各向同性湍流中的尺度及其相互作用问题
1
空间转换到谱空间。但这种方法并没有解除湍流相关理论的缺陷。另外，随着湍 流研究工作的深入，人们越来越多地注意到均匀各向同性湍流理论的一些内在矛 盾，在这种背景下，有必要重新考察均匀各向同性湍流理论的理论基础，本项研 究拟从一个新的理论角度出发，对现有的均匀各向同性湍流理论（包括可压缩湍 流的统计理论）进行全面的评估和发展,对一些有争议的湍流学术问题提出新的 见解。
=
c2t
+ c20
将第三个式子代入有
ν bl
=
c3t
+
c30
−
l
3
2b 2
db dt
= c1 ⎜⎛ c3 ⎝
ν ⎟⎞ − c1c30 bl ⎠ c3
+ c10
写成 Sedov 的形式
1 2b
dl dt
=
c2 c3
⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
−
c 2 c30 c3
+ c20
1 b
dl dt
= a1⎜⎜⎝⎛
同样的方法不难得到：
b(t) ∝ t −1
由此可以得到对于湍流系统存在一个守恒关系：
(3.5) (3.6) (3.7)
(3.8) (3.9) (3.10)
在本文中，我们引入记号
bl = cons tan t
(3.11)
I = bl 2
(3.12)
表示这种守恒关系。 另外的非幂级数解可以按一般方法计算。由此可以得到：湍流运动的多尺度表现为两个方面： ①对于湍流尺度的幂级数形式解，相对于参数而言，可以存在两种相似尺度； ②可以存在非幂级数形式解。
目录
[0]引言 [1]Karman-Howarth 方程 [2]自保持解 [3]尺度演化方程 [4]三元关联系数解 [5]Taylor 微尺度及守恒方程 [6]积分尺度及递推关系 [7]一般能谱公式 [8]大尺度动力学 [9]结论
引言
包括已故的诺贝尔奖获得者 Feynman 在内的好几位物理学家认为，湍流是 经典物理学中尚未得到解决的最后一个大难题。对湍流基础研究的进展，可以直 接导致许多实际工程及科学应用的进步。例如，坚实地掌握湍流机理，可以使工 程师减小汽车或民用客机的气动阻力，改进喷气歼击机的机动性，提高发动机的 燃料效率。在学术上，湍流研究促进了各学科的交叉。总之，湍流研究具有重要 的学术意义和应用价值。
f
2
+4 ξ
df dξ
⎟⎟⎠⎞
(1.6)
整理可以有
dh + 4 h = − l
dξ ξ
3
2b 2
db f dt
+ 1 dl ξ df + 2 b dt dξ
ν bl
⎜⎜⎝⎛
d2 dξ
f
2
+
4 ξ
df dξ
⎟⎟⎠⎞
(1.7)
固定 ξ ，对时间求偏导数，有
d
⎡ ⎢−
l
dt ⎢ 3
⎣ 2b 2
db dt
⎤ ⎥ ⎥
2
详细的理论推导见附录 1。可见相对于湍流参数来讲具有离散解，也有连续解。
[3]尺度演化方程
对于湍流的尺度，在自保持解假设下可以有尺度演化方程组[3]
1 b
dl dt
= a1⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
+
p
(3.1)
−l 3 b2
db dt
= a2 ⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
(3.2)
由第一式有
1 这里参数的定义为σ = a2 。 2a1
目前，由于理论和直接数值模拟工作的研究深入，越来越多的研究工作对于 人们认为已经成熟的均匀各向同性湍流理论提出了一些挑战问题，这里主要以不 可压缩湍流的尺度以及能谱方面所面临的挑战进行论述： ①各向同性湍流大尺度动力学。在湍流的谱空间中反映的是低波数段的行为，在 这一波数段主要是大尺度结构起作用，它直接与流动系统守恒量相关联。传统的 湍流理论预测的是在极低波数区湍谱是 Batchelor 谱，后来，Saffman 发现在一定 的条件下，可以得到另外的低波数段谱，即所称的 Saffman 谱。这两种谱形式是 矛盾的，并对应不同的系统守恒量，直接数值模拟的结果显示问题可能与初始的 能谱形式有关，如何在均匀各向同性湍流理论框架内得到问题的理解是一个没有 解决的理论问题； ②均匀各向同性湍流理论中一种比较有效的简化是 von Karman 提出的自保持假 设，这一假设的条件是流场存在单一的长度尺度和速度尺度，对于自保持解存在 的条件学术界一直存在讨论。最近，有工作显示出可能存在适合全湍流流场的统 一尺度，即所谓的 Taylor 微尺度系统，由此带来的问题是：如果存在这一尺度系 统，它如何与已有的 Kolmogorov 尺度系统所表征的结构相容，这一研究可能将 对已有的湍流理论在惯性区的普适性提出质疑； ③远耗散区的湍流能谱结构。对于较小的尺度，波数大于 Kolmogorov 波数的区 域，粘性是重要的，对于这种情形，湍流能谱形式一直存在较大的争论。经典理 论工作的结论，已被大量的数值模拟及实验结果所否定，另一个比较重要的进展
