牵连运动问题中的速度分解
浅析理论力学中牵连运动的牵连速度
3.牵连运动是平面运动。如图5所示，已知a，且AC=l。杆AB速度，杆CD速度，求在图示位置时求导槽AE杆的角速度。动点是滑块C，动系固结在AE导槽上，此时牵连运动为滑块C随着AE导槽作平面运动。当牵连运动为平动时，牵连速度可以用刚体平面运动求解速度的方法来求其上牵连点的速度，此题用的是基点法，以A为基点，求其上C的速度，即= +；所以绝对速度为= + = + +，作速度矢量图，如图5所示。由于矢量式中参数多于3个，只能用投影法，投至ξ轴，
二、三种不同牵连运动的牵连速度
1.牵连运动是平动。例如：如图1，已知：OA=l，此时φ=45°时，求：固定在T形杆上小车的速度。首先分析运动的合成，选择动点为OA杆上A点，并且把动系固结在滑杆上。显然此时的绝对运动是OA杆上A点绕O的定轴转动，相对运动是OA杆上A点沿着T形杆的上下直线运动，而牵连运动是OA杆上A点随着T形杆的水平平动。由此画出了速度矢量图，也就是说当牵连运动是平动时，牵连速度就是平动刚体平动的速度。由速度矢量图很容易得到T形杆上小车的速度就是牵连速度，即
v cosα=-v sinα+v，v =vcosα+usinα，可以求得
ω = =。
三、总结
本文通过举例分析，说明了三种不同牵连运动的牵连速度的求解，明确了牵连速度的内在含义，有助于帮助学生更好地理解点的合成运动的分解，解决了点的合成运动的难点。
参考文献：
尝试使用分解法解决绳牵连模型中加速度问题
尝试使用分解法解决绳牵连模型中加速度问题尝试使用分解法解决绳牵连模型中加速度问题引言：绳牵连模型是物理力学中常见的问题，它通过一根绳子将两个物体连接起来，其中一个物体受到外力作用，我们需要求解另一个物体的运动情况。
在这个模型中，加速度的计算是一个重要的问题。
本文将介绍如何使用分解法来解决绳牵连模型中的加速度问题，通过分解问题，我们能够更好地理解并解决这类问题。
第一部分：绳牵连模型的基本原理及问题描述在绳牵连模型中，我们通常有两个物体，一个作为主体，受到外力作用，另一个受到牵引力的作用。
我们需要求解受牵引物体的运动情况。
具体问题描述如下：一个质量为m1的物体通过一根不可伸长、质量可忽略不计的绳子与另一个质量为m2的物体相连接。
我们知道主体物体受到外力F的作用，求解受牵引物体的加速度a2。
第二部分：分解法的基本原理分解法是解决绳牵连模型中解决加速度问题的常用方法之一。
其基本思想是将绳子的拉力和牵引力分解为两个方向上的力，然后应用牛顿第二定律进行计算。
在这个过程中，我们需要按照一定的规则进行力的分解，然后根据物体之间的约束关系，建立方程并求解。
第三部分：应用分解法求解加速度问题的步骤1. 初步分析：仔细读题，理解问题中给出的所有信息，注意所给物体的质量、牵引力和外力的方向。
2. 绘制力的示意图：根据题目描述，绘制力的示意图，标注所给的各个力的方向和大小。
3. 力的分解：根据问题的要求，将绳子的拉力和牵引力进行分解，得到垂直方向和水平方向上的力。
4. 建立坐标系：根据问题的具体情况，建立合适的坐标系，确定正方向。
5. 求解：根据分解后的力和牛顿第二定律，建立方程并求解受牵引物体的加速度a2。
第四部分：具体示例分析假设主体物体受到的外力F向右，绳子与水平方向的夹角为θ。
将牵引力T和绳子的拉力T0分解为垂直方向和水平方向上的力T1和T2。
根据牛顿第二定律可得以下方程：在x轴上：m1a1 = T2 - F + T0cosθ在y轴上：T1 - T0sinθ - m1g = 0结合以上两个方程，我们可以求解出受牵引物体的加速度a2。
