中学数学建模思想及方法应用

摘要数学建模作为一种解决问题的思想方法，是实际问题与抽象的数学知识间的一个转化过程，在教学与实际生活中都具有非常重要的地位. 本文针对数学模型的概念进行了准确的诠释，就如何在中学数学教学中让学生领悟到建模思想并实施应用进行了讨论，指出了教师在这一过程中起到的作用，对于利用数学建模解题的方法加以阐述并给出具体实例.通过建模活动，学生的综合素质可以得到提高. 因此，数学建模进入中学课堂有很大的必要性和重要性，本文对此作了系统分析.关键词：中学数学教学；数学建模；素质教育AbstractMathematic modeling as the a kind of thinking method of solving questions. It is the conversion process of the actual problem and the abstract mathematics knowledge. It has an important role in the teaching and the practical life. This article has analyzed and explain the concept of the mathematical model, and then discuss how to ask the student to understand and apply in the modeling architecture, it is point out that the teacher has play an important roles in this process, and explaining the way of use the mathematic modeling resolve the problem and give some examples. According to this activity, it can improve the quality of the students. Therefore, this article has made the system analysis about the necessary and importance for the mathematic modeling enter to the classroom of the middle school.Key words:mathematics teaching in middle school; mathematic modeling; the quality education目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第1章中学数学建模思想 (1)第1节数学建模概念的叙述 (1)第2节探讨中学数学建模教育 (2)第2章数学建模在中学数学中的应用 (5)第1节建模解题的基本步骤 (5)第2节建模解题的基本思想 (5)第 3节建模解题的基本题型 (9)第3章开展中学数学建模教育的意义 (14)参考文献 (16)致谢 (17)第1章中学数学建模思想数学建模是一种实用性非常强的解题思想，在解决许多复杂的实际问题时有很大的帮助，所以建模教学进入中学课堂是一种趋势也是一种必然.第1节数学建模的概念数学建模（Mathematical Modeling）就是通过对实际问题的抽象、简化确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题，求解该数学问题、解释、验证所得到的过程.它是一种数学思维方式，是对“现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”.数学建模是一种解决实际问题的重要方法，是研究自然科学与社会科学的重要手段.自从有了数学之后，人们就用数学去解决实际问题，对于同一个实际问题，从不同的侧面、角度去考察或用不同的数学知识去解决就会得到不尽相同的数学模型，这就是数学模型具有创造性、艺术性的一面.实际问题当用一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段求解、分析该数学问题，并用实际数据或模拟方法验证解释所得的解.若验证通过，则所建模型及其解可投入使用并结束数学建模过程，否则应重新进行建模.因此，数学建模也是运用知识和能力解决实际问题的过程.数学建模是一个系统的过程，它要利用许多技巧以及翻译解释、分析和综合等高度的认知活动.建模活动包括以下四个主要过程：1、问题分析过程：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质；2、假设化简过程：选出影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，这样既简化了问题以便进行数学描述，抓住了问题的本质；3、建模求解过程：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序对模型进行求解；4、验证修改过程：检验模型是否符合实际，并对它做出解释，最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益或经济效益.