§18.4条件极值
高等数学第18章第4节条件极值
第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
条件极值简介.
f x( x0 , y0 ) 0 Fx( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0 Fy ( x0 , y0 ) 0 F (x , y ) 0 0 0
高州师范学院
11.3条件极值
如果引入辅助变量和辅助函数 (x, y, ) f ( x, y) F ( x, y)
设解是M 0
0 0 0 0 0 0 x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 ,..., m
,
, m),
求解过程可以消去 k , (k 1, 2,
高州师范学院
0 0 0 求得满足方程组得稳定点P0 ( x1 , x2 ,..., xn )
11.3条件极值
3、由问题的实际意义,如果函数必存在条件极值,
高州师范学院
11.3条件极值
若点P 0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点.其必要 条件恰好是点( x0 , y0 , 0 )是辅助函数(x, y, )的 稳定点.
由此产生了一个重要思想 : 通过引入辅助函数(x, y, )把条件极值问题, 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
高州师范学院
11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
高州师范学院
11.3条件极值
Hale Waihona Puke 条件极值问题的一般形式求目标函数: y f ( x1 , x2 , 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
条件极值
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
条件极值与拉格朗日乘数法
§ 4条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点(χ0, y0,z0)到一曲面G(X I y,z) = O的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点(x,y,z) 至U 点(x o,y°,z o) 的距离为F(x, y,z)= (X- X o)2(y -yo)2 (Z- z o)2.现在的问题是要求出曲面G(x, y,z)=O 上的点(x, y,z)使F为最小•即问题归化为求函数 F (X l y, Z)在条件G(X l y, z) = 0下的最小值问题•又如，在总和为C的几个正数x1,χ2,…X n的数组中，求一数组，使函数值2 2 2f = X i X^ X n为最小，这是在条件X i x^ X^C (X i 0)的限制下，求函数f的极小值问题。
这类问题叫做限制极值问题(条件极值问题)例1要设计一个容积为V的长方体形开口水箱•确定长、宽和高，使水箱的表面积最小.分别以X、y和Z表示水箱的长、宽和高，该例可表述为：在约束条件XyZ=V之下求函数S(x, y,z) = 2(x^ yz) Xy的最小值.条件极值问题的一般形式是在条件组'k(x1,x2,…，x n) =0, k =1,2,…，m (m ：：：n) 限制下，求目标函数y = f (x1, X2,…，x n)的极值.对这种问题的解法有：化为无条件极值.例1由XyZ=V解出z =V ,并代入函数S(x, y,z)中，得到XyF(x,y^2V(- -) xy ,然后按(F x,F y) =(0,0),求出稳定点X = y = 3 2V ,并有y X- ---- ；Z 32V ,最后判定在此稳定点上取的最小面积S = 33 4V2.2然而，在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的•下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法 二、条件极值的必要条件设在约束条件 (x, y) = O 之下求函数 Z= f (x, y)的极值.当满足约束条件的点(x 0,y 0)是函数f(x, y)的条件极值点,且在该点函数 (x, y)满足隐函数存在条件时,由方程「(X, y)=0决定隐函数y =g(χ),于是点x 。
条件极值简介
11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
高州师范学院
11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
高州师范学院
11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
高州师范学院
11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
高州师范学院
11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
数学分析刘玉琏18-4
x yz V 0, V 得唯一稳定点 x y 2 z 2 3 , 4 V 3 , 长、宽 由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 4 为高的 2 倍时，所用材料最省.
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
例 某商品的生产函数为 Q 6 K L ，其中Q为产品产量，K 为资本投入量，L为劳动力投入量；又知资本投入价格为4，劳动 力投入价格为3，产品销售价格为 p = 2 . 若投入总额为60个单位时, 求此时取最大利润时的投入及最大利润. 解 由题意知：成本函数为 C(K,L) = 4K+3L，
xz 2 x 2 z z y y xz 2 1 2 xz 3 Fyy xz . xz y 3 2 y y y y
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
当 x y z 3r 时,
2 Fxx 6r Fyy , Fxy 3r , Fxx Fyy Fxy 36r 2 9r 2 27r 2 0. 由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
引入辅助函数 L f ( x , y ) ( x , y )
则稳定点满足:
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格朗日 函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否为极值 点，并能得出是最大值点还是最小值点.
第十八章 隐函数定理及其应用
§4 条件极值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
极值问题
无条件极值:
条件极值:
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
(整理)184条件极值.
