函数可积绝对可积及平方可积关系的讨论
函数可积绝对可积及平方可积关系的讨论
函数可积绝对可积及平方可积关系的讨论
王洪林
【期刊名称】《河北工程技术高等专科学校学报》
【年(卷),期】2002(000)002
【摘要】介绍了在定积分和广义积分中函数f(x)可积与|f(x)|可积以及f2(x)可积,三者之间的关系.
【总页数】3页(P43-45)
【作者】王洪林
【作者单位】河北工程技术高等专科学校,基础部,河北,沧州,061001
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.一类Henstock可积而非Lebesgue可积的函数 [J], 王璞杰
2.关于函数的原函数与可积性关系的讨论 [J], 银建华
3.李秉彝绝对Henstock可积函数都是Mcshane可积的 [J], 王瑾杰;李秉彝
4.Hermite函数的原函数的平方可积性 [J], 谌德
5.关于可积函数的和仍可积定理的证明 [J], 李景廉
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fxgx积分的平方≤fxgx平方的积分
文章标题：探讨fxgx积分的平方与fxgx平方的积分之间的关系1. 引言在数学的世界里，积分是一种重要的概念，而在积分的计算中，我们也经常会遇到fxgx积分的平方与fxgx平方的积分这两个相关的概念。
本文将深入探讨这两者之间的关系，并通过逐步展开的方式来解释这一主题。
2. 定义与概念解释让我们简单回顾一下fxgx积分与fxgx平方的积分的定义及意义。
在数学上，fxgx积分指的是两个函数f(x)和g(x)的乘积在区间[a, b]上的积分，而fxgx平方的积分则是指将f(x)与g(x)先进行乘积，然后再求平方后在区间[a, b]上的积分。
这两个概念都在积分学中起到重要的作用，而它们之间的关系也是我们需要深入探讨的重点。
3. fxgx积分的平方≤fxgx平方的积分：证明与数学推导在探讨这一主题时，我们首先应该思考fxgx积分的平方是否小于或等于fxgx平方的积分。
通过数学推导和证明，我们可以得出结论：fxgx 积分的平方不一定小于或等于fxgx平方的积分。
事实上，这取决于函数f(x)和g(x)的具体形式以及区间[a, b]的选取。
4. 举例说明与图解分析为了更好地理解这一结论，让我们通过举例和图解来进行具体分析。
假设我们取区间[a, b]为[-1, 1]，并设定函数f(x)=x，g(x)=x。
经过计算和绘制函数图像后，我们可以发现fxgx积分的平方与fxgx平方的积分之间的关系并不总是符合fxgx积分的平方≤fxgx平方的积分这一条件。
5. 个人观点与理解在我看来，fxgx积分的平方与fxgx平方的积分之间的关系并非是一成不变的。
而是取决于具体的函数形式和积分区间的选取。
在实际的数学运用中，我们需要对这一关系有着更深入的理解，以便能够准确地应用于相关问题的计算和分析中。
6. 总结与回顾通过以上的探讨，我们可以得出结论：fxgx积分的平方不一定小于或等于fxgx平方的积分。
然而，这一结论并不是绝对的，而是需要根据具体情况来具体分析。
可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释
可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本文所讨论的主题——可导、可微、可积和连续之间的关系，并为读者提供一个全面的背景和引导。
本文将探讨这些数学概念之间的联系，以揭示它们之间的内在关联，以及它们在数学和物理学中的应用。
在数学分析中，我们经常遇到函数的性质和特征，而可导性、可微性、可积性和连续性是其中最基本也是最常见的一些性质。
它们描述了函数在不同方面的光滑程度和可测性。
理解这些概念之间的相互关系，对于深入研究微积分、实分析、复分析等领域的数学知识，以及在物理学和工程学中的应用是至关重要的。
本文将依次探讨可导和可微的关系、可微和可积的关系、可导和可积的关系、可微和连续的关系、可积和连续的关系、可导和连续的关系等六个方面。
通过分析这些关系，我们将揭示它们之间的数学联系和性质，并进一步讨论它们在实际应用中的意义和重要性。
对于初学者来说，理解和区分这些概念可能存在一定的难度。
因此，在本文中，我们将从简单到复杂，一步一步地引导读者理解这些概念的定义、性质和相互关系。
通过清晰的解释和具体的例子，我们将帮助读者建立起对这些数学概念的深入理解，并培养他们在实际问题中运用这些概念的能力。
最后，本文的结论部分将对可导、可微、可积和连续之间的关系进行总结，并提供一些对研究和应用的启示和展望。
