1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
三角函数的诱导公式讲义
三角函数的诱导公式讲义1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是闭区间[-1, 1]。
对于任意角度x（弧度制），我们可以通过三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)来得到正弦函数的周期性。
其他常用的三角恒等式还有sin(x) = sin(π - x)和sin(x) = -sin(-x)等。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，其定义域和值域与正弦函数相同。
对于任意角度x，我们可以通过三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)来得到余弦函数的周期性。
其他常用的三角恒等式还有cos(x) = -cos(π - x)和cos(x) = cos(-x)等。
3. 正切函数（tan）：正切函数也是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是全体实数。
有时候我们还会使用余切函数（cot）的值，它是正切函数的倒数。
常用的三角恒等式有tan(x) = tan(x + π)和cot(x) = 1/tan(x)等。
在掌握了这些基本的三角函数性质后，我们可以开始讲解三角函数的诱导公式了。
1.正弦函数的诱导公式：根据三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)，我们可以得到：sin(x + π) = sin(x)cos(π) + cos(x)sin(π)= -sin(x)因此，我们可以得到正弦函数的诱导公式：sin(x + π) = -sin(x)。
2.余弦函数的诱导公式：根据三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)，我们可以得到：cos(x + π) = cos(x)cos(π) - sin(x)sin(π)= -cos(x)因此，我们可以得到余弦函数的诱导公式：cos(x + π) = -cos(x)。
3.正切函数的诱导公式：根据三角恒等式tan(x) = tan(x + π)，我们可以得到：tan(x + π) = (tan(x) + tan(π))/(1 - tan(x)tan(π))= (tan(x) + 0)/(1 - tan(x)*0)= tan(x)因此，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(x + π) = tan(x)。
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。
下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。
1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。
接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。
设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。
诱导公式详解
诱导公式详解
诱导公式是一种用于简化复杂数学问题的工具，通常用于求解三角函数、指数函数和对数函数等问题。
它的核心思想是将一个较为复杂的函数转化为一个简单的函数，从而使得问题的求解更加容易。
下面将详细介绍诱导公式的相关内容。
一、三角函数的诱导公式
1. 正弦函数和余弦函数的诱导公式
正弦函数和余弦函数的诱导公式可以表示为：
sin(x ±y) = sin(x)cos(y) ±cos(x)sin(y)
cos(x ±y) = cos(x)cos(y) ∓sin(x)sin(y)
其中，符号“±”和“∓”分别表示加减和减加。
2. 正切函数的诱导公式
正切函数的诱导公式可以表示为：
tan(x ±y) = (tan(x) ±tan(y))/(1 ∓tan(x)tan(y)) 其中，符号“±”和“∓”分别表示加减和减加。
二、指数函数和对数函数的诱导公式
1. 指数函数的诱导公式
指数函数的诱导公式可以表示为：
a^x+y = a^x * a^y
其中，a表示底数，x和y表示指数。
2. 对数函数的诱导公式
对数函数的诱导公式可以表示为：
loga(xy) = loga(x) + loga(y)
其中，a表示底数，x和y表示对数的真数。
以上就是三角函数、指数函数和对数函数的诱导公式的详细介绍。
通过掌握诱导公式，我们可以更加轻松地求解复杂的数学问题，提高数学解题的效率和准确性。
高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式浅议诱导公式的推广素材北师大版必修4
浅议诱导公式的推广对于绝对值大于2π的角的三角函数求值，能否直接套一个公式得出结果？要想解决这个问题，下面首先对诱导公式进行扩展,供同学们参考。
一、kπ±α(k∈Z）的诱导公式⒈象限的参数式集合设α∈（0,2)，由图1易知，第一象限的角的集合为：｛β｜β=2kπ+α,k∈Z}={β|β=偶π+α}第二象限的角的集合为：｛β｜β=(2k+1)π-α，k∈Z｝={β|β=奇π—α}第三象限的角的集合为：{β|β=（2k+1)π+α，k∈Z}={β|β=奇π+α｝第四象限的角的集合为：{β|β=2kπ—α,k∈Z}=｛β｜β=偶π-α｝⒉诱导公式的扩展sin(偶π+α)=sinα, cos（偶π+α)=cosα， tan(偶π+α）=tanα,sin(奇π—α)=sinα, cos(奇π-α)=—cosα, tan(奇π—α）=—tanα, sin(奇π+α）=—sinα，cos （奇π+α)=-cosα， tan （奇π+α)=tanα, sin （偶π-α)=-sinα，cos(偶π-α）=cosα， tan （偶π—α)=-tanα。
