数学中的“规则”之二：为什么余数要比除数小
除数和余数关系.pptx
因为余数表示剩下的，不能 再分的；如果余数等于或者大于 除数的话，还能再分，所以余数 总比除数小。
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余数和除数
余数 ＜ 除数
除数 > 余数
进行有余数的除法计算时 ，结果中的余数一定要比除数小。
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填一填
12 ÷ 6 =[ ] 2
13 ÷ 6
2
3 -——> 6 × 2 + 3 = 154 -——ຫໍສະໝຸດ 6 × 2 + 4 = 16
5 -——> 6 × 2 + 5 = 17
……
…… …… ……
1
2
除数 ×商 + 余数 = 被除数
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一、猜猜余数会有哪些？
1、当除数是5时，余数可能是（1、2、3、4 ） 2、当除数是8时，余数可能是（ 1、2、3、4、5、6、7 ） 3、当除数是12时，余数可能是（1、2、3、4、5、6、 7、8、9、10、11 ）
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2、下面的计算正确吗？
4 31 7
12
5
6 21 3
12
1
5 31 8
15
3
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3、用学到的知识来判断，这些除法算式对吗？ 48÷5=9…… 3 （√ ）
33÷7=5 …… 2 （ × ） 63÷8=7 …… 7 （√ ） 5 × 6 + 4 = 34 （ √ ）
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=[ ] ……[ ] 2
14 ÷ 6 =[ ] ……[
]
2 2
15 ÷ 6 =[ ] ……2[ ]
16 ÷ 6
3
=[ ] ……[ ] 3
小学数学有余数的除法知识归纳与易错总结,快为孩子收藏!
一、知识点回顾1、有余数的除法的意义：在平均分一些物体时，有时会有剩余。
2、余数与除数的关系：在有余数的除法中，余数必须比除数小。
最大的余数小于除数1，最小的余数是1。
3、笔算除法的计算方法：（1）先写除号“厂”（2）被除数写在除号里，除数写在除号的左侧。
（3）试商，商写在被除数上面，并要对着被除数的个位。
（4）把商与除数的乘积写在被除数的下面，相同数位要对齐。
（5）用被除数减去商与除数的乘积，如果没有剩余，就表示能除尽。
4、有余数的除法的计算方法可以分四步进行：一商，二乘，三减，四比。
（1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面。
（2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面。
（3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面。
（4）比：将余数与除数比一比，余数必须必除数小。
二、解决问题根据除法的意义，解决简单的有余数的除法的问题，要根据实际情况，灵活处理余数。
1.租船问题：运用有余数的除法解决租船问题时，商加1才是最后的结果。
2.周期问题：在实际生活中，有一些事物按照一定的规律循环出现，这样的问题，称为周期问题。
解决周期问题时，可以根据题中循环出现的规律列出除法算式，求出余数，再根据余数得出所求问题的答案。
在有余除法中，要记住：（1）余数＜除数；（2）被除数＝商×除数＋余数精典例题例1：（1）（）÷7=8……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？（2）（）÷（）＝（）……6，除数最小是几？思路点拨（1）根据余数一定要比除数小的原理，余数可以取1,2,3,4,5,6。
最大的余数确定最大的被除数，最小的余数确定最小的被除数。
（2）根据余数一定要比除数小的原理，除数要大于6，而大于6的数有很多，其中最小的是。
模仿练习1．算式（）÷（）＝8……（）中，被除数最小是几？2．下题中被除数最大可填几，最小可填几？（）÷8＝3……（）3．你能写出下面题中最大的被除数和最小的被除数吗？（）÷4＝7……（）例2：算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？思路点拨根据“被除数＝商×除数＋余数”，商×除数＝被除数－余数，即，商×除数＝28－4＝24。
数学除法口诀
数学除法口诀
除法口诀是数学中用于记忆和掌握除法运算规则的一种简短语句。
以下是一个常用的除法口诀：
1. 除数一位看一位，一位不够除两位；除到哪位商哪位，余数要比除数小，然后再除下一位。
2. 除数是两位看两位，两位不够除三位；除到哪位商哪位，余数要比除数小，然后再除下一位。
3. 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
4. 被除数和除数扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