我们将强调这些概念的重要性和广泛应用的前景，鼓励读者进一步探索和研究这些数学概念，以及它们在不同领域的应用。
通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解释和预测自然界和科学现象，并在技术和工程领域中做出更精确的计算和推断。
总之，本文将为读者提供一个深入了解和探索可导、可微、可积和连续之间关系的机会。
通过解释这些概念的定义、性质和相互关系，我们将帮助读者理清思路、认识到它们的重要性，并为将来的研究和应用打下坚实的基础。
希望读者通过本文的阅读，能够对这些数学概念有更全面的认识和理解。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕可导、可微、可积和连续这四个数学概念展开讨论，探讨它们之间的关系。
可导可积之间的关系
可导可积之间的关系可导和可积是微积分中两个重要的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从几个方面介绍可导和可积之间的关系。
一、定义1. 可导：函数在某个点处可导，意味着该点处的导数存在，即函数在该点处的切线存在且唯一。
可导性是函数的局部性质。
2. 可积：函数在某个区间上可积，意味着该区间上的积分存在且有限。
可积性是函数的整体性质。
二、关系1. 可导必可积：对于定义在闭区间[a, b]上的可导函数f(x)，则f(x)在[a, b]上是可积的。
这是因为可导函数具有有界性，有界函数在闭区间上必然是可积的。
2. 可积不一定可导：反过来，可积函数不一定是可导的。
例如，常值函数f(x)=1在任何区间上都是可积的，但它处处不可导。
三、连续函数的关系1. 连续必可导：对于定义在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，则f(x)在开区间(a, b)内是可导的。
这是微积分中的基本定理之一，也称为导数的存在定理。
2. 连续必可积：对于定义在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，则f(x)在[a, b]上是可积的。
这是黎曼积分的基本定理之一，也称为黎曼可积性定理。
四、可导性与可积性的关系1. 可导性与可积性的关系是有限制的。
举个例子，存在可导但不可积的函数，也存在可积但不可导的函数。
2. 可导函数一定是局部可积的，即在其可导的区间上是可积的。
3. 如果函数在某个区间上可导，则在该区间上也是可积的。
可导和可积之间存在一定的关系。
可导函数在其可导的区间上一定是可积的，而可积函数不一定是可导的。
可导性与可积性的关系是有限制的，需要在特定条件下才能成立。
同时，连续函数的可导性与可积性有较为明确的关系，连续必可导和连续必可积是微积分中的基本定理之一。
在实际应用中，可导和可积的概念在物理、经济、工程等领域中具有重要意义。
可导函数的导数代表了函数的变化率，可积函数的积分代表了函数的累积效应。
通过研究可导和可积的性质，我们可以更好地理解和描述现实世界中的各种变化和累积现象。
3.可积性质
3 定积分的性质
性质1 （线性性质）若均在上可积，则也在上可积，且
性质2 有界函数在区间和上可积，
, 并有
. ( 证明并解释几何意义 )规定, .
系设函数在区间上可积 . 则对, 有
.
（证）
性质3. 积分关于函数的单调性:
设函数, 且, .（证）(反之确否?)
积分的基本估计:
.
其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.
性质4. 绝对可积性:
设函数, , 且(注意
.)
该定理之逆不真. 以例做说明.
6. 积分第一中值定理:
, 使=.
( 推广的积分第一中值定理 )且不变号，则, 使
=.
Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得到如下结果:
Th If is differentiable at ，，and is taken inthe Theorem for integral ，then
.
二. 变限积分:定义上限函数，（以及函数
）
其中函数. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.
定理 ( 面积函数的连续性 )
三. 举例:
例1 设. 试证
明: .
其中和是内的任二点, {}, .
例2 比较积分与的大小.
例3 设但. 证明>0.
例4 证明不等式.
证明分析：所证不等式为
只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.