浅析理论力学中牵连运动的牵连速度
浅析理论力学中牵连运动的牵连速度收稿日期：2018-01-01作者简介：刘小妹（1976-），女，安徽泾县人，讲师，主要研究方向：机械强度和断裂力学。
一、牵连运动的含义在点的合成运动中，把一个动点的绝对运动看作是动点相对于动系的相对运动和随着动系的牵连运动合成的[1]。
因此绝对运动和相对运动的研究对象是动点，相对来说比较简单，只要知道了点的运动轨迹，就可以按照点的运动学的基本知识，求解点的速度和加速度。
然而，牵连运动是随着动系的运动。
动系是固结在刚体上的，所以牵连运动的研究对象是刚体，刚体上有很多的点，所以牵连速度以及牵连加速度的求解，需要引入一个牵连点的概念，使问题变得稍微复杂了一些。
牵连点在动系的刚体上，随着刚体一起运动。
并且刚体运动的形式不同，其上各点的速度和加速度的求解也是不同的。
当刚体作平动时，牵连点随着一起作平动，这是最简单的一种情况，由于平动刚体上各点的速度相等，此时的牵连速度就是刚体的平动的速度。
当刚体作定轴转动，牵连点随着作定轴，此的牵连速度方向应垂直于定轴转动的回转半径，大小等于定轴转动的角速度与回转半径的乘积。
然而当刚体作平面运动时，问题相对就比较复杂。
因此本文根据刚体不同的三种运动形式，通过举例分析，说明了牵连速度的求解，明确了牵连速度的内在含义，有助于帮助学生更好地理解点的合成运动的分解。
二、三种不同牵连运动的牵连速度1.牵连运动是平动。
例如：如图1，已知：OA ＝l ，此时φ=45°时，求：固定在T 形杆上小车的速度。
首先分析运动的合成，选择动点为OA 杆上A 点，并且把动系固结在滑杆上。
显然此时的绝对运动是OA 杆上A 点绕O 的定轴转动，相对运动是OA 杆上A 点沿着T 形杆的上下直线运动，而牵连运动是OA 杆上A 点随着T 形杆的水平平动。
由此画出了速度矢量图，也就是说当牵连运动是平动时，牵连速度就是平动刚体平动的速度。
由速度矢量图很容易得到T 形杆上小车的速度就是牵连速度，即v e =v a cos φ=l ωcos45°=2√2l ω（→）。
几种速度牵连问题及其解题方法
几种速度牵连问题及其解题方法摘要力学问题中存在一些速度牵连的情况,在高中力学学习中,无论是运用能量守恒定理、动量守恒定理解题时,对牵连速度的分析是解题的关键。
仔细观察各物体的运动的实际情况,正确分析各运动物体牵连速度的关系,对于正确而高效地求解十分重要。
关键词力学;速度;运动在高中力学学习中,无论是运用能量守恒定理、动量守恒定理解题时,对牵连速度的分析是解题的关键。
仔细观察各物体的运动的实际情况,正确分析各运动物体牵连速度的关系,对于正确而高效地求解十分重要。
例如,下面是一些典型的情况及其分析思路。
1)物体通过绳索连接,通过杆连接。
在高中阶段物理学习中,分析时不考虑绳索的弹性伸长,杆也是不考虑其伸长和压缩的,即它们的长度都认为是不变化的。
这种情况下,被拉紧的绳索连接的物体,在绳索方向上的分速度是相等的;被杆连接着的物体,在杆的方向上的分速度是相等的。
2)相互接触并且相对运动的物体,当不考虑相互接触的摩擦和变形时,两接触且相对运动物体的速度沿垂直接触面的方向的分速度相等。
下面举几个典型实例说明分析和解题方法。
例1两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿一个小球,小球a、b间用细直棒相连如图1所示。
当细直棒与竖直杆夹角为α时,求两小球实际速度之比Va、Vb。
图1解:据题设条件,a球只能沿竖直杆运动,设其速度为Va;b球只能沿水平杆运动,设其速度为Vb。
