以是小数。
当商是整数时，称为整除；当商是小数时，称为不尽数。
商的概念在实际生活中有广泛的应用。
例如，我们购买物品时，可以使用除法来计算每件物品的价格；在分配食物时，可以用除法来计算每个人能得到的份量。
商的概念在解决实际问题中起到了重要的作用。
二、余数的概念余数是除法运算中的另一个重要概念，它表示除法运算中被除数不能整除的部分。
例如：10 ÷ 3 = 3余1。
在这个例子中，10是被除数，3是除数，3是商，1是余数。
余数的概念也在实际生活中有着广泛的应用。
例如，我们在计算时间时，可以用除法来计算小时和分钟的关系，余数表示分钟部分；在计算路程和时间的关系时，余数表示行驶的剩余距离。
余数的概念在解决实际问题中同样起到了重要的作用。
三、商和余数的性质除法运算中的商和余数有一些重要的性质。
首先，商和余数的和等于被除数，这是除法的基本性质。
例如：10 ÷ 3 = 3余1，3 + 1 = 4，4是被除数10。
其次，商和余数的大小关系与被除数和除数的大小关系有关。
例如：当被除数小于除数时，商为0，余数为被除数。
当被除数大于除数时，商大于0，余数小于除数。
四、除法的应用除法在数学中有一系列的应用。
首先，除法可以用来求解等式中的未知数。
例如，如果我们知道25 ÷ x = 5，我们就可以通过除法来求解x的值，即x = 5。
除法还可以用来比较两个数的大小关系。
例如，如果我们比较40 ÷ 8和50 ÷ 10，我们可以通过比较商来判断两个数的大小关系。
余数和除数的关系课件
系。
03
求解方法
在给定被除数和除数的情况下，我们可以通过长除法或者短除法求得商
和余数。这些方法依赖于余数和除数之间的关系，以及整数除法的运算
规则。
在日常问题中的应用
时间计算
在日常生活中，我们经常使用余数来计算时间。例如，当我们需要计算某个事件持续了多 少小时多少分钟时，我们可以将总时间除以60，得到的商是小时数，余数是分钟数。
性质
余数总是非负的，并且小 于除数。
除数的定义
定义
除数是整数除法中的一 ÷ b = c ... d 中，b 称为除数 。
性质
除数不能为0，否则除法无意义。
余数和除数的简单例子
例子1
17 ÷ 5 = 3 ... 2。在这个例子中，17 是被除数，5 是除数，3 是商，2 是余数 。我们可以看到，17 除以 5 后，余数为 2。
例子2
23 ÷ 8 = 2 ... 7。在这个例子中，23 是被除数，8 是除数，2 是商，7 是余数 。这表示 23 除以 8 后，余数为 7。
02
CATALOGUE
余数与除数的基本关系
如何得到余数
定义
余数是在整数除法运算中，被除 数减去除数与商的乘积后的结果 。
计算方法
计算余数的公式为：余数 = 被除 数 - （除数 × 商）。在除法运算 过程中，当被除数不是除数的整 数倍时，就会产生余数。
05
CATALOGUE
例题与解析
基础例题解析
01
02
03
04
例题1
给定一个数a，除以b得到的 余数是多少？
• 解析
通过简单的除法运算，我们可 以得到a除以b的商和余数。 余数可以通过a减去b乘以商
2022-2023学年甘肃省张掖市民乐县数学四年级第一学期期末经典试题含解析
2022-2023学年四上数学期末模拟试卷一、认真思考，巧填空。
1．在（）里填上适当的数。
如果1平方米能站16人，那么1公顷大约能站（________）人，1平方千米大约能站（________）人。
2．有5个数的平均数是9.1，前三个数的平均数是8.6，后三个数的平均数是9.4，中间一个数是（___________）3．用合适的单位名称填空。
（1）教室的面积是56（________）。
（2）鸟巢的占地面积约20（________）。
（3）新疆土地面积约166万（_________）。
4．在计算50063时，可以把63看成60来试商。
张亮同学试商8，商（________）了，应改商（________）合适。
5．小刚在计算一道除法题时，把除数15错看成了45，结果得到的商是24，正确的商是（______）。
6．2个平角=（_____）个周角=（______）度7．三百零五亿五千万写作（___________），把它改写成用“万”作单位的数是（___________）万,省略亿位后面的尾数约是（___________）亿。
