平面向量的减法
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。
在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。
平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。
1.平面向量的加法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。
即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。
2.平面向量的减法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。
即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。
3.平面向量的数量乘法：设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为aa=aaa+aaa。
即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。
4.平面向量的点积（内积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。
即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结果。
点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。
5.平面向量的叉积（外积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。
即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。
平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。
1.交换律：平面向量的加法满足交换律，即a+a=a+a。
2.结合律：平面向量的加法满足结合律，即(a+a)+a=a+(a+a)。
3.分配律：数量乘法和加法之间满足分配律，即a(a+a)=aa+aa。
4.点积的分配律：点积的分配律表示为(a+a)·a=a·a+a·a，其中a、a和a 分别是平面向量。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是研究平面上的几何对象之一，它具有大小和方向。
平面向量可以进行一系列的基本运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及点积与叉积等。
本文将介绍平面向量的基本运算方法及其应用。
一、向量的加法向量的加法指的是将两个或多个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体而言，设有向量 a 和 b，它们的坐标表示分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则它们的加法定义为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2)例如，若有向量 a = (2, 3) 和 b = (1, -2)，则 a + b = (2 + 1, 3 + (-2)) = (3, 1)。
二、向量的减法向量的减法指的是将两个向量相减得到一个新的向量。
设有向量 a和 b，它们的坐标表示分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则它们的减法定义为：a -b = (x1 - x2, y1 - y2)例如，若有向量 a = (2, 3) 和 b = (1, -2)，则 a - b = (2 - 1, 3 - (-2)) = (1,5)。
三、数量乘法数量乘法指的是将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有向量 a 和实数 k，它的坐标表示为 (x, y)，则它的数量乘法定义为：k * a = (k * x, k * y)例如，若有向量 a = (2, 3) 和实数 k = 3，则 k * a = (3 * 2, 3 * 3) = (6,9)。
四、点积与叉积点积是向量运算中的一种运算方法，用于计算两个向量之间的夹角。
设有向量 a 和 b，它们的点积定义为：a ·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长，θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
叉积是向量运算中的另一种运算方法，用于计算两个向量所得到的面积。
设有向量 a 和 b，它们的叉积定义为：a ×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长，θ 表示 a 和 b 之间的夹角，n 表示 a 和 b 所在平面的法向量。
高中数学-平面向量的减法
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
例3：如图平行四边形ABCD, AB a,
DA b,OC c, 证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
B
a
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BDCD
解:原式 CB BDCD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
知识小结
1、理解向量减法的定义 2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
思想方法小结
D
b, 使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、减向量的终点指向被减向量的终点
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量的运算法则是指在平面向量的加法、减法和数乘运算中遵循的规则和原则。
这些法则是基于平面向量的定义和性质而得出的，能够帮助我们简化向量计算和解决与向量相关的问题。
本文将详细介绍平面向量的加法、减法和数乘运算法则，以及运用这些法则解决实际问题的方法。
一、平面向量的定义平面向量是指在平面上有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用大写字母表示，例如A、B等。
平面向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以表示复杂的数学概念，如几何矢量、向量函数等。
二、平面向量的加法法则1. 三角形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A的末端画出向量B，则以A为起点、B的末端为终点的直线段就表示了平面向量A+B。
2. 平行四边形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A 的末端画出平行于B的直线段，则以A为起点、B的终点为终点的直线段就表示了平面向量A+B。
加法运算满足交换律和结合律，即对于任意平面向量A、B和C，有：A+B=B+A （交换律）(A+B)+C=A+(B+C) （结合律）三、平面向量的减法法则平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有两个平面向量A和B，要计算A-B，可以先求出B的相反向量-B，然后将A与-B相加，即可得到A-B。
四、平面向量的数乘法则设有一个平面向量A和一个实数k，要计算kA，可以将向量A的长度乘以k，并保持与A同向或反向（根据k的正负确定）。
得到的新向量kA的长度是原向量A的长度的k倍，方向与A相同或相反。
数乘运算满足分配律和结合律，即对于任意平面向量A和B，以及任意实数k和m，有：k(A+B)=kA+kB （分配律）(km)A=k(mA) （结合律）五、平面向量运算法则的应用平面向量运算法则在解决与向量相关的问题时具有广泛的应用。
