集合间的基本关系练习题及答案
高中数学必修一人教A版1.2 集合间的基本关系-单选专项练习(含解析)(58)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,2,323M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是A ．31B ．7C ．3D ．1答案：B详解： 集合11102323M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，， 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为：{}111111111123121323123323232323，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 故选B ．2．已知集合{|523M x R x =∈--为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（ ）A ．30B ．31C ．510D ．511答案：C 解析：根据523x --为正整数可计算出集合M 中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式22n -（n 是元素个数）计算出结果.详解： 因为523x --为正整数，所以M =−12，0， 12，1，32，2，52，3，72}，所以集合M 中共有9个元素，所以M 的非空真子集个数为29-2=510，故选C.点睛：本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有n 个元素则：集合的子集个数为：2n ；真子集、非空子集个数为：21n -；非空真子集个数为：22n -.3．已知集合A{1,2,3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）. A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：D 解析：分三种情况进行讨论，根据题意找出每种情况对应的子集的个数，进而得解. 详解：{}1,2,3A ，且A 中至少有一个奇数，∴当A 中只含1不含3时，{}=1,2A ，{}1；当A 中只含3不含1时，{}=3,2A ，{}3；当A 中既含1又含3时，{}=1,3A ，故与题意相符的集合A 共有5个.故选：D.点睛：本题考查集合真子集的定义，掌握真子集的定义是解决本题的关键，属于基础题.4．已知集合A ＝x|x ＝2n ＋3，n∈N}，B ＝4，5，6，7，8，9}，则集合A∩B 的子集的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9答案：C解析：求出A∩B 后，由子集的定义可得．详解：因为合A ＝x|x ＝2n ＋3，n∈N}，B ＝4，5，6，7，8，9}，所以A∩B＝5，7，9}，所以所求子集个数为23＝8个.故选：C ．点睛：本题考查子集的概念，考查交集运算，属于基础题．含有n 个元素的集合12{,,,}n a a a 的子集个数为2n ．5．设集合{|10}M x R x =∈≤，3a =,则下列关系正确的是: （ ）A ．a M ⊆B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ⊆答案：D解析：由题意3a =10≤a 是集合M 的元素即可得出结论详解：由题意可知：3a =≤所以a M ∈，{}a M ⊆故选D点睛：本题主要考查了元素与集合的关系和集合与集合的基本关系，属于基础题．6．欧拉公式：10i e π+=因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然指数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合{},,,1,0A e i π=，则集合A 不含无理数的子集共有A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个答案：A解析：依题意，即求集合{},1,0i 的子集个数，根据含有n 个元素的集合的子集个数为2n 计算可得.详解：解：{},,,1,0A e i π=，e 、π为无理数则求集合A 不含无理数的子集个数，即求集合{},1,0i 的子集个数.因为集合{},1,0i 中含有3个元素，则其子集有328=个故选：A点睛：本题考查集合的子集个数的计算，属于基础题.7．已知集合20A x⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合A 的真子集的个数为 A ．3B ．4C ．1D ．2答案：C 解析：解方程求得集合A,即可求得其真子集个数.详解： 集合20A x⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭20=,可得2x =±而0x > ,所以2x =即{}2A =则所以集合A 的真子集为∅,有1个故选:C点睛：本题考查了分式方程的解法,真子集的个数,属于基础题.8．已知集合{}|1M x x =>，(){}2|lg 3N x y x x==-，则M N ⋃为（ ） A ．[)3,+∞B ．()1,+∞C ．()1,3D ．()0,∞+答案：D解析：化简集合N ，根据并集运算即可.详解：由230x x ->，解得03x <<(){}22|lg 3{|30}(0,3)N x y x x x x x ∴==-=->=， ()0,M N ∞∴⋃=+，故选：D点睛：本题主要考查了二次不等式，集合的并集，属于容易题.9．请问下列集合关系式：（1）0φ∈（2）{}0φ⊆（3）{}0N ⊆中，正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C解析：由空集的性质、元素与集合、集合与集合之间的关系即可判断.详解： ()1∅是不含有任何元素的一个集合,0为一个元素,故()1错误;()2由于∅是任何集合的子集.故()2正确;()3由于0N ∈ .故{}0N ⊆,()3正确;所以正确的个数为2.故选:C点睛：本题主要考查空集的定义及有关性质：空集是任何集合的子集.属于基础题,易错题.10．如果A=，那么（ ） A ．B ．C ．A φ∈D ．答案：D详解：试题分析：集合A 中包含数字0,所以结合集合间的关系可知正确考点：元素集合间的关系11．集合2560{|}A x x x =-+=，{|3,}B x x a a A ==∈，则集合B 为（ ）A ．9}B ．6}C ．{6,9}D ．6}或9}或{6,9}答案：C解析：先求出集合A ，再求出集合B ，从而得出选项.详解：因为集合2{|}{23}5,60A x x x =-+==，所以{|3,}{6,9}B x x a a A ==∈=.故选：C.点睛：本题考查集合的知识点，属于基础题.12．下列关系中，表述正确的是（ ）A ．0φ∈B ．A φ∈C ．Q π∈D ．R ⊆答案：D解析：根据元素与集合的关系用∈，集合与集合的关系用⊆，可得结论．详解：解：空集不含任意元素，故A 错误；空集是集合，故B 错误；π是无理数，故C 错误；R ⊆，正确，可得D 正确．故选：D ．13．已知全集1234{,,,}U a a a a =，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若1a A ∈，则2a A ∈；②若2a A ∈，则3a A ∈；③若3a A ∈，则4a A ∉则集合A =（ ）A ．12{,}a aB ．13{,}a aC ．23{,}a aD ．24{,}a a答案：C解析：将集合U 的恰有两个元素的子集的集合全部列出，再检验是否满足①②③即可求解. 详解：因为全集1234{,,,}U a a a a =，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，则集合A 可能为12{,}A a a =，不满足②；13{,}A a a =，不满足①；14{,}A a a =，不满足①；23{,}A a a =，满足①②③；24{,}A a a =，不满足②；34{,}A a a =，不满足③；所以23{,}A a a =，故选：C.14．