含参数的一元二次方程的整数根问题
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后 代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为 整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,
数学竞赛中方程整数解的实用求法
数学竞赛中方程整数解的实用求法(本讲适合初中)近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧. 笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝yxy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解. 例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k 的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒ k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故 当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941； 解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130. 总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ①pq ＝1 999＋k 2＋ak . ②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53.不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1) x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ， 且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知： 当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0； ① 当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c . ②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0， 则0＜b ＜10. ③ 又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c. ④ 由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5； 若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解. 例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a－3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解： 因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即 －1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0.所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形 象直观的特点，可使许多问题获得巧解.例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解： 设方程两根为m 1、m 2则⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数. 由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.图1因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1.当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解，所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解： 由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练 习 题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k)(9－k)分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx2－(m－2)x＋m－3＝0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m＝0，则2x－3＝0，此时方程无整数解；当m≠0时，考察△＝－3m2＋8m＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m2＋8m＋4≥0.解得3724-≤m≤3724+.+因为m是整数，故只能取1，2，3.当m＝1时，方程有解：－2和1；当m＝2时，方程无整数解：当m＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x为何有理数时，代数式9x2＋23x－2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n，n＋2，问题转化为：当n为何值时，方程9x2＋23x－2＝n(n＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△＝232＋36(n2＋2n＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设 36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数).移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m 或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根. 判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k . 消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化.例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b )5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
方程整数根问题
方程整数根问题一、二元不定方程的整数根问题（1）因式分解法（2）主元法（3）整数分离法（4）配方法（5）奇偶分析法（1）因式分解法【例1】求方程6=++y x xy 的整数解。
【例2】求方程7111=+y x 的正整数解。
【例3】求86822=-y x 的正整数解。
（2）主元法【例1】求方程03042222=---+x xy y x 的正整数解。
【例2】求方程xy y x y x ++=+)(222的正整数解。
【例3】求方程7322=+-+y xy x y x 的所有整数解。
（3）整数分离法【例1】求7)(2+=+xy y x 的正整数解。
【例2】求方程011512242=++--y x xy x 的正整数解。
（4）配方法【例1】求方程y x x y 244412=++的整数解。
（5）奇偶分析法【例1】已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，求常数a 。
【例2】证明：方程75222=-y x 无整数解。
二、含参数的一元二次方程的整数解问题（1）可因式分解类（2）不可因式分解类（3）韦达定理法：根据韦达定理消去参数，从而得到关于两根的二元不定方程，再进行求解。
（1）可因式分解【例1】已知015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非负整数）至少有一整数根，求a 。
【例2】设关于x 的方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
（2）不可因式分解类（考虑判别式）【例1】设m 为整数，且404<<m ，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根。
【例2】已知方程0)3(22=++-k x k x 的根都是整数，求整数k 的值及方程的根。
【例3】当x 为何有理数时，代数式22392-+x x 的值恰好为两个连续正偶数的积。
(完整word版)2整数根问题及应用(2014-2015)教师
2015年中考解决方案整数根问题及应用学生姓名：上课时间：知识点基本要求略高要求 较高要求一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题板块一 一元二次方程的整数根问题☞有理数根问题方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c 均为有理数）的根为有理数的条件是：∆为有理数【例1】 已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。
【答案】∵原方程的根为有理根221314[(1)]444m k m k k ∆=-⨯⨯-+--+2231(1)44m k m k k =+++++所以∆为完全平方式，因此22131()244k k k +=++，整理得230k k += 解得0k =或13k =-【例2】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【答案】54- 【解析】∵()()22[41]4324m m m k ∆=---+()222644m m k =--+要使得方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数， 须2644m m k --+为完全平方式，中考必做题中考说明整数根问题及应用故关于m 的方程26440m m k --+=的判别式为0，即()()264440k '∆=---+=∴54k =-，∴当54k =-时，原方程的根为有理根．☞整数根问题【例3】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ． 【解析】由原方程由整数解可知，224(1)44(21)m m m ∆=+-=+必然是一个完全平方数．又1240m <<可知，252181m <+<，又21m +为奇数，故214924m m +=⇒=． 此时原方程的两个实数根为：1,22(1)50142m x +±∆±=，不妨设12x x >，则132x =，218x = 故24m =．满足∆为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．【答案】24m = 【巩固】一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程2(2)40x m x m -++=，试求m 的值及此直角三角形的三边长【答案】由题意得，2124m m ∆=-+，∴2(2)124m m m x +±-+=∴2124m m -+必为平方数，令22124m m n -+=（n 为正整数）整理得22(6)32m n --=，∴(6)(6)32m n m n -+--= ∴6m n -+与6m n --同奇同偶 因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩ 解得157m n =⎧⎨=⎩或144m n =⎧⎨=⎩当157m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为217600x x -+=，解得5x =或12x = ∴直角三角形斜边为13当122m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为214480x x -+=，解得6x =或8x = ∴直角三角形斜边为10【例4】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =-，269x k=-， 当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数．