精讲精练 第9讲 函数与方程

第9讲 函数与方程一、要点精讲1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点：概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。

2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。

注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

3．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2+n 。

（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=21(p +q )。

若－a b 2<p ，则f (p )=m ，f (q )=M ；若p ≤－a b 2<x 0，则f (－ab2)=m ，f (q )=M ； 若x 0≤－a b 2<q ，则f (p )=M ，f (－a b 2)=m ；若－ab2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。

（3）二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件。

①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0；②二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0，或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ，q )内成立。

二、典例解析题型1：方程的根与函数零点 例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞) （2）设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。

解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图)。

它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。

实际上这是要比较0x 与2的大小。

当x =2时，lg x =lg2，3-x =1。

由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C 。

（2）原方程等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-xa x x x a x x )3)(1(00301即⎩⎨⎧<<-+-=31352x x x a构造函数)31(352<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31≤<a 或413=a 时，原方程有一解；②当4133<<a③当1≤a 或413>a 时，原方程无解。

题型2：零点存在性定理例2．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；解析：由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项C 正确，见实例“1)(2+=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在实数解”。

题型3：二分法的概念例3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到；B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点；C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点；D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。

a例4．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。

那么所取误差限ξ是（ ）A ．0.05 B ．0.005 C ．0.0005 D ．0.00005解析：由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.0[10∈x 时，精度达到445.010=x 。

此时差限ξ是0.0005，选项为C 。

题型4：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例5． 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1。

证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-，ax x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(。

又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证。

例6．已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.解析：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x 。

（1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b aa b两式相加得12<ab，所以，10->x ； （2）由aa b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 。

又0121>=ax x ，所以21,x x 同号。

∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x ,即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g 解之得 41<b 或47>b 。