2018届高考数学二轮复习 寒假作业(十五)直线与圆(注意命题点的区分度)理
2018届高考数学二轮复习直线与圆教学案文学案含答案(全国通用)
专题13 直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表. 代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号(4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一 直线及其方程例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 【答案】B【解析】(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－ba ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1 (∵0<a <1)，∵对于任意的a >0恒成立 ，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B. 考点二 两直线的位置关系例2、【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【解析】利用两平行线间距离公式得d 5===. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0【答案】C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.考点三 圆的方程例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：。
(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习第一部分专题五第一讲直线与圆课件
[答案]
(1)C
(2)y＝2 或 4x－3y＋2＝0
(1)处理两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－ A2B1＝ 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重 合的可能性． (2)要注意每种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜 截式要求直线不能与 x 轴垂直(用两点式也不能与 y 轴垂直)． 而 截距式方程不能表示过原点的直线， 也不能表示垂直于坐标轴 的直线． (3)在解决问题的过程中，要注意选择直线方程的形式， 用待定系数法求直线的方程，是最基本最常用的方法.
[解析]
(1)由题知圆 M： x2＋ (y－ a)2＝ a2(a＞ 0)，圆心 (0， a)
2 a a2－ ＝2 2， 解得 a＝2， 2
a 到直线 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋y＝0 的距离 d＝ ， 所以 2 2
即圆 M 的圆心为(0,2)，半径为 2.又圆 N 的圆心为(1,1)，半径为 1， 则圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，半径之和 为 3,1< 2<3，故两圆相交． (2)由直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 知其过定点(－3， 3)，圆心 |3m－ 3| O 到直线 l 的距离为 d＝ . 2 m ＋1 由|AB|＝2
2
当 a＝－1 时， 方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 配方得(x＋2)2 ＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是 5.
[答案]
(－2，－4)
5
(2)(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 4 5 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 ，则 5 圆 C 的方程为________．
3m－ 3 2 3得 2 ＋( m ＋1
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题五第1讲直线与圆 精品
21 3.
(2)∵圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a>0，
∴圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝2a5＝455， 解得 a＝2. ∴圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. 答案：(1)B (2)(x－2)2＋y2＝9
角度 1 圆的切线问题
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2
＋E2－4F>0，表示以－D2 ，－E2 为圆心，
D2＋E2－4F为 2
半径的圆．
5．判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法．把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小 加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成 方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，再 利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；
如图，过点 C 作 CH⊥BD，垂足为 H，∴|CH|＝2 3. 在 Rt△CHD 中，∠HCD＝30°，∴|CD|＝ 2 3 ＝4.
cos 30°
答案：4
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解 题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想 解题．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长2l，构成直角三角形的 三边，利用其关系来处理．
3．两个距离公式
(1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2. (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d ＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
2018高考数学(理)专题突破—直线与圆
直线与圆【考点梳理】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2. 4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.【题型突破】题型一、直线的方程【例1】(1)设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为________.【答案】(1)A (2)12【解析】(1)当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2，所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.(2)依题意，设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0).∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b ＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号.因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.【类题通法】1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【对点训练】(1)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________.【答案】(1)A (2)94【解析】(1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0， 所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10， 则S △ABC ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m －322－14，又1<m <4，所以1<m <2， 所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值.题型二、圆的方程【例2】(1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.【答案】(1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 【解析】(1)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2. ∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254， 所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 【类题通法】1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.【对点训练】(1)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A.2 6B.8C.4 6D.10(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.【答案】(1)C (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4【解析】(1)由已知，得AB→＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋ (－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，∴y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，因此|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6.(2)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a . 由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2. 所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.题型三、直线与圆的位置关系【例3】在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.【答案】(x －1)2＋y 2＝2【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.【例4】(1)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.【答案】(1)x ＋y －3＝0 (2)4【解析】(1)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.(2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23，∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4. 【类题通法】1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【对点训练】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ→，求实数t 的取值范围.【解析】(1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)， 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA →＋TP →＝TQ→，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221].。
