卓顶精文2019初二上数学培优讲义四A 平面直角坐标系提高训练

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(推荐)北师大版八年级数学上册第三章《平面直角坐标系》同步提升练习2

3.2 平面直角坐标系一、填空题1．点)4,3(A到x轴的距离是__________，到y轴的距离是__________．2．点)3B到x轴的距离是__________，到y轴的距离是__________．,4(-3．点)5C到x轴的距离是__________，到y轴的距离是__________，到,0(-原点的距离是__________．4．点)3P关于x轴对称点的坐标是__________．,5(-5．点)5P关于y轴对称点的坐标是__________．,3(-6．点)4-P关于原点对称的点的坐标是__________．(-,2二、解答题1．（1）在直角坐标系中画出以)2,0(A，)4,3(B，)3,4(C为顶点的ABC∆．（2）在直角坐标系中画出以)3,2(A、)3,3(-,1(-D为顶点的四边形．-C、)3B、)2,4(-2．（1）在y轴上求出与原点的距离为3点的坐标．（2）在y轴上求出与点)1,0(的距离为4的点的坐标．3．如下图，正方形ABCD的边长为6．（1）求四个顶点的坐标．（2）求这个正方形的各边中点的坐标．4．已知正方形的边长为5，对角线与两坐标轴重合，求正方形各顶点的坐标．5．在直角坐标系中描出)5,2(A，，-各点，分别画出过B，)0,2()1,0()4,0(DCA、B两点和过C、D两点的直线，指出两条直线交点的坐标．6．（1）过)0,0(，)5,5(两点画直线；过)3,0(，)8,5(两点画直线，得到什么图形？（2）顺次连结三点)5,2(，--会得到什么图形？（3）顺B-A，)1,2()1,1(C次连结)1,6(BA，，，--得到什么图形？C)1,2()2,4()2,0(D7．一个菱形的边长是5，一条对角线的长是6，取两条对角线所在的直线作为坐标轴，求四个顶点的坐标（有两种情况）。

8．如下图，已知),0(BA，，两个同心圆的圆心为M，求这两个同心12,0()10圆面积的比．9．如下图，求ABC∆的面积．∆、ADC参考答案一、填空题1． 4，3 2．3，4 ３．5，0，5 ４．)3,5( ５．)5,3(-- ６．)4,2(二、解答题1．画图略2．（1）)3,0(或)3,0(- （2）)5,0(或)3,0(-3．（1）)6,0()6,6()0,6()0,0(D C B A ，，，（2）AB 的中点为)0,3(，BC 的中点为)3,6(，CD 的中点为)6,3(，AD 的中点为)3,0(．4．)0,225(，)225,0(，)0,225(-，)225,0(- 5．两条直线交点坐标为)2,1(.6．（1）两条平行线（2）直角三角形（3）平行四边形7．第一种情况：)4,0()0,3()4,0()0,3(，，，--第二种情况)3,0()0,4()3,0()0,4(，，，-8．由)10,0()12,0(B A ，知大圆半径为6，小圆半径为4221221=⨯-）（，因此，两圆面积比为494622=⋅⋅ππ. 9．ABC ∆的面积为12，ADC ∆的面积为4.。

北师大版初二数学秋季班(学生版) 第4讲平面直角坐标系--提高班

北师大初二数学8年级上册秋季版（学生版）最新讲义第4讲平面直角坐标系知识点1 有序数对像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）．注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序数对．【典例】1.如下图所示，B 表示为（4，5），B 左侧第二个人的位置是（）A. （2，5）B. （5，2）C. （2，2）D. （5，5）D C B A 五行三行六行六列五列四列三列二列一行一列2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？【方法总结】第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置．第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找出符合条件的线段．【随堂练习】1．（2018•柳北区三模）如图，象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则“炮”位于点（）A ．（﹣3，1）B ．（0，0）C ．（﹣1，0）D ．（1，﹣1）(街)(巷)23541145322．（2018•昌平区二模）第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办，某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示国际特色农产品馆的坐标为（﹣5，0），表示科技生活馆的点的坐标为（6，2），则表示多彩农业馆所在的点的坐标为（）A．（3，5）B．（5，﹣4）C．（﹣2，5）D．（﹣3，3）3．（2018•滦南县二模）如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（）A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4知识点2 各象限内点的坐标特征1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做横轴或x轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或y轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．2、象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．。

北师大版八年级上册数学[平面直角坐标系(提高版) 知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平面直角坐标系（提高）【学习目标】1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形.【要点梳理】要点一、确定位置的方法有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．【典型例题】类型一、确定物体的位置1．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示、例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示、按这种表示方式，南偏东30°方向78千米的位置，可用代码表示为__________.【思路点拨】根据题目的叙述可知：代码的前四位表示时间，前两位是几点，中间两位表示多少分，后两位是指距离，时间表示方向角，即正对钟表时按：上北，下南，左西，右东的方向，以钟面圆心为基准，时针指向所对应的时间．【答案】050078【解析】解：南偏东30°方向，时针正好指到5点00分，因而代码前4位是：0500，78千米的位置则代码的后两位是78．则代码是：050078．故答案填：050078．【总结升华】正确读懂题目的含义，是解决题目的关键，这一题目就是训练学生审题，理解题目的能力．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.有一个长方形ABCD ，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A ，B ，C ，D 各点的坐标.【答案与解析】解：本题答案不唯一，现列举三种解法.解法一：以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，边AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：A （0，0），B （5，0），C （5，3），D （0，3）.解法二：以边AB 的中点为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点和CD 的中点所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：A （﹣2.5，0），B （2.5，0），C （2.5，3），D （－2.5，3）.解法三：以两组对边中点所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图（3）： A （﹣2.5，－1.5），B （2.5，－1.5）， C （2.5，1.5）， D （－2.5，1.5）.【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x 轴和y 轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x 轴、y 轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.3.平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)．求△ABC 的面积．【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．【答案与解析】解：如图所示，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线与过B点平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ACED 为梯形，根据点A(－3，－1)、B(1，3)、C(2，－3)可求得AD ＝4，CE ＝6，DB ＝4，BE ＝1，DE ＝5，所以△ABC 的面积为：111()222ABC S AD CE DE AD DB CE BE =+--△ 111(46)5446114222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．举一反三：【变式】（2015春•莘县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示△ABC 各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【答案】解：（1）A（3，3），B（（﹣2，﹣2），C（（4，﹣3）；（2）如图所示：S△ABC=S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC==.类型三、坐标平面及点的特征4.（2016春•沂水县期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．【思路点拨】根据点的坐标特征一一求解.【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于坐标轴的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面．举一反三：【变式】若点C(x,y)满足x＋y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.【答案】三．5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．【答案与解析】解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然 B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，－4)，C点坐标为(0，－4)．【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．举一反三：【变式】点A(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为________．【答案】(2，3)或(－2，3)或(－2，－3)或(2，－3).。