a球、b球沿细直棒方向的分速度相同,设为V0,则有:由此得:例2如图2所示,B是质量为2m、半径为R 的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上,A是质量为m的细长直杆,被套在光滑套管D约束在竖直方向,A可自由上下运动,物块C的质量为m,紧靠半球形碗放置。
初始时,A杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(见图2),然后从静止开始释放A,A、B、C便开始运动。
求:1)长直杆下降过程中,长直杆A与半球形碗B速度的大小(表示成θ的函数);2)长直杆的下端运动到碗的最低点时,长直杆竖直方向上的速度和B、C 水平方向的速度;3)运动过程中,长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗底部的高度。
牵连运动问题中的速度分解
牵连运动问题中的速度分解牵连运动问题中的速度分解，有时往往成为解某些综合题的关键。
处理这类问题时，应从实际情况出发。
可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。
〖例１〗如图１－１所示，在水面上方高２０ｍ处，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以３ｍ／ｓ的速度将绳子收短，开始时绳与水面夹角３０°角，试求：⑴刚开始时小船的速度；⑵５秒末小船速度的大小。
解：⑴设船在Δｔ内由Ａ移到Ｂ，位移为ΔＳ２，如图１－２（ａ），取ＯＣ＝ＯＢ，则绳子缩短ΔＳ１，绳子端点横向摆动ΔＳ３，合位移ΔＳ２可以分解为ΔＳ１和ΔＳ３两个分位移．当Δｔ→０，ΔＳ２→０，∠ＡＣＢ→ ９０°，此时ΔＳ１＝ΔＳ２ｃｏｓ３０°，ΔＳ１／Δｔ＝ΔＳ２／Δｔ·ｃｏｓ３０°，即Ｖ１＝Ｖ２ｃｏｓ３０°。
则此题求解时，亦可直接由速度分解的方法进行。
船实际的速度Ｖ２是合速度，水平向左，认为绳不可伸长，分速度Ｖ１为沿绳方向的速度，即等于将绳子收短的速度３ｍ／ｓ，分速度Ｖ３为绕Ｏ点以ＯＡ为半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳的方向，画出速度分解的矢量图如图１－２（ｂ）所示，从而求出⑵开始时从定滑轮到船，绳子的长度ｌ＝ｈ／ｓｉｎ３０°＝２０／０．５＝４０（ｍ），５秒内绳子缩短了３×５＝１５（ｍ），５秒末绳长ｌ′变为４０－１５＝２５（ｍ），此时ｓｉｎα′＝２０／２５＝０．８，α′＝５３°。
∴Ｖ′＝Ｖ１／ｃｏｎ５３°＝３／０．６＝５（ｍ／ｓ）如何判断三角形解的个数“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题通常利用正弦定理来讨论。
本文给出用余弦定理的变形来讨论的一般方法。
在△ABC中，已知a、b和A，由余弦定理可变形得：这是一个关于c的一元二次方程。
牵连速度问题的多种解法
而有 ４ Ｌ＝Ａ ｃ ｓ ， 边 同除 以 Ａｔ ｘ ｏＯ两 得 ： 一 ｃ 嘲 即 收 绳 速 率 Ｖ 一 ｃ ， 此 Ｏ ０ 因
船的速率为 ｖ 一 ｖ Ａ ０ －
．
的时机 ， 将这些精彩 的方法提供 给学生 可以获得 丰富 的
收 获 ： 生 可 以有 更 开 阔 的解 题 思 路 ， 师 可 以获 得 更 学 老 好的学 生评价 等等． 不过教师 在掌握 了某 个 问题 的多种
总结 ： 由于 教 材将 动 力 学 中的 能 量 问题 放 在 了运 动