例5 证明.。
关于函数的原函数与可积性关系的讨论
证： 明
Ｍ △（ ｏ ， △（ ０ 。 ｘ ） ｍ ｘ ）
Ｆ ｏＺ）Ｆ ｏ Ｊ＋ ｒ一 。△ｆ （＋ｘ （）ｆ ｚ 一 。 广 ｘ ｘ Ｘ一 ｘ一１ ｘ ｆ ＋ ０
ａ Ｊ ａ Ｊ ０ ｘ
ｆ ｘ ￣ ［ ， ］ 可 积 ， 以 ｆｘ ￣ Ｅ ， ］ 有 界 。则 ｆｘ 在 （ 。 ｌ ｘｌＸ ＋ ｌ ｘ１ｃ ［ ， ３ ； ￣ 、 确 界 （ ）Ｅ ａ ｂ 上 － 所 （ ）Ｅ ａ ｂ 上 （ ） ｘ 一 Ａ ，０ Ａ ） ａ ｂ ￣ ｆ 下
使得
所 以
ｌ
Ｊ ０
ｆ一 ／ ｘ － ｌ Ａ
／ Ｘ Ｘ
银 建 华
（ 吉 学 院数 学 计 算 机 系 ， 吉 ， ３ ｌ ｏ 昌 昌 ８ １ｏ ）
２
Ｏ
Ｘ
Ｓ
２
Ｘ
Ｓ
Ｏ
ｎ
ｎ
一 一 一 摘 要 本文举例说明了可积函数未必存在原函数， 而有原函数的函数未必可积。文中定理 ２ 推广了华东师范大学的数
２一 ｘ
学 分 析 中 的 定 理 １ ． ７举 例 说 明 了其 逆 命 题 不 成 立 。定 理 ３给 出 了 其 逆 命 题 成 立 的 条 件 。 ０１ ，
关 键 词 原函数 函数可积
中 图 分 类 号 ： ［ １４ ＇ ７７ ０
文献标识码 ： Ａ
一 文 章 编 号 ： １０— ５一 ０２一３ ０５０ ０８ ６９（ ０） — ０—３ ９ ２ ００
在 《 学 分 析 》 材 中 ， 函数 的原 函数 与 可 积 性 的关 系讨 论 较 少 。下 面 对 它 们 的关 系 给予 初 步 讨 论 。 数 教 对 函数 具 有 原 函数 与可 积 没有 必然 联 系 。
f和g都是平方可积的函数证明 -回复
f和g都是平方可积的函数证明-回复证明：f和g都是平方可积的函数首先，让我们明确平方可积函数的定义。
一个函数f(x)在区间[a, b]上是平方可积的，意味着f(x)的平方在该区间上的积分是有限的，即∫[a,b] f^2(x) dx < ∞。
现在我们来证明f和g都是平方可积的函数。
第一步：证明f是平方可积的函数我们将证明f的平方在区间[a, b]上的积分是有限的。
由于f是平方可积的函数，所以存在一个正数M，使得∫[a,b] f^2(x) dx ≤M。
我们需要证明f在区间[a, b]上的平方可积性。
假设f的平方在区间[a, b]上不是有限的，则有∫[a,b] f^2(x) dx = ∞。
根据平方可积函数的定义，对于任意的正数N，我们可以找到一个区间[a, b]的子区间[a', b']，使得在这个子区间上f^2(x)大于N。
将区间[a', b']等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b' - a')/n。
对于第i个小区间[a'+(i-1)Δx, a'+iΔx]，则存在一个点xi，使得f^2(xi) > N。
将f^2(xi)的表达式展开成f(xi)与f(xi)的形式，可以得到f(xi) > √N。
因此，在区间[a'+(i-1)Δx, a'+iΔx]上，f(xi)的绝对值大于√N。
将f(xi)的绝对值平方后，可以得到f^2(xi) > N。
将n个小区间上的f^2(xi)求和，可以得到∑[i=1,n] f^2(xi) > nN。
当n趋向于无穷大时，∑[i=1,n] f^2(xi)也趋向于无穷大。
这与已知∫[a,b] f^2(x) dx ≤M相矛盾，因为我们假设f的平方在区间[a, b]上不是有限的。
因此，我们可以得出结论：f是平方可积的函数。
第二步：证明g是平方可积的函数同样地，我们需要证明g在区间[a, b]上的平方可积性。
数学分析--可积理论
我们知道积分变量x的变化范围为
xi−1 ≤ x ≤ xi
从而
xi ≤ x + h ≤ xi+1
故 从而
∫ xi
|f (x + h) − f (x)|dx ≤ w([xi−1, xi+1])∆xi, i = 1, 2 · · · , n − 1
xi−1
∫b
n∑−1
∫ xn
∫b
|f (x+h)−f (x)|dx ≤ w([xi−1, xi+1])∆xi+
证明:设
∪
∪∪
∪
[a, b] = [a, c1 − δ0] [c1 − δ0, c1 + δ0] · · · [ck − δ0, ck + δ0] [ck + δ0, b]
显然上式右边的每个小区间都至多只有一个间断点，故f 在每个小区间上可积。再 由可积的区间可加性性质，我们有f 在[a, b]上可积.