2018年高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆课时规范练理
第1讲 直线与圆一、选择题1．(2017·日照二模)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 答案：A2．(2017·忻州模拟)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：依题意，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2，故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.答案：B3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，所以⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案：B4．(2017·济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( )(导学号 54850124)A ．1B ．－3C ．1或－3D ．2解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5.又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3.所以圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2， 因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，所以m ＝1或m ＝－3. 答案：C5．(2017·汉中模拟)已知过点(－2，0)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0相切于点P (P 在第一象限内)，则过点P 且与直线3x －y ＝0垂直的直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0 C.3x ＋y －2＝0D ．x ＋3y －6＝0解析：圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的标准方程(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2，0)，半径r ＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C 相切于第一象限， 所以易知倾斜角θ＝30°，切点P (1，3)， 设直线l 的方程为x ＋3y ＋c ＝0，把点P (1，3)代入，所以1＋3＋c ＝0，所以c ＝－4. 所以直线l 的方程为x ＋3y －4＝0. 答案：B 二、填空题6．(2017·菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短． 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，所以a ＝－1.故所求直线的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．解析：法一 由题意知，AO →＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 法二 由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 答案：68．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．解析：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23，所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. 因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，所以直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案：4 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)．(导学号 54850125)(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方， 得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)． 当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134， 又|OA |＝32＋52＝34， 所以S ＝12|OA |d ＝12.10．(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(导学号 54850126)(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． 解：(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， 因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， 所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0，因为|MN |＝23，半径r ＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22－（3）2＝1.则|－4－1＋c |5＝1，所以c ＝5±5， 所以直线MN 的方程为2x －y ＋5± 5＝0.11.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：(1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为k OA ＝2，所以可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又因为P ，Q 为圆M 上的两点， 所以|PQ |≤2r ＝10. 所以|TA |＝|PQ |≤10， 即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221 ]．。
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题五 解析几何 第1讲 精品
解析 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a，0)，a＞－2， （a＋2）2＋（ 3）2＝r2，
半径为 r，得|2a4－＋45|＝r， 解得满足条件的一组解为ar＝＝2－，1， 所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案 (x＋1)2＋y2＝4
T→A＋T→P＝T→Q，求实数 t 的取值范围.
解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝ 25，圆心 M(6，7)，半径 r＝5， 由题意，设圆 N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 且 （6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得 b＝1， ∴圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a， b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 圆心为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二 次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 B＝0， 是A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
(2)依题意得△OO1A 是直角三角形，
∴OO1＝ 5＋20＝5，
S△OO1A＝12·A2B·OO1＝12·OA·AO1，
因此 AB＝2·OOAO·1 AO1＝2×
5×2 5
5＝4.
答案 (1)45π (2)4
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与 过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于 半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方 程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外 点距离，利用勾股定理处理.
2018高考数学理二轮复习课件：1-5-1 直线与圆 精品
解得 D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令 x＝0，得 y2＋4y－20＝0，
设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝4 6.故选 C.
2．[2015·湖北高考]如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上 方)，且|AB|＝2.
D.2x－y＋ 5＝0 或 2x－y－ 5＝0
解析
设所求直线的方程为 2x＋y＋c＝0(c≠1)，则
|c| ＝ 22＋12
5，所以 c＝±5，故所求直线的方程
为 2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0.
2.[2015·重庆高考]若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_x_＋__2_y_－__5_＝__0．
主干知识整合
1.直线方程的五种形式 (1)点斜式： y－y1＝k(x－x1) ． (2)斜截式： y＝kx＋b .
