第三章(多元线性回归模型)教案资料
第三章 多元线性回归模型
即
Y Xb U
X 称为数据矩阵或设计矩阵。
6
二、古典假定
假定1：零均值假定 E(ui ) 0 (i 1,2,...,n)
1 E ( 1 ) E ( ) 2 2 E (μ) E 0 n E ( n )
写成矩阵形式：
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 2 Yn 1 X 2 n X 31 X k 1 b 1 u1 X 32 X k 2 b 2 u 2 X 3 n X kn b k un
或
ei 1 X 21 X e 1 X 22 2i i X ki ei 1 X 2 n X 31 X k 1 e1 X 32 X k 2 e2 X e 0 X 3 n X kn en
9
当总体观测值难于得到时，回归系数向 量 b 是未知的，这时可以由样本观测值进行 估计，可表示为
ˆ ˆ Xb Y
但实际观测值与计算值有偏差，记为：
ˆ e Y Y
于是
ˆ e Y Xb
称为多元样本回归函数。
10
ˆ b 1 ˆ b2 ˆ b ˆ b k
同理
ˆ x x b ˆ x 2 x3 i yi b 2 2i 3i 3 3i
x2 i yi x x3 i yi x2 i x3 i ˆ b2 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
2 3i
x3 i yi x x2 i yi x2 i x3 i ˆ b3 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件
于是：
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
01.0737.71072
⃟ 正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组 XY XXβˆ
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或
ei 0
(**)
X jiei 0
i
(*) 或（ ** ）是多元线性回归模型正规方程 组的另一种写法。
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式
§ 3. 1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型 中的解释变量有多个。
的秩 =k+1 ，即 X 满秩。
假设 2. 随机误差项零均值，同方差。
0
0
0
E
(μ
μ
)
E
1
n
1
n
E
12
n 1
1 n
2 n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
0
2
i E(i )
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟ 随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏 估计量为：
ˆ 2
ei2 n k 1
ee n k 1
第三章 多元线性回归模型 知识点
第三章 多元线性回归模型一、知识点列表二、关键词1、多元线性回归模型的代数和矩阵表示形式 关键词： 多元线性总体回归模型多元线性总体回归模型是指被解释变量y 与多个解释变量12,,,n x x x 之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数。
可以表达为：01122(1,2,3,,)i i i k ki iy x x x i n ββββμ=++++=多元线性回归模型相对于一元线性回归模型来说，其解释变量较多，因而计算公式比较复杂。
必要时需要借助计算机来进行。
2、多元线性回归模型的基本假设 关键词： 线性于参数总体回归模型是关于参数是线性的，因此称其为线性于参数。
关键词：完全共线性在样本中，没有一个自变量是常数，自变量之间也不存在严格（完全）的线性关系。
如果方程中有一个自变量是其他自变量的线性组合，那么我们说这个模型遇到了完全共线性问题。
关键词：零条件数学期望给定解释变量的任何值，误差的期望值为零，即：12(|,,,)0n E u x x x =。
关键词：内生解释变量和外生解释变量如果解释变量满足零条件数学期望，则称该自编为内生解释变量；反之，则为外生解释变量。
关键词：同方差对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差，即：22()(),(1,2,3,,)i i Var u E u i n δ===关键词：无序列相关性随机误差项两两不相关。
即(,)(,)0,(,,1,2,3,,)i i i i Cov u u E u u i j i j n ==≠=关键词：最优线性无偏估计量满足以下假设条件的OLS 估计量称为最优线性无偏估计量：（1）线性与参数；（2）X 固定；（3）X 有变异；（4）不存在完全共线性；（5）零条件数学期望；（6）同方差；（7）无序列相关性。
关键词：经典正态线性回归模型如果回归模型的OLS 估计量为最优线性无偏估计量，并且随机误差项u 服从均值为零，方差为2δ的正态分布，则称该线性回归模型为经典正态线性回归模型。
《计量经济学》(庞浩第一版)第三章多元线性回归模型eviews上机操作