=
2ν b⎜⎜⎝⎛
∂2 ∂r
f
2
+
4 r
∂f ∂r
⎟⎟⎠⎞
(1.1)
2
这里
b = u2
f = 湍流的二元关联函数
h = 湍流的三元关联函数
有关理论可以参见标准的湍流专著。 引入自保持假设
ξ
=
r
l (t )
(1.2)
则有
∂f = df ∂ξ = − 1 dl ξ ∂t dξ ∂t l dt
[4]三元关联系数解
6
由前面的分析可以得到湍流三元关联系数的方程
dh dξ
+4 ξ
h
=
p ξf 2
′
(4.1)
此方程积分有
h(ξ ) =
p 2
1 ξ4
ξ
∫ξ 5
0
f
′(ξ )dξ
(4.2)
利用原方程将此式简化有
h(ξ
)
=
a2
5p − 5a1
⎡ ⎢⎣
f
′(ξ
f
⎦
+
d dt
⎡ ⎢⎣
2
1 b
dl dt
⎥⎦⎤ξ
df dξ
+
d dt
⎡ ⎢⎣
ν ⎤⎡d 2 f
bl
⎥⎦
⎢ ⎣
dξ
2
+4 ξ
df dξ
⎤ ⎥ ⎦
=
0
(1.8)
Sedov(1941,1950)分析了有关系数的几种可能分布，得到如下结论：
其中，系数为
c1 f
+ c2ξ
df dξ
+
c3
⎡ ⎢ ⎣
d2 dξ
f
+
⎜⎜⎝⎛
4 ξ
+
a1 2
ξ
⎟⎟⎠⎞
df dξ
+ a2 2
f
=0
(2.1)
边界条件如下
f (0) = 1
这一方程的解为1：
( ) 当σ = 5 时， f ξ
− a1 ξ 2
=e 4
2
f (∞) = 0
当k
=
σ
−
5
，
f
(ξ )
=
− a1 ξ 2
e4
F ⎜⎛
5
−σ,
5,
a1
ξ
2
⎟⎞
4
⎝2 2 4 ⎠
当k
ν bl
⎟⎟⎠⎞
+
p
−l 3 b2
db dt
= a2 ⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
+
q
将此式代入三元关联系数的方程有
dh + 4 h = p ξf ′ − q f dξ ξ 2 2
由 h 的对称性，按 ξ 的幂级数展开应该从三次方开始，从而有
由三元关联系数的对称性可以定出
q =0
以上构成湍流尺度演化方程组。
是有关参数对于 Rλ (以 Taylor 微尺度定义的 Reynolds 数)依赖性的发现，理论上，
目前仅有 Kraichnan 提出的直接相互作用理论（DIA）能给出一定的理论预测， 但如何在均匀各向同性湍流理论框架内得到问题的理解同样也是一个没有解决 的理论问题。 另外，小尺度湍流的间歇性质与 Navier-Stokes 方程的关系也未完全建立。总之， 尽管由于几代人的努力，各向同性湍流理论在取得成功的同时也存在巨大的挑 战，这些挑战，构成湍流统计理论新的发展方向。 本文以湍流自保持假设为基础，发展了一套新的理论分析方法，并对湍流统计理 论的诸多理论问题进行了阐述。
(1.3)
∂f = df ∂ξ = 1 df ∂r dξ ∂r l dξ
(1.4)
∂2 f = 1 d2 f ∂r 2 l 2 dξ 2
(1.5)
将上述各式代入 KH 方程有
db dt
f
−b l
dl ξ dt
df dξ
+
2b
3 2
⎜⎜⎝⎛
4h lξ
+
1 l
dh dξ
⎟⎟⎠⎞
=
2νb l2
⎜⎜⎝⎛
d2 dξ
5
dl dt
=
a1
⎜⎛ ⎝
ν l
⎟⎞ ⎠
+pb源自(3.3)对时间求导有
d 2l dt 2
=
−a1
⎜⎛ ⎝
ν l2
⎟⎞ dl ⎠ dt
+
p 2b
LES,DNS,RANS三种模拟模型计算量比较及其原因
LES,DNS,RANS模型计算量比较摘要：湍流流动是一种非常复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手段，现有的湍流数值模拟的方法有三种：直接数值模拟（Direct Numerical Simulation: DNS ），Reynolds 平均方法（Reynolds Average Navier-Stokes: RANS ）和大涡模拟（Large Eddy Simulation: LES）。
