基本计数原理
第一节 计数的基本原理
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
计数的公式知识点总结
计数的公式知识点总结1.基本计数原理基本计数原理是计数问题中最基本的方法之一。
它适用于一些简单的问题，例如从一个有限的集合中选择元素的方式数量。
基本计数原理的核心思想是：如果一件事情可以划分为若干个独立的步骤，每个步骤有若干个选择，那么总的选择数就是所有步骤的选择数的乘积。
例如，考虑从一个4位数字（0-9）中选择一个数字的问题。
根据基本计数原理，我们可以将这个问题划分为4个步骤：先选第一位数字，再选第二位数字，以此类推。
每一步都有10种选择，因此总的选择数量为$10^4$=10000。
2.排列排列是计数中比较常见的问题之一。
排列是指从一个集合中选择一部分元素，并按照一定的顺序进行排列。
对于一个包含n个元素的集合，如果从中选择r个元素进行排列，则一共有$n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$种排列方式。
排列问题的应用十分广泛，例如在密码学中用于生成密码、在组合游戏中用于解决游戏的排列问题等。
在实际应用中，我们也可以用排列的方法来解决一些实际问题。
比如，在一家商店里，有10种不同的衣服，小王要挑选3种不同的衣服，问他共有多少种不同的选择方式？根据排列的计数方法，答案为$P^{10}_3=10\cdot 9 \cdot 8=720$种选择方式。
3.组合组合是另一个常见的计数问题。
组合是指从一个集合中选择一部分元素，并不考虑元素的排列顺序。
对于一个包含n个元素的集合，如果从中选择r个元素进行排列，则一共有$\frac{n!}{r!(n-r)!}$种组合方式。
组合问题在实际中也有着很多应用，例如在概率论中，组合问题用于计算事件发生的概率；在统计学中，组合问题用于计算样本的数量等。
组合问题也有着很多有趣的性质和应用，例如在计算机程序设计中，组合问题用于生成排列和组合的算法。
4.二项式定理二项式定理是组合的一个重要的应用。
它描述了二项式的幂的表达式。
计数方法和应用
计数方法和应用计数是一种非常基础和普遍的数学概念，也称为计数学。
在日常生活和工作中，计数方法和技术被广泛应用。
本文将从计数方法和应用两个方面进行阐述。
一、计数方法1.1 基本计数原理基本计数原理是计数领域最基础的公理之一，也称为加法计数原理，是指如果一个事件发生的次数是 m，而另一个事件发生的次数是 n，则这两个事件连续发生的总次数是 m+n。
举个例子，假设一个学校有三个年级，每个年级有30 个学生，那么这个学校的学生总人数就是 3 × 30 = 90 人。
1.2 排列和组合排列和组合是计数中两个基本的概念。
排列是指 n 个元素中任取 r 个元素进行排列，不考虑元素的顺序。
排列数用 P(n,r) 来表示。
组合是指n 个元素中任取r 个元素进行组合，考虑元素的顺序。
组合数用 C(n,r) 来表示。
举个例子，假设有 ABC 三个字母，我们从中任取两个字母进行排列和组合，其结果如下：- 排列：AB, AC, BA, BC, CA, CB，共 6 种。
- 组合：AB, AC, BC，共 3 种。
1.3 树状图树状图是计数中一种常用的图形表示方法，也被称为树状图法。
它通过树的枝干和节及其上的符号来表示问题的分支和可能的结果。
树状图通常用于组合问题和排列问题。
举个例子，假设一个口袋里有三个苹果和两个梨，从中任取两个水果，可能的取法有：苹果-苹果、苹果-梨、梨-苹果、梨-梨、共 4 种可能。
这个问题的树状图可以如下表示：二、计数应用2.1 组合优化组合优化是计算机科学中的一个重要分支，其应用于各种领域，如图形学、数据库、网络等，旨在寻找最优的组合方案。
举个例子，在网络优化中，如何在一个有向图中找到最短或最快的路径是一个经典问题，可以用 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford算法以及其他更高级的算法来解决。
而求解这些问题的基础，则是组合优化的概念和算法。
2.2 计算概率计数方法还可以用于计算概率，这是概率论的基础之一。
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。
简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。
举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。
如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。
在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。
例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。
这个问题可以通过基本计数原理求解。
首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。