5. 除法有如分苹果：若有 ABCD 个苹果要分给 A 组及 B 组人，而每组人数都是固定的，那么为了公平，应该要确保每组分到的苹果数量是一样的。
因此A 组分到的苹果数量是 AB/D 个，B 组分到的苹果数量是 BC/D 个。
6. 九九乘法表：这是基础的乘法口诀，即 1*1=1, 1*2=2, ..., 9*9=81。
7. 任何数被 1 除都等于它本身：a÷1=a。
8. 被 0 除没有意义：a÷0是不确定的，因为不能把一个数除以0。
9. 任何数除以自己都等于原数：a÷a=1。
10. 任何数除以 100 都等于原数的百分之多少：a÷100=a%。
这些口诀可以帮助你更好地理解和掌握除法运算的规则和技巧。
余数的性质及其计算
余数的性质及其计算余数是数学运算中的一个概念，通常在整除运算中使用。
当一个数被另一个数整除时，余数就是剩下的不被整除的部分。
1.余数的范围：余数的范围是0到除数减1、例如，当除数为7时，余数的范围为0到62.余数的符号：余数的符号与被除数的符号一致。
例如，当被除数为正数，除数为负数时，余数为负数；当被除数为负数，除数为正数时，余数为正数。
3.余数的递减性：当被除数递减一定倍数的除数时，余数也会递减相应的倍数。
例如，当被除数从10递减10倍除数时，余数也会从0递减10。
4.余数的计算方法：余数的计算方法通常有两种，一种是使用除法算术运算符求余，另一种是使用模运算符求余。
-除法算术运算符求余：余数可以通过被除数除以除数得到。
例如，12除以5，商为2余2，余数为2-模运算符求余：模运算符（%）可以直接计算余数。
例如，12%5=25.余数的应用：余数在很多数学问题中有广泛应用，如判断一个数是否是另一个数的倍数，确定一个数的奇偶性等。
余数也可以用于计算和数论问题，例如将一个数分解为素因子的乘积。
一个常见的问题是，如何计算一个大数除以一个较小的数的余数？当被除数较大时，我们常常使用长除法来计算余数。
长除法的步骤如下：1.将被除数按位数与除数对齐，从左至右逐位进行计算。
2.用除数除以被除数的第一位，得到一个商和一个余数。
3.将余数带到被除数的下一位，继续做除法运算，得到新的商和新的余数。
4.重复步骤3，直到计算完所有位数。
5.最终的余数就是最后一次除法运算的余数。
尽管这种方法可以得到正确的结果，但对于大数来说，计算过程可能会比较复杂和繁琐。
在计算机编程中，我们通常使用取模运算符（%）来计算余数，这种方法更加简单和高效。
总结起来，余数是数学运算中的一个概念，表示一个数被另一个数整除后的剩余部分。
余数具有一些性质，如范围、符号、递减性等。
计算余数可以使用除法算术运算符或模运算符。
对于大数的计算，常使用长除法来计算余数。
理解简单的余数和整除性质
理解简单的余数和整除性质余数和整除性质是数论中的重要概念，通过对自然数的运算及其特性的研究，我们可以更深入地理解数的性质和规律。
本文将从余数和整除的定义入手，讨论它们的基本性质及应用。
一、余数的定义与性质余数是除法运算中得到的不完全除尽的部分，用数论的语言来表述，即对于任意给定的自然数被除数a，和除数b，存在唯一的两个整数q和r，满足等式a=bq+r，其中q称为商，r称为余数。
1.1 整除性质当余数为零时，即r=0，我们说被除数a可以被除数b整除，记作b|a。
例如，当2整除6时，6=2×3，我们可以说2整除6。
整除是除法的一种特殊情况，也可以看作是除法运算的特殊结果。
1.2 余数与循环当余数不为零时，即r≠0，我们可以观察到一些有趣的性质。
首先，余数r只能是整数范围内的非负整数，即0 ≤ r < b。
其次，当除数b不同时，余数r的取值范围也不同。
例如，对于除数3，余数r只能为0、1、2三种可能；对于除数5，余数r只能为0、1、2、3、4五种可能。
二、余数和整除的应用余数和整除的应用非常广泛，它们在数论、代数、密码学等领域中有着重要的作用。
以下将介绍一些与余数和整除相关的应用：2.1 素数判断素数是指只能被1和自身整除的数，除了1以外，素数不会再有其他的因数。
通过余数和整除的性质，我们可以判断一个数是否为素数。
具体地，我们可以用2到该数平方根的范围内的所有数进行除法运算，如果存在一个数能够整除该数，则该数不是素数；反之，如果所有数都不能整除该数，则该数是素数。
2.2 最大公约数最大公约数是指两个或多个数中最大的能够同时整除它们的数。
通过余数和整除的性质，我们可以使用辗转相除法来求解最大公约数。
具体地，我们可以用较大数除以较小数得到余数，然后再用除数除以余数得到新的余数，如此循环下去，直到余数为零。
此时，除数就是最大公约数。
2.3 同余模同余是指两个数除以同一个正整数，得到的余数相同。
余数和除数的关系课件
系。
03
求解方法
在给定被除数和除数的情况下，我们可以通过长除法或者短除法求得商
和余数。这些方法依赖于余数和除数之间的关系，以及整数除法的运算
规则。
在日常问题中的应用
时间计算
在日常生活中，我们经常使用余数来计算时间。例如，当我们需要计算某个事件持续了多 少小时多少分钟时，我们可以将总时间除以60，得到的商是小时数，余数是分钟数。
性质
余数总是非负的，并且小 于除数。
除数的定义
定义
除数是整数除法中的一 ÷ b = c ... d 中，b 称为除数 。
性质