第2节探讨中学数学建模教育现在，数学建模教育在大学教学中已经全面展开，每年都有国内国际间各种建模竞赛，让学生的实践能力、知识运用水平得到锻炼和提高，而在中学数学中，建模教育还涉足未深.2.1建模教育的现状与趋势中国是一个数学教育大国，在长期的理论研究和教育实践中，形成了一套完整的中学数学教育体系和培养人才的方法.中国学生数学基础扎实、知识系统，有相当强的数学理解能力，在多次国际数学奥林匹克比赛中，成绩斐然.在国外留学的中国学生数学成绩相当突出，这些说明中国的中学数学教育有许多可供借鉴和加以肯定的地方，但同时也存在着某些弊病，面对升学考试的巨大压力下，学习仍有很大的应试倾向，大多数学生对于掌握的数学知识很难应用到考场之外，不能学以致用，而素质教育的目的是为国家社会培养全面发展的应用型人才.我国现行的教材突破了以往的教材以知识为主线的设计方式，强调学生的数学学习活动，体现了新一轮课程改革的理念.数学活动是以学生为主体、在教师引导下的积极学习活动，着重强调学生的数感、空间观念和统计思想及估计意识的发展，通过数与计算、图形与空间、统计与概念及实践活动，拓宽学生学习的课程渠道.实践活动渗透在教材的正文和习题中，努力促使实践活动的系列化、多样化，习题的设计，在充分考虑学生的基本知识与技能的学习和掌握的基础上，考虑到了不同学生的不同学习需求.教材试图形成“问题情境——建立模型——解释应用”的叙述模式，使学生从生活经验和客观事实出发，在研究现实问题的基础上学习数学，理解数学和获得发展.很明显，数学建模正是达到这一要求的重要途径.数学建模是实际生活中解决问题的一种形式，数学建模的技巧和方法正是数学家们用来解决他们在工作中碰到的问题的方法.建模方法既注重于求解的各种数学技巧，还帮助学生了解到在广泛的应用中数学有多重要.学生建模练习中学到的策略和技术也容易转换到新的情形中去用，这样使他们更能欣赏到数学的威力，从而使学生既受到了数学应用的训练，又对数学的继续学习增添了兴趣.2.2引导学生树立建模思想利用建模思想解决问题与普通的课堂解题思维有明显的不同，这就需要学生能够转变思考角度，灵活地将数学知识应用到实际问题中去，而这个过程，教师的引导是必不可少的.1、创设生动的问题情境，激发学生情感要发挥多媒体技术手段的优势，根据具体教学内容、学生的认识水平，设计和应用多媒体课件创设生动的问题情境，为学生提供主动发现、主动发展的机会，激励学生积极参与建模活动.2、重视知识产生和发展过程由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，例如数学概念的建立，数学公式的推导，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，而忽略数学建模的建立过程.3、采用启发式和讨论式教学法教学时应当采用启发式和讨论式教学法，通过多种途径、多种方式渗透数学建模方法，努力推广学生自主发展的空间，让学生独立思考，让学生动脑、动手、动口，将有效地提高学生运用数学解决实际问题的能力.2.3建模教学过程遵循的原则建立数学模型是一个从实际到抽象、再从抽象到实际的转换过程，要让学生接受这样一个复杂的过程，教学者就应对建模教学有一个清晰透彻的认识.对于中学来说：1、要突出学生主体地位建模的教学环节是将实际问题抽象简化成数学模型，求得数学模型的解，检验解释数学模型的解，并将其还原成实际问题的解，从而最终解决实际问题.课程特点决定每一个环节的教学都要把突出学生主体地位置于首位，教师要激励学生大胆尝试，鼓励学生不怕挫折失败，鼓励学生动口表述、动手操作、动脑思考，鼓励学生要多想、多读、多议、多讲、多练、多听，让学生始终处于主动参与，主动探索的积极状态.2、要分别要求，分层次推进建模方法是解决应用问题的重要方法，但因为长期传统应试教育的影响，造成学生动手操作能力差，应用意识薄弱.在建模教学中，根据素质教育面向全体学生，促进学生全面发展的目标，教师要重视学生的个性差异，对学生分别要求、个别指导、分层次教学，对每个学生确定不同的数学建模教学要求和素质发展目标.帮助学生增强信心，提高自信，进而克服困难，取得建模成功.调动学生的积极性和主动性，让学生在建模教学中体会到学习的收获与进步.3、要全方位渗透数学思想方法由于建模教学面对的是千变万化的灵活的实际问题，建模过程应该是渗透数学思想方法的过程，首先是数学建模化归思想方法，还可根据不同的实际问题渗透函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、逻辑划分的思想、等价转化思想、类比归纳思想和类比联想思想，还可向学生介绍消元法、换元法、待定系数法、配方法、反证法、解析法、归纳法等数学方法，让学生从本质上理解数学建模的思想.4、要实行推迟判断为特征的教学结构所谓“推迟判断”就是延缓结果出现的时间，其实质是教师不要过早地把“结果”抛给学生，由于建模教学活动性强，教学成功的关键是教师要调动所有学生的探索欲望，积极参与教学过程.