不变量
物理学中的守恒律与不变量
物理学中的守恒律与不变量物理学是一门自然科学，研究物质的本质和相互作用的规律。
在物理学中，守恒律和不变量是非常重要的概念，这些概念帮助我们描述物理现象，并且在很多理论和实验研究中都扮演着重要的角色。
一、守恒律的概念守恒律是指在物理世界中，某些量的总量在时间上保持不变的基本规律。
这些量可以是能量、动量、角动量、电荷、质量等等，它们都是物理学中非常基础的概念，在我们观察和研究物理世界中都扮演着重要的角色。
在守恒律的定义中，有两个关键字，一个是“总量”，一个是“时间上不变”。
这意味着在一个封闭系统中，守恒量在整个系统中的总量是不会发生变化的，这个规律在物理学中是非常严格的。
二、守恒律的种类在物理学中，有很多种不同的守恒律。
我们来看一下其中比较常见的几种。
1. 能量守恒定律能量守恒定律是指在一个封闭系统中，能量的总量始终保持不变，只能从一种形式转换成另一种形式。
例如，光能可以转化为电能，电能可以转化为热能，但总能量不变。
2. 动量守恒定律动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总动量一直保持不变。
如果一个物体的动量增加，那么另一个物体的动量就会减少，使得总动量保持不变。
3. 角动量守恒定律角动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总角动量一直保持不变。
如果一个物体的角动量增加，那么另一个物体的角动量就会减少，使得总角动量保持不变。
4. 电荷守恒定律电荷守恒定律是指在一个封闭系统中，正电荷和负电荷的总量始终保持不变。
这个定律在电磁学中非常重要。
三、不变量的概念不变量是指在某些物理变化中，保持不变的量。
不变量和守恒律有一些相似之处，但是它们之间也有一些不同之处。
守恒律是指在整个系统中，某些量的总量是不会发生变化的。
而不变量是指在一个单独的物理变化中，某些量是不会发生变化的。
举例来说，如果我们在某个位置抛出一个物体，那么这个物体在不同的时间和位置上的速度和加速度都会发生变化，但是它的动量和动能是不会发生变化的，这些量就是不变量。
不变量
定理3.3 定理
二次曲面用不变量表示它的简化方程如下： 二次曲面用不变量表示它的简化方程如下：
2 2 2
I4 =0 ; (1) 当 I 3 ≠ 0 时, λ1 x + λ2 y + λ3 z + I3 I4 2 2 (2) 当 I 3 = 0, I 4 ≠ 0时, λ1 x + λ2 y ± 2 − z = 0 ; I2 K I 3 = I 4 = 0, I 2 ≠ 0 时, λ1 x2 + λ2 y2 + 2 = 0 ; (3) 当 I2
a14 x y a24 =0 a34 z a44 1
其中，λ是任意实数 ，经过坐标变换α = T α ′后，上式将变为
' a11 − λ ' a12 y′ z ′ 1) ' a13 ' a14 ' a12 ' a22 − λ ' a23 ' a24 ' a13 ' a23 ' a33 − λ ' a34 ' a14 ' a24 ' a34 ' a44
定理3.2 定理
在保持原点不动的直角坐标变换（即坐标旋转变换）下， K1 , K 2是不变量，称为半不变量.