积分复习之可积理论篇 口诀： 可积可积真淘气，“阴影面积”趋于零； 这是第一充要性，连续单调全搞定。 如果函数坏脾气，坏点割出要出力， 再用第二要注意，坏点区间只头尾， 最后接力算阴影，坏矩全放4M δ0. 例1 f (x)在[a,b]上连续，则可积. 分析：(用第一充要条件)即证
∑ lim wi(f, π)∆xi = 0
从而
∫b
|f (x + h) − f (x)|dx =
∫ x1
a
∫ xn
∫b
|f (x + h) − f (x)|dx + · · · +
|f (x + h) − f (x)|dx + |f (x + h) − f (x)|dx
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６￣ 第 期 ２ 钨 ２期
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文 章 编 号 ： Ｏ］— ３ ８ （ ０ ２ ０ — ０ ４ — ０ ｌ（ ８ ７ ２２ ０ ）２ ０ ３ ３
函 数 可 积 绝 对 可 积 及 平 方 可 积 关 系 的 讨 论
王 洪 林
（ 北工 程技术 高等 专科学 校 基础 部 ． 北 沧州 河 河 ０ １０） ６ ０ １
摘 要 ： 绍 了 在 定 积 分 和 广 义 积 分 中 函 数 厂（ 可 积 与 ｌ （ ｌ 积 以 及 尸 （ 可 积 ， 者 之 间 的 关 系 。 介 敛 ； 散 可 收 发 中 图 分 类 号 ： ７ ． ０ｌ ２ ２ 文献 标识 码 ： Ａ
２ 若 Ｉ （）ｘ ） ｘｄ 存在， Ｉｌ（） ｘ也存在。 则 厂ｚ ｌ ｄ
收 稿 日期 ： ０ ０ １ — ５ ２ ０ — ２０
作 者 简 介 ： 洪 林 （９ ３ ）男 ， 北 沧 县 人 ， 北 工 程 技 术 高 等 专 科 学 校 讲 师 。 王 １６一 ， 河 河
维普资讯
性关系 。
１ 定 积 分 中 （ ， （ ， （ Ｉ 可 积 性 之 间 的 关 系 ） ） Ｉ ） 的
（） １若定积分 Ｉ （）ｘ存在， Ｉ厂ｚ ｌ ｘｄ ｆ 则 （）ｄ ｌ ｘ也必存在。反之不真。
（） 厂 ｚ 在 ［ ，］ 可积 ， Ｉ （ ）ｘ也必存在 。 ２若 （ ） 日６上 则 ｘｄ
∑（ 一 ） 。 ，＜ ｅ（ — ｄ） ｂ
凡 是 △ 中 的 ≥ ￡ 的那 些 区 间 ， 妨 记 为 △ ， 。 不 则
手 一 ｆ ｃ
≤手
一ｉ＾ ．Ａ 一 ／上／ ， ｘ ÷ 、，
Ａ ￡ 一 ）ｘ＜￡ ｘ≤１ＥＭ． Ａ （
从 知∑ 何 ／ 一∑ ＜￡ 一 ＋￡由￡ 任 性 知 ＩＩ Ｉ 存 证 而 （ —ｖ ） ＋∑ （ ） ， 的 意 可 ｆ ） ｚ 在。 毕。 ６ （ ｄ
Ｊ ｄ Ｊ 口 Ｊ ｕ Ｊ Ⅱ
熊逆命题不真 ， Ｉ （）ｘ存在， 即 ｘｄ 未必有 Ｉ （）ｘ ｘｄ 存在（ ｆ 参看例 １。 ）