【答案】367915k =，，，， 【巩固】若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【解析】原方程变形、因式分解为2(1)(1)6(31)720k k x k x +---+=，[(1)12][(1)6]0k x k x +---=．即1121x k =+，261x k =-．由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =；由61k -为正整数得2,3,4,7k =． 所以2,3k =使得1x ，2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以，只有2k = 为所求．【答案】2k = 【例5】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【解析】本题的难点在于a 并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论∆是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程2(6)0x a x a +-+=的两个根为1x 、2x根据题意得12126x x a x x a +=-⎧⎨⋅=⎩①②，将②代入①，整理得12126x x x x +=-∴212267111x x x x -==-++∵1x 、2x 均为整数 ∴21x +的值为1±或7±当211x +=时，20x =，16x =，0a = 当211x +=-时，22x =-，18x =-，16a = 当217x +=时，26x =，10x =，0a = 当217x +=-时，28x =-，12x =-，16a = 综上所述，0a =或16a =【巩固】已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于1x ，2x 的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．【答案】0或16【例6】 已知关于x 的一元二次方程2+(3)10x x m m +++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数． 【答案】(1)证明： 23)4(1)m m ∆+-+=( =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．∵ 2(1)0m +≥， ∴ 2(1)40m ++>．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. （2） 解关于x 的一元二次方程2()310x m x m +++=+， 得 23(1)4m m x --±++=. 要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数. 设22(1)4m a ++=， 则(1)(1)4a m a m ++--=.∵ 1a m ++和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩ 解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. 将1m =-代入23(1)4m m x --±++=，得122,0x x =-=符合题意.∴ 当1m =-时 ，原方程的根是整数.板块二 一元二次方程的应用【例7】 某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？【答案】设第一年的利润为x 元，根据题意得(50000)(0.5%)2612.550000xx +⋅+=解得12250x =，252500x =-（舍） 答：第一年的利润为2250元【巩固】某商品两次价格下调后，单价从5元变成4.05元，则平均每次调价的百分率为（ ）A.9%B.10%C.11%D.12%【答案】B【例8】 两个农妇一共带100个鸡蛋上市场，两人带蛋数不同，但是卖得钱数一样，于是，第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板。
九年级上册：第03讲_含参的一元二次方程(教师版)
第03讲_含参的一元二次方程知识图谱含参的一元二次方程知识精讲二．一元二次方程的整数根如果一元二次方程2三点剖析一．考点：含参的一元二次方程．二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．判别式与解的关系例题1、已知关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，下列说法正确的是（）A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．【答案】C【解析】关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，A 、当k=0时，x-1=0，则x=1，故此选项错误；B 、当k=1时，x 2-1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当k=-1时，-x 2+2x-1=0，则（x-1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．例题2、解方程：mx 2－（2m ＋1）x ＋m ＋1＝0．【答案】当m ＝0时，x ＝1当m ≠0时，11m x m+=，x 2＝1【解析】暂无解析例题3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大数值时，解此一元二次方程．【答案】（1）a ≤6且a ≠2．（2）x 1=x 2=﹣32．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，∴()()()22024230a a a a -≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩，解得：a ≤6且a ≠2．（2）当a=6时，原方程为4x 2+12x+9=（2x+3）2=0，解得：x 1=x 2=﹣32．随练1、已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是．【答案】a ≤2【解析】∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，∴△≥0，即4﹣4（a ﹣1）≥0得，a≤2，且a ﹣1≠0，a≠1；∴a 的取值范围为a≤2且a≠1．当a=1时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a 的取值范围为a≤2．故答案为：a≤2．随练2、已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当0c >时，0a >，b a c >+从而22()b a c >+，22()0b a c -+>，224()0b ac a c --->，∴224()0b ac a c ->-≥，即0∆>，原方程必有两个不等实根；（2）当0c =时，由0,a b a c a >>+=，得0,0,0b ac >=∆>；（3）当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->．综合⑴、⑵、⑶，得关于x 的方程总有两个不等的实根随练3、解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案】当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-特殊解问题例题1、已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．【答案】（1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵m ≠0，∴220mx x m--=是关于x 的一元二次方程．∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =．∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分例题2、已知关于的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根。
初中数学 一元二次方程的公共根与整数根
内容 基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题公共根问题：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 方程的根的取值范围问题：先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．【例 1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 中考要求例题精讲一元二次方程的公共根与整数根【例 2】 ⒈ 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC ∆一定是直角三角形．(北京数学竞赛试题)⒉ 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根． ⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例 3】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．【例 4】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．(1)求证：0a b c ++=；(2)求333a b c abc++的值．【例 5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．【例 6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？【巩固】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例 7】 (2007年全国初中数学联合竞赛)⒈ 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．⒉ 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值． (2000年全国联赛试题)⒊ 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．⒋ 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．⒌ 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【例 8】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．【例 9】 ⒈已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．