直接数值模拟目前只限于较小Re 数的湍流，其结果可以用来探索湍流的一些基本物理机理。
RANS方程通过对Navier-Stokes 方程进行系综平均得到描述湍流平均量的方程；LES 方法通过对Navier-Stokes 方程进行低通滤波得到描述湍流大尺度运动的方程，RANS和LES方法的计算量远小于DNS，目前的计算能力均可实现。
关键词：湍流；直接数值模拟；大涡模拟；雷诺平均模型1 引言湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，这种运动表现出非常复杂的流动状态，是流体力学中有名的难题，其复杂性主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计性1。
传统计算流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes （N-S）方程，根据N-S 方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为三种：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。
雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场紊动的细节信息。
大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到较雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用2 直接数值模拟 (DNS)湍流直接数值模拟 (DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整 的三维非定常的 N - S 方程组, 计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运 动量在三维流场中的时间演变。
大气工程中的各向同性与非各向同性湍流模拟
大气工程中的各向同性与非各向同性湍流模拟大气工程中的湍流模拟是一个重要的研究领域。
湍流是大气中常见的现象之一，它对于气象、空气污染和气候变化等方面都有着重要的影响。
而要研究湍流现象，就必须使用湍流模拟来进行分析。
湍流的模拟可以分为两种情况：各向同性湍流和非各向同性湍流。
各向同性湍流是指在三个空间方向上的湍流特性是相同的。
这种湍流模拟较为简单，因为不需要考虑方向的变化。
在大气工程中，各向同性湍流模拟通常用于研究大规模气流的运动和传输过程。
例如，通过模拟各向同性湍流，可以了解空气中颗粒物的扩散和输送规律，从而对空气污染的传播和控制有所帮助。
非各向同性湍流则是指在三个空间方向上的湍流特性不同。
这种湍流模拟相对复杂，需要考虑各个方向上的变化。
在大气工程中，非各向同性湍流模拟常常用于研究细小尺度的湍流结构和特性。
例如，在飞行器设计中，需要对飞机表面的气动特性进行模拟分析，而这种特性受到非各向同性湍流的影响。
另外，非各向同性湍流模拟还可用于研究气候变化方面的问题，如海洋混合层的形成和演变等。
湍流模拟的方法有很多种，其中最常用的是基于数值模拟的方法。
数值模拟方法通过在计算机上建立代表湍流特性的方程组，并使用数值算法进行求解，从而得到湍流的解析结果。
数值模拟方法的优点是可以对湍流进行全面的分析，但缺点是计算量大，对计算机性能要求较高。
除了数值模拟方法外，湍流模拟还可以通过实验方法进行。
实验方法通过设计合适的试验设备和测量方法，来获取湍流现象的数据。
其中最常用的实验方法是风洞实验和水槽实验。
风洞实验是通过模拟大气流动环境来研究湍流现象，而水槽实验则是通过模拟水流来研究湍流现象。
这些实验方法的优点是可以获得真实的湍流数据，但缺点是受到实验条件和测量误差的限制。
综上所述，大气工程中的湍流模拟是一个复杂而关键的研究领域。
通过各向同性湍流和非各向同性湍流模拟，可以对大气中的湍流现象进行分析和研究。
数值模拟和实验方法是湍流模拟中常用的方法。
03-均匀各向同性湍流
质疑的核心：湍动能耗散率不是一个常数
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