8．甲、乙两车同时从A地到B地，甲车每时行60千米，6时到B地。
乙车比甲车提前2时到达B地。
（1）乙车每时行多少千米？（2）乙车到达B地时，甲车距B地还有多少千米？9．某工程队做一项工程3小时完成任务25，现完成任务12需（_______）小时.10．一个九位数，最高位是最小的奇数，千万位是最大的一位数，万位最小的质数，百位数最小的合数，其余各位都是零，这个数是_____，省略亿后面的尾数约是_____．11．如果491□102≈491万（用“四舍五入”法），则里最大填________。
二、仔细推敲，巧判断。
（正确的打√，错误的打×）12．一个除法算式的被除数、除数都除以4以后，商是20，那么原来的商是1．_____ 13．一个自然数（不为0），它的因数都比这个数的倍数小．（_____）14．3300÷80＝4……10。
余数最大和最小值
余数的最大值与最小值
一、定义
余数是数学术语，指两个整数相除得到的剩余部分。
在数学中，我们经常会涉
及到求余数的操作，余数的大小不仅可以反映两个数相除的整除程度，还可以帮助我们分析和解决一些数学问题。
二、余数的最大值和最小值
在两个整数相除时，余数的取值范围是从0到除数减1之间的整数。
那么，在给定的两个整数中，如何求得余数的最大值和最小值呢？
1. 余数的最大值
要求余数的最大值，我们可以通过如下方式进行计算： - 首先，找到被除数与
除数相除得到的商 - 然后，将这个商乘以除数，得到一个不大于被除数的最大整数
倍数 - 最后，被除数减去这个整数倍数后的值即为余数，也就是余数的最大值
2. 余数的最小值
类似地，求余数的最小值也可以通过以下步骤实现： - 首先，找到被除数与除
数相除得到的商 - 然后，将这个商乘以除数，得到一个刚好小于或等于被除数的整
数倍数 - 最后，被除数减去这个整数倍数后的值即为余数，即为余数的最小值
三、实际应用
余数的最大值和最小值在实际生活和计算中有着广泛的应用。
比如，在商场购
物时，我们常常需要计算购买物品的总价并找零，这时就需要计算余数，从而得到最小的零钱组合。
又如在计算机科学中，余数的计算常用于判断一个数是否是另一个数的倍数，以及在密码学中也有其独特的应用。
四、总结
余数的最大值和最小值是整数相除时常用的概念，在数学、计算机科学等领域
具有着重要的作用。
通过本文的介绍，我们可以更好地理解余数的概念和计算方法，进而在实际问题中灵活运用。
《余数和除数的关系》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余数和除数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-对余数和除数关系的理解，尤其是当除数接近被除数时，学生容易混淆余数与除数的大小关系；
-在解决实际问题时，学生可能会在将问题抽象成数学模型的过程中遇到困难，不明确如何设定除数和被除数；
-在小组合作交流中，学生可能难以பைடு நூலகம்确表达自己的思考过程，或者在倾听他人意见时不能有效吸收和理解。
举例解释：
2.加强对重点难点的讲解，通过多种方式帮助学生深入理解；
3.鼓励学生提问，及时解答他们的疑惑，关注每个学生的学习进度；
4.增加课堂互动，培养学生的团队协作能力和表达能力；
5.注重课后反思，及时调整教学方法，提高教学质量。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得非常顺利。他们通过合作交流，共同解决了与余数和除数相关的问题。这一环节不仅巩固了他们对知识的理解，还培养了他们的团队协作能力和动手操作能力。
在学生小组讨论环节，我发现学生们能够围绕主题展开热烈的讨论，并能够提出自己的观点和想法。作为引导者，我尽量提出开放性的问题，激发学生的思考。从学生的讨论成果来看，他们已经能够将所学知识应用到实际生活中。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对余数和除数的关系这一概念表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过日常生活中的实例引起学生的好奇心，他们积极参与讨论，提出了很多有价值的问题。这让我意识到，将数学知识与实际生活相结合，能够激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