⒉已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【例11】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．【例12】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)⒈ 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．⒉ 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩． 试求这个直角三角形的三边长．【例13】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．【巩固】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例14】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例15】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【巩固】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例16】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例17】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例18】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例19】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例20】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例21】 ①已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．②已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．【例22】 (1999年全国联赛试题)已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c的值．【例23】 (2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)⒈ 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．(1993年全国数学联赛试题)⒉ 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤； ⑶ 求,b c 所有可能的值．⒊ 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．(北京市数学竞赛)⒋ 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．【例24】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．【例25】 ⒈ 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a xxy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值． ⒉ 求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解． ⒊ 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．【例26】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．【例27】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例28】 (2007年全国联赛试题)a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例29】 (2004年“信利杯”全国初中数学竞赛)已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．【例30】 (2002年上海市初中数学竞赛)已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．【例31】 (2000年全国联赛)设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【例32】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例33】 (2000年全国竞赛题)已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例34】 (1998年全国竞赛题) 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【例35】(1996年全国联赛)方程()(8)10---=有两个整数根，求a的值．x a x【例36】(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程222-+=-+=-+=的所有的根都是正整数．x ax b x bx c x cx a320,320,320【例37】(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程21)60-+-=有一个整数根，则n=__________．x x【例38】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a，使方程22(21)4(3)0+-+-=至少有一个整ax a x a数根．【例39】(第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程22a x a x--++=有两个不等的负整数根，则整(1)2(51)240数a的值是__________．【例40】不解方程，证明方程2199719970-+=无整数根x x【例41】(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程219990-+=有两个质数根，则常数a=________．x x a【例42】 (1996年四川竞赛题)已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．【例43】 (1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例44】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例45】 (2007年全国初中数学联合竞赛)已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例46】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例47】 (2008年全国初中数学联赛)设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。
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含参数的一元二次方程的整数根问题
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但
是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一
的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例
题来讲
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但
是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一
的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例
题来讲解一些主要的方法．
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数
的关系知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性
质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定
理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整
数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解 因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全
平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解 当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n
可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明 本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时
候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解 设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
所以 (x1＋1)(x2+1)=7，
所以a=x1x2=0或16．
说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个
对称的不定方程往往是容易入手的．
例6 求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析 首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x
的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不
能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解 当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，
则
消去r得
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
例7 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解 将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以 -4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明 从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有
一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数
来求解．
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)＋1，
所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．
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