初二上数学培优讲六A 平面直角坐标系提高训练

初二上数学培优讲六A 平面直角坐标系提高训练考点一、二次根式提高训练：1．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 2．若x<0，则xx x 2-= 3．若35-=x ，则562++x x 的值为。

4．当12a ≤时，化简21a -= 52= 6．若xy____x =，_____y =．7．若11x -<<1_____x +=．8．若01x <<=___ _ 9、计算或化简：（1） 2484554+-+ （2）)(102132531-⋅⋅；（23a10、已知：2420-=x ，求221x x +的值． 11、若代数式||112x x -+有意义，则x 的取值范围是什么？12、若x ，y 是实数，且2111+-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值。

13. 已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。

14、已知m15、已知：321+=a ，321-=b ，求b a b a 2222+-的值。

16、已知：2323-+=a ，2323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。

17、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 182440y y -+=，求xy 的值。

19. 当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。

20、已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。

21、已知：11a a +=+221a a +的值。

考点二、点到坐标轴的距离：例1：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.例2：已知：)54,21(-+a a A ，且点A 到两坐标轴的距离相等，求A 点坐标．考点三、求点的坐标例3、若点 A(a ，b ）在第三象限，则点 C （－a+1,3b －5）在第_____________象限．例4、P(－5，4）到x 轴的距离是________，到y 轴的距离是_________例5、与点P(a ，b ）与点Q(1，2)关于x 轴对称，则a+b=__________例6、如图1－5－18所示，已知边长为 1的正方把OABC 在直角坐标系中，B 、C 两点在第二象限内，OA 与x 轴外夹角为60°，那么B 点的坐标为_____例7、如图l －5－19 所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1；第二次将OA 1B 1变换成OA 2B 2 ，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，已知 A(1，3)， A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3），B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3 (6，0）．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是_______；（2）若按第（1）题的规律将△OAB 进行第n 次变换，得到△OAnB n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律推测An 的坐标是______，B n 的坐标是_____________.考点四、坐标平移例8、在平面直角坐标系中，将点)5,2(-向右平移3个单位长度，可以得到对应点坐标（，）；将点)5,2(--向左平移3个单位长度可得到对应点（，）；将点)5,2(+向上平移3单位长度可得对应点（，）；将点)5,2(-向下平移3单位长度可得对应点（，）。

平面直角坐标系全章提升练习

1平面直角坐标系全章提升练习姓名：1、按下列条件确定点P （x ，y ）的位置：⑴x ＝０，y ＜０，则点P 在＿＿＿＿＿； ⑵xy ＝０，则点P 一定在＿＿＿＿；⑶｜x ｜＋｜y ｜＝０，则点P 在＿＿＿＿＿； ⑷若xy ＞０，则点P 在＿＿＿＿． 2、己知点P （x ，y ）位于第二象限，并且满足y ≤x ＋４，x 、y 为整数，写出一个符合上述条件的点P 的坐标＿＿＿。

3、己知点P 在笫四象限，它的横、纵坐标之和为－３，写出一个符合上述条件的点的坐标＿＿＿＿。

4、已知点P （５a －７，－６a －２）在第二、四象限的角平分线上，则a ＝＿＿＿＿。

5、已知点P （x ，y ）关于原点对称的点在第三象限内，则Q （－y ＋１，x －３）关于x 轴对称的点在第＿＿＿＿＿象限。

6、已知平行四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－２，０），B （－１，４），C （４，４），D （３，０），则平行四边形的面积是＿＿＿＿＿。

7、点P （－３，－b ）与P ′（a －１，３）关于x 对称，则（２a ＋b ）２００８为＿＿＿＿＿＿。

8、己知点P （x ，y ）满足条件x ＋y ＜０，xy ＞０，则点P 在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限9、下列说法中，不正确的是（） A ．点（３，０）在横轴上，点（０，３）在纵轴上 B ．两条互相垂直的数轴的垂足为原点 C ．若x ≠y ，则（x ，y ）和（y ，x ）表示两个不同点的坐标 D ．如果A （a ，b ）、B （c ，b ）且a ≠c 、b ≠０，则AB ∥x 轴 10、点M （x ，y ）满足yx＝０那么点M 的可能位置是（）A ．x 轴上所有的点B ．除去原点后x 轴上的点的全体C ．y 轴上所有的点D ．除去原点后y 轴上的点的全体11、如果两个点到x 轴的距离相等，那么这两个点的坐标必须满足（）A 横坐标相等B 纵坐标相等C 横坐标的绝对值相等D 纵坐标的绝对值相等 12、对任意实数，点()22P x x x -，一定不在．．（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点1232008P P P P ⋅⋅⋅，，，的位置，则点的横坐标为． 14、已知点()32M -，，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，则点的坐标是．15、若），（）与，（13-m n N m M 关于原点对称，则 __________,==n m ． 16、如果p （a+b,ab ）在第二象限，那么点Q (a,-b) 在第象限. 17、在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(14)，，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒得到线段OA '，则点A '的坐标是． 18、线段CD 是由线段AB 平移得到的.点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （– 4，– 1）的对应点D 的坐标为（） A.（2，9） B.（5，3） C.（1，2） D.（– 9，– 4） 19、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（– 1，– 1）、（– 1，2）、（3，– 1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3） 20、已知P （0，a ）在y 轴的负半轴上，则Q （1,12+---a a ）在（） A. y 轴的左边，x 轴的上方 B. y 轴的右边，x 轴的上方C. y 轴的左边，x 轴的下方D. y 轴的右边，x 轴的下方 21、已知△ABC 的面积为3，边BC 长为2，以B 原点，BC 所在的直线为x 轴，则点A 的纵坐标为（） A ．3 B ．－3 C ．6 D ．±322、设点P （x ，y ）在第二象限，且|x|=1，|y|=2，则点P 的坐标是（）A ．（－1，2）B ．（－2，2）C ．（－1，－1）D ．（－2，－2）23、已知点A （2，－2），如果点A 关于x 轴的对称点是B ，点B 关于原点对称点是C ，那么点C 的坐标是（）A ．（2，2）B ．（－2，2）C ．（－1，－1）D ．（－2，－2）24、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y 轴对称的点是（） A ．（3，－2）（－3，－2） B ．（0，3）（0，－3） C ．（3，0）（－3，0）D ．（3，－2）（－3，2）yx P 1P O A125、已知点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标是（2，3），那么点P 关于原点的对称点P 2的坐标是（）A ．（－3，－2）B ．（2，－3）C ．（－2，－3）D ．（－2，3）26、若点A （x ，y ）在第三象限，则点B （－x ，－y ）关于x 轴的对称点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限27、点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （－m ，0）在（）A ． x 轴正半轴上B ．x 轴负半轴上C ．y 轴正半轴上D ． y 轴负半轴上28、平面直角坐标系内，点A （n ，－n ）一定不在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 29、当32＜m ＜1，点P （3m －2，m －1）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限30、如果点P （m+3，m+1）在直角坐标系的x 轴上，则点P 的坐标为_________31、在平面直角坐标系内，点P （2x －6，x －5）在第四象限，则x 的取值范围是_________ 32、一个平行四边形的三个顶点坐标分别为（0，0）（2，0）（1，2），另一个顶点在x 轴下方，则其坐标为_____________33、某地的电话月租费24元，通话费每分钟0.15元，则每月话费y （元）与通话时间x （分钟）之间的关系式是，某居民某月的电话费是38.7元，则通话时间是分钟，若通话时间62分钟，则电话费为元。