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比较余数和除数的大小（三年级数学）教案教学目标：
1. 进一步巩固对有余数除法的认识和理解；
2. 培养学师初步试商能力，懂得余数比除数小的道理；
3. 使学师通过观察、比较、分析等活动，自己发现余数和除数的关系。
教学重点：理解并应用“余数＜除数”。
教学难点：结合情境理解“余数为什么一定比除数小”
教学课时: 1课时
教学过程：
一、谈话引入
上节课我们学习了有余数除法的知识，还记得我们摆小棒的情景吗？
二、思考探究
1. （1）如果给你15根小棒，每6根摆这样的一个，最多能摆几个？
师:摆2个，余3根？（师根据学师反馈，板
画）
师:你怎么知道余3根（因为用去了12根）
你能列出算式吗？（15÷6=2个……3根）
师:你能在图中找到用去的12根吗？那么在横式中你能找到这用去的12根吗？
（2）如果给你16根小棒，能摆几个这样的长方形？还剩几根小棒？
师根据学师反馈及时添上小棒并板书：16÷6=2个……4根
（3）17根呢？
师根据学师反馈及时添上小棒并板书：17÷6=2个……5根
（4）18根呢? 18÷6=3个
师:为什么不是余6根？
师:因为6根又可以摆一个了
（5）19根呢？20根呢？21根呢？22根呢？
（6根又可以摆一个了）
2.（1）老师手中有一把小棒，摆尽可能多的三角形，可能剩余几根小棒？□÷3=□……（）
师:可能剩余1根，2根
师:怎么不能余3根？4根？
（2）摆正方形呢？
□÷4=□……（）
师:可能剩余1根，2根，3根
师:怎么不能余3根？4根？5根？6根？
（3）摆五边形呢？
□÷5=□……（）
师:可能剩余1根，2根，3根，4根
师:怎么不能余3根？4根？5根？6根？
引导学师总结归纳：一定要比除数小，除数一定要比余数大
追问：余数为什么不能比除数大？如果余数和除数相等，行吗？
揭示课题：今天我们研究的就是：余数和除数的关系。
（板书课题）
课堂练习：
1. 思维拓展屋：猜数
（）÷5=6……（）
（1）当余数最大时，被除数是（）。
师:余数小于除数，余数最大是4，被除数就是5×6+4=34
（2）当余数最小时，被除数是（）。
师:余数小于除数，余数最小是1，被除数就是5×6+1=31
2. 你能将下面的算式改成有余数的除法算式吗？
3×6+4=22
师: 22÷3=6 (4)
师：22÷6=3 (4)
3. 分析，两种都可以吗？如果不可以，为什么？通过刚才的探讨，我们知道在有余数的除法里，余数一定是小于除数的。
课后作业：P52”做一做”
自我问答：1.通过将乘加算式改写成有余数的除法算式。
2.通过交流、分析，进一步明确余数小于除数的道理。
比较余数和除数的大小教学反思
《有余数的除法》这节课，主要是让学生理解以下三个问题：1，余数要比除数小。
2，余数可能是什么。
3，余数最大是什么。
解决第一个问题余数要比除数小，书上的问题是，⑴ 14个苹果平均分给4个小朋友，怎样分呢？⑵ 17÷4, 18÷4, 19÷4, 20÷4。
书上解决这个问题时，是把理解余数要比除数小和怎样处理除法竖式连在一起教学的，除法的余数问题和除法竖式的书写和理解对二年级学生来说都是难点，这样教学，难点集中，学生不容易理解。
我在教学时，是把这两个问题分开来教学的。
我借用书上呈现的情景：14个苹果平均分给4个小朋友，怎样分呢？在黑板上贴出14个苹果，请同学来分。
这是学生已有的知识，学生很快就能解决，得到平均每人分3个，还剩2个。
问题：还剩2个，还能不能继续分呢？如果再继续分，会出现什么情况呢？学生说到：不能继续分，因为这时只有两个苹果，而有4个小朋友。
如果把这两个苹果给了其中的两个小朋友，另外两个小朋友就少一个苹果，这样就不是平均分了，所以剩下的两个苹果是不能再分了。
问题：剩下的苹果数怎样时，就还能再分。
剩下的苹果数怎样时，就不能再分。
学生回答：剩下的苹果数少于小朋友的人数时，就不能再分了。
剩下的苹果数多于小朋友的人数时，就可以再分，直到剩下的苹果数少于小朋友的人数时，就不能再分了。