应用这些法则可以帮助我们简化向量运算过程，提高计算的准确性和效率。
1. 合成与分解：利用平面向量的加法法则，可以将一个向量表示为若干个已知向量的和，这称为合成。
平面向量的基本运算总结
平面向量的基本运算总结平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。
在数学和物理学中，平面向量的运算是十分重要的。
本文将对平面向量的基本运算进行总结，包括向量的加法、减法、数乘以及数量积等。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足以下几个性质：- 交换律：A + B = B + A- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)- 零向量：对于任意向量 A，有 A + 0 = A2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即 A - B = A + (-B)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
向量的数乘满足以下性质：- 结合律：k(A + B) = kA + kB- 分配律：(k + l)A = kA + lA- 分配律：k(lA) = (kl)A- 数乘零向量：0A = 04. 数量积数量积（也称为点积或内积）是向量的一种运算，结果为一个实数。
数量积可以通过向量的坐标表示为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模，θ 表示两个向量之间的夹角。
数量积满足以下性质：- 交换律：A·B = B·A- 分配律：A·(B + C) = A·B + A·C- 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)5. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
向量的模记作 |A|。
单位向量是指模为 1 的向量。
可以通过将向量除以其模来得到单位向量，即 u = A/|A|。
6. 运算实例以下是一些平面向量运算的实例：- 已知向量 A = (3, 4)，B = (-2, 1)，求 A + B。
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法一、向量的概念与表示在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量可以表示为一个有序的数对（a，b），其中a是向量在x 轴上的分量，b是向量在y轴上的分量。
向量通常用小写字母加箭头来表示，例如：→a。
二、向量的加法要进行向量的加法，我们需要将两个向量的对应分量分别相加。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的和向量→c = →a + →b可以表示为：→c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
三、向量的减法向量的减法与向量的加法类似，但是需要将相应分量相减。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的差向量→c = →a - →b 可以表示为：→c = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
四、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即对于任意向量→a和→b，→a + →b = →b + →a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即对于任意向量→a、→b和→c，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
3. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的分量均为0，通常用0或者→0表示。
对于任意向量→a，→a + →0 = →a。
4. 逆向量：对于任意向量→a，存在一个与之相反的向量−→a，使得→a + (−→a) = →0。
5. 数乘：向量的数乘指将向量的每个分量都乘以一个常数。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和常数k，k * →a = (k * a₁, k * a₂)。
五、向量的应用1. 位移向量：向量可以表示物体在平面上的位移。
例如，一个物体在平面上从点A移动到点B，可以用向量→AB来表示，它的分量为B的横坐标减去A的横坐标，以及B的纵坐标减去A的纵坐标。
2. 力学应用：向量在力学中有着广泛的应用。
例如，力可以用向量来表示，向量的方向表示力的作用方向，向量的大小表示力的大小。
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、引言在数学中，向量是一个朝着特定方向的量，它有大小和方向两个属性。
平面向量可以按照特定的法则进行加减运算，这使得我们可以方便地处理平面上的各种几何问题。
本文将详细介绍平面向量的加减法，在探讨其原理和应用的基础上，给出一些实例进行解析。
二、平面向量的定义平面向量是指在平面上的一个有方向的线段，可以用一个箭头来表示。
平面向量通常用字母加上一个箭头表示，如a→和b→。
其中，线段的起点称为向量的起点，线段的终点称为向量的终点。
平面向量还可以用坐标表示，如向量a→可以表示为(a₁, a₂)。
三、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量按照一定的法则相加得到一个新的向量。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的加法定义如下：a→ + b→ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)换句话说，平面向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
这一法则也可以简单归纳为平行四边形法则。
1. 加法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的和可以计算如下：a→ + b→ = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)四、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的减法定义如下：a→ - b→ = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)换句话说，平面向量的减法就是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
1. 减法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的差可以计算如下：a→ - b→ = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)五、平面向量的性质平面向量的加法和减法满足一些性质，下面列举几个重要的性质：1.交换律：a→ + b→ = b→ + a→2.结合律：a→ + (b→ + c→) = (a→ + b→) + c→3.零向量：对于任意向量a→，都有a→ + 0→ = a→4.反向量：对于任意向量a→，都有a→ + (-a→) = 0→这些性质对于解题和简化计算过程是非常有用的。
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任意向量与它的相反向量的和是 零向量 ，即
a (a ) (a) a 0 .
1、向量的减法：求两个向量差的运算（差仍为向量） 向量 a － b 等于 向量 a加上向量 b 的相反向量，即
a b a (b ) .