集合}{1,2,3,4,5,6U =，}{1,4,5S =，}{2,3,4T =，则()U S C T ⋂的子集个数为A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：先求出U C T ，再求()U S C T ⋂中元素的个数，进而求出子集的个数．详解：由题可得{}1,5,6U C T =，所以(){}1,5U S C T ⋂=，里面有2个元素，所以子集个数为224=个 故选D点睛：本题考查集合的基本运算，子集的个数为2n 个，n 指元素个数15．在下列各组中的集合M 与N 中， 使M N 的是 A ．{}{}13,3,1M N =-=-（，）（） B ．M =∅,{}0N =C ．{}21,M y y x x R ==+∈,{}2(,)1,N x y y x x R ==+∈D ．{}21,M y y x x R ==+∈,{}2(1)1,N t t y y R ==-+∈答案：D解析：因为有序数对()13-，与()3,1-不相同，所以A 错误； 因为集合M 是空集不含有任何元素，而0N ∈，所以B 错误；因为集合M 是当21,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合，而集合N 表示的是当21,y x x R =+∈，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，所以C 错误；因为[)1,M =+∞，[)1,N =+∞，所以D 正确，详解：对于A 选项：有序数对()13-，与()3,1-不相同，所以M N ，故A 错误；对于B 选项：由M =∅得集合M 不含有任何元素，而{}0N =，0N ∈，所以M N ，故B 错误； 对于C 选项：由{}21,M y y x x R ==+∈得集合M 是当21,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合， 而{}2(,)1,N x y y x x R ==+∈，集合N 表示的是当21,y x x R =+∈，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，所以M N ，故C 错误；对于D 选项，{}{}[)21,11,M y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，{}{}[)2(1)1,11,N t t y y R t t ==-+∈=≥=+∞，所以M N ，故D 正确， 故选D.点睛：本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，理解元素的具体含义是什么，属于基础题.16．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =；其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：根据集合的定义，由m S ∈，l S ∈，得到2m S ∈，2l S ∈，即2m m ≥，21l ≤，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断.详解： ∵非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈∴m S ∈，l S ∈，则2m S ∈，2l S ∈，且2m m ≥，21l ≤即0m ≤或1m ≥，01l ≤≤且1m①当1m =时，有1l =，所以{}1s =，故正确； ②当12m =时，214m S =∈，所以114l ≤≤，故正确；③当12l =时，2m S ∈，所以212m ≤，所以02m -≤≤，故正确； ④当1l =时，可知10m -≤≤或1m =，故正确；故选：D点睛：本题主要考查集合的新定义，元素与集合的关系以及一元二次不等式的解法，还考查了逻辑推理、求解问题的能力，属于中档题.17．下列表述正确的是A ．{0}∅=B ．{0}∅⊆C ．{0}∅⊇D ．{0}∅∈ 答案：B详解：∅不含有任何元素，0}中含有一个元素0．空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，所以答案是B ．18．若集合{P x N x =∈≤，a = ）A ．a PB ．{}a P ∈C ．{}a P ⊆D ．a P ∉答案：D解析：由a N =，结合元素与集合、集合与集合的关系即可得解.详解：因为a N =，集合{P x N x =∈≤，所以a P ∉，{}a P ⊆/.故选：D.点睛：本题考查了元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.19．已知集合{}|A x y ==，集合{}|0B x x a =-≥，A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,0]-∞答案：C解析：先分别求得集合A 、B ，再根据集合间的包含关系得出参数的范围.详解：因为{}[)|1A x y ===+∞，，{}[)|0,B x x a a =-≥=+∞，又A B ⊆， 所以1a ≤，所以a 的取值范围是(,1]-∞.故选：C.点睛：本题考查集合的含义和根据集合间的包含关系求参数的范围，属于基础题.20．设集合{|12}M x x =-≤<，{|0}N x x k =-≥，若M N ⊆，则k 的取值范围是( )A ．1k ≤-B ．1k ≥-C ．2k ≤D ．2k ≥答案：A解析：详解：由题意可知：{}|N x x k =≥，结合M N ⊆可得：则k 的取值范围是1k ≤- .本题选择A 选项.。
集合间的基本关系练习题含答案
集合间的基本关系练习题（1）1. 如图，已知全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{3, 4}B.{−2, −1, 0}C.{1, 2}D.{2, 3, 4}2. 已知集合A＝{−1, 0, 1}，则含有元素0的A的子集的个数为（）A.2B.4C.6D.83. 设集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，则B=()A.{−1}B.{2}C.{−1, 2}D.{1, 2}4. 已知A={−2, 2011, x2−1}，B={0, 2011, x2+3x}，且A=B，则x的值为（）A.1或−1B.0C.−2D.−15. 定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0, +∞)中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（）A.b=sin aa ，a∈(0,π2) B.b=a3+52a2+2a+1，a∈(−2,−23)C.(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]D.|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]6. 已知集合：①{0}；②{⌀}；③{x|3m<x<m}；④{x|a+2<x<a}；⑤{x|x2+ 2x+5＝0, x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．7. 当a满足________时，集合A＝{x|3x−a<0, x∈N+}表示集合{1}．8. 已知集合M＝{1, 2, 3, ..., n}(n>1, n∈N∗)，则M的所有非空子集的元素和为________（只需写出数学表达式）=a+2}，B={(x,y)|(a2−4)x+(a−2)y=7}，若A∩9. 已知集合A={(x,y)|y−2x−1B=⌀，则实数a=________．10. 集合A={1, 2}共有________子集．11. 已知集合A={1,2,3,4}.(1)若M⊆A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M有多少个？(2)若B={x|ax−3=0}，且B⊆A，求实数a的取值集合.12. 