6. 材料力学第六章弯曲内力
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
材料力学第6章 弯曲内力
精品文档
6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
精品文档
6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
精品文档
6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
弯曲内力—单跨静定梁的内力图(材料力学课件)
FA
FB
ql 2
()
(2)列剪力方程和弯矩方程
FS (x)
FA
qx
1 2
ql
qx
(0< x l)
M (x)
FA x
1 2
qx 2
1 2
qlx
1 2
qx 2
(0 x l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图
两端支座处： 梁跨中：
ql FSmax 2
M max
ql 2 8
q
A C
x
FA
l
1 ql
2
1 ql 2 8
剪力为常数，FS图为
平直线；弯矩为一次
FaFS图FS图(b) (b) 函数，M图为斜直线。
l
Fa
M图
l (c)
M图 (c)
集中力F处，剪力图 发生突变，弯矩图
有尖角。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
A
解：(1)求支座约束力
FA
由梁的整体平衡条件可求得：
M l
e
()
FA
(2)列剪力方程和弯矩方程
单跨静定梁的内力图
1. 剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的规律，以沿梁轴线的横坐标x表示梁横
截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按剪力方程和弯矩方程绘出 图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。
剪力方程
FS FS (x)
正剪力画在x轴上方负 剪力画在x轴下方,并在
图中标明“ ”、x轴下方负 剪力画在x轴上方,并在
图中标明“ ”、“ ”。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
工程力学(材料力学)6 弯曲内力
重点
截面法求剪力和弯矩； 剪力方程和弯矩方程； 剪力图和弯矩图； 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
难点
• 剪力和弯矩方向判定； • 剪力方程和弯矩方程的列法； • 三种作剪力图和弯矩图的方法； • 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念
工程实例
一致。 计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算以计算简便为
原则。 集中力作用处，左、右两侧剪力不同，弯矩相同。 集中力偶作用处，左、右两侧剪力相同，弯矩不同。
剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程 内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M(x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
Байду номын сангаас
qx2
x2
(
a 2
,
3a ) 2
（3）绘制Q图和M图 。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
5qa 8
M max
9qa2 128
绘制剪力与弯矩方程时应注意：
截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。由平衡方程所得结果的正 负号就与正负号规定相一致。
截面位置参数可以从坐标原点算起，也可以从另外的点算起，需 写清方程的适用范围即可。
方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，剪力方程 应为开区间，在此处剪力图有突变；在集中力偶作用处，弯矩方程 应为开区间，在此处弯矩方程有突变。
若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时除计算该段的 端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
X 0 , FX A 0
材料力学第六章 弯曲内力.
解：建立极坐标，O为极点，OB
R
P
极轴，表示截面m–m的位置。
A
B
O
x
M() Px P(R Rcos) PR(1 cos) (0 )
Q( ) P1 Psin (0 )
N( ) P2 Pcos (0 )
qa
q
A
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
a
a
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
27
qa
q
A
a
a
Q
– qa
M
qa2
左端点： Q qa; M 0
线形：根据
dQx
dx
qx
；
x
dM (x) dx
Q(x)；
dM 2(x) dx2
q(x)
及集中载荷点的规律确定。
MO
L
P 解：①求支反力
YO Q(x) M(x) –PL
M(x) Q(x) x
P x x
YO P ; MO PL
②写出内力方程
Q( x ) YO P
M( x ) YOx MO P( x L )
③根据方程画内力图
21
q 解：①写出内力方程
M(x) L Q(x) x Q(x)
0.5PL
34
[例8] 改内力图之错。
A
qa2
a
a
2a
Q qa/4
qa/4
+
–
–
3qa/4
M
3qa2/2 49qa2/32 5qa2/4
第六章：梁弯曲时的内力和应力
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
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工程力学系
第六章 弯曲内力
轴力图和剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须注明正负
号。弯矩图画在杆件受压一侧，不必再标正负。
FA
1 2
qa
FD
1 2
qa
FHD qa
B
AB段：FN
( x1 )
1 2
qa
(0
x1
a)
x3 C
刚结点
FQ (x1) qx1(0 x1 a)
M
(x1 )
1 2
qx12(0
x1
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-3 如图受集中力偶 M e作用的简支梁，设 M e、a、b 及 l 均
为已知，试绘梁的剪力图与弯矩图。
FA
x1 x2
解 1.求支反力
FB
FA
Me l
FB
Me l
2.列剪力与弯矩方程式
AC段： FQ
( x1 )
FA
Me l
(0 x1 a)
M (x1)