24
局部各向同性湍流的结构函数（5）
标度律
Kolmogorov的修正
层次结构标度律-佘振苏
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
25
局部各向同性湍流的结构函数（6）
随机函数的增量
大尺度的脉动相互抵消
脉动速度增量的统计矩
IFE , Zhejiang University
二阶 结构 函数
三阶 函数
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
18
局部各向同性湍流的结构函数（补充）
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
19
不可压缩均匀各向同性湍 流
− − − − 动力学方程 卡门-霍华斯方程 卡门-霍华斯方程应用 能量传输链
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
2
均匀各向同性的相关函数谱张量（1）
均匀各向同性湍流
均匀湍流
均匀各向同性湍流
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
14
不可压缩均匀各向同性湍流（8）
能量传输链
能量谱方程
记
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
15
不可压缩均匀各向同性湍流（9）
能量传输链
特征尺度
惯性区
IFE , Zhejiang University
流体流动中的湍流现象及其控制方法
流体流动中的湍流现象及其控制方法引言流体流动是一种自然现象，常见于大气环流、海洋洋流、河流水流、气候变化等多个领域。
在流体流动中，流体粒子会发生不规则的瞬时扰动，形成湍流。
湍流具有不稳定性和复杂性，对于一些工程和科学问题的研究和应用带来了挑战。
本文将介绍湍流现象的定义及其特点，讨论湍流的产生机制，并介绍一些湍流控制的方法。
湍流现象的定义及特点湍流是流体流动中的一种现象，其特点包括流速的不规则性、涡旋的形成和衰减、随机性等。
湍流流动的速度和方向时刻发生变化，无法通过简单的数学模型精确描述。
湍流的主要特点包括湍流能量的分层、湍流尺度的分布以及湍流建立和维持的能量交换过程。
湍流现象的定义可以通过雷诺数（Reynolds number）来描述。
雷诺数是流体力学中的一个无量纲数，用来表征流体流动的稳定性。
当雷诺数大于一定阈值时，流体流动将发生湍流现象。
湍流的产生与流体的运动速度、粘性和长度尺度有关。
湍流现象在自然界和工程领域具有广泛的应用。
在自然界中，湍流可以带动物种的迁移，产生大气环流、海洋洋流等自然现象。
在工程领域中，湍流可以影响飞机、汽车、船舶等流体力学性能，对于设计和优化这些工程系统至关重要。
湍流的产生机制湍流的产生机制主要包括不稳定性机制和能量耗散机制。
不稳定性机制是指当流体流动速度超过一定临界值时，流动将从稳定流动转变为湍流流动。
这种转变是由于流体粒子之间的相互作用导致的流动速度和方向的不规则变化。
能量耗散机制指的是湍流流动中由于摩擦引起的涡旋破裂和能量损失。
湍流的产生过程可以通过数值模拟和实验研究进行分析。
数值模拟通常基于流体动力学（computational fluid dynamics, CFD）方法，通过数值计算来模拟湍流流动的演化过程。
实验研究通常利用流体力学实验装置，在实验室中模拟湍流流动的产生和演化过程。
湍流控制的方法湍流控制是指通过改变湍流流动的性质和结构，来减小湍流的能量损失和不稳定性，提高流体流动的稳定性和效率。
第3章 均匀各项同性湍流
上面 称为洛强斯基不变量，它表示各向同性湍流场 衰减过程中某种统计特征量的守恒性。 3．均匀各向同性湍流的后期衰变 各向同性湍流的衰减后期，湍流脉动量很小，这时3阶相关 和2阶相关相比是高阶小量，因而可略去不计，于是不可压缩 各向同性湍流的后期衰变方程简化为：
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.1 不可压缩均匀湍流的 阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 不可压缩均匀湍流的2阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 动力学方程