已知集合A={x|2m−10<x<m−1}，B={x|2<x<6}.(1)若m=4，求A∩B；(2)若A⊆B，求m的取值范围．参考答案与试题解析集合间的基本关系练习题（1）一、选择题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）1.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由阴影部分可知对应的集合为B∩∁U A，即可得到结论．【解答】解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，∴B∩(∁U A)={3, 4}，故选A.2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合子集的定义找出集合A的所有子集可得答案，【解答】已知集合A＝{−1, 0, 3}，则由集合的子集定义可得A集合的所有子集为：⌀，{−1}，{1}，8}，1}，1}，4，1}，则含有元素0的A的子集为{6}，{−1，{0，{−2，0，个数为4个，3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象，利用列举法写出集合B的元素即可．【解答】解：∵集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，−1∈A，且2−(−1)=3∉A，故1∈B；1∈A，但2−1=1∈A，不满足题意；2∈A，且2−2=0∉A，故2∈B；故B={−1, 2}.故选C．4.【答案】D【考点】集合的相等【解析】直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题．【解答】解：∵A=B，即A和B中的元素完全相同，∴有{x2−1=0x2+3x=−2，解得：x=−1．故选D．5.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】只要判断所给出的函数单调即可．【解答】解：A．∵a∈(0,π2)，则a>sin a，∴b′=a cos a−sin aa2=cos a(a−sin a)a2>0，因此函数b在a∈(0,π2)上单调递增，正确；B．∵a∈(−2,−23)，b′=3a2+5a+2=(3a+2)(a+1)，∴a∈(−2, −1)时单调递增；a∈(−1, −23)时单调递减，因此不符合题意；C．∵(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]，∴b=±√1−(a−2)2，b不是a的函数，舍去；D．∵|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]，∴b=±(1−|a|)，b不是a的函数，舍去．故选：A．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）6.【答案】④⑤【考点】空集的定义、性质及运算【解析】利用单元素集、空集的定义直接求解．【解答】①{0}是单元素集；②{⌀}是单元素集；③当m<0时，{x|8m<x<m}不是空集；④{x|a+2<x<a}是空集；⑤{x|x2+7x+5＝0, x∈R}是空集．∴一定表示空集的是④⑤．7.【答案】【考点】集合的含义与表示【解析】先解不等式3x−a<0，得，根据已知条件需限制a为：1<≤2，解不等式即得a满足的条件．【解答】解3x−a<0得．根据已知条件知：x＝1，∴1<．解得3<a≤6．8.【答案】(n2+n)⋅2n−2【考点】子集与真子集【解析】由题意可知，集合中的元素出现的次数都是相等的，从而确定每个元素出现的次数，从而利用等差数列求和公式求和．【解答】若M＝{1, 2, 3, ...n}，则集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的；考查1出现的次数，可看成集合{2, 3, 4, ...n}的子集个数，故共有2n−1个1，故M的所有非空子集的元素和为2n−1(1+2+3+4+...+n)＝(n2+n)⋅2n−29.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】4【考点】子集与真子集【解析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：集合A有2个元素，故有22=4个子集．故答案为：4．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）11.【答案】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.(2)因为B ⊆A ,所以集合B 有两种可能：B =⌀,B ≠⌀.当B =⌀时，显然a =0,当B ≠⌀时，则a ≠0，得x =3a ,则有3a =1或3a =2或3a =3或3a =4, 解得a =3或a =32或a =1或a =34.综上，实数a 的取值集合是{0,34,1,32,3}.【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.12.【答案】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）当m =3时，化简A ={x 2−3x −10≤0}=[−2, 5]，B =(2, 7)；从而求交集．（2）讨论当B ≠⌀时，{m −1<2m +1m −1≥−22m +1≤5；当B =⌀时，m −1≥2m +1，从而解得．【解答】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．。
人教A版必修1同步精练：1.1.2集合间的基本关系(含答案)
1.1.2集合间的基本关系1. 集合123{,,,,}n A a a a a =L ，则A 的子集有 个，真子集有 个。
2.（1）满足条件{2,3}{1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有 个。
（2）{2,3,7}A ⊂≠，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3.（1）设集合2{|,}P y y x x R ==∈，2{(,)|,}Q x y y x x R ==∈，则P 与Q 的关系是A ．P Q ⊆B ．P Q ⊇C ．P Q =D ．以上都不对（2）已知集合},61|{Z m m x x M ∈+==，},312|{Z n n x x N ∈-==， },612|{Z p p x x P ∈+==试确定P N M ,,之间的关系．4.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+=∈，写出A 的所有子集。
5.已知集合{|13}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--=。
（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得A B =成立？6.已知集合{2,4,6,8,9}A =，{1,2,3,5,8}B =，又非空集合C 是这样的一个集合：若各元素都加上2后就变成了A 的一个子集；若各元素都减去2就变成了B 的一个子集，求集合C 。
7．（1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若A B ⊆，则实数m 的取之集合为 。
（2）已知集合}1|{},1|{2====ax x B x x A ．若A B ⊆，求实数a 的值；（3）集合{}02},1,1{2=+-=-=b ax x x B A ，若B ≠∅，且B A ⊆，求a 和b 的值．（4）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求实数m 的范围。
8.设{}042=+=x x x A ，函数{}01)1(222=-+++=a x a x x B ． （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求实数a 的值.。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系-单选专项练习(39)(人教A版,含答案及解析)