说明：①这一组公式可由诱导公式一二四轻松得出，其中正切诱导公式可由正、余弦公式用商数关系得出。
②将α当．x y O 偶π+α 偶π-α 奇π+α 奇π-α 偶π 奇π锐角看,则由公式左边角的象限确定公式右边的符号,这就叫“符号看象限”.二、±半π±α的诱导公式⒈所在象限设α∈（0,2π）,由图2,则 2π-α是第一象限的角； 2π+α是第二象限的角； -2π—α（或23π—α）是第三象限的角； -2π+α（或23π+α)是第四象限的角。
⒉诱导公式的扩展 sin(2π—α)=cosα， cos （2π-α）=sinα,tan（2π-α）=cotα, sin （2π+α)=cosα, cos(2π+α)=-sinα， tan(2π+α)=-cotα, sin(-2π-α)=—cosα,cos(-2π-α）=-sinα， tan(-2π-α)=cotα, sin （-2π+α）=—cosα,cos(—2π+α)=sinα， tan(-2π+α)=-cotα。
三角函数的诱导公式与和角公式
三角函数的诱导公式与和角公式三角函数是数学中重要的概念，它们在几何图形、物理问题、电路分析等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的诱导公式与和角公式，旨在帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、诱导公式三角函数的诱导公式是指通过某一三角函数与其他三角函数之间的关系，将一个三角函数表示成另一个三角函数的公式。
1. 正弦函数的诱导公式：正弦函数的诱导公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式表明，对于两个角A和B的和或差，其正弦值可以通过已知角的正弦值和余弦值来计算。
2. 余弦函数的诱导公式：余弦函数的诱导公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式表明，对于两个角A和B的和或差，其余弦值可以通过已知角的余弦值和正弦值来计算。
3. 正切函数的诱导公式：正切函数的诱导公式为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB)这个公式表明，对于两个角A和B的和或差，其正切值可以通过已知角的正切值来计算。
二、和角公式和角公式是指利用两个角的和（或差）来表示一个角的三角函数值的公式。
1. 正弦函数的和角公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB这个公式表明，一个角的正弦值可以通过已知的两个角的正弦值和余弦值来计算。
2. 余弦函数的和角公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB这个公式表明，一个角的余弦值可以通过已知的两个角的余弦值和正弦值来计算。
3. 正切函数的和角公式：tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 - tanAtanB)tan(A - B) = (tanA - tanB)/(1 + tanAtanB)这个公式表明，一个角的正切值可以通过已知的两个角的正切值来计算。
三角函数的诱导公式与恒等变换
三角函数的诱导公式与恒等变换三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在学习三角函数时，了解三角函数的诱导公式和恒等变换可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
本文将介绍三角函数的诱导公式和恒等变换，并探讨其在解题中的应用。
一、诱导公式1. 正弦函数的诱导公式我们知道，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将正弦函数表示为cosine的形式，即sinθ = √(1 - cos²θ)。
进一步地，我们可以应用勾股定理将正弦函数表示为另外两个三角函数的形式。
勾股定理指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
假设直角边a是对边，直角边b是邻边，斜边c是hypotenuse。
则a/hypotenuse = sinθ，b/hypotenuse = cosθ。
根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式sinθ = cos(90° - θ)。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将余弦函数表示为sine 的形式，即cosθ = √(1 - sin²θ)。
同样地，根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式cosθ =sin(90° - θ)。
3. 正切函数的诱导公式正切函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。
利用正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到正切函数的诱导公式tanθ = sinθ/cosθ。
三角函数的诱导公式与和差化积
三角函数的诱导公式与和差化积三角函数是研究三角形的一个重要分支，它在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