证明: 证明 设直角坐标变换为α = T α ′，其中，T 是正交矩阵，
考虑如下二次曲面
a13 a11 −λ a12 a a −λ a 22 23 (x y z 1 12 ) a13 a23 a33 −λ a24 a34 a14
抓不变量解题技巧
抓不变量解题技巧
抓不变量是解题中重要的技巧之一。
不变量是指在问题的求解过程中保持不变的性质或条件。
通过抓住不变量，可以帮助我们更好地理解问题，分析问题，以及找到解决问题的方法。
以下是一些抓不变量的技巧：
1. 观察问题的性质：仔细观察问题，找出其中保持不变的性质。
这可能涉及到数据结构的变化、某种关系的变化或者特定的条件。
2. 列举特例：通过列举一些特殊情况，观察问题的变化规律。
这可以帮助我们找到问题保持不变的部分，并推导出通用的规律。
3. 使用归纳法：如果可以证明某种性质在问题的每一步都得以保持，那么该性质就是一个不变量。
使用归纳法来证明问题中的不变量，可以帮助我们更好地理解问题的解决过程。
4. 分析问题的关键步骤：将问题的求解过程分解为多个步骤，分析每个步骤中保持不变的性质。
这有助于我们更好地理解问题的解决方法，并指导我们进行下一步的求解。
5. 使用反证法：如果可以证明存在某个假设，使得问题的不变量被破坏，那么这个假设就是错误的。
通过使用反证法，可以帮助我们找到问题的不变量，并排除一些错误的假设。
6. 运用数学技巧：对于一些数学问题，我们可以使用一些数学技巧来抓住不变量。
例如，使用数学归纳法，找到问题中递推的关系等。
以上是一些常用的抓不变量的技巧，通过运用这些技巧，我们可以更好地分析和解决问题。
第23讲 不变量原理
第23讲不变量原理有一句容易记住的话：如果有重复，寻找不改变的东西！——A·恩格尔大千世界在不断地变化着，既有质的变化，更有量的变化。
俗话说：“万变不离其宗”。
在纷乱多样的变化中，往往隐藏着某种规律，这就需要我们透过表面现象，找出事物变化中保持不变的规律，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。
寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。
从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。
20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量。
影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chern class），正是刻画许多流形特征的不变量。
一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开端。
经典例题解析让我们通过一个简单例子来揭示不变量原理。
例1 在某部落的语言中一共只有两个字母：A和B，并且该语言具有以下性质：如果从单词中删去相连的字母AB，则词义保持不变。
或者说：如果在单词中的任何位置增添字母组合BA或AABB，则词义不变。
试问，能否断言单词ABB与BAA词义相同？解应当注意：在保持词义不变的各种增或删的变化之中，A与B总是增删同样的个数。
因此这些变化不会改变单词中两种字母的个数之差。
例如在如下一串“保义变化”中B始终比A多一个：B BBA BAABBBA BABBA→→→。
回到原来的问题：在单词ABB中，B比A多一个；而在单词BAA中，B却比A少一个！因此我们不能断言：这两个单词同义。
上述解答用实例说明了不变量原理运用的主要思路。
我们面对某些对象，对于它们可以进行一定类型的操作，在操作之后便提出了这样的问题：能否由一种对象变为另一种对象？为了回答这个问题，我们构造出某种量，这种量在所作的操作之下保持不变。
如果这种量对于所言的两个对象是不同的，那么便可给予所问的问题以否定的回答。
例2 10名乒乓球运动员参加循环赛,每两名运动员之间都要进行比赛.在循环赛过程中,1号运动员获胜x1次,失败y1次;2号运动员获胜x2次,失败y2次,等等.求证:x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.证明每个运动员共比赛9场,其获胜与失败总数和为9,即x i+y i=9(1<=i<=10).既然每场比赛一些运动员获胜,另一些运动员要失败,那么x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,从而(x12+x22+…+x102)-(y12+y22+…+y102) = (x12-y12)+…+(x102-y102) = 9[(x1+x2+…+x10)-(y1+y2+…+y10)] = 0所以x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.3,4,12出发，每一步可以选其中两个数,a b，并把它们换成例 3 从数组{}0.60.8a b -以及0.80.6a b +。
不变量
( x
x y 0 z 1
I 2 , I3 I3. I1 I1 , I 2 T T A T I4 0 TT
T 0
0 1
A T
a44 0
T 0
1 T 0 0 1
0 A 1 T
a44
TT A T A I4.
a22 a23 a24
K 2 a12 a22 a24 a13 a33 a34 a23 a33 a34 a14 a24 a44 a14 a34 a44 a24 a34 a44
定理3.2
在保持原点不动的直角坐标变换（即坐标旋转变换）下， K1 , K2是不变量，称为半不变量.
证明: 设直角坐标变换为 T ，其中，T 是正交矩阵，
T
' 1
a44 3 K12 K 2 A ,
比较和 2的系数得到
K K1, K K2 .
' 2
于是K1 , K2在保持原点不动的直角坐标变换下是不变的.