北师大版八年级数学上册：平面坐标系培优提高训练

北师大版八年级数学上册：平面坐标系培优提高训练一、选择题1、已知点A (m 2﹣2，5m +4)在第一象限的角平分线上，则m 的值为()A ．6B ．﹣1C ．﹣1或6D ．2或32、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是()A ．(2，2)B ．(﹣2，﹣2)C ．(2，2)或(﹣2，﹣2)D ．(﹣2，2)或(2，﹣2)3、如图，是A ，B ，C ，D 四位同学的家所在位置，若以A 同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，那么C 同学家的位置的坐标为（1，5），则B ，D 两同学家的坐标分别为A ．（2，3），（3，2）B ．（3，2），（2，3）C ．（2，3），（-3，2）D ．（3，2），（-2，3）4、观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为，12A 的坐标为．5、例、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为(1，0)，后面依次为(2，0)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，0)…，根据这个规律，第110个点的坐标为．二、填空题6、如果点P (x ，y )的坐标满足x +y ＝xy ，那么称点P 为“和谐点”，若某个“和谐点”到x 轴的距离为3，则P 点的坐标为．7、若点P (3a ﹣2，2a +7)在第二、四象限的角平分线上，则点P 的坐标是．8、若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是________．9、如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿直线EF 折叠，点A 恰好与点C 重合，若点B 的坐标为（5,3），则点F 的坐标是。

10、如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(﹣1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，﹣2)，…按这样的运动规律，动点P 第2020次运动到点()A ．(2020，﹣2)B ．(2020，0)C ．(2019，1)D ．(2019，0)三、解答题11、⑴已知点()23P x x +，在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为．⑵已知点()23P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为．⑶已知点()3553A a a ++，在第二、四象限的角平分线上，求2009a a +的值．12、已知点A （a ﹣1，﹣2），B （﹣3，b +1），根据以下要求确定a ，b 的值．（1）当直线AB ∥x 轴时，a ，b ；（2）当直线AB ∥y 轴时，a ，b ；（3）当点A 和点B 在二四象限的角平分线上时，求a ，b 的值．13、在平面直角坐标系xOy 中，有一点P (a ，b )，实数a ，b ，m 满足以下两个等式：2a ﹣6m +4＝0，b +2m ﹣8＝0．(1)当a ＝1时，点P 到x 轴的距离为；(2)若点P 在第一、三象限的角平分线上，求点P 的坐标；(3)当a ＜b 时，则m 的取值范围是．14、已知在平面直角坐标系中有A(－2，1)，B(3，1)，C(2，3)三点．请回答下列问题：(1)在坐标系内描出点A ，B ，C 的位置．(2)求出以A ，B ，C 三点为顶点的三角形的面积．(3)在y 轴上是否存在点P ，使以A ，B ，P 三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15、已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标；⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．图116、如图7，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝10，OC ＝8，在OC 边上取一点D ，若将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标．坐标系培优提高训练答案一、选择题1、已知点A (m 2﹣2，5m +4)在第一象限的角平分线上，则m 的值为()A ．6B ．﹣1C ．﹣1或6D ．2或3解：∵点A (m 2﹣2，5m +4)在第一象限的角平分线上，∴m 2﹣2＝5m +4∴m 2﹣5m ﹣6＝0，解得m 1＝﹣1，m 2＝6，当m ＝﹣1时，m 2﹣2＝﹣1，点A (﹣1，﹣1)在第三象限，不符合题意，所以m 的值为6．故选：A ．2、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是()A ．(2，2)B ．(﹣2，﹣2)C ．(2，2)或(﹣2，﹣2)D ．(﹣2，2)或(2，﹣2)解：∵点N 在第一、三象限的角平分线上，∴点N 到y 轴的距离也为2，当点N 在第一象限时，点N 的坐标为(2，2)；点N 在第三象限时，点N 的坐标为(﹣2，﹣2)．所以，点N 的坐标为(2，2)或(﹣2，﹣2)．故选：C ．3、如图，是A ，B ，C ，D 四位同学的家所在位置，若以A 同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，那么C 同学家的位置的坐标为（1，5），则B ，D 两同学家的坐标分别为A ．（2，3），（3，2）B ．（3，2），（2，3）B ．C ．（2，3），（-3，2）D ．（3，2），（-2，3）解：建立平面直角坐标系如图，点B （3，2），D （−2，3），故选D ．4、观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为，12A 的坐标为．解：()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1...3----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--.5、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为(1，0)，后面依次为(2，0)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，0)…，根据这个规律，第110个点的坐标为．解：从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、…，所以点的总个数为：1+2+3+4+…+n=or1)2，当n＝14时，14×(14+1)2=105，所以第110个点是当n＝15时的第5个点，即第15个斜边上点为：(1，15)，(2，14)，(3，13)，(4，12)，(5，11)…所以第110个点的坐标为(5，11)．故答案为(5，11)．二、填空题6、如果点P(x，y)的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则P点的坐标为．解：∵某个“和谐点”到x轴的距离为3，∴y＝±3，∵x+y＝xy，∴x±3＝±3x，解得：x=32或x=34．则P点的坐标为：(32，3)或(34，﹣3)．故答案为：(32，3)或(34，﹣3)．7、若点P(3a﹣2，2a+7)在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标是．解：∵点P(3a﹣2，2a+7)在第二、四象限的角平分线上，∴3a﹣2+2a+7＝0，解得：a＝﹣1，∴P(﹣5，5)．故答案为：(﹣5，5)．8、若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是________．解：设点M的坐标为(x，y)，∵点M在一、三象限的角平分线上，∴x=y，∵点M到x轴的距离为2，∴x=±2，∴点M的坐标为(2，2)或(－2，－2)．9、如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC沿直线EF折叠，点A恰好与点C重合，若点B的坐标为（5,3），则点F的坐标是。

