第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第4章 系统的稳定性分析
f ( xe , t ) 0 x
平衡点 xe 不只一个，可能有多个
1 x1 x 例系统 3 x x x x 1 2 2 2
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中，有几个平衡点？
(0 0), (0 1), (0 1) 皆为系统的平衡点
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第四章 系统的稳定性分析
实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意
义上看，往往更重视系统的输出稳定性。
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如果系统对于有界输入
所引起的输出
是有界的，则称系统为输出
稳定。
线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：
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第四章 系统的稳定性分析
1 李 氏 意 义 下 的 稳 定
的极点全部位于s 的左半平面。
则称 x e 为系统的平衡状态。
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第四章 系统的稳定性分析
1 李 氏 意 义 下 的 稳 定 从定义可知, 平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为 零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动变化方向, 因此平衡态即指能够保 持平衡、维持现状不运动的状态, 如图所示。
平衡态
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4、本章内容：李氏第二法及其应用。
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第四章 系统的稳定性分析
1 李 氏 意 义 下 的 稳 定
4.1 基本定义 几个稳定性概念
一、系统：
f ( x, t , u ) 设x 稳定性是系统本身的一 种动态属性，与外部 f ( x, t ) 输入无关。u 0, 则x x(t )为n维向量，f ( x, t )也是n维向量 f i ( x1 , x2 , xn , t ), 初始状态x(t0 ) x0 x
李雅普诺夫稳定性方法
李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。
如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。
李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。
例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。
由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。
李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。
迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。
对于系统[]t ,f x x= ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。
如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV Vx x = 为半负定，则平衡状态稳定；（2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。
进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定；（3） 若()x V为正定，则平衡状态不稳定。
判断二次型x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。
如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。
例：[]正定。
则)(V 01121412110,041110,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ 例：)x x (x x x )x x (x x x 22212122221121+--=+-=(0,0）是唯一的平衡状态。
系统稳定性及其李雅普诺夫稳定
第四章系统稳定性及其李雅普诺夫稳定4－1 稳定性一般概念对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。
从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。
系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。
外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。
输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。
系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。
当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。
在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。
因此经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。
系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。
在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。
对于n阶线性连续系统，其特征方程为：…………………………（4－1）当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。
所以1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。
有关Routh-Hurwitz判据的详细内容请参阅有关经典控制论教材。
当系统不是线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。
李雅普诺夫方法
pn1 pn2
pnn
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：
为实对称矩阵 P
① 若 i 0 (i 1, 2, , n，) P为正定；
②若
i i
0 0
i为偶数时 i为奇数时
(i 1, 2, ，, n)P为负定；
③若 ④若
i 0 （i 1, 2, i 0 (i n)
，n ，1)P为正半定；
二、李雅普诺夫第二法
又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。
不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。
i 0 i 0 i 0
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据
1．渐近稳定基本判定定理 ：
x = f (x,t)
设系统的状态方程为
，且其平衡状态为
x，e 如0 果存在
一个具有连续一阶偏导数的标量函数
，并且V (满x,足t) 条件：
（1）V ( x,t) 为正定；
平衡状态 x是e 稳定的几何解释：
从球域 S(内) 任一点出发的运动 都不超越球域 S( )。
一个二维状态空间中零平衡 状态 xe 0 是稳定的几何解释 如右图 。
如果 与 t0无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定。
ch4稳定性分析
2.二次型标量函数 设 x1 , x2 ,..., xn 为n个变量，定义二次型标量函数为：
V ( x) x Px x1 x2
T
p11 p12 ... p1n x1 p p ... p x 2n 2 21 22 ... xn ... ... ... ... pn1 pn 2 ... pnn xn
(t; x0 ; t0 ) xe , t0 t
则称平衡状态为李雅普诺夫意义下稳定。
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如图4-1 所示，若对应于每一个 s( ) ， 都存在一个s( ) ，使当t无限增长时，从s( ) 出发 s 是状态轨线总不离开( ) ， 即系统响应的幅值是有界的， 则称平衡状态 xe 为李雅普诺夫意义下稳定。
对于线性系统来说，如果平衡状态 是渐近稳定的，则必然也是大范围渐近 稳定的。
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4. 不稳定 如果对于某个实数 0 和任一实数 0 ， 不管 这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨 线，至少有一个轨线越过 s( ) ， 则称这种平衡状态 xe 不稳定。
不稳定几何表示法：
一、预备知识
1.标量函数的符号性质 设 V (x) 为由n维矢量x所定义的标量函数， ， x 且在x=0处，恒有 V ( x) 0 。对所有在域 中 的任何非零矢量x, 如果成立 （1） V ( x ) 0 ,则称 V ( x ) 为正定的。 （2） V ( x ) 0 ,则称 V ( x ) 为半正定的。 （3） V ( x ) 0 ,则称 V ( x ) 为负定的。 （4） V ( x ) 0 ,则称 V ( x ) 为半负定的。 （5） V ( x ) 0 或 V ( x ) 0 ,则称 V ( x ) 为不定的。
李雅普洛夫稳定性分析
或任意正实数 0 ，都可以找到另一个正实数 ( , t0 ) 或球
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
的X的运动轨迹有
lim
t
x
xe
，
则称平衡状态
xe 在李雅普诺
夫意义下是稳定的。
如果 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用 第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。
3 ）李氏函数最简单形式是二次型 V ( x) xT Px ，P是正定实对 称方阵。
4.2 标量函数V(x)的符号性质 标量函数V(x)：
1）正定性：当且仅当x=0时，才有 V (x) 0 ；对任意 非零X，恒有 V (x) 0，则 V ( x) 为正定。
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变 化所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于 线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统， 只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只 和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
2）平衡状态——状态空间中满足 X&e f ( X e ,t) 0 属性的一 个状态。
3）受扰运动——自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。 用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。
2 李亚普洛夫稳定性定义
2.1 系统的平衡状态 2.2 状态向量范数 2.3 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
李雅普诺夫关于稳定性的定义
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线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
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经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
现代控制理论的稳定性判据
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫，俄国数学力学专家， 俄罗斯科学院院士，意大利林琴 科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。 1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般 问题》（The general problem of the stability motion） 中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性 问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性 控制奠定了基础。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻 的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。
时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
初始状态有界，随时间
推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。 若 与初始时刻 t 0无关，则 称系统的平衡状态x e是一致
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：