在这里把解题方案转化为算式，小朋友的人数是除法算式中的除数，剩下的苹果是除法算式中的余数。
14÷4＝3（个）......2（个）。
从这里得到余数比除数小。
如果是15，16，17，18，19，20，21，22......个苹果呢？15÷4＝3（个） (3)
（个），16÷4＝4（个），17÷4＝4（个）……1（个），18÷4＝4（个）……2（个）19÷4＝4（个）……3（个），20÷4＝5（个），我们可以得到什么呢？余数总是比除数小。
一、说教材
我说的内容是小学数学第四册的有余数的除法。
有余数的除法，是从表内除法向表外除法过渡的桥梁，是学习多位数除法的基础。
从教材上看，内容抽象，概念性强。
从学生方面看，学生刚学过表内除法，比较习惯用乘法口诀来求商，而有余数的除法不能直接从乘法口诀中求商，要用竖式计算，但对于竖式每一步的意思以及具体写法学生较难理解。
总之，对于低年级学生来说，学习掌握这样一个知识跨度较大的内容，是比较困难的。
针对这一状况，我的教学目标确定为：
１、通过摆一摆，分一分，以及生活中的大量实例，来理解“余数”这一基本概念。
２、学会有余数除法的试商方法，书写格式，能进行简单的有余数除法的计算等一系列基本技能。
３、能运用所学知识，解决综合性的应用问题，培养学生观察判断及逻辑推理能力。
本课的重点是：知道什么是“余数”
本课的难点是：理解为什么“余数要比除数小”
二、说教学过程
１、激趣导入。
我主要通过游戏“猜猜看”。
（在规定的时间内让学生在纸上依次画红、黄、蓝三种颜色的圆圈，比一比谁画得多，画好后，将自己画的个数数出来写在张上，老师不用看，就能猜出你所画的最后一个的颜色。
）这个游戏的设计在于激发学生的学习兴趣，并且为后面的学习埋下伏笔：小朋友们学完了这节课，也能和老师一样能猜出圆圈的颜色了。
２、感受新知，探究新知。
在这一环节我主要通过大量生活中的实例，让学生来感受“余数”。
（１）让学生来分一分桔子。
６个桔子平均分成３份，７个桔子平均分成３份。
在分好后说一说，两次分有什么不同？学生会说出第一次分分完了，第二次怎么分都有一个剩下。
这就让学生初步感知余数的概念，触及到新旧知识的连接点上。
（２）将１１个苹果平均分给３个小朋友，设问：如果每人分２个，剩下５个，可以这样分吗？这时就有学生会回答，５个还能再分给３个小朋友每人１个，还剩下２个，这时老师追问：２个还能再分吗？学生会回答，不能分了。
通过这个坏节，让学生有了“不能再分的就是余数”这一基本概念。
（３）老师手中有１０颗五角星，要奖励给今天表现最好的４位同学，应该怎么分啊？谁来帮助老师来分呢？让多个学生上来分一分，老师对他们分的结果给予评价，让学生更深刻地明确“不能再分的就是余数”。
３、用数学方法表示。
对前面分的结果用数学方法表示出来，再翻开书本５０页，参照例题，来自学有余数的除法的横式、竖式的写法。
教师在学生写完后给予简单点评并说明各部分的意义。
我认为这部分学生在前面学习了除法竖式的基础上，完全可以自学。
接下去通过评价性的活动，看看小动物们做对了吗？出示三个竖式，来比较，观察除数和余数的关系，会发现其中一个小动物粗心大意做错了，余数比除数大了，还能再分。
这一环节让学生进一步明确了不能再分的才是余数，也就是“余数一定要比除数小”。
４、练习巩固新知。
通过直观的练习，40÷7，26÷6，让两位学生上来板演，别的学生下面做。
做完后集体讲评。
这一环节可以很清楚地发现学生掌握新知的情况，并可
以根据学生的错误来巩固试商的方法，其实明确了“余数一定要比除数小”，试商也是不成问题的了。
5、回到游戏“猜猜看”。
这时候学生有种跃跃欲试的心理，通过学习这节课的知识，来想一想，老师是用什么方法这么快说出圆圈的颜色的，我们能不能用这种方法来试试呢？这时师生共同来探讨这一方法，从而掀起课堂上的一个小高潮。
在抓住学生的闪光点，找到方法后，让学生来猜一猜。
然后设问：在我们的生活中，有没有这样的例子，让学生先来说一说。
教师可举一个例子：我们班去春游，要去划船，每条船最多坐7人，我们班39个小朋友要用多少条船？这一例子将数学问题引用到生活中去，让学生来解决生活中的实际问题。
三、说课堂小结
让学生来说一说这节课我们学到了什么？
总的来说，这节课让学生在玩中学，在学中玩，在不知不觉中理解了“余数”的概念，并提高了自己的思维判断能力。