17.专题平面直角坐标系中的规律题培优训练(一)(解析版)八年级数学上册专题培优训练

专题03 2020八上第五章《平面直角坐标系》中的规律题培优训练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，已知点A1(1,0)，A2(1,1)，A3(−1,1)，A4(−1,−1)，A5(2,−1)，…，则点A2020的坐标为()A. (505,505)B. (506,−505)C. (−505,−505)D. (−505,505)【答案】C【解析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上(A1和第四象限内的点除外)，逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2020的坐标．此题主要考查了点的坐标，属于规律型题目，解答此类题目一定要先注意观察，本题第三象限的点的坐标特点比较好判断，我们可以利用这一点达到简化步骤的效果．【解答】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，∵2020÷4=505，∴点A2020在第三象限，∴A2020是第三象限的第505个点，∴点A2020的坐标为：(−505,−505)．故选：C．2.如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1,1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2019的坐标为()A. (−1008,0)B. (−1006,0)C. (2,−504)D. (1,505)【答案】A【解析】观察图形可以看出A1--A4；A5---A8；…每4个为一组，由于2019÷4=504…3，A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．【解答】解：观察图形可以看出A1--A4；A5---A8；…每4个为一组，∵2019÷4=504 (3)∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，−2，−4，=−1008．∴A2019的横坐标为−(2019−3)×12∴A2019的坐标为(−1008,0)．故选：A．3.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把点P′(−y+1,x+1)叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(2,4)，点A2020的坐标为()A. (−3,3)B. (−2,−2)C. (3,−1)D. (2,4)【答案】C【解析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2020除以4，根据商和余数的情况确定点A2020的坐标即可．本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．【解答】解：∵A1的坐标为(2,4)，∴A2(−3,3)，A3(−2,−2)，A4(3,−1)，A5(2,4)，…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2020÷4=505，∴点A2020的坐标与A4的坐标相同，为(3,−1)．故选：C．4.如图，弹性小球从P(2,0)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则P2020的坐标是()A. (5,3)B. (3,5)C. (0,2)D. (2,0)【答案】D【解析】本题主要考查了点的坐标、坐标与图形变化−对称，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键．根据轴对称的性质分别写出点P1的坐标为、点P2的坐标、点P3的坐标、点P4的坐标，从中找出规律，根据规律解答．【解答】解：由题意得，点P1的坐标为(5,3)，点P2的坐标为(3,5)，点P3的坐标为(0,2)，点P4的坐标为(2,0)，点P5的坐标为(5,3)，2020÷4=505，∴P2020的坐标为(2,0)，故选：D ．5. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形OA 2020B 2020C 2020，如果点A 的坐标为(1,0)，那么点B 2020的坐标为( )A. (−1,1)B. (−√2,0)C. (−1,−1)D. (0,−√2)【答案】C 【解析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．．【解答】解：∵四边形OABC 是正方形，且OA =1，∴B(1,1)，连接OB ，由勾股定理得：OB =√2，由旋转得：OB =OB 1=OB 2=OB 3=⋯=√2，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB =∠BOB 1=∠B 1OB 2=⋯=45°，∴B 1(0,√2)，B 2(−1,1)，B 3(−√2,0)，B(−1,−1)，…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，∴点B 2020的坐标为(−1,−1)故选：C ．6. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2⏜，P 2P 3⏜，P 3P 4⏜，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0,1)，P2(−1,0)，P3(0,−1)，则该折线上的点P9的坐标为()A. (−6,24)B. (−6,25)C. (−5,24)D. (−5,25)【答案】B【解析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为(−6,25)，故选B．二、填空题7.如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)…，则三角形(2019)的直角顶点的坐标为______．【答案】(8076,0)【解析】先利用勾股定理计算出AB，从而得到△ABC的周长为12，根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环，由于2019=3×673，于是可判断三角形2019与三角形1的状态一样，然后计算673×12即可得到三角形2019的直角顶点坐标．本题考查了坐标与图形变化−旋转，规律型问题，解决本题的关键是确定循环的次数．【解答】解：∵A(−3,0)，B(0,4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=√32+42=5，∴△ABC的周长=3+4+5=12，∵△OAB每连续3次后与原来的状态一样，∵2019=3×673，∴三角形2019与三角形1的状态一样，∴三角形2019的直角顶点的横坐标=673×12=8076，∴三角形2016的直角顶点坐标为(8076,0)．故答案为：(8076,0)．8.如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为(√22,√22)，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n(n为正整数)，则点P2020的坐标是______．【答案】(0,−22019)【解析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP4=8=23，OP5=16=24…，OP n=2n−1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．【解答】解：∵点P1的坐标为(√22,√22)，将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1=1，OP2=2，∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，∴OP n=2n−1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8=252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是(0,−22019).故答案为：(0,−22019).9. 在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA 1→A 1A 2→A 2A 3→A 3A 4→A 4A 5…”的路线运动，设第n 秒运动到点P n (n 为正整数)，则点P 2020的坐标是______．【答案】(1010,0)【解析】每6个点的纵坐标规律：√32，0，√32，0，−√32，0，点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，…， n2，即可求解．本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．【解答】解：每6个点的纵坐标规律：√32，0，√32，0，−√32，0， ∵2020÷6=371…4，∴点P 2020的纵坐标为0，点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，…， n2，∴点P 2020的横坐标为1010，∴点P 2020的坐标(1010,0)，故答案为(1010,0)．10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1)，(3,0)…根据这个规律探究可得，第110个点的坐标为______．【答案】(15,10)【解析】观察点的坐标特点寻找规律即可．本题考查了阅读理解及总结规律的能力，找到横坐标和纵坐标的变化特点是解题关键．【解答】解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；…发现规律：因为1+2+3+4+⋯+14=105，因为在第14行点的走向为向上，所以第105个点的坐标为(14,13)，因为第15行点的走向为向下，故第110个点在此行上，横坐标为15，纵坐标为从106个点(15,14)向下数5个点，即为10；故第110个点的坐标为(15,10)故答案为(15,10)．11.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的第13个三角形的直角顶点的坐标为______．【答案】(48,0)【解析】利用勾股定理得到AB的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．本题考查了坐标与图形的变化−旋转，仔细观察图形，判断出旋转规律“每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键．【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=√AO2+BO2=5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，所以，第13个三角形的直角顶点在x轴上，横坐标为12×4=48，所以，第13个三角形的直角顶点的坐标为(48,0)，故答案为：(48,0)．12.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(2,4)，以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y=x于点B1.过B1点作B1A2//y轴，交直线y=2x于点A2，以O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y=x于点B2；过点B2作B2A3//y轴，交直线y=2x 于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y=x于点B3；过B3点作B3A4//y轴，交直线y=2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y=x于点B4，…按照如此规律进行下去，点B2020的坐标为______．【答案】(22021,22020)【解析】根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2020的坐标．本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为(2,4)，设点B1的坐标为(a,12a)，√a2+(12a)2=√22+42，解得，a=4，∴点B1的坐标为(4,2)，同理可得，点A2的坐标为(4,8)，点B2的坐标为(8,4)，点A3的坐标为(8,16)，点B3的坐标为(16,8)，……∴点B2020的坐标为(22021,22020)，故答案为：(22021,22020).13.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(a,b)，则经过第2013次变换后所得的A点坐标是______．【答案】(a,−b)【解析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2013除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2013÷4=503余1，∴经过第2013次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为(a,−b)．故答案为：(a,−b)．三、解答题14.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A(1,3)，A1(2,3)，A2(4,3)，A3(8,3)，B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为______，B4的坐标为______．(2)按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OA n B n，则A n的坐标为______，B n的坐标为______；(3)△OA n B n的面积为______．【答案】(1)(16,3)，(32,0)；(2)(2n,3)，(2n+1,0)；(3)3×2n．【解析】(1)根据题目中的信息可以发现A1、A2、A3各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3，故可求得A4的坐标；B1、B2、B3各点的坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都为0，从而可求得点B4的坐标．(2)根据(1)中发现的规律可以求得A n、B n点的坐标；(3)依据A n、B n点的坐标，利用三角形面积计算公式，即可得到结论．本题主要考查对点的坐标规律的掌握，关键是可以通过题目中的信息发现相应的规律，从而解答问题．【解答】解：(1)∵A1(2,3)、A2(4,3)、A3(8,3)．∴A4的横坐标为：24=16，纵坐标为：3．故点A4的坐标为：(16,3)．又∵B1(4,0)、B2(8,0)、B3(16,0)．∴B4的横坐标为：25=32，纵坐标为：0．故点B4的坐标为：(32,0)．故答案为：(16,3)，(32,0)．(2)由A1(2,3)、A2(4,3)、A3(8,3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3．故A n的坐标为：(2n,3)．由B1(4,0)、B2(8,0)、B3(16,0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0．故B n的坐标为：(2n+1,0)；故答案为：(2n,3)，(2n+1,0)；(3)∵A n的坐标为：(2n,3)，B n的坐标为：(2n+1,0)，×2n+1×3=3×2n．∴△OA n B n的面积为12故答案为：3×2n．。