1.2 集合间的基本关系1．下列集合中表示空集的是( )A ．x∈R|x＋5＝5}B ．x∈R|x＋5>5}C ．x∈R|x 2＝0}D ．x∈R|x 2＋x ＋1＝0}2．集合{|4M x x =≤且}x N ∈，{|,,P x x ab a b M ==∈且}a b ≠，P 的真子集个数是（ ）A ．63B ．127C ．1721-D ．2021-3．已知集合{|ln(1)}A x y x ==-，{|B x y ==，则( ) A ．A B = B ．A B ⊆ C ．A B =∅ D ．A B R =4．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个6．集合{}480A x x =-=的真子集个数为A ．0B ．2C ．3D ．47．已知集合{}{}0,0M =，则下列关系中：①0M ∈；②{}0M ⊆；③{}0M ∈；④{}{}0M ⊆；表述正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．设集合{|12}M x x =-≤<，{|0}N x x k =-≥，若M N ⊆，则k 的取值范围是( )A ．1k ≤-B ．1k ≥-C ．2k ≤D ．2k ≥ 9．集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是A ．1B ．2C ．4D ．810．已知集合{}12{|},3,42A a N NB a =∈∈=-，集合C 满足B C A ⊆⊆，则所有满足条件的集合C 的个数为 A ．8 B ．16 C ．15D ．3211．满足{}{}232006x x x M x N x -+=⊆⊆∈<<的集合M 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．下列五个写法，其中正确写法的个数为（ ）①{}{}00,1,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅A ．1B ．2C ．3D ．413．集合{}=1,2,3A 的子集个数为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8 14．满足{}{}11,2,3,4X ⊆⊆的集合X 有（ ） A ．4个B ．6个C ．8个D ．16个 15．设{}|26A x x =≤≤，{}|23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 A ．[]1,3 B ．[3,)+∞ C ．[1,)+∞D ．()1,3 16．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20132014a b +（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．217．下列四个结论中，正确的是A ．{}00=B ．{}00∈C ．{}00∉D ．0φ=18．设集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =+<<+，若B A ⊆，则m 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()3,2-D ．3,219．已知集合{|13,}A x x x N =-<<∈，{|}B C C A =⊆，则集合B 中元素的个数为A ．6B ．7C ．8D ．920．已知集合{},,,A a b c =集合B 满足A B A ⋃=，那么这样的集合B 有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个参考答案1．D详解：∵A B C ，， 中分别表示的集合为{}{}{}000x x ，，， ∴不是空集；又∵210x x ++= 无解，∴2{|10}x x x ∈R ＋＋＝ 表示空集.故选D.2．B3．B4．B5．C6．C7．D8．A9．C10．B11．D12．B13．D14．C15．C16．A17．B18．B19．C20．D【参考解析】1．2．解析：利用已知条件求出集合P ，然后可得真子集个数。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系-单选专项练习(43)(人教A版,含解析)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．设集合2{|54}A x x a a a N +==-+∈，，集合2{|22}B y y a a a N +==++∈，，则下列关系正确最准确的是（ ）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A BD ．B A答案：D解析：对于集合A ，B 中的约束条件分别整理，再分析它们的关系即可得解.详解：2{|(2)1,}A x x a a N +==-+∈，2{|(1)1,}B y y a a N +==++∈，即：{}1,2,5,10,17,26,A =，{}5,10,17,26,B =，显然，集合A 中元素是自然数的平方与1的和，集合B 中元素是不小于2的正整数的平方与1的和，于是得集合B 中所有元素都在集合A 中，从而可得B A ⊆，而1A ∈，但1B ∉，因此，集合A ，B 关系正确最准确的是B A .故选：D2．下列在表示元素与集合或集合与集合之间的关系中,正确的是（ ）A ．{}{}21,2∈B ．{}1,2∅∈C ．{}31x x ∉>-D ．{}{}200x x x x <⊆>答案：D解析：利用元素与集合，集合与集合之间的关系一一判断即可.详解：A. {}2是集合，不能属于{}1,2,错误；B. ∅是集合，不能属于{}1,2,错误；C. 31,>-故属于{}1x x >-,错误；D. {}{}{2000x x x x x x <⊆>=>或}0x <，正确.点睛：本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系，是基础题.3．已知集合{}22A xx x =<+∣，{}B x x a =<∣，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞答案：C 解析：先求得集合{|12}A x x =-<<，再结合集合子集概念，即可求解.详解：由题意，集合{}22{|12}A xx x x x =<+=-<<∣，{|}B x x a =<， 因为A B ⊆，所以2a ≥，即实数a 的取值范围是[2,)+∞.故选：C.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的包含关系的应用，其中解答中熟记集合的子集的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4．若{,}A a b =，{|}B x x A =⊆，{|M x x =}A ，则（ ） A ．B A M =B ．B M A ⊆C ．B A M ⊆D ．B A M ∈答案：D解析：根据集合A ，得到集合A 的子集，从而可得集合B 和集合M,然后分析各个选项可得答案.详解：若{,}A a b =，x A ⊆，则x =∅、{}a 、{}b 或{,}a b ，{}{}{}{},,,,B a b a b =∅，{|M x x =}A {}{}{}=,,a b ∅，{}{},B C M a b =，分析各选项可知B A M ∈， 故选:D点睛：本题考查集合的子集,补集，集合与集合,元素与集合之间关系的应用，属于基础题.5．已知{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5,7}N =，P M N =⋂，则集合P 的子集个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：C解析：先由交集的概念求出集合P ，再根据含n 个元素的集合子集个数的计算公式，即可得出结果.