然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。
因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。
基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。
基本计数原理
基本计数原理基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它是指在一系列独立事件中，所有可能的结果总数等于各个事件可能结果数的乘积。
基本计数原理在概率计算和组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
首先，我们来看一个简单的例子，假设你有一件红色、一件蓝色和一件绿色的衬衫，一条黑色和一条白色的裤子，以及一双黑色和一双棕色的鞋子。
现在你要从这些衣物中挑选一套搭配，问你有多少种不同的搭配方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每种衣物的选择方式，然后将它们相乘即可得到总的搭配方式数。
首先，你有3种衬衫选择方式，然后有2种裤子选择方式，最后有2种鞋子选择方式，所以总的搭配方式数为3×2×2=12种。
这就是基本计数原理的应用，通过分别计算每个事件的可能结果数，然后将它们相乘得到总的可能结果数。
基本计数原理不仅可以用于简单的搭配问题，还可以用于更复杂的排列和组合问题。
例如，如果我们要从10个人中选出3个人组成一个委员会，那么根据基本计数原理，总共有10×9×8=720种不同的选委员会的方式。
这个例子中，我们可以看到基本计数原理的计算方法，首先选择第一个人有10种可能，然后选择第二个人有9种可能，最后选择第三个人有8种可能，将它们相乘得到总的可能结果数。
除了排列和组合问题，基本计数原理还可以应用于更复杂的情况，比如多阶段的选择问题。
例如，如果你要从一副扑克牌中抽取5张牌，问你有多少种不同的抽牌方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每次抽牌的可能结果数，然后将它们相乘即可得到总的可能结果数。
首先，第一次抽牌有52种可能，然后第二次抽牌有51种可能，以此类推，最后得到总的可能结果数为52×51×50×49×48。
通过这个例子，我们可以看到基本计数原理在解决多阶段选择问题时的应用。
总的来说，基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
计数原理
第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。
分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。
二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。
基本的计数原理
基本的计数原理计数是我们日常生活中不可或缺的一种能力，它涉及到我们对事物的量化和统计。
基本的计数原理是指在离散数学中，用于计算组合和排列的原理。
本文将介绍基本的计数原理及其应用。
一、基本的计数原理是指组合和排列的计数原则：1. 组合计数原理：组合是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个子集，其中元素的顺序不重要。
组合计数原理可以表示为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
2. 排列计数原理：排列是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个有序的集合，其中元素的顺序重要。
排列计数原理可以表示为P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
这两个计数原理是解决组合问题和排列问题的基础，通过运用组合和排列计数原理，我们可以更方便地解决实际问题。
二、基本的计数原理的应用基本的计数原理在不同领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 考试成绩排名：假设一场考试有n个学生参加，我们希望计算出某个学生的排名。
根据排列计数原理，我们可以计算出有多少种可能的排名情况，从而确定该学生的排名。
2. 同学小组分配：假设班级有n个学生，老师要将他们分为r个小组，每个小组人数可以不同。
根据组合计数原理，我们可以计算出不同分组情况的数量，从而帮助老师进行合理的分组安排。
3. 彩票中奖概率计算：彩票中奖的概率可以通过排列计数原理来计算。
假设彩票有n个号码，每次开奖选取r个号码，根据排列计数原理，我们可以计算出中奖的可能性。
4. 字符串的排列组合：在计算机领域，字符串的排列组合常常用于密码破解或者生成字典等场景。
通过排列组合计数原理，我们可以计算出字符串可能的组合情况。
以上仅是基本的计数原理应用的一些例子，实际应用场景非常广泛，涵盖了各个学科和行业。
总结：基本的计数原理是离散数学中重要的概念，用于计算组合和排列的原理。