初二数学培优卷――平面直角坐标系

初二数学培优卷――平面直角坐标系重要知识点：1.象限及坐标。

2.对称。

3.距离。

4.面积。

典型题：1．若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（）A ．（3，0）B ．（3，0）或（–3，0）C ．（0，3）D ．（0，3）或（0，–3）2．如果点P （5，y ）在第四象限，则y 的取值范围是（）A ．y ＜0B ．y ＞0C ．y ≤0D ．y ≥03．线段CD 是由线段AB 平移得到的。

点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （– 4，– 1）的对应点D 的坐标为（）A ．（2，9）B ．（5，3）C ．（1，2）D ．（– 9，– 4）4．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（– 1，– 1）、（– 1，2）、（3，– 1），则第四个顶点的坐标为A ．（2，2）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（2，3）5．点A 在x 轴上，位于原点的右侧，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为；点B 在y 轴上，位于原点的下方，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为；点C 在y 轴左侧，在x 轴下方，距离每个坐标轴都是5个单位长度，则此点的坐标为。

6.点M 在y 轴的左侧，到x 轴，y 轴的距离分别是3和5，则点M 的坐标是（）A.(-5,3) B 。

(-5，-3)C ．(5，3)或（-5，3）D 。

(-5，3)或（-5，-3）7、已知P(0，a)在y 轴的负半轴上，则Q(21,1a a ---+)在、A 、y 轴的左边，x 轴的上方、B 、y 轴的右边，x 轴的上方C 、y 轴的左边，x 轴的下方、D 、y 轴的右边，x 轴的下方8、已知△ABC 的面积为3，边BC 长为2，以B 原点，BC 所在的直线为x 轴，则点A 的纵坐标为( )A 、3B 、-3C 、6D 、±39.过点P 分别向坐标轴作垂线，且与坐标轴围成正方形的面积为4，则这样的点P 有（）.A.4个B.3个C.2个 D1个10、.点M （-3，-5）向上平移7个单位到点M ’的坐标为( )A.(-3,2)B.(-2,-12)C.(4,-5 )D.(-10,-5)11、.已知M （1,-2），N(-3,-2)则直线MN 与x 轴，y 轴的位置关系分别为（）A.相交，相交B.平行，平行C.垂直相交，平行D.平行，垂直相交1.M(a,b)且a <0,ab<0,则点M 在第象限。