因为{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5,7}N =，所以{}1,3P M N =⋂=，共含2个元素，因此集合P 的子集个数为224=.故选：C.点睛：本题主要考查求集合子集的个数，考查交集的运算，属于基础题型.6．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ）A ．62B ．32C ．64D ．30答案：D解析：先确定集合S 中元素的个数，再由集合的真子集的个数和元素个数间的关系求解. 详解：因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素，所以S 的非空真子集个数是52230-=个.故选：D点睛：本题主要考查集合元素的特征及集合的基本关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7．A ．B ．C ．D ． 答案：A详解：略8．已知集合M ＝(x ，y)|x ＋y<0，xy>0}和P ＝(x ，y)|x<0，y<0}，那么( )A ．P ⊆MB ．M ⊆PC ．M ＝PD ．M⃘⊇P答案：C解析：利用集合元素的关系，判断集合的关系．详解：因为xy ＞0，则x ，y 同号，又x+y ＜0，所以x ，y 同为负数，即x ＜0，y ＜0．所以M=P ．故选：C ．点睛：本题主要考查集合关系的判断，比较基础．9．有下列四个命题:①最小的自然数是0;②空集是任何集合的子集．③若a Q ∈，则a R ∈;④方程212x x +=的解集可表示为{}1,1.其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据自然数的定义判断;②根据空集和集合的包含关系来判断；③根据实数和有理数的关系判断;④根据集合的特性来判断.详解：①自然数是非负整数，正确;②空集是任何集合的子集，正确；③是有理数，当然是实数，正确;④集合中的有元素有互异性的特点，错误.故选D.点睛：本题考查集合的概念及性质，以及对空集的理解，是基础题10．已知集合A ＝x|x 2﹣3x+2＝0，x∈R}，B ＝x|0＜x ＜5，x∈N}，则满足条件A ⫋C ⫋B 的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：分别求解集合A ，B ，根据集合的基本运算即可求．详解：解：集合A ＝x|x 2﹣3x+2＝0，x∈R}＝1，2}集合B ＝x|0＜x ＜5，x∈N}＝1，2，3，4}，由A ⫋C ⫋B ，可知集合C 一定包含：1，2这两个元素，但有且仅有3或4中一个．∴集合C 的个数为2个故选：B ．11．下列表示方法中正确的有（ ）①{}0N ∈；②{}0Z ⊆；③{}1∅⊆；④Q R ⊆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合与集合的关系进行判断．详解：因为集合与集合之间是包含关系，所以{}0N ⊆．故①不正确，②③④正确．故选：C ．点睛：本题主要考查集合与集合的关系，属于基础题．12．已知集合A ＝0，1}，B ＝x|x ⊆A}，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ）A ．A ⊆BB ．A BC ．B AD ．A∈B答案：D解析：根据集合B 的元素的意义，列举出集合A 的所有子集，得到集合B ，即可判定A 与B 的关系.详解：因为x ⊆A ，所以B ＝∅，0}，1}，0，1}}，则集合A ＝0，1}是集合B 中的元素，所以A∈B，故选：D.13．已知集合{{},1,,A B m B A ==⊆，则m =（ ）A ．0或3B ．0或1C ．1D ．3答案：A解析：由题意可得3m =或m =3m =时，代入两集合检验是否满足B A ⊆，再由m =求出m 的值，代入两集合检验是否满足B A ⊆，还要注意集中元素的互异性详解：因为B A ⊆，所以3m =或m =①若3m =，则{{},1,3A B ==，满足B A ⊆； ②若m =，则0m =或1m =.当0m =时，{}{}1,3,0,1,0A B ==，满足B A ⊆；当1m =1，集合,A B 不满足元素的互异性，舍去.综上，0m =或3m =，故选：A .14．设集合{}12M x x =-≤<，{}0N x x k =-≤，若M N ，则k 的取值范围是． A ．k 2≤B ．k ≥-1C ．1k >-D ．2k ≥答案：D解析：由M N ⊆，则说明集合M 是集合N 的子集，即集合M 中任意元素都是集合N 中的元素，即2k ≥即可.详解： 解：因为{}{}0|N x x k x x k =-≤=≤， 又{}12M x x =-≤<且M N ， 则2k ≥，故选D.点睛：本题主要考查了子集的相关知识，重点是明确集合与其子集之间的关系，属基础题.15．如果{}1,2 A 5|0,x x x x N ，那么集合A 的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．8答案：C解析：用列举法表示集合5|0,x x x x N 后根据包含关系可得集合A 的个数. 详解：{}5|0,|05,{1,2,3,4}x x x x x x x -⎧⎫<∈=<<∈=⎨⎬⎩⎭N N ，∵{1,2} A 5|0,x x x x N ，∴{}1,2,3A =或{}1,2,4A =.故选C.点睛：本题考查集合的真子集及其个数的计算，注意根据包含关系确定A 中必含的元素，此类问题属于基础题.16．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =；其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：根据集合的定义，由m S ∈，l S ∈，得到2m S ∈，2l S ∈，即2m m ≥，21l ≤，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断.详解：∵非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈∴m S ∈，l S ∈，则2m S ∈，2l S ∈，且2m m ≥，21l ≤即0m ≤或1m ≥，01l ≤≤且1m①当1m =时，有1l =，所以{}1s =，故正确；②当12m =时，214m S =∈，所以114l ≤≤，故正确；③当12l =时，2m S ∈，所以212m ≤，所以0m ≤≤，故正确； ④当1l =时，可知10m -≤≤或1m =，故正确；故选：D点睛：本题主要考查集合的新定义，元素与集合的关系以及一元二次不等式的解法，还考查了逻辑推理、求解问题的能力，属于中档题.17．下列关于空集∅的叙述：①0∈∅；②{}∅∈∅；③{}0∅=；④满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆的集合A 的个数是4个；正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：利用集合与元素的关系，以及集合与集合的关系，逐一判断4个命题即可. 详解：对于①：∅不含任何元素，0∉∅，所以①不正确；对于②：{}∅是以∅作为元素的集合，所以{}∅∈∅正确，所以②正确；对于③：∅不含任何元素，而{}0的元素是0，所以两者不相等，所以③不正确； 对于④：因为{}{}1,21,2,3,4A ⊆，所以集合A 中必有1和2，可能含有3或4，所以{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4A =共3个，所以④不正确.所以正确的只有1个，故选：A点睛：本题主要考查了元素与集合、集合与集合之间的关系，考查了子集和真子集的定义，属于基础题.18．已知集合(){}22,1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 的子集个数为（ ）A ．32B ．31C ．16D ．5答案：A 解析：利用列举法表示集合A ，可得出集合A 中的元素个数，然后利用子集个数公式可得出集合A 的子集个数.详解：(){}()()()()(){}22,1,,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1A x y x y x Z y Z =+≤∈∈=--， 则集合A 中有5个元素，因此，集合A 的子集个数为5232=.