定理 （1）当 I3 I4 0 时，K 2 是不变量
（2）当 I2 I3 I4 K2 0时， K1 是不变量
T 0 1 T 0 1 0 a44
不变量解题四种方法
不变量解题四种方法一、引言不变量是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种问题。
在解题过程中，我们可以根据不变量的特性来判断某些事物是否发生了改变，从而得出结论。
本文将介绍四种使用不变量解题的方法。
二、方法一：数学归纳法1. 定义不变量：在使用数学归纳法时，需要定义一个与题目相关的不变量。
2. 假设成立：假设当n=k时，不变量成立。
3. 证明当n=k+1时也成立：利用假设成立的条件和题目条件，证明当n=k+1时，不变量仍然成立。
4. 结论：由数学归纳法可知，在所有正整数下，该不变量均成立。
三、方法二：矛盾法1. 假设反面命题为真：在使用矛盾法时，需要先假设反面命题为真。
2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。
3. 得出结论：由于假设反面命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。
四、方法三：最值法1. 寻找最值：在使用最值法时，需要寻找一个与题目相关的最值。
2. 证明不变量：通过对最值的分析，得出一个与题目相关的不变量。
3. 利用不变量解题：根据不变量的特性，可以得出结论。
五、方法四：反证法1. 假设反命题为真：在使用反证法时，需要假设反命题为真。
2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。
3. 得出结论：由于假设反命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。
六、总结以上四种方法都是基于不变量的思想来解决问题。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法。
同时，在使用这些方法时也需要注意分析问题、定义不变量等细节问题。
浅谈“不变量”在物理解题中的应用
浅谈“不变量”在物理解题中的应用在物理中，有许多物理量是不变的，如:质量、密度、比热、容器容积、物体体积、导体电阻大小等。
如果我们能巧妙地抓住这些不变量，就能顺利的解决有关问题。
一、质量不变例：一块90g的冰熔化成水后,体积是多少?解:由m水=m冰，得∨水﹦∨冰=90g÷1g∕cm3=90cm3二、、容器容积不变例：有一只空瓶的质量是20g，装满水后质量是120g，倒干净后再装满酒精质量是105g，问该酒精是否是纯酒精？解：由于瓶子容积不变，酒精和水的体积相同，先求出水的体积为100cm3就是酒精的体积，再用酒精的质量85g除以水的体积得到酒精的密度为0.85g∕cm3大于纯酒精的密度，因而不是纯酒精。
三、密度不变例：一位同学根据公式，密度=质量÷体积，得出结论;物质的密度跟它的质量成正比,跟它的体积成反比。
你认为这位同学的说法对不对？为什么？答：密度是物质的一种特性，同种物质不变，与质量和体积无关。
当然也可以说质量增大，体积也增大相同的倍数，比值不变。
四、物体体积不变例：飞机设计师为减轻飞机重量，将一钢制零件改为铝制零件，使其质量减少104kg,则需铝的质量是多少？(ρ铝=2.7×103kg/m3,ρ钢=7.9×103kg/m3)解：飞机上钢制零件改为铝制零件后，零件的体积不变，质量却减少了104kg，可以设所需铝的质量为m,则原来钢制零件的质量为m+104kg。
据体积相同，列出关系：m/ρ铝=（m+104kg）/ρ钢，代入数值后，求得m=54kg。
五、导体电阻不变例：一导体的电阻为15欧，当加在它两端的电压增大3v时，导体的电流将增大多少？解：设导体两端原来的电压为u1,电流为I1，则有I1=u1/R，设导体后来的两端电压为U2,电流为I2,由于电压增大后电阻不变，则有I２=U２/R两式相减，I2-I1=(U2-U1)/R，即△I=△U/R=3/15=0.2(A)。
不变量问题公式
不变量问题公式一、题目。
1. 有一杯盐水，盐和水的比是1:10，再放入2克盐，新盐水重35克，求原来盐水中盐和水各多少克？- 解析：新盐水重35克，原来盐水重35 - 2 = 33克。
因为原来盐和水的比是1:10，设原来盐有x克，则水有10x克，x+10x = 33，11x = 33，解得x = 3克，那么水有10×3 = 30克。
2. 某工厂甲车间人数与乙车间人数比为3:2，从甲车间调10人到乙车间后，甲车间人数与乙车间人数比变为7:8。
求原来甲、乙车间各有多少人？- 解析：设原来甲车间有3x人，乙车间有2x人。
调动后甲车间有3x - 10人，乙车间有2x+10人，根据调动后比例可得(3x - 10):(2x + 10)=7:8，即8(3x -10)=7(2x + 10)，24x-80 = 14x + 70，24x-14x = 70 + 80，10x = 150，x = 15。