三角函数的诱导公式和和差化积是三角函数的重要性质和运算规律，对于简化计算、推导和证明三角函数的一些性质具有重要作用。
一、诱导公式诱导公式是指通过已知的一些三角函数的值来推导出其他三角函数的值的公式。
常见的诱导公式有正弦函数和余弦函数的诱导公式、正切函数和余切函数的诱导公式、正割函数和余割函数的诱导公式等。
1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθsin(π/2 - θ) = cosθ这两个公式表明，角度为θ和角度为π/2-θ的三角函数值之间存在特殊的关系。
可以通过角度的互补性来推导出来，即角度为θ的三角函数值与角度为π/2-θ的三角函数值互为正弦函数和余弦函数。
2.正切函数和余切函数的诱导公式：tan(π/2 - θ) = 1/tanθcot(θ) = 1/tan(π/2 - θ)这两个公式表明，角度为θ和角度为π/2-θ的正切函数和余切函数的值之间存在特殊的关系。
可以通过角度的互补性和正弦函数、余弦函数的关系推导出来。
3.正割函数和余割函数的诱导公式：sec(π/2 - θ) = cscθcsc(θ) = sec(π/2 - θ)这两个公式表明，角度为θ和角度为π/2-θ的正割函数和余割函数的值之间存在特殊的关系。
可以通过角度的互补性和正弦函数、余弦函数的关系推导出来。
诱导公式的作用在于，通过已知的一些三角函数的值可以快速推导出其他三角函数的值，方便计算和推导。
同时，诱导公式也可以用于证明一些三角函数的性质和恒等式。
二、和差化积和差化积是指将两个三角函数的和或差转换为一个三角函数的乘积的运算规律。
和差化积的运用范围广泛，可以简化计算、推导和证明三角函数的一些性质。
1.两角和差化积：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanA tanB)这些公式表明，将两个角的正弦函数、余弦函数、正切函数进行加法或减法时，可以通过这个公式将其转化成单个角的正弦函数、余弦函数、正切函数的积的形式。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式是数学中关于三角函数之间的一组等式，通过这组等式可以在不依赖计算器或表格的情况下直接计算出一些角度的三角函数值，从而简化计算。
诱导公式的基本思想是通过将一个角度的三角函数转化为另一个角度的三角函数来求解。
一、正弦和余弦的诱导公式：根据正弦函数和余弦函数的定义，对于任意角度θ，有：sin θ = y/rcos θ = x/r其中，x，y，r代表直角三角形中的边长。
利用勾股定理可以得到x²+y²=r²。
现在考虑角度θ+90°，即sin(θ+90°)和cos(θ+90°)的值。
根据正弦函数和余弦函数的定义，有：sin(θ+90°) = y’/rcos(θ+90°) = x’/r其中，x’，y’，r由右边角相等可知。
然后考虑直角三角形中的边长关系：y’=xx’=-y(由右边角相等，即90°+(-θ))代入sin(θ+90°)和cos(θ+90°)，得到：sin(θ+90°) = x/r，即sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -y/r，即cos(θ+90°) = -si nθ得到正弦的诱导公式：sin(θ+90°) = cosθ；得到余弦的诱导公式：cos(θ+90°) = -sinθ。
利用这两个诱导公式，我们可以在计算中互相转化正弦和余弦的值。
二、正切和余切的诱导公式：正切和余切的定义是：tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θ。
根据正弦和余弦的诱导公式，我们可以得到：sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -sinθ。
将这两个式子带入正切和余切的定义，有：tan(θ+90°) = sin(θ+90°) / cos(θ+90°) = cosθ / (-sinθ) = -cotθcot(θ+90°) = cos(θ+90°) / sin(θ+90°) = (-sinθ) /cosθ = -tanθ。
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3.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
π π α 的正弦函数、余弦函数关系： 4.角 与 2 α 、 2
π sin( α 2 π cos( α 2 π s i n ( α 2 π c o s ( α 2
O M x
பைடு நூலகம்
2.利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y (2) x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x
y P(x,y)
y (3) 叫做α正切,记作tanα, y x 即 tan x 0 x k k Z 2
M0 P 0 4, MP y, OM0 3, OM x
y M0 M O
x
P(x,y)
P0(-3,-4)
y sin 4 tan x cos 3
OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
y
M0
M
O
x
P(x,y)
π 17 π 变式训练:若函数 f(x)是以2为周期的偶函数，且 f3＝1，求 f－ 6 π的 值．
17π 17π π π π 解析：∵f(x)以 为周期，∴f－ 6 ＝f－ 6 ＋5×2＝f－3. 2 π π 又 f(x)是偶函数，∴f－3＝f3， 17π π ∴f－ 6 ＝f3＝1.