合成和分解知识之后 ， 所以在 最初 涉及 牵连物体 速度分 解 问题 时学生并不能使 用该方 法， 不过 在 学习能量知识 后 ， 师 可 重 新 安 排 练 习该 问题 ， 引 导 学 生使 用该 方 教 并
法 解 题 ， 样 既 可 以 复 习 旧 知 识 ， 时 叉 可 以 练 习使 用 这 同
解 法 四 （ 导法 ） 求 ：
总结 ： 牵连 速 度 问题 是 指 物拉 绳 （ ） 绳 （ ） 物 杆 或 杆 拉 问题 ， 人 教 版 高 中物 理 实验 教 材 必 修 二 中 关 于速 度 矢 是
量 的合 成和 分 解 的典 型应 用 问题 ． 究 此 类 问题 的 目的 研
如 图 ３ 示 ， 勾 股 定 理 所 由
出 牵连 物 体 间速 度 大 小 的 关 系．
解法时 ， 如何寻 找恰 当的时机 ， 引导学 生独 立寻得 各种 不同的解题思路 和方法 呢？下面笔者谈谈具体的做法．
【 例题 】 如 图 １所 示 ， 人 用 绳 子 通 过 定 滑 轮 以 不
由于在人教版必修一 中 已经练 习使用过该方 法 ， 因
度 变 化 ｑ ／， ， Ａ Ｃ 可 近 似 看 作 是 一 直 角 三 角 形 ， ｔ Ｊｔ △ Ｂ ｌ ＇？ Ｉ ， 因
“关联速度”模型-关联速度的三种模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
牵连运动为转动时_加速度合成定理
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目录
• 牵连运动为转动时的基本概念 • 加速度合成定理的表述 • 牵连运动为转动时的加速度分析 • 加速度合成定理的应用 • 结论与展望
01
牵连运动为转动时的基本概念
定义与特性
定义
牵连运动为转动时是指物体在空 间中经历的相对于参考系转动的 运动。
加强国际间的学术交流与合作，共同推动加速度合成定理的研
究和应用发展。
THANKS
感谢观看
加速度合成定理被广泛应用于解决各种实际问题 ，如航天器轨道计算、导弹制导、车辆控制等。
推动科技发展
加速度合成定理的发展推动了相关领域的技术进 步和科技创新。
未来研究的方向与挑战
理论研究
进一步深入研究加速度合成定理 的物理意义和数学表达，探索其 在不同领域的应用。
应用研究
结合具体应用场景，研究加速度 合成定理在实际问题中的应用方 法和技巧。
加速度合成定理的适用范围
• 加速度合成定理适用于刚体牵连运动为转动时的运 动学问题。它可以帮助我们解决一些涉及刚体牵连 运动加速度计算的工程问题，如机械振动、飞行器 姿态调整等。
03
牵连运动为转动时的加速度分析
转动时的角加速度分析
总结词
转动时的角加速度是由瞬时转矩和转动半径共同决定的，是描述转动物体在单位 时间内转过的角度的变化快慢的物理量。
跨学科研究
将加速度合成定理与其他学科领 域相结合，开展跨学科的研究和 应用，推动多学科交叉发展。
应用前景与发展趋势
ห้องสมุดไป่ตู้
广泛应用
01
加速度合成定理的应用领域非常广泛，未来随着科技的发展，
其应用前景将更加广阔。
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牵连运动问题中的速度分解
中山市华侨中学胡永跃
牵连运动问题中的速度分解，有时往往成为解某些综合题的关键。
处理这类问题时，应从实际情况出发。
可设想物小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示连物体间速度大小的关系。
〗如图１－１所示，在水面上方高２０ｍ处，人用绳定滑轮将水中的小船系住，并以３ｍ／ｓ的速度将绳，开始时绳与水面夹角３０°角，试求：⑴刚开始的速度；⑵ ５秒末小船速度的大小。