所以原来甲车间有3×15 = 45人，乙车间有2×15 = 30人。
3. 一个分数，分子与分母的和是45，如果分子加上3，分母不变，这个分数就等于1。
求原来的分数。
- 解析：设原来分子为x，分母为y，则x + y=45，(x + 3)/(y)=1即x+3 = y。
将y=x + 3代入x + y = 45中，得x+(x + 3)=45，2x+3 = 45，2x = 42，x = 21，则y = 21 + 3 = 24，原来的分数是(21)/(24)。
4. 甲、乙两包糖的重量比是4:1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5。
求两包糖的总重量。
- 解析：设乙包糖原来重x克，则甲包糖原来重4x克。
(4x - 10):(x +10)=7:5，5(4x - 10)=7(x + 10)，20x-50 = 7x + 70，20x - 7x = 70+50，13x = 120，x=\frac{120}{13}\)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数应用题---------不变量
1。
阅览室看书的同学中，女同学占3/5 ，从阅览室走出4位女同学后，看书的同学中，女同学占5/9 ，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？
2、学校原有科技书、文艺书共630本，其中科技书占20% ，后来又买来一些科技书，这时科技书是总数的30% ，又买来科技书多少本？
3、有一堆糖果，其中奶糖占9/20 ，再放入16块水果糖，奶糖就占1/4 ，求这堆水果糖中奶糖有多少块？
4、甲、乙两班去植树，甲班人数是乙班的4/5 ，因甲班的任务太重，从乙班调16人到甲班，这时乙班的人数是甲班的3/4 ，甲、乙两班原来各有多少人？
5、某班一次集会，请假人数是出席人数的1/9，中途又有一个人请假离开。
这样一来，请假的人数是出席人数的3 / 22 。
那么，这个班共有多少人？
6 、甲、乙两人集邮，甲的邮票张数是乙的5/6 ，如果乙拿出12张邮票参加展览，则乙的邮票张数是甲的4/5 ，原来甲、乙各有邮票多少张？
7、两位小朋友去游乐场玩，门票是甲所有钱的6/25 ，是乙所有钱的3/5 ，当他们各自买了门票后，甲剩下的钱比乙剩下的钱多3元，甲乙买门票前各有多少钱？
8、学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占4/9 ，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的9/19 ，问后来又有几名女生来看书？
9、某工厂由若干名工人，其中女工占5/8。
后来又调进10名男工，这是女工占现有人数的3/5，这个工厂有女工多少名？
10、一个部队的特种兵部队中女兵占7/12，后来又调来了15名女兵，这样女兵占总人数的3/5 ，求原来有多少名士兵？
11、小明有的钱数是爸爸的3/4 ，小明给爸爸6元钱后，小明的钱数是爸爸的3/5，小明有多少元钱？
12、爸爸和妈妈一起包饺子，妈妈包的是爸爸的5/3倍。
如果妈妈把自己包好的饺子摆到爸爸那边55个，那么妈妈包的个数是爸爸包的个数的3/4，问妈妈和爸爸各包了多少个饺子？
13、五年级学生参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的5/6，如果从科技小组调出12人参加文艺小组，则科技小组是文艺小组人数的4/7 。
原来文艺、科技两个小组各有学生多少人？
14、操场上有108名同学在锻炼身体，其中女生占2/9 ，后来又来了几名女生，使女生人数达到男生人数的3/7 ，问: 后来又来了几名女生？
不变量
例题
60人报名参加数学竞赛，其中女生占1/4 ，赛前有几名女生因故没参加比赛，结果使参赛的女生变为参赛人数的2/11 ，正式参赛的女生有多少人？
姐弟共储蓄315元，姐姐储的钱占俩人储蓄总数的4/7，姐姐连续两次取款后，她的存款只有俩人储蓄总额的5/14，这时姐弟储蓄总额是多少元？
袋里有若干个球，其中红球占5/12 ，后来又往袋里放了6个红球，这时红球占总数的1/2 ，问：现在袋里有多少个球？
某纺织厂女工占工人总数的5/8 ，后来又调来30名女工，这时女工人数是男工人数的2倍。
问：现在厂里共有多少工人？
某工厂甲车间人数是乙车间人数的3/4 ，如果从乙车间调60人到甲车间，这时乙车间人数是甲车间的2/3 ，甲车间原有多少人？
五年级二班参加合唱团的人数占全班人数的1/7 ，后来又有1人参加合唱团，这时全班参加合唱团的人数是未参加合唱团的人数的1/5 。
问：五年二班有多少学生？。