片 1幻灯片 2先提出此例,然后,简要板书建立数学模型的过程.幻灯片 322,,)0,,,)0 ( ,,)0n nn x x m x ==⎨⎪⎪=求目标函数这种附有约束条件的极值问.的极值12(,,,) (3)n x x x幻灯片 4从简单的条件极值问题入手,讨论条件极值点的必要条件.过程:从约束条件解出隐函数,代入目标函数,化为无条件极值.条件极值点对应无条件极值点.幻灯片 5幻灯片 6引导学生归纳总结出条件极值点的必要条件.指出这里把原条件极值问题,化为Lagrange 函数的无条件极值问题.幻灯片 7指出这里同样把原条件极值问题,化为Lagrange 函数的无条件极值问题.幻灯片 812,,,,,,)n m x λλλ2121,,)(,,,) (12)mn k k n k x x x x λϕ=+∑2,,m λ为拉格朗日乘数幻灯片 91,2,,)m 在区域00,,)n x 是上述问题的极值点11n m m n x x x Pϕϕϕ∂⎫⎪∂⎪⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎭幻灯片 10(0)(0),mλ,,使得0(0)(0)1,,,)n m x λλ,,为拉格朗日函数(12)00(0)(0)1,,,)n m x λλ,,为下述1112120,(,,,)0 ,(,,,)0 .mmx k k n nn m n f L x xx x x L x x x λϕλϕϕ=⎪⎪⎪∂∂⎪=+=⎨∂∂=⎪⎪⎪==⎩∑幻灯片 11乘数法解应用问题举. 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小P166例1解题方法Lagrange 乘数法,讨论问题的拉格朗日函数的稳定点.——可能的条件极值点片12稳定点为最值点的方法之一：根据问题的实际意义。
幻灯片13幻灯片14片 151 (2f -+所以 , 椭131,2-+-取最长为9+稳定点为最值点的方法之二：有界闭集上的连续函数，一定存在最大值与最小值。
幻灯片 16幻灯片 17幻灯片 18x z 21x -=-xx F x yz =xy F z =+xxF F幻灯片 19幻灯片 20。
计算条件极值的常用方法
计算条件极值的常用方法
1. 求导法：对给定函数求导，令导函数为0，解出极值点，然后代入原函数求解极值。
2. 二次函数法：对给定函数进行平移、旋转等变换，使其化为标准形式，再根据经验判断极值点的位置。
3. 图像法：通过画出函数图像，找出极值点的位置。
4. 辅助线法：通过添加一条线，将函数分为两个区域，然后寻找边界点，并判断边界点是否为极值点。
5. 自变量代换法：对给定函数进行自变量代换，将其化为已知函数的形式，然后用已知函数的极值点求解原函数的极值点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z 0,
x y z 1 0.
得二个稳定点：
x, y, z, ,
( 1 2 3 1 , 2 3 ,2 3,3 5 3 3,7 11 3 3 );
x, y, z, ,
( 1 2 3 1 , 2 3 ,2 3,3 5 3 3,7 11 3 3 ).
L ( x1 , x 2 , , x n , 1 , 2 , , m )
m
f ( x1 , x 2 , , x n )
k 1
k k ( x1 , x 2 , , x n )
(1 2 )
其 中 1 , 2 , , m 为 拉 格 朗 日 乘 数 ,
记
L ( x, y , z , ) 2( xz yz ) xy ( xyz V )
Lx Ly Lz L 2 z y yz 0, 2 z x xz 0, 2( x y ) xy 0, xyz V 0.
2
yz x 0, zx y
2 2
0,
xy z 0, 1 1 1 1 0, x y z r
得稳定点： x , y , z ,
从约束条件
1 x 1 y 1 z
3 r , 3 r , 3 r , (3 r )
1 r
的解.
四. 用Lagrange乘数法解应用问题举例
例 1. 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小 表面积 . P166 例 1
V
解: 设水箱的长、宽和高分别为 x 、 y 和 z ,
所论问题，即求在约束条件 x y z 之下,函数
S ( x , y , z ) 2 ( x z y z ) x y 的最小值
此问题的条件极值点应是方程组
L x f x ( x , y , z ) 1 x ( x , y , z ) 2 x ( x , y , z ) 0 , L y f y ( x , y , z ) 1 y ( x , y , z ) 2 y ( x , y , z ) 0 , L z f z ( x , y , z ) 1 z ( x , y , z ) 2 z ( x , y , z ) 0 , L ( x, y, z) 0 , 1 L ( x , y , z ) 0 . 2
的解.