设船在Δｔ内由Ａ移到Ｂ，位移为ΔＳ
２
，如图
（ａ），取ＯＣ＝ＯＢ，则绳子缩短ΔＳ
１
，绳子端
摆动ΔＳ
３
，合位移ΔＳ
２可以分解为ΔＳ
１
和ΔＳ
分位移．
当Δｔ→０，ΔＳ
２
→０，∠ＡＣＢ→ ９
此时ΔＳ
１＝ΔＳ
２
ｃｏｓ３
ΔＳ
１／Δｔ＝ΔＳ
２
／Δｔ·ｃｏｓ３０°，
即Ｖ
１＝Ｖ
２
ｃｏｓ３０°。
解时，亦可直接由速度分解的方法进行。
船实际的速度Ｖ
２是合速度，水平向左，认为绳不可伸长，分速度Ｖ
１
为沿绳
即等于将绳子收短的速度３ｍ／ｓ，分速度Ｖ
３
为绕Ｏ点以ＯＡ为半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳
度分解的矢量图如图１－２（ｂ）所示，从而求出
时从定滑轮到船，绳子的长度
／ｓｉｎ３０°＝２０／０．５＝４０（ｍ），
绳子缩短了３×５＝１５（ｍ），
绳 长ｌ′变为４０－１５＝２５（ｍ），
ｉｎα′＝２０／２５＝０．８， α′＝５３°。
＝Ｖ１／ｃｏｎ５３°＝３／０．６＝５（ｍ／ｓ）
〗如图１－３，一车通过一根跨过定滑轮的绳子ＰＱ提升井中质量为ｍ的物体，绳的Ｐ端拴在车后挂钩上，Ｑ端拴在质量、滑轮摩擦均不计。
开始时车在Ａ点，左右两侧绳子都已绷紧并且竖直，左侧绳长Ｈ，提升物体时，车加速向左方向从Ａ经过Ｂ驰向Ｃ。
设Ａ到Ｂ的距离也是Ｈ，车过Ｂ点时速度为Ｖ，求在车由Ａ移到Ｂ的过程中，绳Ｑ端拉力对
如图１－４（ａ），车由Ａ到Ｂ，Ｑ端重物上升的高度为，此时车的速度可按图１－４（ｂ）
，Ｖ为车的速度，即合速度，水平向左；Ｖ２为沿绳方向绳子被拉过来的速度，即为重物上升的速度；绕滑轮Ｏ向外偏的圆周运动的速度，垂直绳的方向，
即Ｖ１⊥Ｖ２，
，
能定律可得：
例３〗在光滑的水平面上，放一质量为Ｍ，高度为ａ的木块，支承一长Ｌ的轻质杆，杆的一端固定着质量为ｍ的小球点绞链着，如图１－５所示。
杆开始时静止，并与水平面夹角α
０
，现用水平外力推木块向左运动，杆的角速度为ω方向夹角为α（α＜９０度）时，求此过程中外力所做的功。
块参与二个运动，如图１－６所示，Ｖ
１指跟着杆作圆周运动的速度，Ｖ
２
指沿着杆的方向滑动的速度，
，Ｖ为合运动的速度，即木块的速度，
，水平向左。
４〗如图１－７所示，两定滑轮间距离为２ｄ，质量相等的小球Ａ和Ｂ通过绕过定滑轮的绳子带动小球Ｃ上升，在某球的两绳夹角为２α，绳子张力为Ｔ，Ａ、Ｂ两球下落的速度为Ｖ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。
时Ｃ球上升的速度是多少？
球质量与Ａ、Ｂ球相同均为ｍ，α＝３０°时，三球从静止开始运动，
＝４５°时Ｃ球的速度是多少？
如图１－８（ａ），球Ｃ的速度ＶＣ为合速度，竖直向上；沿绳方向的分运动速度即为Ａ球下落的速度Ｖ；垂直于偏的圆周运动的速度为Ｖ２ 。
／ＣＯＳα，应注意到：研究Ｃ球的速度与一边绳的关系时与另一边绳无关，Ｂ球的作用是保证Ｃ球竖直向上运动球中心加一竖直杆，以保证Ｃ球竖直向上运动的作用。
如图１－８（ｂ）所示。
Ｂ、Ｃ三球系统机械能守恒，－ΔＥＰ＝ΔＥＫ
题
一个半径为Ｒ的半圆形轨道边缘上，固定着一个定滑轮，一根轻绳两端分别系着ｍ２的物体，且ｍ１＞ｍ２，绳子跨在定滑轮上，放手后，ｍ１将从半圆形轨道边缘道滑下，如图１－９所示，求当ｍ１经过半圆形轨道最低点时的速度。
图１－１０，ＡＢ为光滑的水平直杆，另一细杆ＯＰ可绕ＡＢ上方距ＡＢ高为ｈ的Ｏ轴
都穿过环Ｑ，若使ＯＰ杆绕Ｏ以角速度ω转动，则当ＯＰ与竖直方向所成角度
０°时，环Ｑ的运动速度为多大？。