2、向量的减法的几何作法：
第一步：将向量a,b移至同一起点.
－b
第二步：作出向量b的相反向量-b.
a
(a b)
(a b)
a,b方向相反
a,b方向相同 O
b
B
|| a | | b || | a b || a | | b |
a,b方向相同
a,b方向相反
思考：若上述不等式中a，b为实数时还成立吗？有何区别？
若要使船能垂直过河，你能求出船自身行驶速度的大小与方向吗？
v0
v
(1)水流速度v0 10, 船自身航行速度v 10 3,求v的方向. (2)水流速度v0 10, 船自身航行速度与河岸成45 ,求v的大小.
a ab
练习2：
2. AB AD DB BA BC CA BC BA AC OD OA AD OA OB BA
例1、如图，平行四边形ABCD中，AB a ，AD b ，
用 a ，b 表示向量 AC 、DB .
D
C
b
A
a
B
解： 由平行四边形法则得：
AC a b
由作向量差的方法得
方向：当 当 当aaa， ,,bbb方 不 方向 平 向相 行 相同 时 反时 ， 时长 ， ，度：当 当 当aaa， ,,bbb方 不 方向 平 向相 行 相同 时 反时 ， 时， ，
练习1：如图，已知 a 、b ，求作 a b .
（1）
a
（2）
b ab
b
a
b
ab
（3）
b
a ab
b
（4）
b
b
b
解： (1)a与b方向相同 (2)a与b方向相反，且| a || b |
(3)a与b方向相反 (4)a与b方向相同，且| a || b |
(5)a与b所在直线垂(直6) | a || b |
思考：向量的加法、减法的记作作法都用到了三角形法则，由三
角形三边的关系易得：
A
D
|| a | | b || | a b || a | | b |
第三步：以向量a和-b的为邻边作平行四边形.
a b
第四步：取平行四边形中同起点的对角线即为差向量.
2、向量的减法的几何作法： 三角形法则
第一步：将向量a,b移至同一起点.
－b
第二步：连接向量a和b的终点，指向被减向量a.
a b
a (a b) b
平行四边形的两条对角线恰为向量a,b的和向量与差向量！！
DB AB AD a b
例2、化(1)AB BC AM M C (2)AB－AC BD DE C E (3)(AM－AN ) (MG GE) N E (4)NQ QP MN MP 0 (5)(AB CD) ( AC BD) 0
若船自身的速度方向垂直于河岸，船能垂直于河岸驶去吗？
v0
v
若要使船能垂直过河，你能求出船自身行驶速度的大小与方向吗？
1、向量的减法：求两个向量差的运算（差仍为向量）
相反向量 : 长度相等，方向相反的向量 记作 a ，
a 与 a 互为相反向量 .
(a ) a
AB BA
规定，零向量的相反向量仍是零向量 ，即 0 0 .
作业：教材习题2.1A组1～4题，B运算，向量加法、减法，数乘向量， 数量积.
高中数学《必修四》
平面向量的减法
1、向量的加法： 求两个向量和的运算（和仍为向量） 2、向量的加法的几何作法：
三角形法则（首尾相连首尾连）或平行四边形法则
b
a
a
3、向量的加法的符号运算以及运算率： b
AB CD BC AB A? ? B
数量是一维量，向量是一个二维量，既有大小又有方向，我们可以在数 轴上表示实数，可以在平面坐标系中表示向量.
平面向量在高中数学中还有工具性的作用，向量本身具有代数和几何的 双重意义，所以利用向量可以解决代数的也可以解决几何的问题.
要利用好这种工具，运算就必须要熟练，运算才是向量的灵魂，没有运 算，向量仅仅只能起一个路标的作用，有了运算，向量就“活”了.
练习1，已知AB, AD是两个不共线的向量， 求 AB AD, AB AD
D
C
A
B
AC AB AD DB AB AD
特殊的，
当a, b方向相同时：
a
b
ab
C
A
B
CB a b
当a, b方向相反时：
b
a
C
b
A•
a
B
CB a b
(1)两个向量的差仍然是一个向量 (2)a b 与a、b之间是关系：
例例23、已知a, b为非零向量，说出满足下列等式成立的条件。 (1) | a b || a | | b | (2) | a b || a | | b | (3) | a b || a | | b | (4) | a b || a | | b | (5) | a b || a b | (6)a b所在直线与a b所在直线垂直