初中数学平面直角坐标系提高题与常考题和培优题(含解析)之欧阳体创编

初中数学直角坐标系提高题与常考题和培优题(含解析)一．选择题（共12小题）1．已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．42．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）3．已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，﹣m+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）5．对于任意实数m，点P（m﹣2，9﹣3m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图为A、B、C三点在坐标平面上的位置图．若A、B、C的x坐标的数字总和为a，y坐标的数字总和为b，则a﹣b之值为何？（）A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣57．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）8．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，小手盖住的点的坐标可能是（）A．（6，﹣4）B．（5，2）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣3，4）10．如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣3）D．（﹣1，﹣3）11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出下列定义：若b′=，则称点Q为点的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5），如果一个点的限变点的坐标是（，﹣1），那么这个点的坐标是（）A．（﹣1，）B．（﹣，﹣1）C．（，﹣1）D．（，1）12．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；②g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；③h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以上变换有：f（g（h（2，﹣3）））=f（g（﹣2，3））=f （3，﹣2）=（﹣3，﹣2），那么f（g（h（﹣3，5）））等于（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，3）C．（5，﹣3）D．（﹣5，3）二．填空题（共13小题）13．点P（3，﹣2）到y轴的距离为个单位．14．点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是．15．线段AB的长为5，点A在平面直角坐标系中的坐标为（3，﹣2），点B的坐标为（3，x），则点B的坐标为．16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）=（﹣a，b）；②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于．17．将点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为．18．已知点P（2﹣a，2a﹣7）（其中a为整数）位于第三象限，则点P坐标为．19．如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．20．定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点P1点P到直线l1与l2的距离分别为p、q则称有序实数对（p，q）是点P的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（3，2）的点的个数有个．21．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．22．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为．23．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是．24．在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…．的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是．25．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是．三．解答题（共15小题）26．在如图所示的直角坐标系中描出下列各点：A（﹣2，0），B（2，5），C（﹣，﹣3）27．在如图中，确定点A、B、C、D、E、F、G的坐标．请说明点B和点F有什么关系？28．求图中四边形ABCD的面积．29．在平面直角坐标系中，点A（2m﹣7，m﹣5）在第四象限，且m为整数，试求的值．30．如图，一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校．（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立直角坐标系：（2）B同学家的坐标是；（3）在你所建的直角坐标系中，如果C同学家的坐标为（﹣150，100），请你在图中描出表示C同学家的点．31．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中B→C （，），C→（+1，）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；（3）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记作什么？32．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P 的坐标．33．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．34．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C （0，6），点B在第一象限内，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动）．（1）写出B点的坐标（）；（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P 的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．35．如图，某校七年级的同学从学校O点出发，要到某地P处进行探险活动，他们先向正西方向走8千米到A处，又往正南方向走4千米到B处，又折向正东方向走6千米到C处，再折向正北方向走8千米到D处，最后又往正东方向走2千米才到探险处P，以点O为原点，取O点的正东方向为x轴的正方向，取O点的正北方向为y轴的正方向，以2千米为一个长度单位建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中画出探险路线图；（2）分别写出A、B、C、D、P点的坐标．36．已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x 的值．37．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．（1）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；（2）直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．38．如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，3），B （2，3），C（2，﹣3），D（0，﹣3）．点P，Q是长方形ABCD边上的两个动点，BC交x轴于点M．点P从点O出发以每秒1个单位长度沿O→A→B→M的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿O→D→C→M的路线做匀速运动．当点Q运动到点M时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒，四边形OPMQ的面积为S．（1）当t=2时，求S的值；（2）若S＜5时，求t的取值范围．39．问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B （x2，y2），小明在学习中发现，若x1=x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1=y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；【应用】：（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为．（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD=2，则点D的坐标为．【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）=|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|=2+3=5．解决下列问题：（1）如图1，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F）；（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）=3，则t=．（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ 的面积为3，则d（P，Q）=．40．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…C n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3，B3，C3，D3；（2）请分别写出下列点的坐标：A n，B n，C n，D n；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．初中数学直角坐标系提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2017•河北一模）已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x 的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4【分析】直接利用x轴上点的纵坐标为0，进而得出答案．【解答】解：∵点P（x+3，x﹣4）在x轴上，∴x﹣4=0，解得：x=4，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握x轴上点的坐标性质是解题关键．2．（2016•柳州）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）【分析】根据平面直角坐标系以及点的坐标的定义写出即可．【解答】解：点P的坐标为（3，﹣2）．故选A．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的表示是解题的关键．3．（2016•临夏州）已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，﹣m+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据y轴的负半轴上点的横坐标等于零，纵坐标小于零，可得m的值，根据不等式的性质，可得到答案．【解答】解：由点P（0，m）在y轴的负半轴上，得m＜0．由不等式的性质，得﹣m＞0，﹣m+1＞1，则点M（﹣m，﹣m+1）在第一象限，故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，利用点的坐标得出不等式是解题关键．4．（2017•禹州市一模）已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）【分析】根据平移的性质，以及点A，B的坐标，可知点A的横坐标加上了4，纵坐标减小了1，所以平移方法是：先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，根据点B的平移方法与A 点相同，即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决问题的关键是运用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5．（2016•乌鲁木齐）对于任意实数m，点P（m﹣2，9﹣3m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据点所在象限中横纵坐标的符号即可列不等式组，若不等式组无解，则不能在这个象限．【解答】解：A、当点在第一象限时，解得2＜m＜3，故选项不符合题意；B、当点在第二象限时，解得m＜3，故选项不符合题意；C、当点在第三象限时，，不等式组无解，故选项符合题意；D、当点在第四象限时，解得m＞0，故选项不符合题意．故选C．【点评】本题考查了点的坐标，理解每个象限中点的坐标的符号是关键．6．（2016•台湾）如图为A、B、C三点在坐标平面上的位置图．若A、B、C的x坐标的数字总和为a，y坐标的数字总和为b，则a﹣b之值为何？（）A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5【分析】先求出A、B、C三点的横坐标的和为﹣1+0+5=4，纵坐标的和为﹣4﹣1+4=﹣1，再把它们相减即可求得a﹣b之值．【解答】解：由图形可知：a=﹣1+0+5=4，b=﹣4﹣1+4=﹣1，a﹣b=4+1=5．故选：A．【点评】考查了点的坐标，解题的关键是求得a和b的值．7．（2016•滨州）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．【解答】解：∵点A坐标为（0，a），∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），∴点C、D关于y轴对称，∵正五边形ABCDE是轴对称图形，∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，∴点B、E也关于y轴对称，∵点B的坐标为（﹣3，2），∴点E的坐标为（3，2）．故选：C．【点评】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴．8．（2016•菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9．