例:已知函数 f(x)在定义域 R 上恒有 ①f(x)＝f(－x)，②f(2＋x)＝f(2－x)，当 x∈[0,4)时，f(x)＝－x2＋4x. (1)求 f(8)； (2)求 f(x)在[0,2 010]内零点的个数．
解析：(1)由已知： f(8)＝f(2＋6)＝f(2－6)＝f(－4)＝f(4)． ＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0. (2)∵f(x)在定义域 R 上恒有：f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x)＝f(4－x)对 x∈R 恒成立． 又 f(x)＝f(－x)对 x∈R 恒成立， 故有：f(－x)＝f(4－x)对 x∈R 恒成立． 即：4 是 f(x)的一个周期． ∵x∈[0,4)时，f(x)＝0 的根为 x＝0， ∴f(x)＝0 在 R 上的根为：x＝4k，k∈Z. 由 0≤4k≤2 010(k∈Z) 得：0≤k≤502.5(k∈Z)． ∴f(x)在[0,2 010]内的零点共有 503 个.
α
O M x
MP b OM a MP b sin , cos , tan OP r OP r OM a
将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上 MP sin b, OP y 以原点 O 为 OM P(a,b) y cos a, 圆 心 , 以 单 1 OP α P(a,b) x 位长度为 MP b M A(1,0) 半径的圆 tan α OM a 称为单位 圆
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴 重合,那么它的终边在第一象限.α的终边上任意一点P 的坐标为(a,b),它与原点的距离是_______________ r a 2 b2 0
a ，线段 过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为___
b MP的长度为___
y P(a,b)
α
x
A(1,0)
1. 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解: OP0 3 4 5 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点 P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
2 2
y MP sin y 1 OP M 0 P0 4 ; OP0 5
P0(-3,-4)
4.2 单位圆与周期性
复习引入
1.任意角的三角函数的定义？
1.诱导公式公式(一) sin(α＋k·2π)＝sinα，k∈Z； cos(α＋k·2π)＝cosα，k∈Z. 由此我们可以得到如下结论： 终边相同的角的同一三角函数的值相等．
诱导公式一的几点说明: (1) 诱导公式一可以统一写成 f(k· 360° ＋ α) ＝ f(α) 或 f(k·2π ＋ α) ＝ f(α)(k∈Z)的形式，其中对应法则 f 为三角函数． (2)当用弧度表示时，必须写成 k·2π 而不是 k·π 的形式，其中 k∈ Z. (3) 诱导公式一说明了终边相同的角的同一三角函数值相等这个 结论，即角和三角函数值的对应关系是多对一，如果给定一个角，它 的三角函数值是唯一确定的，反过来，如果给定一个三角函数值，却 有无数多个角与之对应． (4)诱导公式一的作用在于：可把任意角的三角函数值转化为 0～ 2π(或 0° ～360° )之间角的三角函数值.
4.3单位圆与诱导公式
复习引入
1.任意角的三角函数的定义？ 2.诱导公式(一) ？
1.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
2.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
) cos α , ) sin α .
) c o s α , ) s i n α .
y 1
-1 0 -1
P(x,y) 1 x
5.角 与
3π α 2
、
3π α 2
的正弦函数、余弦函数关系：
诱导公式记忆口诀：
奇变偶不变、符号看象限
注意： 看成锐角，原函数值的符号
π k α 2
1.4 正弦函数和余弦函数
的定义与诱导公式
4.1任意角的正弦函数与余弦函数的定义
复习引入
1.我们学习过的三角函数的定义？ 2.
弧度
度
0
0
5 12
12
6
4
3
60
5 3
15
30
3 4
45
弧度 度
2
90
3 2
270
75
135
300
1.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
2.周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对于定义域内的任意一个 x 值，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就称为周期函数，T 称为这个函 数的周期． (2)最小正周期 2π 是正弦函数、 余弦函数正周期中最小的一个， 称为最小正周期．
关于周期函数和最小正周期的理解: (1)周期函数的定义是针对定义域中每一个 x 值而言的，只有个别 的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)不能说明 T 是 f(x)的周期． (2) 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如果没有特 别指明，一般都指它的最小正周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期． (4)周期函数的周期不唯一， 若 T 是 f(x)的周期， 则 kT(k∈Z， k≠0) 一定也是 f(x)的周期．