江西省宜春市2014-2015学年高二上学期期末统考数学(理)试题

宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高二数学（理科）试卷一、选择题1.双曲线112422=-y x 的离心率是（ ） A.2 B.22C.2D.212.命题“对于任意实数x ，都有x 2+x+1≥0”的否定为（ ） A.存在实数x ，使得x 2＋x ＋1<0 B.存在实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0 C.对于任意实数x ，都有x 2＋x ＋1<0 D. 对于任意实数x ，都有x 2＋x ＋1≤0 3.若向量=()5,0,2-+m ,=(m-2,1,-53),则“m=1”是“⊥”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.若a,b,c,,R ∈且a>b>0，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a+c ≥ b+c B.ac>bc C.a+b 1>b+a 1 D.a+a 1>b+a1 5.已知数列的通项公式是a n =13+n n，那么a n 与a 1+n 的大小关系是（ ） A. a n >a 1+n B. a n <a 1+n C. a n =a 1+n D.与n 的取值相关6.在棱长为6的正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1中，点C 到平面A 1BD 的距离为（ ） A.23 B.26 C.32 D. 337.数列的通项公式为a n =3n ，b n =na a a +++ (1)21则数列{}n b 的前n 项和为（ ）A.)1(31+n B. )1(32+n C. )1(3+n n D. )1(32+n n8.李华同学骑电动车以28km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东45方向上，15min 后到达点B 处望见电视塔S 在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是（ ）A.367 km B. 72 km C.227km D.267km 9.若关于x 的不等式xa x-+1的解集是集合{}R x x x ∈≤≤-,33的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A. -3≤a ≤3B. -1≤a ≤3C. -4≤a<-1或-1＜a ≤3D. -4≤a ≤210.在ABC ∆中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则ABC ∆的最大角与最小角的和为（ ） A. 90 B.135 C. 150 D.12011. 已知m>0,n>0，若m, a 1,a 2,a 3,2n 成等差数列，m, b 1,b 2,b 3,2n 成等比数列，则()22231b a a +的最小值是（ ）A.2+2B. 22+4C. 4D.812.抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且AF ⊥BF ，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M ’，则ABMM '的最大值为（ ）A.22B. 2C.322 D.22 二、填空题13.已知等差数列{}n a 中，a 6+a 9=17,a 2=3,则a 13= 。

14.若x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数z=3x+2y 的最大值为 。

15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是菱形，PA=AB=2,∠BAD=60, 则PB 与AC 所成角的余弦值为 。

16.给出下列命题：①命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为：“若x 2=1，则x=1”； ②ABC ∆中,“sinA<sinB ”是 “B A ∠<∠”的充要条件； ③如果正数a,b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是[)+∞,9； ④若{}n a 是等比数列，则{}1++n n a a 仍为等比数列 其中所有真命题的序号是 。

三、解答题PADCB17.已知命题p ：方程x 2-ax+4=0没有实数解；命题q ：方程11522=-+-a y a x 表示双曲线；若“⌝p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围。

18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 且满足ABa b c cos cos 2=- ⑴求角A 的大小；⑵若a=4，求ABC ∆面积的最大值19.⑴已知x>0,y>0,且3x+y=1,求yx 31+的最小值； ⑵当x ∈R 时，不等式5122--≥-+-m m x x 恒成立，求实数m 的取值范围。