[必记公式]
(3)两点式： yy2－－yy11＝xx2－－xx11
(x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式： ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)． 2.圆的三种方程 (1)圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
热点探究悟道
热点一 直线与方程
例 1 (1)[2015·郑州质量预测]“a＝1”是“直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直”的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2018年高一数学寒假作业(人教A版必修2)直线与圆、圆与圆的位置关系word版含答案
2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）直线与圆、圆与圆的位置关系(时间：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB 的长为( )A．3 3 B．2 3C. 3 D．12．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为( )A．y＝x＋ 2B．y＝－x＋ 2C．y＝x＋2或y＝－x＋ 2D．x＝1或y＝x＋ 23．(2016²山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22。
则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝05．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝26．已知圆F的半径为1，圆心是抛物线y2＝16x的焦点，且在直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆F有公共点，则实数k的最大值为( )A.12B.34C．1 D.4 3二、填空题7．(2016²泰安模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________。
8．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程为______________。
9．(2017²阜新模拟)过点(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________。
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寒假作业(十五) 直线与圆(注意命题点的区分度)一、选择题1．已知直线 3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．1 B ．54 C ．3D ．4解析：选B ∵323＝1m ≠－13，∴m ＝2，两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－323＋1＝54.2．曲线y ＝(x ＋a )e x在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 因为y ＝(x ＋a )e x，所以y ′＝(1＋x ＋a )e x，所以曲线y ＝(x ＋a )e x在x ＝0处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝1＋a ，又切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，故1＋a ＝1，解得a ＝0.3．已知直线l 过圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心，且与直线x －3y ＋1＝0平行，则直线l 的方程是( )A ．x －3y －2＝0B ．x ＋3y －2＝0 C.3x －y －2＝0D.3x ＋y －2＝0解析：选A 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)．直线x －3y ＋1＝0的斜率为33，且直线l 与该直线平行，故直线l 的斜率为33，直线l 的方程为y ＝33(x －2)，即x －3y －2＝0.4．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，同时满足－34a 2－3a >0，解得－4<a <0，故－a2>0，则该圆的圆心在第四象限．5．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：选D 法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，故⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －7＝0，a 2＋ 4＋b 2＝r 2，a 2＋ 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，r 2＝5，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.法二：利用圆心在直线2x －y －7＝0上来检验，只有D 符合，即(x －2)2＋(y ＋3)2＝5的圆心为(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三个圆心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合题意，故选D.6．已知A ，B 为圆C ：(x －m )2＋(y －n )2＝9(m ，n ∈R)上两个不同的点，C 为圆心，且满足|CA uur ＋CB uu u r|＝25，则|AB |＝( )A ．2 5B ．4 C. 5 D ．2解析：选B ∵C 为圆心，A ，B 在圆上，∴取AB 的中点为O ，连接CO ，有CO ⊥AB ，且CA uur＋CB uu u r ＝2CO uu u r ，∴|CO uu u r|＝5，又圆C 的半径R ＝3，∴|AB |＝2R 2－|CO uu u r |2＝2×9－5＝4.7．已知两圆x 2＋y 2＝16和(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由题意可知，切线、圆心的连线围成直角三角形，则(0－4)2＋(0＋3)2＝r 2＋16，解得r ＝3.8．(2017·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心C (1,1)，半径为2.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0.综上，直线l的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.9．(2018届高三·绥化三校联考)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以 －2a －0 2＋ 0－b 2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.10．圆x 2＋y 2＝4与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |(O 为坐标原点)成等比数列，则PA uur ·PB uu u r的取值范围为( )A ．[－1,0)B ．[－2,0)C ．(－3，0]D ．(－1,0]解析：选B 由题意知，不妨设A (－2,0)，B (2,0)，P (x ，y )，由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，得 x ＋2 2＋y 2· x －2 2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2，故PA uur ·PB uu u r＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，得y 2<1.所以PA ―→·PB ―→的取值范围为[－2,0)．11．已知A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，P 为圆C ：x 2＋y 2＝2x 上的任意一点，则△ABP 面积的最大值为( )A.33＋32B. 3 C ．