（2016•盐城校级一模）如图，小手盖住的点的坐标可能是（）A．（6，﹣4）B．（5，2）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣3，4）【分析】先判断手所在的象限，再判断象限横纵坐标的正负即可．【解答】解：因为小手盖住的点在第四象限，第四象限内点的坐标横坐标为正，纵坐标为负，且横坐标的绝对值大于纵坐标的绝对值．故只有选项A符合题意，故选：A．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．10．（2016•安顺）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由题意可知此题规律是（x+2，y﹣3），照此规律计算可知顶点P（﹣4，﹣1）平移后的坐标是（﹣2，﹣4）．故选A．【点评】本题考查了图形的平移变换，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．11．（2016•临澧县模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P （a，b）和点Q（a，b′），给出下列定义：若b′=，则称点Q为点的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5），如果一个点的限变点的坐标是（，﹣1），那么这个点的坐标是（）A．（﹣1，）B．（﹣，﹣1）C．（，﹣1）D．（，1）【分析】根据新定义的叙述可知：这个点和限变点的横坐标不变，当横坐标a≥1时，这个点和限变点的纵坐标不变；当横坐标a＜1时，纵坐标是互为相反数；据此可做出判断．【解答】解：∵＞1∴这个点的坐标为（，﹣1）故选C．【点评】本题考查了点的坐标和对新定义的阅读理解，准确找出这个点与限变点的横、纵坐标与a的关系即可．12．（2016•高新区一模）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；②g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；③h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以上变换有：f（g（h（2，﹣3）））=f（g（﹣2，3））=f （3，﹣2）=（﹣3，﹣2），那么f（g（h（﹣3，5）））等于（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，3）C．（5，﹣3）D．（﹣5，3）【分析】根据f（a，b）=（﹣a，b）．g（a，b）=（b，a）．h （a，b）=（﹣a，﹣b），可得答案．【解答】解：f（g（h（﹣3，5）））=f（g（3，﹣5）=f（﹣5，3）=（5，3），故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）=（﹣a，b）．g （a，b）=（b，a）．h（a，b）=（﹣a，﹣b）是解题关键．二．填空题（共13小题）13．（2017春•海宁市校级月考）点P（3，﹣2）到y轴的距离为3个单位．【分析】求得3的绝对值即为点P到y轴的距离．【解答】解：∵|3|=3，∴点P（3，﹣2）到y轴的距离为 3个单位，故答案为：3．【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．14．（2016•衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是x＞2．【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可．【解答】解：∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，∴，解得：x＞2．故答案为：x＞2．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出关于x的不等式组是解题关键．15．（2017•涿州市一模）线段AB的长为5，点A在平面直角坐标系中的坐标为（3，﹣2），点B的坐标为（3，x），则点B的坐标为（3，3）或（3，﹣7）．【分析】由线段AB的长度结合点A、B的坐标即可得出关于x 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x值，由此即可得出点B的坐标．【解答】解：∵线段AB的长为5，A（3，﹣2），B（3，x），∴|﹣2﹣x|=5，解得：x1=3，x2=﹣7，∴点B的坐标为（3，3）或（3，﹣7）．故答案为：（3，3）或（3，﹣7）．【点评】本题考查了坐标与图形性质、两点间的距离公式以及含绝对值符号的一元一次方程，根据两点间的距离公式找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．16．（2016•黔南州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）=（﹣a，b）；②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于（﹣3，4）．【分析】根据三种变换规律的特点解答即可．【解答】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解三种变换的变换规律是解题的关键．17．（2016•广安）将点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为（﹣2，2）．【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．【解答】解：∵点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣3=﹣2，纵坐标为﹣3+5=2，∴A′的坐标为（﹣2，2）．故答案为（﹣2，2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．18．（2016•鞍山二模）已知点P（2﹣a，2a﹣7）（其中a为整数）位于第三象限，则点P坐标为（﹣1，﹣1）．【分析】根据第三象限点的坐标性质得出a的取值范围，进而得出a的值，即可得出答案．【解答】解：∵点P（2﹣a，2a﹣7）（其中a为整数）位于第三象限，∴，解得：2＜a＜3.5，故a=3，则点P坐标为：（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出a的取值范围是解题关键．19．（2016•山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是（3，0）．【分析】根据双塔西街点的坐标可知：1号线起点所在的直线为x轴，根据桃园路的点的坐标可知：2号线起点所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，确定太原火车站的点的坐标．【解答】解：由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）【点评】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．20．（2016•厦门校级模拟）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点P1点P到直线l1与l2的距离分别为p、q则称有序实数对（p，q）是点P的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（3，2）的点的个数有4个．【分析】首先根据“距离坐标”的含义，可得“距离坐标”是（3，2）到直线l1与l2的距离分别为3、2，然后根据到直线l1的距离是3的点在与直线l1平行且与l1的距离是3的两条平行线上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线上，一共有4个交点，所以“距离坐标”是（3，2）的点的个数有4个，据此解答即可．【解答】解：“距离坐标”是（3，2）到直线l1与l2的距离分别为3、2，因为到直线l1的距离是3的点在与直线l1平行且与l1的距离是3的两条平行线上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线上，一共有4个交点，所以“距离坐标”是（3，2）的点的个数有4个．故答案为：4．【点评】此题主要考查了点的“距离坐标”的含义以及应用，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：“距离坐标”是（3，2）到直线l1与l2的距离分别为3、2．21．（2016•汕头校级自主招生）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是（9，2）；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是（2016，672）．【分析】设走完第n步时，棋子所处的位置为点P n（n为自然数），根据走棋子的规律找出部分点P n的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P3n+1（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）”，依此规律即可得出结论．【解答】解：设走完第n步时，棋子所处的位置为点P n（n为自然数），观察，发现规律：P1（1，0），P2（3，0），P3（3，1），P4（4，1），…，∴P3n+1（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）．∵8=3×2+2，∴P8（9，2）．∵2016=3×671+3，∴P2016（2016，672）．故答案为：（9，2）；（2016，672）．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标变化，解题的关键是找出变化规律“P3n+1（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的变化找出变化规律是关键．22．（2016•岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为（504，﹣504）．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．【解答】解：由规律可得，2016÷4=504，∴点P2016的在第四象限的角平分线上，∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），∴点P2016（504，﹣504），故答案为（504，﹣504）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．23．（2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是（20，0）．【分析】根据图形分别求出n=3、6、9时对应的点的坐标，可知点P3n（n，0），将n=20代入可得．【解答】解：∵P3（1，0），P6（2，0），P9（3，0），…，∴P3n（n，0）当n=20时，P60（20，0），故答案为：（20，0）．【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=3、6、9时对应的点的对应的坐标是解题的关键．24．（2016•金华模拟）在平面直角坐标系中，A（1，1），B （﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…．的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（0，﹣2）．【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，2016÷10=201…6，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置，即CD中间的位置，点的坐标为（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2016个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．25．（2016•乐亭县一模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是（2016，0）．【分析】观察动点P运动图象可知，运动次数为偶数时，P点在x轴上，比较其横坐标与运动次数发现规律，根据规律即可解决问题．【解答】解：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等，∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是（2016，0）．故答案为：（2016，0）．【点评】本题考查了点的坐标以及数的变化，解题的关键是发现“当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等”这已变化规律．本题属于基础题，难度不大，解题时可先看求什么？根据所求再去寻找规律能够简化很多．三．解答题（共15小题）26．（2016春•黄埔区期末）在如图所示的直角坐标系中描出下列各点：A（﹣2，0），B（2，5），C（﹣，﹣3）【分析】根据平面直角坐标系中点的表示方法找出各点的位置即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的表示方法是解题的关键．27．（2016秋•商河县校级月考）在如图中，确定点A、B、C、D、E、F、G的坐标．请说明点B和点F有什么关系？【分析】从图形中找到各点对应的横纵坐标，从而进行求解．【解答】解：各点的坐标为：A（﹣4，4）、B（﹣3，0）、C （﹣2，﹣2）、D（1，﹣4）、E（1，﹣1）、F（3，0）、G（2，3），点B和点F关于y轴对称，且关于原点对称．【点评】本题考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，是一道简单的基础题．28．（2017春•滨海县月考）求图中四边形ABCD的面积．【分析】由图可得：四边形ABCD的面积=矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积，即可解答．【解答】解：如图，S四边形ABCD=S矩形EFGH﹣S△AEB﹣S△AHD﹣S△BFC﹣S△CDG==25．【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是结合图形四边形ABCD的面积=矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积．29．（2016春•垦利县期末）在平面直角坐标系中，点A（2m ﹣7，m﹣5）在第四象限，且m为整数，试求的值．【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列不等式组求出m的取值范围，再根据m是整数解答即可．【解答】解：∵点A（2m﹣7，m﹣5）在第四象限，∴解得：．∵m为整数，。