于是,有两个约束条件目标函数为三元函数, 的条件极值问题
() ,
则可以化为 ( ) 的Lagrange函数
L ( x , y , z , 1 , 2 ) f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
的无条件极值. 记约束条件(2)下目标函数(3)的极值问题 的 Lagrange函数为:
. 并证明 ,
不等式 其中 a
1 1 1 3 b c a
1
3
abc
, b , c 为任意正常数。
P167 例 3
1 x 1 y 1 z 1 r )
解: 记 L ( x , y , z , )
Lx 令 Ly Lz L
xyz (
之下，求函数u 记 L ( x , y , z , 1 , 2 )
( 称 1 ,
2为
f ( x , y , z ) 的极值。
()
f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
Lagrange 乘数 )
Lagrange函数
一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短 P167 例 2
解: 设 ( x , y , z ) 是椭圆上一点，
所论问题，即求函数 f ( x , y , z ) 约束条件 x 2
y
2
x y z
2 2
2
，在
z 及 x y z 1 下的最大、最
小值问题。 记
L ( x, y, z, , )
又
D
因
为
函
2
数
2
f
在
有
界
闭
集
(x, y, z) x y
z, x y z 1
上连续，
所以 f 在有界闭集 D 上，存在最大、最小值。
f ( f ( 1 2 1 2 3 1 , 2 3 1 , 2 3 3 ,2 ,2 3) 9 5 3) 9 5
我们有:
定 理 1 8 .6 设 在 条 件 ( 2 ) 的 限 制 下 , 求 函 数 ( 3 ) 的 极 值 问 题 ,
其 中 f 与 k ( k 1, 2 , , m ) 在 区 域 D 内 有 连 续 的 一 阶 偏
导 数 , 若 D 的 内 点 P0 ( x 1 , x 2 , , x n ) 是 上 述 问 题 的 极 值 点 ,
x y z ( x y z ) ( x y z 1)
2 2 2 2 2
令
Lx L y Lz L L
2 x 2 x 0, 2 y 2 y 0, 2 z 0, x y
xyz V
之 下 求 函 数 .
S ( x , y , z ) 2 ( x z y z ) x y 的最小值
一般地,
在条件组 :
1 ( x1 , x 2 , , x n ) 0 , 2 ( x1 , x 2 , , x n ) 0 ( x , x , , x ) 0 n m 1 2
(0)
, , m ) 为 拉 格 朗 日 函 数 ( 1 2 ) 的 稳
(0) 0 (0)
定 点 , 即 ( x1 , , x n , 1
m
, , m ) 为 下 述 n m 个 方 程
(0)
f k k 0, L x1 x1 x1 k 1 m f k L k 0, xn xn xn k 1 L 1 1 ( x1 , x 2 , , x n ) 0 , L ( x , x , , x ) 0 . m 1 2 n m
则上述方程组即为方程组
Lx (x, y, ) 0 , Ly (x, y, ) 0 , L ( x , y , ) 0 .
一般地，（以三元函数、两个约束条件为例） 设在约束条件 ( x , y , z ) 0 , ( x , y , z ) 0
fx ( x, y) x ( x, y) 0 , f y ( x, y) y ( x, y) 0 , ( x , y ) 0 .
的解.
引进Lagrange函数
L ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
( 称其中的实数 为 Lagrange 乘数 )
且雅可比矩阵: 的 秩 为 m,
0
0
0
1 x1 m x1
1 xn m xn
P0
则 存 在 m 个 常 数 1 ( x1 , , x n , 1
0 0 0 (0)
(0)
, , m , 使 得
3 1 , 2 3
3 3
所以 , 椭圆上点(
( 1 2 3 1 , 2 3 ,2
1 2
,2
3)
和
3 ) 到坐标原点的距离分别
取最长为
95 3
，最短为
95
3
.
例 3.求函数 f
( x , y , z ) x y z 在条件
1 x
1 y
1 z
1 r
( x 0 , y 0 , z 0 , r 0 ) 下的极小值
令
得唯一稳定点
x y 2z
3
2V ,
4
3
，
2V
又根据问题的实际意义 , 所求开口水箱的最小 表面积确实存在 .
所以 , 当高为 小为:
3
V 4
、 长与宽为 3
2 3
2V
时, 表面积最
S m in 3 ( 2 V )
。
例 2.抛物面 x 2 距离 .
y
2
z 被平面 x y z 1 截成
.
( x, y) 的
当满足约束条件的点 ( x 0 , y 0 ) 是函数 f 存在条件时.
由方程 ( x , y )
dz dx
条件极值点 , 且在该点函数 ( x , y ) 满足隐函数
0
决定隐函数 y
x
g (x),
于是点 , 有
x 0 就是一元函数 z f
, g ( x ) 的极限点
§18.4 条件极值
一. 条件极值问题 二. 条件极值点的必要条件 三. Lagrange乘数法 四. 用Lagrange乘数法解应 用问题举例
一. 条件极值问题
例 要设计一个容积为 V 的长方体形开口水 箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小。 分别以 x 、 y 和 z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在 约 束 条 件
即得向量
即存在实数 ,
使
亦即
( f x , f y ) ( x , y ) 0
fx x 0 f y 0 y , .