CB段：
FA x1
a)
x1
DC段：FN (x2 )
1 2
qa (0
x2
a)
FQ (x2 ) qa (0 x2 a)
FA
qa
x2
FHD
FD
M (x2 ) qax2(0 x2 a)
CB段：FN (x3) qa (0 x3 a)
FQ (x3 )
1 2
qa
(0
x3
a)
M
( x3 )
qa2
1 2
qx3(0
x3
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-5 叠加法作弯矩图
例6-6 如图外伸梁，已知：q 、l 、F ql ，按叠加法画弯矩图。
M max
3 ql 2 16
工程力学系
§6-6 平面曲杆的弯曲内力
2F
m
n
F
第六章 弯曲内力
FN F sin 2F cos F(sin 2cos) FQ F sin 2F cos F(sin 2cos) M 2Fa(1 cos) Fa sin Fa(2 2cos sin)
M F1(x a) FA x 0 M FA x F1(x a)
FQ —— 剪力 M —— 弯矩
工程力学系
第六章 弯曲内力
剪力符号:当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针方向转动 时规定为正号，反之为负。
弯矩符号:当弯矩使微段梁凹向上方时规定为正号，反之为负。
工程力学系
第六章 弯曲内力
平面弯曲：1、作用在梁上的所有外力到在纵向对称面内 2、梁的轴线变形后仍是这个纵向对称面内的曲线
其它截面形式：
工程力学系
4、梁的分类： ① 简支梁
② 外伸梁 ③ 悬臂梁 ④ 中间铰梁
⑤ 超静定梁
第六章 弯曲内力
工程力学系 §6-2 剪力与弯矩
第六章 弯曲内力
M FQ 弯曲内力
FA F1 FQ 0 FQ FA F1
a)
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-4 载荷集度 剪力和弯矩之间的关系
一、q 、FQ 和M 之间的微分关系
dx
Fy 0
FQ (x) [FQ (x) dFQ (x)] q(x)dx 0
MC 0
M
(
x)
[M
(
x)
dM
(
x)]
FQ
(
x)dx
q(
学系
第六章 弯曲内力
Fy 0 FA FQ1 0 MC1 0 FA 1 M1 0
FQ1 1.5kN M1 1.5kN m
3. Ⅱ－Ⅱ截面的剪力和弯矩。
Fy 0
FQ2 q 1 0
MC2 0 M2 q 1 0.5 0
FQ2 2kN
M2 1kN m
M
为负号，表示
2
M
2
的实际方向与（c）中所示相反
引起拉伸变形的轴力为正； 使对杆内任一点的矩为顺时针的剪力为正； 使轴线曲率增加的弯矩为正； 弯矩画轴线的法线方向，并画在杆件受压一侧。
工程力学系
第六章 弯曲内力
第六章 弯曲内力
§6-1 概述 §6-2 剪力与弯矩 §6-3 剪力与弯矩方程 剪力图与弯矩图 §6-4 载荷集度 剪力和弯矩间的关系 §6-5 叠加法作弯矩图 §6-6 平面曲杆的弯曲内力
工程力学系 §6-1 概述
一、平面弯曲的概念
第六章 弯曲内力
受力特点：轴线平面内受到外力偶或垂直于轴线方向的力
例6-1 如图受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求截面
Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ上的剪力和弯矩。
FA
FB
(a)
解 1.求支反力
MB 0 MA 0
FA 4 F 2 q 21 0 F 2 FB 4 q 21 0
FA 1.5kN FB 7.5kN
工程力学系
第六章 弯曲内力
2.计算Ⅰ－Ⅰ截面的剪力和弯矩。
la FA l F
FB
a l
F
2.列剪力与弯矩方程式
AC段：FQ (x1)
FA
l
l
a
F
(0 x1 a)
M (x1 ) FA x1
CB段：
l
l
a
Fx1
(0
x1
a)
FQ (x2 )
FB
a l
F
(a x2 l)
M
( x2
)
a l
F (l
x2
)
(a x2 l)
3.画剪力图与弯矩图
结论1：集中力作用点，剪力图有突变，弯矩图有转折。
Me l
x1
(0 x1 a)
FQ (x2 )
FA
Me l
(a x2 l)
M
(x2 )
Me l
(l
x2
)
(a x2 l)
3.画剪力图与弯矩图
结论2：集中力偶作用点，剪力图无改变，弯矩图有突变。
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-4 如图受均布载荷 q 作用的简支梁，q、l 均为已知，试绘
梁的剪力图与弯矩图。
FA
FB
解 1.求支反力
FA 7kN FB 5kN
7kN
3kN 2kN
1kN
5m
20kN m
G 20.5kN m
3kN 16kN m
6kN m
6kN m
2.分段画剪力图与弯矩图
FQC (7 41)kN 3kN FQD (1 41)kN 3kN MC 20kN m MG 20.5kN m M D 16kN m M B 6kN m
FA
x1
解 1.求支反力
FB
FA
1 2
ql
1 FB 2 ql
2.列剪力与弯矩方程式
FQ
(x)
1 2
ql
qx
(0 x l)
M (x) ql x q x2 22
(0 x1 l)
3.画剪力图与弯矩图
dM (x) ql qx 0
x l
dx 2
2
ql 2
M max 8
结论3：均布载荷下，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
dFQ (x) q(x) d2M (x)
dx
dx 2
dM (x) dx FQ (x)
1、q(x) 0，Q 图是平行于 x 轴的直线，M图是斜直线。
2、FQ (x) 0 ，此截面上 M 取极值
3、雨伞法则
q q
工程力学系
二、q 、FQ 和 M 之间的积分关系
第六章 弯曲内力
在仅有q(x) 作用时，
变形特点：轴线弯曲成曲线
——弯曲变形
工程力学系
第六章 弯曲内力
二、梁的计算简图及其分类 1、构件本身的简化：
不论截面形状，全部用轴线代替梁
2、载荷的简化：
① 集中力
② 集中力偶
3、支座类型和支反力：
③ 集中力
① 固定铰支座
Fy Fx
② 活动铰支座
Fy
③ 固定端 Fy
Fx M
工程力学系
第六章 弯曲内力
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-3 剪力与弯矩方程 剪力图与弯矩图
剪力方程 弯矩方程
Q(x) M (x)
剪力图 弯矩图
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-2 如图受集中力 F 作用的简支梁，设 F 、l 及 a 均为已知
试列出剪力方程式与弯矩方程式，并绘剪力图与弯矩图。
x1
FA
x2
解 1.求支反力
FB
FQ (x2 ) FQ (x1)
x2 q(x)dx
x1
M (x2 ) M (x1)
x2 x1
FQ
(x)dx
在 x x1 和 x x2
两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积，
两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-5 外伸梁所受载荷如图,画梁的剪力图和弯矩图。