第三章多元线性回归模型案例分析一、研究目的1提出问题：研究中国税收收入增长的主要原因(必须要有研究的意义，且具创新价值)2分析问题：从宏观经济看经济增长是税收增长的源泉；公共财政的需求；物价水平；税收政策（要注重经济理论的相关性和逻辑性）二、模型设定1被解释变量：为了全面反映中国税收增长的全貌，选择包括中央和地方的的“国家财政收入”中的各项税收作为被解释变量2解释变量：选择“国内生产总值GDP”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表，选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表，而由于财政体制的改革难以量化，且1985年后财税体制改革对税收增长影响不是很大，故暂不考虑。
3设定线性模型为：Y t= β1+β2X2t+β3 X3t+β4 X4t +u t注：X1默认为14经济理论构造成功之后，即着手收集数据资料（这要借助统计学的知识进行整理，并不是什么数据都可以直接拿来用。
首先，数据来源的权威性，即必须保证数据的准确可靠性，不能随意捏造，其次，数据的合理分类，最后是数据的合理运用）附：数据三、估计参数利用eviews3.0进行分析1建立工作文件新建工作文档：file-new-workfile，在打开的workfile range 对话框中的workfile frequency 中选择annual，start date 输入1978，end date输入2002，点击ok。
2输入数据直接在命令窗口输入“data Y X2 X3 X4 、、、”本案例中输入data Y X2 X3 X4然后是将excel中的数据复制过来，并点击name命名GROUP01。
3估计参数直接在命令窗口输入“LS Y C X2 X3 X4 、、、”。
LS是做最小二乘估计的命令，Y为被解释变量，C为截距项，X为解释变量，注意LS Y C X之间要有空格，被解释变量紧接在命令LS之后。
本案例中输入LS Y C X2 X3 X4 本题中得到下表，点击name 命名eq01。
第3章 多元线性回归模型10301(计量经济学)PPT课件
第四节 多元线性回归模型检验
一、常用的检验方法
1. R（复相关系数）检验法
TSS (Yi Y)2 (Y (i Y ˆi)(Y ˆi Y))2 (Yi Y ˆi)22(Yi Y ˆi)Y (ˆi Y)(Y ˆi Y)2
5
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 . .k . X k 1 u 1 Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 . .k . X k 2 u 2 . . . . . . . Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n . .k . X k n u n
一、多元线性回归模型的定义
设所研究的对象（因变量Y）受多个因素X1,X2,…,Xk和随机 干扰项u的影响，假设各因素与Y的关系是线性的，这样就 可把一元线性回归模型自然推广到多元的情形。
Y i X 1 i1 2 X 2 i 3 X 3 i . .k . X k i u i (i1,,n)
ei
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数
中随机扰动项i的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ XBˆ
或
Y XBˆ E
其中：
ˆ 1
ˆ
Bˆ
2
e1
E
e2
ˆ
en
k
8
二、多元线性回归模型的基本假设条件
⑴Y与X之间的关系是线性的； ⑵所有观测值的随机干扰向量期望值为0：E（u）＝0 ⑶所有观测值的随机干扰项具有同方差：D (u)= E (uuT)=σu2I u ； ⑷不同观测值的随机干扰项之间相互独立： Cov(ui, uj) ＝0 (i≠j)； ⑸随机干扰项ui与解释变量xk不相关：Cov(ui, xj) = 0 (j=1,2,.....k)； ⑹ X不是随机变量，为确定矩阵，且在两个或多个自变量之间没有
第三章-多元线性回归模型(Stata)
一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验）1.突变点检验1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表6.1。
表6.1 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据年份 t y （万辆）tx （元）年份 t y （万辆）tx （元）1985 28.49 739.1 1994 205.42 3496.2 1986 34.71 899.6 1995 249.96 4283 1987 42.29 1002.2 1996 289.67 4838.9 1988 60.42 1181.4 1997 358.36 5160.3 1989 73.12 1375.7 1998 423.65 5425.1 1990 81.62 1510.2 1999 533.88 5854 1991 96.04 1700.6 2000 625.33 6280 1992 118.2 2026.6 2001 770.78 6859.6 1993155.77 2577.4 2002968.98 7702.8下图是关于t y 和t x 的散点图：从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破4838.9元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。
现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。