（ ）／（ ） 可 积 ， 价 于 尸 （ 可 积 。 ３ｌ ｚ ｌ 等 ）
１ 若 ｌ （ ）在 ，］ 可积 ， （ 一 ｌ （ ） ．１ （ ｌ由结论 （ ） ） 厂ｚ ｌ ６上 因 ） ｆ ｚ １ 厂 ） ， ２ 知必有 Ｉ （ ） ｘ存 在 。 ｘｄ
利用定积分存在 的充要条件可证 明结论 ： 厂 ｚ 和 ｇ ｚ 在 ［ ，］ 若 （ ） （ ） ａ６上可积 ， 则必有 Ｉ （ ） （ ）ｘ存在 。 ｘｇ ｘｄ ｆ
ｒ ｂ ｒ ｂ ｒ ｂ ｒ ｂ
而 Ｉ （ ）ｘ— Ｉ （ ）・ （ ）ｘ 所 以若 Ｉ （ ）ｘ存 在 ， 必有 Ｉ （ ）ｘ存在 。 ｘｄ 厂ｚ ｆｘｄ ， ｘｄ ｆ 则 ｘｄ
学 过 数 学 分析 的读 者 都 知 道 ， 定 积 分 （ 义 积 分 ） ， 函数 厂（ ） 积 ， ｌ ｚ） 也 可 积 ， 反 之 不 成 在 常 中 若 ｚ可 则 厂（ ｌ 但
立 。而 在 广 义 积 分 中 情 况 刚 好 相 反 ， 若 ｌ ） 可 积 ， 由柯 西 收 敛 准 则 可 以证 明 厂（ 也 可 积 ， 之 不 成 即 厂（ ｌ 则 ｚ） 反
立 。
关 于这 两 个命 题 ， 一 般 数 学 分 析 参 考 书 中都 给 予 严 格 证 明 ， 里 不 再 重 复 。 于这 两 个 命 题 之 逆 不 真 ， 在 这 对
可 举 例说 明 。
在定 积分下 ： 例 加
．
该函数 在［ ，］ ｏ １ 的任何 区间上 ， 幅 一２ 从而 ￣Ｊ ｘ 一 ２ 振 ， ａ ｉ Ａ 其极 限不 为零 ， 可知 Ｉｆ ｘ ｄ （ ） ｘ不 可积 。 但 ｌ （ ） —ｌ 显然 Ｉｌ （ ）ｄ 厂ｚ ｌ ， 厂 ｚ ｌｘ可积。
而ｒ厂ｚＩ —ｒ￣ （） ， 要 （ ｄ Ｉ ）ｚ ／ —ｄ 只 证明 —ｘ ｆ
∑（ ／ 一 ￣７
即可 。
）
一 ０
事 实上 ， 上 述 ￡以及 分 割 ７ ， 是 分 割 区 间 △ 中 Ｍｉ ￡ 的 那 些 区间 ， 妨 记 为 △，则 必 有 对 １凡 。 ＜ 。 不 。 ，
２ 广 义 积 分 中 ．（ 、 。 ） １ （ 的 可 积 性 之 间 的 关 系 厂 ） ｆ （ 、 ． ）ｌ 厂
在 义 分 ，。 ｄ由利 来 别 知 它 收 的 是．Ｉ Ｉ却 发 的 广 积 下Ｊ ｚ狄 克 判 法 道 是 敛 ， Ｊ 是 散 。 ． 。 但 ｄ ｘ
文 中除 讨 论 在定 积 分 和 广 义 积 分 情 况 下 ， ｚ 与 ｌ ｘ） 可 积 性 关 系 外 ， 将 讨 论 它 们 与 尸 （ 的 可 积 厂（ ） ｆ（ ｌ 还 ｚ）
４ ４
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∑（ 一 Ⅲ Ａｘ ＜ ￡ ＾ ） 。
这 里 Ｍｉ 。 别 为相 应 区间 △ 上 的 （ ） ， 分 ｚ 的上 、 确 界 ， 然 ≥ ≥ Ｏ 下 显