最新：人教版九年级上册数学第24章《圆》小结与复习第2课时
【人教版九年级数学上册教案】24.1圆的有关性质(第2课时)
24.1 圆的有关性质
第 2课时
教课内容
1．圆心角的看法．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 弦相等．
在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
教课目标
认识圆心角的看法： 掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、 弧中有一个量的两个相等就可以推出其他两个量的相对应的两个值就相等，及其他们在解题中的应用．
经过复习旋转的知识， 产生圆心角的看法， 而后用圆心角和旋转的知识探究在同圆或等圆中，假如两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其他各组量都分别相等，最后应用它解决一些详尽问题．
重难点、要点
1．要点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与要点：探究定理和推导及其应用．
教课过程
一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△ OAB，以以下图，作出绕 O 点旋转 30°、 45°、 60°的图形．
A
B
O
老师评论：绕 O 点旋转， O 点就是固定点，旋转 30°，就是旋转角∠ BOB′ =30°．
二、探究新知
以以下图，∠ AOB 的极点在圆心，像这样极点在圆心的角叫做圆心角．
B A
O
（学生活动）请同学们按以下要求作图并回答以下问题：
以以下图的⊙ O 中，分别作相等的圆心角∠ AOB和∠ A′ OB′将圆心角∠ AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A′ OB′的地址，你能发现哪些等量关系？为何？
B
A
A'
B' O
AB = A'B' ，AB=A′B′
原由：∵半径 OA 与 O′ A′重合，且∠ AOB=∠ A′ OB′
∴半径 OB 与 OB′重合
人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论
人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点 如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
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人教版数学九年级上册第24章 圆 解答题专项测试(二)
九年级上册第24章 圆 解答题专项测试（二）
1．如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线；
（3）若DE＝，AB＝4，求AD的长．
2．如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DE⊥AB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD＝6，BE＝8，求EF的长；
（2）求证：CE＝EF．
3．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
4．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于
点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
5．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
6．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC＝6，求BE的长．
7．如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）求证：OA平分∠BAC．
（2）若＝3：2，试求∠BAC的度数．
8．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．
（1）求证：∠ECD＝∠EDC；
（2）若OC＝2，求DE长；
（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．
9．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，AC是⊙O的切线，C为切点．AD＝CD．
第二十四章“圆”重、难点及知识结构图
第二十四章 “圆”重、难点及知识结构图
小结1 本章概述
本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．
我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．
【本章难点】 垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．
小结3 学法指导
1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．
2021-2022学年人教版九年级数学上册第24章《圆》全章复习与巩固
学科教师辅导教案
学员编号：
年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
《圆》全章复习与巩固
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
人教版九年级数学上册第22章 二次函数小结与复习(第3课时)公开课精品教案
二次函数
教学时间 课题 《二次函数》小结与复习（3） 课型 新授课
教
学
目
标 知 识
和
能 力 1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
过 程
和
方 法
情 感
态 度
价值观
教学重点 利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
教学难点 将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、例题精析，引导学法，指导建模
1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销 售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－150 (x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945 (50－x)＋308万元。
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?
(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?
(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。
教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解 二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系(第二课时)课后练习
人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系（第二课时）课后练习
一、选择题
1．如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=23，则线段CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．32 D．332
2．如图，直线12//ll，O与1l和2l分别相切于点A和点B，点M和点N分别是1l和2l上的动点，MN沿1l和2l平移，若O的半径为1，60AMN，则下列结论不正确的是（ ）
A．1l和2l的距离为2 B．当MN与O相切时，3AM
C．433MN D．当90MON时，MN与O相切
3．如图，已知ABC，ABAC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E若54CDCE，，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．56 D．258
4．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB，6，BC，33，则下列结论：①F是CD的中点，②⊙O的半径是2，③AE，92CE，④S阴影，32．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（ ）
A．3 B．10
C．11 D．23
6．如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB，AC于D，E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．332 D．33
7．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（ ）
人教版九年级上册第24章圆第2课时垂径定理专题练习(无答案)
垂径定理综合应用
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
符号语言：
①垂直 ②直径 ③平分弦 ④平分弧
定理图形表示：
如图，在⊙O中，点A是圆上一点，OA⊥CD于点B，则BC＝BD，AC︵＝AD︵.
2. 解题关键：
（1）垂足是弦的中点 （2）直角三角形勾股定理的应用
3. 例题分析：
例1:如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝6，求线段AE的长．
例2：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．
例3：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
例4：已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（ ）
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
例5：如图，在半径为13的圆O中，弦AB和CD相交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，求CD的长。
4. 课内练习
练习1:如图，AB和CD分别是圆O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=21AB，求证：OM=21CD
练习2：如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为___________
练习3：如图，在半径为13的圆O中，弦AB和弦CD相交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，求CD的长。
练习4：如图，圆O经过点A、B、C三点，AB=AC，点P是⌒AB 的中点，连接PA，AO，BC=48，圆O的半径是25.
（1）求证：AO⊥BC；
（2）求AB的长；
（3）求PA的长。
练习5：如图所示，AC，AB是⊙O的弦，AC＝AB，且AC⊥AB，若OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形．
人教版数学九年级上册教案：第24章圆小结与复习
子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。第二十四章《圆》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
（一）圆的有关概念
1、圆（两种定义）、圆心、半径；
2、圆的确定条件：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径；
4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；
5、等圆、等弧，同心圆；
6、圆心角、圆周角；
7、圆内接多边形、多边形的外接圆；
8、割线、切线、切点、切线长；
9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。
（二）圆的基本性质
1、圆的对称性
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系 子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）
3、弧、弦、圆心角的关系
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。