故选：A.点睛：本题考查有限集子集个数的计算，解题的关键就是确定出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.19．已知集合{}2|90A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ）①3A ∈；②{}3A -∈；③A ∅⊆；④{}3,3A -⊆.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案：B解析：根据题意，分析可得集合A ＝﹣3，3}，依次分析4个式子：对于①由元素与集合的关系可得正确；②符号使用错误；③由空集的性质可得其正确；④|由于任何集合都是其本身的子集，可得其正确；综合可得答案．详解：根据题意，集合A ＝x|x 2﹣9＝0}＝﹣3，3}，依次分析4个式子：对于①3∈A、3是集合A 的元素，正确；②3}∈A、3}是集合，有3}⊆A ，错误；③∅⊆A 、空集是任何集合的子集，正确；④{}3,3A -⊆、任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确；故选：B ．点睛：本题考查集合的包含关系的判定以及元素与集合的关系，解答的关系是正确求出集合A ．20．若x ，y R ∈，集合(){},A x y y x ==，(),1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是（ ） A ．A B =B ．A B ⊆C ．A BD ．B A答案：D 解析：分别判断出集合,A B 的元素，由此确定正确选项.详解：{}(,)|A x y y x ==，由于x ∈R ，可知：A 的点(,)x y 为直线y x =上的所有点，(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，可知：0x ≠，因此：B 的点(,)x y 为直线y x =上去掉(0,0)后剩下的所有点， B A ∴．故选：D.。
集合间基本关系及运算(习题及答案)
≠ 1. 已知 A = {a + 2，(a +1)2，a 2 + 3a + 3} ，1∈ A ，则a 的所有可能取值构成的集合为（） A ．{ -1，0}B ．{ - 2，-1，0}集合间基本关系及运算（习题）C ．{0}D ．{ - 2，0}2. 已知集合M = {2，a + 2，a 2 - 4} ，N = {a + 3，a 2 + 2，a 2 - 4a + 6}，且M N = {2}，则实数 a 的值是 ．3. 已知集合 A ={2，3}，B ={x |mx -6=0}，若 B ⊆A ，则实数 m 的值是 ．4. 集合 A ={x |x 2-ax +a 2-19=0}，B ={x |x 2-5x +6=0}，C ={x |x 2+2x -8=0}，若 A ∩B ≠∅ ，A ∩C =∅ ，则实数 a 的值是 ．5. 设集合 A = {x | x -1 ≥ 2}，B ={x | x < a }，且满足 A ⊂ B ，若实 x - 2数 a 的取值范围是{a | a > c } ，则 c = ．6. 已知集合 A ={x ∈ R || x + 2 |< 3} ，集合B ={x ∈ R | (x - m )(x - 2) < 0}，且 A ∩B ={x ∈ R | -1 < x < n }， 则 m =，n = ．7. 集合M = {x | x = kπ+π，k ∈Z} ，N ={x | x =kπ+π，k ∈Z}，2 4 4 2则（）A．M=N B．M ⊇NC．M ⊆N D．M N=∅8. 集合P ={x | x = 2k ，k∈Z}，M = {x | x = 2k +1，k ∈Z}，S ={x | x = 4k +1，k ∈Z}，a∈P，b∈M，设c=a+b，则有（）A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对9. 已知集合A ={x | x =k +1，k ∈Z}，4B = {y | y =k-1，k ∈Z}，则A B．2 410. 设集合U={(x，y) | y=3x-1}，A={(x，y) | y - 2=3}，则x -1U A= ．11. 已知集合A = {x | a(x -1) +4 + 2 3= 2 3} ，若集合A 有且仅x +1有两个子集，求实数 a 的值以及 A 的两个子集．12. 已知集合A={x||x-a|=4}，集合B={1，2，b}．（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b 都有A ⊆B？若存在，求出相应的a 值；若不存在，请说明理由．（2）若A ⊆B 成立，求出相应的实数对(a，b)．13. 已知集合A = {(x ，y) | x2 -y 2 -y = 4} ，B = {(x ，y) | x 2 -xy - 2 y 2 = 0} ，C ={(x ，y) | x - 2 y = 0}，D ={(x ，y) | x +y = 0}．（1）判断B，C，D 之间的关系；（2）求A B ．14. 若A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={y|y=4k±1，k∈Z}，求证：A=B．15. 已知集合P = {x | x =m 2 -n 2 ，m∈Z ，n∈Z} ，A ={x | x = 4k - 2 ，k ∈Z}，求证：A P =∅．， ， 【参考答案】1. C2. -1 或 23. 0，2，34. -25. 36. -1，17. C8. B9. ⊂≠10. {(1，2)}11. a =0 时，子集为{2 3}，∅ ； 3a =1 时，子集为{ 3}，∅ ； 3 a =3 时，子集为{ } ，∅ ； 312. （1）不存在；（2）(-3，-7)，(-2，-6)，(5，9)，(6，10)13. （1）B=C ∪D（2）{(-2，-1)，(4，- 4) (8 4)} 3 314. 略15. 略。
1.1.2集合间的基本关系附答案教师版
1.1.2集合间的基本关系一、单选题1．集合A={x∈N|-1＜x＜4}的真子集个数为（）A．8B．15C．16D．17【答案】B【解析】【解答】由题意，集合={∈U−1<<4}={0,1,2,3}，所以集合的真子集的个数为24−1=15个.故答案为：B.【分析】求得集合={0,1,2,3}，根据集合真子集个数的计算方法，即可求解. 2．设，∈，集合={1,+s V，={0,,V，若=，则−=（）A．2B．−1C．1D．−2【答案】A【解析】【解答】由已知，≠0，故+=0，则=−1，所以=−1,=1.故答案为：A【分析】由已知集合相等=列式，得到=−1,=1，即可求出b-a的值.3．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9【答案】C【解析】【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．4．若集合={∈b−1<<2}，则A的真子集个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【解答】因为集合={∈b−1<<2}，所有集合={0,1}，所以A的真子集个数为：22−2=3。
故答案为：C【分析】利用集合A的定义求出集合A，再利用真子集的定义，从而求出集合A的真子集的个数。