学生通过步步深入的积极思考探索，激发了思维，真正唤起主动参与的意识.教师通过启发诱导学生积极思考，组织学生进行热烈或紧张的讨论，问题就会逐渐明朗化，最终获得满意的建模方案.数学建模是一种主动的活动，要在现实中提取数学模型.在建模过程中，学生所面临的主要问题是如何从杂乱无章的现象中抽象出数学问题，并确定出问题的答案，这就要善于在其中分解与目标相关联的最主要元素，常常先从建立简单模型入手，逐步考虑各种建模要素，使模型按预定的目标逐渐完善.第2章数学建模在中学数学中的应用在数学建模过程中，不仅要使学生掌握数学模型的概念及建模的方法和技能，而且要培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型相联系的能力.那么，如何运用数学知识来构建模型呢？第1节建模解题的基本步骤数学建模是一个数学解题过程，大致分为以下四个步骤：1、审题：现在的高中数学应用题的题目较长，要求学生具有较强的数学阅读能力.通过仔细阅读题目，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量和未知量的内在联系. 审题时要准确理解关键语句的数学意义，如“至少”、“不大于”、“总共”、“增加”、“减少”等，明确变量和参数，合理设元.2、建立数学模型：将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数学符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型.3、求解数学模型：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件.4、检验：既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题做出合乎实际意义的回答.第2节建模解题的基本思想数学建模作为一种解题方法，有其特有的解题思想.1、关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立问题的数学模型的方法.例1 （消防损失最小问题）森林失火了，火势正以每分钟100平方米的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在失火后五分钟到达现场救火，已知消防队员在现场每人每分钟可灭火50万平方米，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁一平方米森林的损失费为60元，问应该派多少名消防队员前去救火，才能使得总损失最小.分析 建立数学模型：总损失费=森林损失费+灭火材料费+车辆器械费，森林损失费=每平方米损失费⨯面积=每平方米损失费⨯每分钟平方米⨯时间=()t +⨯⨯510060，灭火材料费=每单位时间人均费用⨯人数⨯时间=t x ⨯⨯125 ，车辆器械费=人均车辆器械费⨯人数=100⨯x ，灭火面积=新增过火面积+原有过火面积即50010050+=⨯⨯t t x .解 设需要x 名消防员，t 分钟救火时间，由题意可知50010050+=⨯⨯t t x ，即t =210-x ， 由条件列出森林损失费与救火费用的总损失费用的目标函数为()x xt t y 100125510060+++⨯⨯=，由不等式的性质36450≥y ，当t =210-x 时， 即 x =27时，总损失最小.2、列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型方法.例2 （服装的降价幅度问题）某种服装原来以高于成本价的40%出售，根据市场调查，原价每降低1个百分点，月销售件数将增加10个百分点，为使月毛利润（月毛利润=月销售总额-月成本总额）比原来增加幅度不小于30%，问降价至多多少个百分点？分析 从整体上看，这是一个服装销售过程中计算毛利润问题，涉及服装的成本价、原价、月销售件数、月销售总额、月成本总额、降价等概念，从局部来看，关键是处理好上述各量之间的关系，在选准基准量后，应分析降价前后的服装销售毛利润.解 设原价为a ，销售件数为b ，价格降低的百分比为x ，列表分析如下：表2-1数量关系式为00307/2]727/)101(5)1)(101([≥-+--+ab ab x ab x x ab ， 公式化简得-70x 2+13x -0.6≥0，解得x ≤0.1，答：降价至多0.1个百分点.3、图象分析法：即通过对图像中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法. 例3 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图（如图2-1）甲乙图2-1甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡；乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请您根据提供的信息说明：（1）第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.