H0：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H1：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。
在1985—2002年样本范围内做回归。
在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)：1、Chow 模型稳定性检验（lrtest）用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型* 估计后阶段模型* 整个区间上的估计结果保存为All* 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束得到结果如下;(如何解释？)2.稳定性检验（邹氏稳定性检验）以表6.1为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。
第三章(1) 多元线性回归模型课件
分离差的大小
解释的那部分离差的大小。也
称剩余平方和。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-3 多元线性回归模型的统计检验 一、 拟合优度检验 检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解 基础上确定的可决系数R2 (调整的可决系数 ) 度量。 1、总离差平方和的分解
总离差平方和TSS 回归平方和ESS
3、随机误差项在不同 样本点之间是独立的，
Cov( i,
不存在序列相关
因为 i与 j相互独立，有：
j)=0 i≠j
无自相关假定表明：产生 误差(干扰)的因素是完 全随机的，此次干扰与彼 次干扰互不相关，互相独 立。由此应变量Yi的序列 值之间也互不相关。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-1 多元线性回归模型及其基本假定
3、有效性(最小方差性)：
指在所有线性、无偏估计量中， OLS参数估计量的 方差最小。
4、 服从正态分布，即：
其中，
， G2是随机误差项的方差，
Cjj是矩阵(X’X)-1 中第j行第j列位置上的元素。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-2 多元线性回归模型的参数估计
一、 参数的最小二乘估计
二、 OLS估计量的统计性质及其分布
三、随机误差项方差Q2的估 计
参数估计的另一项任务是： 求随机误差项 i 的分布参数
称作回归标准差 (standard error of regression)， 常作为对所估计回归线的拟
合优度的简单度量。
i~N(0, Q2)
随机误差项 i 的 方差的估计量为：
可以
证明：
说明 是QS 的无偏估计量。
t-Statistic 6.411848 22.00035 4.187969
多元线性回归模型(系数检验和预测)教学提纲
3.1 模型的建立及其假定条件 1 基本的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑 线性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Y β 0 β 1 X 1 β 2 X 2 . .β k .X k ut=1,2,…,n
n
X1t
...
XKt
X1t X1t 2
...
XKtX1t
...
XKt
β
0
...
...
...
X1t XKt
...
XKt2
β 1 .. β K
(X' X)
β
1
=
X11
...
X
K1
1 ... X12 ... ... ... XK2 ...
X'
1 Y1
X1n
其矩阵表达形式为:E(U)=0
(2)随机误差项有相同的方差
Var(ui)E(ui2)2
(3)随机误差项彼此之间不相关
C ov(ui,uj)E(uiuj)0
i≠j
将条件(2)和(3)结合起来,其相应的矩阵表达形式为
V a r ( U ) E [ U E ( U ) ] [ U E ( U ) ] E ( U U ) (4)解释变量与 随2 I 机n 误差项彼此不相关
要使残差平方和
Q e t 2 Y t ˆ 0 β ˆ 1 X 1 t . . β ˆ K X .K 2t
为最小，则应有：
Q ˆ00 , Q ˆ10 , ..., Q ˆK0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
β0n β1 X1t ......βK XKt Yt
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e1i 2e2i vi 则
ˆ2 e1ie2i e2 2i
可以证明，这样估计的 ˆ 2 与估计的 ˆ 2 是一致的，而 与 ˆ 2 是不一致的。
(证明见古加拉蒂《计量经济学》第四版附录7A.2)
6 6
证明过程(参考)
由
ˆ2 e 1 ie2 i
e 2 2 i
(yi a ˆ1 3x3 i)(x2 i b ˆ2 3 x3 i) (x2 i b ˆ2 3x3 i)2
将 aˆ 1 3 、bˆ 2 3 代入得
ˆ2
[yi (
yix3i x32i)x3i][x2i ( x2ix3i [x2i ( x2ix3i x32i)x3i]2
x32i)x3i]
(
y ( ix 2 i)x (2 2 i)(x 3 2 i)x 3 2 i( ) (y ix 3 x i2 )i(x 3 i)2 x 2 ix 3 i)ˆ2
或表示为 Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X k i u i