5．下列各组两个集合A和B表示同一集合的是（）A．={V,={3.141 59}B．={2,3},={(2,3)}C．={1,3,V,={s1,|−3|}D．={U−1<≤1,∈V,={1}【答案】C【解析】【解答】A选项中集合A中的元素为无理数，而B中的元素为有理数，故≠HB选项中集合A中的元素为实数，而B中的元素为有序数对，故≠HD选项中集合A中的元素为0,1，而B中的元素为1，故≠.故答案为:C.【分析】两个集合相等,必须是两个集合的元素完全相同才行,观察各选项中两个集合的元素是不是完全相同得到正确选项.6．已知集合={∈∗|0≤<2}，则集合的子集的个数为（）A．2B．3C．4D．8【答案】A【解析】【解答】={∈∗|0≤<2}={1}，则集合的子集的个数为2.故选：A.【分析】根据已知条件，求出={1}，再根据子集的含义得出答案.7．已知集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，可知集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P．【分析】根据P和Q中的元素，判断两集合的关系即可.8．下列各组中的两个集合和表示同一集合的是（）A．={V,={3.1415926}B．={0,1},={(0,1)}C．={∈U2=1},={0,1}D．={∈∗|−1<≤1},={1}【答案】D【解析】【解答】A选项，集合中元素为无理数，中元素为有理数，故≠；B选项，集合中元素为实数，中元素为有序数对，故≠；C选项，集合中元素为-1，1，中元素为0，1，故≠.故答案为:D.【分析】两个集合是同一集合必须所有元素完全相同才行.9．已知集合A＝{x∈Z|x2＋x－2＜0}，则集合A的一个真子集为()A．{x|－2＜x＜0}B．{x|0＜x＜2}C．{0}D．{Ø}【答案】C【解析】【解答】解不等式得－2＜x＜1因为x∈Z所以x=-1，0所以集合A的真子集为，{−1}，{0}，{−1，0}故答案为：C【分析】计算出集合A，结合子集的写法，即可得出答案。
集合间的基本关系(经典练习及答案详解)
集合间的基本关系1．(2020年福建高一期中)现有四个判断：2⊆{1,2}；∅∈{0}；{ 5 }⊆Q ；∅{0}．其中正确的个数是( )A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】B 【解析】元素与集合之间不能用包含关系，故2⊆{1,2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈”，故∅∈{0}错误；因为 5 ∉Q ，所以{5}⊆Q 错误；空集是任何非空集合的真子集，故∅{0}正确．故选B ．2．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅【答案】B 【解析】因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，a ＋2≥5.所以3≤a ≤4. 3．(2021年北京期末)下列正确表示集合M ＝{x |x 2－x ＝0}和N ＝{－1,0,1}关系的Venn 图是( )A BC D 【答案】D 【解析】由x 2－x ＝0，解得x ＝0或1，所以M N .故选D ．4．(2020年铜仁高一期中)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ，则集合B 的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】根据题意，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ＝{－1,0,1,4}，有4个元素，其子集有24＝16个．故选D ．5．(2021年昆明期中)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,2,4}；②{0,2,4}⊆{4,2,0}；③∅⊆{0,2,4}；④∅＝{0}；⑤{0,2}＝{(0,2)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,2,4}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,2}是含有两个元素0与2的集合，而{(0,2)}是以有序数组(0,2)为元素的单元素集合，所以{0,2}与{(0,2)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③正确．6．用符号“∈”或“⊆”填空：若A＝{2,4,6}，则4______A，{2,6}______A．【答案】∈⊆【解析】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A,6∈A，所以{2,6}⊆A．故答案为∈，⊆.7．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．【答案】6【解析】集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．【答案】m≥3【解析】将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.B级——能力提升练10．(多选)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则()A．A为小说B．B为文学作品C ．C 为散文D ．D 为叙事散文【答案】AB 【解析】由Venn 图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．11．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ＝BC ．A BD ．A B【答案】D 【解析】对于x ＝3k (k ∈Z )，当k ＝2m (m ∈Z )时，x ＝6m (m ∈Z )；当k ＝2m －1(m ∈Z )时，x ＝6m －3(m ∈Z )．由此可知A B ．12．(2020年太原高一期中)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，若A ⊆B ，则a －b ＝( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．0【答案】C 【解析】因为集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，且A ⊆B ，易知a ≠0且b ≠0.当 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝－b 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝2；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－b 2，b ＝a 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝－2.综上所求，a －b ＝2或－2.故选C ．13．(2020年宁波高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |y ＝12x ＋3∈Z ，则列举法表示集合A ＝________，集合A 的真子集有________个．【答案】{0,1,3,9} 15 【解析】因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ y ＝12x ＋3∈Z ，所以列举法表示集合A ＝{0,1,3,9}，集合A 的真子集有24－1＝15个．故答案为{0,1,3,9},15.14．(2020年安康高一期中)定义集合运算：A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊗B 的真子集的个数为________．【答案】7 【解析】因为A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，所以集合A ⊗B ＝{2,3,4}，所以集合A ⊗B 的真子集的个数为23－1＝7.15．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知a >2.故a 的取值范围为{a |a >2}．(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．C 级——探究创新练16．已知集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0}，Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4，是否存在集合M 使得PM ⊆Q ？