2D.23＋23解析：选A 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，因为A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－332＝3， 直线AB 的方程为3x ＋y ＝33，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|3－33|2＝ 3.又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为3＋1， 故(S △ABP )max ＝12×(3＋1)×3＝33＋32.12．已知点A (－5,0)，B (－1，－3)，若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恰有两点M ，N ，使得△MAB 和△NAB 的面积均为5，则r 的取值范围是( )A ．(2，5)B ．(2,5)C ．(1，5)D ．(1,5)解析：选 D 由题意可得|AB |＝ －1＋5 2＋ －3－0 2＝5，根据△MAB 和△NAB的面积均为5可得M ，N 到直线AB 的距离均为2，由于AB 的方程为y －0－3－0＝x ＋5－1＋5，即3x＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB 的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5.故r 的取值范围是(1,5)．二、填空题13．已知点P (1，a )是圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0内的一点，过点P 的最短弦所在直线的方程是x ＋2y －3＝0，则a ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0的圆心为C (3,2)，由于过点P 的最短弦与CP 垂直，且过点P 的最短弦所在直线的方程是x ＋2y －3＝0，故k CP ＝a －21－3＝2，解得a ＝－2.答案：－214．(2017·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝215．已知M ，N 是圆A ：x 2＋y 2－2x ＝0与圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＝0可得MN 的方程为y ＝x ，再由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x可得M (0,0)，N (1,1)或M (1,1)，N (0,0)，所以|MN |＝2，由圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心B (－1,2)到直线MN ：y ＝x 的距离d ＝|－1－2|2＝32，所以△BMN 的面积为12×2×32＝32.答案：3216．(2018届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线l ：(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线l 的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2| m ＋1 2＋ n ＋12＝1，即|m ＋n |＝m ＋1 2＋ n ＋1 2，两边平方并整理得，m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞) 三、解答题17．已知圆C 经过M (3，－3)，N (－2,2)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3. (1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l ∥MN ，l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解：(1)由题意知直线MN 的斜率为－1，则线段MN 的垂直平分线的方程是y ＋12＝x －12，即y ＝x －1，所以圆心C 的坐标可设为(a ，a －1)， 又圆C 在y 轴上截得的线段长为43， 所以(a －3)2＋(a ＋2)2＝12＋a 2，解得a ＝1，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， 设A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x －1 2＋y 2＝13消去y ，得2x 2－(2＋2m )x ＋m 2－12＝0， 由Δ>0，得m 2－2m －25<0，x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，又由题意可知OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1， 所以m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1， 即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0， 整理得m 2－m －12＝0， 解得m ＝4或m ＝－3，经验证符合Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.18．已知曲线C 上任意一点到原点的距离与到E (3，－6)的距离之比均为1∶2. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P (1，－2)，过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于A ，B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值．解：(1)设曲线C 上的任意一点为Q (x ，y )， 由题意得x 2＋y 2x －3 2＋ y ＋6 2＝12， 所以曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)证明：由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，点P (1，－2)， 故可设PA ：y ＋2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝k x －1 ， x ＋1 2＋ y －2 2＝20，得(1＋k 2)x 2＋2(1－k 2－4k )x ＋k 2＋8k －3＝0， 因为点P 的横坐标1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2＋8k －31＋k 2， 同理，x B ＝k 2－8k －31＋k2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k x B －1 －2－k x A －1 ＋2x B －x A＝2k －k x B ＋x A x B －x A ＝－12，故直线AB 的斜率为定值－12.19．(2017·郑州第一次质量预测)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即x －26 2＋ y －1 2x －2 2＋ y －12＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25. 轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为252－32＝8， 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线14x ＋8y －31＝0对称．(1)求圆C 2的方程；(2)设P 为平面上的点，满足下列条件：过点P 存在无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2(l 1，l 2的斜率存在且不为0)，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)设圆C 2的圆心为(m ，n )，因为直线14x ＋8y －31＝0的斜率为k ＝－74，所以由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5，所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.所以这样的点P 只可能是点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，两点都满足条件．。