(i1,2,Ln) 9
直观理解（供参考）
10
多元样本回归函数
Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数
Y ˆi ˆ1ˆ2X2iˆ3X3iLˆkXki
或回归剩余（残差）： e i Y i Yˆ i
Y iˆ1ˆ2X2iˆ3X3iLˆkXkiei
☻多元线性回归模型及古典假定
☻多元线性回归参数的估计 ☻多元线性回归模型的检验 ☻多元线性回归预测
3
（一） 多元线性回归模型及古典假定
1、多元线性回归模型的意义
一般形式：对于有K-1个解释变量的线性回归模型
Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X k i u i
(i 1,2,L n)
用矩阵表示
Image Y1 1 X21 Xk11 u1
Y2 1 X22
Xk22
u2
Yn
1 X2n
Xknk
un
Y
X
βu
n1
)= Xβ 或 Y = Xβ+u
样本回归函数 Yˆ = X βˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ, u,e 都是有n个元素的列向量
由后面将讲的OLS估计量可知，这就是多元回
归中 2 的估计式 ˆ 2
7
多元线性回归中的“线性”
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则可 以是线性的，也可以是非线性的
例如：生产函数
YALKu
取对数 lY n lA n lL n lK n lu n
这也是多元线性回归模型，只是这时变量为lnY、 lnL、lnK
β , βˆ 是有k 个 元素的列向量
（ k = 解释变量个数 + 1 ）
X 是第一列为1的n×k阶解释变量数据矩阵 ，
(截距项可视为解释变量总是取值为1)
13
3、多元线性回归中的基本假定
假定1：零均值假定
E(ui) 0 （ i=1，2，---n） 或 E（u）=0 假定2和假定3：同方差和无自相关假定：
注意：模型中的
（j=2,3,---k）是偏回归系数
j
样本容量为n
偏回归系数：
控制其它解释量不变的条件下，第j个解释变量的
单位变动对被解释变量平均值的影响，即对Y平均值
“直接”或“净”的影响。
4
对偏回归系数的理解
例如 Y i12 X 2 i3 X 3 i u i 对比 Yi12X2iu1i
并且 X 3ib2b3X 22iu2i
所得到的数量结论是否可靠？
中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的产业
政策？
很明显，只用一个解释变量很难分析汽车产业的实际发展,简
单线性回归模型不能解决多因素问题的分析，还需要去寻求有
更多个解释变量情况的回归分析方法。
2
多元线性回归模型
本章讨论:
将简单线性回归的的研究方式推广到多元的情况
2、作回归 X 2ib2b23X 3iu2i，则 b ˆ23 x2ix3i x3 2i
e 2 i X 2 i b ˆ 2 b ˆ 2 3 X 3 i x 2 i b ˆ 2 3 x 3 i， e 2 i 表示除去 X 3 i 影响后的 X 2 i
将 e 1 i 对 e 2 i 回归（因 e 1 i 和 e 2 i 的均值为0，为过原点的回归)，
8
多元总体回归函数
条件期望表现形式：
将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数，如:
E ( Y iX 2 i,X 3 i, X k ) i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X ki
(i 1,2,L n) 注意：这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线
个别值表现形式：
引入随机扰动项 uiY iE (Y i X 2i,X 3iLX ki)
其中 i 1,2,L n
11
2、多元线性回归模型的矩阵表示
多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值，可
表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 k X k 2 u 2
N o Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n k X k n u n
可证明
223b32
x2i(ui u) x22i
（误差项）
E(2)23b32
(证明见古加拉蒂《计量经济学》第三版附录7A.5)
结论: 只要 b32 0 ， 2 与 2 是有区别的。 2 不仅包括 X 2 i 对Y平均值的“直接”影响，还包括由于 X 3 i 的变动
对Y平均值的“间接”影响。
5
从残差理解偏回归系数
例如 Y i12 X 2 i3 X 3 i u i 对比 Yi 12X2iui 1、作回归 Yi a1a13X3iu1i ，则 ˆ13 yix3i x3 2 i
Y e 1 i Y i a ˆ 1 a ˆ 1 3 X 3 i y i a ˆ 1 3 x 3 i ，e 1 i 表示除去 X 3 i 影响后的 i
第三章(多元线性回归模型)
1
怎样分析多种因素的影响呢？
分析中国汽车行业未来的趋势，应当具体分析这样一些问题：
中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测）
影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？