若存在，求出所有符合题意的集合M ，若不存在，请说明理由；(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求出b 的值或取值范围，若不能，请说明理由． 解：(1)因为集合Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{x |(x ＋1)(x ＋4)(x －1)＝0}＝{－1,1，－4}， 当b ＝4时，集合P ＝∅，再由 P M ⊆Q 可得，M 是Q 的非空子集，共有 23－1＝7 个，分别为{－1}，{1}，{－4}，{－1,1}，{－1,4}，{1,4}，{－1，1，－4}．(2)因为P ⊆Q ，对于方程x 2－3x ＋b ＝0，当P ＝∅，Δ＝9－4b ＜0时，有b ＞94. 当P ≠∅，Δ＝9－4b ≥0时，方程x 2－3x ＋b ＝0有实数根，且实数根是－1,1，－4中的数， 若－1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－4，此时P ＝{－1,4}，不满足P ⊆Q ，故舍去；若1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝2，此时P ＝{1,2}，不满足P ⊆Q ，故舍去； 若－4是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－28，此时P ＝{－4,7}，不满足P ⊆Q ，故舍去．综上可得，实数b 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ⎪⎪b ＞94.。
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【解析】 ∵B⊆A，∴m2＝2m－1，即(m－1)2＝0∴m＝1，当 m＝1 时，A＝{－1,3,1}， B＝{3,1}满足 B⊆A.
，由图可知，B A.故选 C. 【答案】 C 4．下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 Ø A，则 A≠Ø. 其中正确的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解析】 ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自 身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选 B. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5．已知 Ø {x|x2－x＋a＝0}，则实数 a 的取值范围是________． 【解析】 ∵Ø {x|x2－x＋a＝0}， ∴方程 x2－x＋a＝0 有实根， ∴Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤14. 【答案】 a≤14 6．已知集合 A＝{－1,3,2m－1}，集合 B＝{3，m2}，若 B⊆A，则实数 m＝________.
【答案】 1 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 7．设集合 A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若 A＝B，求实数 x，y. 【解析】 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异 性．因为 A＝B，则 x＝0 或 y＝0. (1)当 x＝0 时，x2＝0，则 B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当 y＝0 时，x＝x2，解得 x＝0 或 x＝1.由(1)知 x＝0 应舍去． 综上知：x＝1，y＝0. 8．若集合 M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且 N⊆M，求实数 a 的 值． 【解析】 由 x2＋x－6＝0，得 x＝2 或 x＝－3. 因此，M＝{2，－3}． 若 a＝2，则 N＝{2}，此时 N M； 若 a＝－3，则 N＝{2，－3}，此时 N＝M； 若 a≠2 且 a≠－3，则 N＝{2，a}， 此时 N 不是 M 的子集， 故所求实数 a 的值为 2 或－3.
1
n1
p
9．(10 分)已知集合 M＝{x|x＝mபைடு நூலகம்6，m∈Z}，N＝{x|x＝2－3，n∈Z}，P＝{x|x＝2
＋16，p∈Z}，请探求集合 M、N、P 之间的关系．
【解析】 M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}
＝{x|x＝6m6＋1，m∈Z}．
n1 N＝{x|x＝2－3，n∈Z}
＝x|x＝3n6－2，n∈Z P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}
________． 【解析】 若 A＝Ø，则满足 A⊆B，A⊆C；若 A≠Ø，由 A⊆B，A⊆C 知 A 是由属于 B
且属于 C 的元素构成，此时集合 A 可能为{a}，{b}，{a，b}． 【答案】 4 4．已知集合 A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若 A⊆B，求实数 a 的取值集合． 【解析】
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①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}； ④{0,1,2}＝{2,0,1} A．1 B．2 C．3 ￥资%源~网 D．4 【解析】 ①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确； ④正确．两个集合的元素完全一样．故选 A. 【答案】 A 3．已知集合 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则( ) A．A>B B．A B C．B A D．A⊆B 【解析】 如图所示，
将数集 A 表示在数轴上(如图所示)，要满足 A⊆B，表示数 a 的点必须在表示 4 的点 处或在表示 4 的点的右边，所以所求 a 的集合为{a|a≥4}．
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1．集合 A＝{x|0≤x<3 且 x∈Z}的真子集的个数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】 由题意知 A＝{0,1,2}，其真子集的个数为 23－1＝7 个，故选 C. 【答案】 C 2．在下列各式中错误的个数是( )
【答案】 D
2．下列各式中，正确的是( )
A．2 3∈{x|x≤3} B．2 3∉{x|x≤3}
C．2 3⊆{x|x≤3} D．{2 3} {x|x≤3}
【解析】 2 3表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但 2 3不在集合中，故 2 3
∉{x|x≤3}，A、C 不正确，又集合{2 3}⃘{x|x≤3}，故 D 不正确． 【答案】 B 3．集合 B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合 A 满足 A⊆B，A⊆C.则集合 A 的个数是
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1．集合{a，b}的子集有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】 集合{a，b}的子集有 Ø，{a}，{b}，{a，b}共 4 个，故选 D.
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＝{x|x＝3p6＋1，p∈Z}． ∵3n－2＝3(n－1)＋1，n∈Z. ∴3n－2,3p＋1 都是 3 的整数倍加 1， 从而 N＝P. 而 6m＋1＝3×2m＋1 是 3 的偶数倍加 1， ∴M N＝P.