除数不能为0，否则除法无意义。
余数和除数的简单例子
例子1
17 ÷ 5 = 3 ... 2。在这个例子中，17 是被除数，5 是除数，3 是商，2 是余数 。我们可以看到，17 除以 5 后，余数为 2。
例子2
23 ÷ 8 = 2 ... 7。在这个例子中，23 是被除数，8 是除数，2 是商，7 是余数 。这表示 23 除以 8 后，余数为 7。
02
CATALOGUE
余数与除数的基本关系
如何得到余数
定义
余数是在整数除法运算中，被除 数减去除数与商的乘积后的结果 。
计算方法
计算余数的公式为：余数 = 被除 数 - （除数 × 商）。在除法运算 过程中，当被除数不是除数的整 数倍时，就会产生余数。
05
CATALOGUE
例题与解析
基础例题解析
01
02
03
04
例题1
给定一个数a，除以b得到的 余数是多少？
• 解析
通过简单的除法运算，我们可 以得到a除以b的商和余数。 余数可以通过a减去b乘以商
余数可以大于商吗
余数可以大于商吗
可以。例如：9÷7=1…2，余数2＞商1。所以在有余数的除法算式中，余数可以大于商。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。
余数
余数指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）的整数。例如：27除以6，商数为4，余数为3。
一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。为2。
余数为什么一定要比除数小 教学设计及反思(苏教版二年级下册)
余数为什么一定要比除数小教学设计及反思(苏教版二年级下册)有余数除法是二年级下册第一单元的教学内容。
学习有余数除法，一方面可以为以后学习除法的运算打下必要的基础。
另一方面可以拓展除法的应用范围，解决生活中把一些物体平均分后有剩余的实际问题。
本单元的重点是认识有余数的除法，理解余数要比除数小。
教学中怎样突破难点，引导学生真正理解“余数为什么一定要比除数小”呢？第一课时我做了以下的教学设计：一、通过平均分的操作探索出有余数的除法自主探索例1：学生先动手摆小棒，在分小棒的活动中先形成有“剩余”的表象。
每人分几支分给几人还剩几支2 53 3 14 2 25 2学生在小组里边操作边完成表格。
仔细观察表格，你有什么发现？生1：10支铅笔每人分2支、5支时，没有剩余的铅笔。
生2：10支铅笔每人分3支、4支时没有分完，有剩余的铅笔。
学生把分的几种情况进行比较并分类，通过分小棒的活动形成认知抵触，发生学习需要。
在活动的过程中获得了“余数”概念的表象支撑，为抽象出“余数”概念打下了基础。
10支小棒，每人分得3支，还剩1支怎样写成除法算式呢？教师板书：10支铅笔,每人分4支,可以分给2人,还剩2支。
你会写除法算式吗?自己在作业纸上写一写，并在小组里读一读。
二、深刻理解“余数为什么一定要比除数小”？再观察例1：这儿的除数3表示什么意思?余下来的1根为什么不能继续往下分? 让学生用自己的语言来描述自己的想法。
因为除数3表示每人分3根,余数1比除数3小,所以不能继续往下分。
从而渗透了余数要比除数小。
自主探索例2：引导学生发现“余数为什么一定要比除数小”？自己摆一摆，并在小组里交流一下，你发现了什么？在作业纸上写出除法算式。
师引导学生分别比较填出的算式，在除法算式中，除数都是几，剩下的几根为什么不能继续往下摆？12÷4=3（个）13÷4=3（个） ……1（根）14÷4=3（个） ……2（根）15÷4=3（个） ……3（根）生1：13根小棒可以摆3个正方形，剩下的1根不能往下摆，因为除数4告诉我们每4根摆一个正方形。
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“余数要比除数小”，这一命题并不是除法运算自 然拥有的规律，而是一种人为的规定。为什么要做出 这样的规定呢？一种源于实际的解释是：
如果余数不小于除数，说明没有分完，还可以继 续分。比如：
7个苹果分给两个小朋友，每人分一个，还剩5个， 就应当继续分完。这个解释易于理解，也有一定的合 理性，但并不具备逻辑意义上的说服力。
除法作为乘法的逆运算，下面式子
a b qK K r
正确与否，应当由
a=b q+r
是否成立来判断。比如对于 7 2
下面两个算式应该同时成立：
7 2=3L 1 7=23+1
如果没有“余数比除数小”的规定，那么 7 2
在整数范围内就会出现四种形式上不同的结果，依据 对应的乘法算式检验都是正确的，即
除法
7 2=0L 7 7 2=1L 5 7 2=2L 3 7 2=3L 1
乘法
7=2 0+1
7=2 1+5 7=2 2+3 7=2 3+1
被除数和除数分别相等的除法运算，却得到不同的
运算结果，像这样运算结果不确定的情况就会出给以
此为基础的数学推理带来麻烦，比如，若果没有“余
数小于除数”这一条件，下面的推理就不能成立：
如果 a1 b1 q1L r1, a2 b2 q2 L r2 , 且 a1 a2 ,b1 b2 ,
那么 q1 q2 , r1 r2
同样，为了保持运算结果的确定性，不得已做出
这一规定，不难看出，其实“余数比除数小” 和“0
不能做除数”实质是一样的。 Nhomakorabea