（2）到第6年这个县的养鸡业比第1年扩大了还是缩小了？（说明理由） （3）哪一年的规模最大？（说明理由） 分析 ①总只数=平均只数×养鸡场个数.②观察图像得出平均只数成等差数列上升，养鸡场个数成等差数列下降.解 （1）由图2-1可知: 第2年养鸡场的个数是26个，那么全县出产鸡的总只数2.312.126=⨯=S （万只）.（2）第一年总共出产鸡的只数S 1=30⨯1=30（万只），第六年总共出产鸡的只数S 6=2⨯10=20（万只），得S 1-S 6=30-20=10（万只），这证明规模减少了.（3）图2-1甲满足数列：()()618.02.02.011≤≤+=⨯-+=n n n a n ；图2-1乙满足数列：()()613441430≤≤+-=--=n n n b n ，每年出产鸡只数满足数列=⋅=n n n b a S -0.8n 2+3.6n +27.2 ()61≤≤n ，当2=n 时，S 2最大，即第2年规模最大且S 2=31.2（万只）.第3节 建模解题的基本题型基于对中学数学应用问题的分析，通常建立如下一些数学模型来解应用问题： 一、建立方程（函数）或不等式模型，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用数学知识和方法去解决问题.例4 （水费问题）我国是水源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量am 3时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c 元；若每月用水量超过最低限量am 3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每m 3付b 元的超额费，已知每户每月定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:表2-2根据上面表格中的数据，求a 、b 、c.解设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则()5=c+y，（2-1）c≤8≤()()a++=8，（2-2）y≥-⋅xcxab由题意知5+c，由表知第二、三月份的费用均大于13元，故8≤0≤≤c，所以13用水量15m3、22m3均大于最低限量am3，将x=15，x=22分别代入（2-2）式，得b，2=所以a. （2-3）19=c2+再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不防设9a>，将x=9代入（2-2）式得()c89，172=9a+-+a，2+=c与（2-3）式矛盾，所以9，≤a故一月份的付款方式应选（2-1）式，则=c，+c，198=因此b，1==c.a，210=二、建立数列模型，现实世界的经济活动中，诸如增长率、降低率、复利、分期付款等与年份有关的实际问题常常归结为数列问题，通过建立数列模型来解决.例5 （购房付款方式问题）某房地产开发公司因有大量住房闲置，为盘活资金，促进住房销售，提出了两种优惠售房方案: 第一种方案是分期付款，2000年元月要求购房者先付12万元，然后从第二年起每年元月付款2万元，连续付5年（假设这5年中银行存款的年利率为2%）；第二种方案是2000年元月一次性付款21.2万元，如果购房者都从银行取款购房，试问: 他们采用哪一种方案付款合算，请加以说明.（结果精确到小数点后两位，计算时，可以选用如下数据: 1.024≈1.08，1.025≈1.10，1.026≈1.13）.解 终值比较法，选择比较的时点是2005年元月 分期付款模型2000 2001 2002 2003 2004 200512 1()00212+ … … … 12(1+2%)5 2 ()00212+ … … ()00212+42 … … ()00212+32 … ()00212+22 ()00212+2 经分析得S 分=12(1+2%)5+2(1+2%)4+…+2(1+2%)+2≈23.2万元， S 合=21.2 ⨯ 1.02≈23.32万元，可见第一种方案比较合算.三、建立三角函数模型例6 通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，落潮时离开，某港口水深y 与时间t 的函数记作()x f y =，下面是该港口在某季节每时水深的数据:表2-3经长期观察，()x f y =的曲线可以近似看作函数k t A y +=ωsin 的图像.问 一般情况下，船舶航行时船底到海底的距离在5米或5米以上是安全的，某船吃水深度为5.6米，如果该船想在同一天进出港，问至多能停留多久？解 根据数据得106sin3+=πy ，船出港时水深不小于5.115.65=+米，即5.11106sin3≥+π，得652662πππππ+≤≤+k t k ， 同一天内取1=k 或0，得51≤≤t 或 1713≤≤t ，所以最早凌晨1点进港，最迟下午17点出港.