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初二上数学培优讲义四A 平面直角坐标系提高训练
一、基础知识梳理：
1、在平面内，且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；
2、坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和唯一的一对有序实数对（b a ,）
一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；
3、x 轴上的点，纵坐标等于；y
轴上的点，横坐标等于；坐标轴上的点不属于任何象限； 4、四个象限的点的坐标具有如下特征：
小结：（1）点P （y
x ,）所在的象限横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；（2）点P （y x ,）所在的数轴横、纵坐
标x 、y 中必有一数为零；
5、在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则
（1）点P 到x 轴的距离为；（2）点P 到y 轴的距离为；（3）点P 到原点O 的距离为PO ＝
6、平行直线上的点的坐标特征：
a) 在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标；
点A 、B 的纵坐标都等于；
y 轴平行的直线上，所有点的横坐标；
点C 、D 的横坐标都等于； 7、对称点的坐标特征：
象限横坐标x
纵坐标y
第一象限第二象限第三象限第四象限
-3 -2 -1 0 1 a b 1
-1
-2
-3
P(a,b)
Y
x X
Y
A
B
m X
Y
C
D n
a
b
a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为； b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为； ),(3n m P --，即横、纵坐标都互为；
关于x 轴对称关于y 轴对称关于原点对称 8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： a) 若点P （n
m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即坐标相等；）在第二、四象限的角平分线上，则，即互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上二、知识点训练
知识点一、平面直角坐标系、点的坐标
例1、在直角坐标系中，点A 位于y 轴左侧，距y 轴5个单位长度，在x 轴上方，距x 轴3个单位长度，则点A 坐标为．
例2、在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点A (1,1)，在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数共有（）．A ．4B ．3C ．2D ．1 知识点二、特殊位置上的点的坐标特点
例3、已知点)3,2(-+b a P ①若P 在x 轴上，则=b ；②若P 在y 轴上，则=a ；③若P 在第四象限，则a ；b ；例4、点(,2)P a a -在第四象限，则a 的取值范围是（） A ．—2<a <0B ．0<a <2C ．a >0D ．a <0
例5、若点），（2+-+b a b a P 在一、三象限两轴夹角平分线上，则=a ；=b ；知识点三、建立直角坐标系求点的坐标
例6、对于边长为6的正三角形ABC ，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．例7、如图，正六边形ABCDEO 的边长为a ，求各顶点的坐标．
知识点四、求线段的长度和图形的面积：
例8:在直角坐标系中，四边形ABCD 各个顶点的坐标为A(0,0)、B(7,0)、C(6,4)、D(2,5)
X y
P 1
P n n -
m O X
y
P
2P
m m - n O X y
P
3P
m m -
n
O n - X
y
P m n O
y
P m
n O
X
，确定四边形的面积。

例9：如图，AB=6,AC=5,∠BAC=120°,求（1）B 点的坐标；（2）BC 的长。

例10：已知两点A （0，2），B(4,1),点P 在x 轴上，求PA+PB 的最小值。

例11：如图，四边形ABCO 是正方形，点C （4，0）。

（1）写出A 、B 两点的坐标。

（2）若E 是线段BC 上一点，∠AEB=60°,沿AE 折叠正方形，折叠后点B 落在平面内F 点处，求出F 点的坐标。

（3）若E 点是BC 直线上任意一点，问是否存在这样的点使正方形ABCO 沿AE 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的某一点P 处？若存在，写出此时点P 和点E 的坐标。

知识点五：两点间的距离与点的对称：
例12、求下列各点关于x 轴、y 轴、以及原点对称的点
（1）A （-3，0）（2）B （0，6）（3）C （2，-7）（4）D （2，3）
例13、求A 、B 两点的距离：（1）A （2，0），
B （-3，0）（2）A （0，6），B （0，-3）
（3）A （4，5），B （2，-7）（4）A （2，2），B （-3，3）
例14、在平面直角坐标系中，已知：)2,1(A ，)4,4(B ,在x 轴上确定点C ，使得BC AC +最小．
知识点六、平行线：例16：已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m = 三、巩固训练
1.直线a 平行于x 轴，且过点（－2，3）和（5，y ），则y ＝
2.若点M （a －2，2a+3）是x 轴上的点，则a 的值是
点
A （-3，0）
B （0，6）
C （2，-7）
D （2，3）关于x 轴对称点关于y 轴对称点关于原点对称点
3.已知点P 的坐标（2－a ，3a+6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是
4.已知点Q （－8，6），它到x 轴的距离是，它到y 轴的距离是
5.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(11)，，点B 的坐标为(111)，，点C 到直线AB 的距离为4，且ABC △是直角三角形，则满足条件的点C 有个．
6.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为．
7.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐
标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)求点C ，D
的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形
(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ∆＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．
D
C
3-1
B
A O
x
y。