20.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=2AA 1,∠ABC=90,D 是BC 的中点⑴求证:A 1B//平面ADC 1;⑵求平面C 1AD 与平面BAD 所成角的余弦值.21.已知非零数列{}n a 的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与4的等差中项，数列{}n b 中，b 1=1，点P （b n ,b n+1）在直线x-y+2=0上 ⑴求数列{}n a ,{}n b 的通项a n 和b n ；⑵设c n = a n b n ，数列{}n c 的前n 项和为T n ，若不等式nT n ≥a ∙2n+12n 对任意的n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围22.已知定圆M:()16122=++y x 动圆N 过点F ()0,1且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为曲线E⑴求曲线E 的方程⑵过点F 作斜率为k 的直线l 与曲线E 交于A,B 两点，在x 轴上是否存在点P ()0,m ，使得以PA,PB 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求实数m 的取值范围，如果不存在，说明理由ABDCC 1B 1A 1宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高二年级数学(理科)参考答案一、选择题： CABC BADB DDCA 二、填空题： 13.14； 14.24；16.②③. 三、解答题：17.解：p ：44a -<< ………3分 q ：15a << ………6分 则p ⌝：44a a ≤-≥或 ………8分∵“p ⌝且q ”是真命题 ∴4415a a a ≤-≥⎧⎨<<⎩或∴a 的取值范围为45a ≤< ………10分18．解：（1）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．……………………4分 在△ABC 中，sin 0C ≠．所以1cos 2A =，3A π∠=．…………………………………6分（2）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，4a =． 所以2216216b c bc bc +-=≥-所以16bc ≤，当且仅当b c =时取“=” …………………10分所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤所以三角形面积的最大值为12分19．解：（1）已知0,0x y >>，且31x y +=，∴()131********y xx y x y x y x y⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，………4分 当且仅当9y xx y=即11,62x y ==时等号成立，∴当11,62x y ==时，13x y+的最小值为12………6分 （2）当x R ∈时，不等式2215x x m m -+-≥--恒成立 ⇔()2min 215x x m m -+-≥--………7分 解法一：∵()()21211x x x x -+-≥---= ………9分 ∴()min 211x x -+-= ……10分∴ 215m m ≥--，即()()230m m +-≤，23m -≤≤ ……11分 ∴m 的取值范围[]2,3-………12分解法二：∵32,1211,1223,2x x x x x x x - <⎧⎪-+-= ≤<⎨⎪- ≥⎩………9分∴()min 211x x -+-= ……10分∴ 215m m ≥--，即()()230m m +-≤，23m -≤≤ ……11分 ∴m 的取值范围[]2,3-………12分20.解: (1)连接1AC ,交1AC 于点O ,连接OD .……1分由111ABC A B C -是直三棱柱,得四边形11ACC A 为矩形,O 为1AC 的中点. 又D 为BC 的中点, 所以OD 为1A BC 的中位线. 所以1//A B OD .……4分 因为OD平面1ADC ,1A B ⊄平面1ADC ,所以1A B ∥平面1ADC .……5分(2)由111ABC A B C -是直三棱柱,且90ABC ∠= ,得1,,BA BC BB 两两垂直.B以1,,BA BC BB 所在直线分别为,,x y z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设2AB =，则()()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,1,1,0,0B C A C D , ……6分所以()()11,2,0,2,2,1AD AC =-=-. ……………………7分 设平面1C AD 的一个法向量为(),,n x y z =,则有10n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20220x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，取1y =,得()2,1,2n =- . ……9分 易知平面CAD 的一个法向量为()0,0,1m =. ……10分所以2cos ,3n m n m n m⋅==-⋅.……11分所以平面1C AD 与平面BAD 所成角的余弦值为23-.……12分 （注：若结果为23，则扣1分；若用几何法解，则相应地给步骤分。

）21．解：（1）∵n a 是n S 与4的等差中项 24n n S a ∴=-从而()11242n n S a n --=-≥ 122n n n a a a -∴=- ∵ 0n a ≠， ∴()122,nn a n n N a *-=≥∈， 即 数列{}n a 是等比数列， 又由1124n a S a ==-，解得14a = ∴ 12n n a += ………………3分 ∵点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上， ∴120n n b b +-+=， ∴12n n b b +-=， 即数列{}n b 是等差数列，又11b =， ∴ 21n b n =-………………5分（2）由（1）知()1212n n n n c a b n +=⋅=-⋅()234112123252212n n n T c c c n +∴=+++=⋅+⋅+⋅++-⋅()34522123252212n n T n +∴=⋅+⋅+⋅++-⋅()()23412122222212n n n T n ++∴-=⋅++++--⋅()223212n n T n +=-⋅+ ………………9分从而 212n n nT a n ≥⋅+ 即()223212212n nn n a n +⎡⎤-⋅+≥⋅+⎣⎦亦即2812a n n ≤-恒成立 ………………10分令()2239812842f n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()(),14nim n N f n f *∈∴==- 4a ∴≤-即a 的取值范围是(],4-∞- ………………12分22.解：（1）因为点(1,0)F 在圆22:(1)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ， 因为4NM NF FM +=>，所以点N 的轨迹曲线E 为椭圆，且24,1a c ==，所以b =所以曲线E 的方程为22143x y +=．……5分 （2）由题知 ()():10l y k x k =-≠由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +-+-=设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则2122834k x x k +=+，211024234x y k x k +==+，()0023134k y k x k -=-=+ ……………7分假设存在点(),0P m ，使得以,PA PB 为邻边的平行四边形是菱形，则PA PB =，PC AB ⊥∴1PC k k =-，即()202220233134443434ky k k k x m k m k kmk --+===---+-+……10分 ∴22213344k m k k==++ ∴104m <<故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是104m <<． …………………12分。