四、建立计数（排列）模型，这一模型在日常生活中也是常常遇到的，在教材中这一模型的应用题较多例7 （值日表的排法种数问题）A 、B 、C 、D 、E 五个人排一个五天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻两天不能由同一人值，那么值日的表排法种数有多少种?解 此题若从人选位置角度去分类考虑比较繁琐，转换角度，从位置选人去思考，将五天看作五个位置，首位五个人都有可能，第二位只有四个人有可能，第三位也是四个人有可能，第四位和第五位也是四个人有可能，如下图所示值日表排法种类共有5×4×4×4×4=1280种.表2-4五、建立增长模型例8 某地现有耕地1万公顷，规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（1.099≈1.0937 1.0110≈1.1046）解 建立数学模型：找出题中所涉及对象并用符号表示如下：现有土地数量1M 十年后土地数量2M 现有单产量1N 十年后单产量为2N 现有人口数1P 十年后人口数2P 现人均占有量1A 十年后人均占有量2A 这些量之间具有如下关系：1111P N M A ⨯= 2222P N M A ⨯= ⨯=12A A ()00101+，⨯=12P P ()0011+10 ⨯=12N N ()00221+，由此可得⨯⨯11N M ()00101+/1P = 12N M ⨯⨯()00221+/[1P ⨯()0011+10]. （2-4）若设平均每年耕地减少量为x 公顷，则有如下关系2M = 1M —x 10，对（2-4）式化简整理，并代入=1M 104，得104 ⨯()00101+=（104—x 10）⨯()00221+/()0011+10.关于x 的上述方程即可作为原题的数学模型，注意到x 增大时，方程右端的值单调减少， 所以根据这一模型的解4≈x 来给出原题的答案时，应是x 至多为4，即4≤x ，也即平均每年减少至多4公顷.中学里的应用题都可转化为我们所熟悉的代数式、方程、不等式、函数以及几何图形、几何关系等数学模型来进行解决. 由于问题的多样性、灵活性，为了构建数学模型，就要求学生对有关数学知识充分理解，有时还涉及其他自然科学知识，要求学生具备敏锐的观察力，良好的想象力以及灵感和顿悟，较强的抽象思维和创新意识，要求学生具备较强知识应用能力和实践能力.第3章开展中学数学建模教育的意义数学建模是一门综合多门学科知识，集应用与能力培养为一体有利于培养学生的创造意识和应用实践能力的科学.因此，开展数学建模教学是非常重要的，尤其是在中学数学中，具有突出的意义一、从知识教育的角度而言1、数学来源于社会实践，无论是数学的概念、数学的运算、定理、法则等都是由于现实世界的实际需要而形成、发展的. 数学是现实世界的抽象反映和人类实践经验的总结. 数学具有现实性，它属于客观世界，并服务于社会，因而数学教育也必须源于现实、寓于现实、用于现实，是现实的数学教育.2、数学最显著的特点是它的抽象性.数学的发展过程是用数学的思想和方法来分析、研究客观世界的各种现象，进行整理、组织、归纳、抽象的“数学化”过程，因此数学教育的目的和功能就是要揭示这样的过程，学习数学的过程就是学习“数学化”的过程.3、随着社会经济的发展，数学已经深入到社会生活的各个领域，迅速辐射到人们的日常生活之中，要求人们具有更高更多的数学能力和数学应用意识.我们面向未来，站在新世纪数学教育的高度来看待数学建模，是理论应用于实际的最好途径.4、高考的应用题通过提供一定的实际材料，设置问题的现实情景编制试题，在背景公平的前提下，综合考查学生对语言的阅读理解能力、捕捉解题信息的能力、运用数学知识正确分析问题和解决问题的能力，因此，开展数学建模教育体现了现代教育的需要.二、从素质教育的角度而言数学建模是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点，是启迪创新意识和创新思维、锻炼创新能力、培养高层次人才的一条重要途径.现在越来越多的学生从数学建模的学习中获得了进步，使数学建模教育在学生素质培养中日益发挥巨大的作用：1、可以提高逻辑思维能力与抽象思维能力；2、可以增强学生的适应能力；3、有助于增加自学能力；4、有助于提高学生相互协作能力；5、能培养学生分析、综合和解决实际问题能力；6、有助于提高学生的创造能力.但是，开展数学建模活动，一定要结合学生的年龄特点、知识结构和智力水平，让不同层次阶段的学生，通过开展数学建模教育活动，得到学数学、用数学的实际体验，培养学生勤于思考，勇于探索问题的勇气和敢为人先的精神，从而达到全面提高学生素质、增长学生才干的目的.参考文献[1] 卜月华，中学数学建模教与学[M]，南京：东南大学出版社，2002，3[2] 吴文权，中学数学建模引论[J]，阿坝师范高等专科学校学报，2001，1：97-100[3] 叶其孝，中学数学建模[M]，湖南：湖南教育出版社，1997，11[4] Everybody Counts: A Report to the Nation on the Future of Mathematics Education，National Academy Press，Washington D.C.，1989[5] 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