谱张量动力学方程
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程 方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。 由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。 于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。 在能量传输过程中，压强在各个脉动分量间起调节作用，如 果物理空间中初始脉动场的动能在各个分量间分配不均匀，压强 梯度将使它们逐渐均分。
3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输
1 含能波数和含能尺度 谱最大值的波数定义为含能波数 kin ，它的倒数定义为含能尺度L，即
可以估计含能尺度的量级等于
在含能尺度范围内(又称含能区)，湍动能通过惯性传输能量， 而湍动能耗散几乎可以忽略，也就是说，含能尺度范围内，惯性主 宰湍流运动，因此含能尺度范围又称惯性区。
[理学]第七章第四节局地均匀各向同性湍流
![[理学]第七章第四节局地均匀各向同性湍流](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/7f508498cd22bcd126fff705cc17552707225e80.webp)
六、Ko1mogorov的修正部分
几十年来，Ko1mogorov理论已获得很大成 功，在大气中，在海洋中，在实验室中，人们 几乎到处都观测到了这个理论所预测的2/3湍 谱。它不仅有重要的理论意义，是湍流发展史 中一个具有里程碑意义的成就，而且在许多工 程应用中有直接应用价值。
人们在大量实验观测中看到了Ko1mogorov 理论所预测的结果。
υ3
(
) −α / 4
1 − 3α
=υ2 4 ε
r 1 +α
24
α
ε
α=2/3
Dll (r) = Cε 2 / 3r 2 / 3 Dnn (r) = C ′ε 2 / 3r 2 / 3
粘性子区湍流速度结构函数
对于粘性子区，r<<l0，将β(r/l0)展开得
β ( r ) = β (0) +
l0
∂β
有
Dpp (r) ~ ρ υx1 εx2 x3
x1=?，x2=?，x3＝？
压力结构函数Dpp(r)
根据量纲理论，得到
M 2 L−2T −4 = ( ML −3 ) x1 ( L2T −1 ) x2 ( L2T −3 ) x3
⎧ ⎪⎨−
2
=
2 = x1 −3x1 + 2x2
+
2x3
⎪⎩ − 4 = −x2 − 3x3
Dln n (r)
=
(r
∂ ∂r
+ 1)Blll
(r)
结构函数的微分方程
从 Karman-Howarth 方 程 出 发 可 以 得 到 相 应的支配结构函数的微分方程
(d dr
+
4 r )[Dlll
湍流普朗特数 rans-定义说明解析
湍流普朗特数rans-概述说明以及解释1.引言1.1 概述湍流是一种流动状态，其中流体的运动变得混乱且不规则。
湍流普朗特数RANS（Reynolds Averaged Navier-Stokes）模型是一种常见的湍流模拟方法，用于描述湍流流动的统计平均行为。
在实际工程应用中，湍流模型可以帮助工程师们预测和分析复杂流动情况下的压力变化、速度分布、热传导和物质输运等问题。
为了更好地理解湍流普朗特数RANS模型，首先需要了解湍流的定义和特征。
湍流具有随机性和无规律性，流体中各个点的速度和压力会发生剧烈变化。
相比于层流流动，湍流流动具有更高的能量耗散，表现出不同长度尺度的涡旋结构。
湍流具有非常广泛的应用领域，包括但不限于气象学、航空航天工程、石油化工等。
普朗特数是描述流动性质的重要参数之一，它衡量了动量输送和能量耗散之间的关系。
普朗特数越大，表示动量输送能力越强，能量耗散相对较小。
反之，普朗特数越小，表示动量输送较弱，能量耗散相对较大。
在湍流模拟中，普朗特数在计算动量和能量传输方程中起着重要的作用，与湍流的流动特性密切相关。
RANS模型是基于对湍流进行统计平均的一种模型。
它假设湍流中的速度和压力可以分解为平均分量和涡旋分量，通过解析平均分量方程和湍流涡旋分量方程来计算流动的宏观行为。
RANS模型的应用广泛，可以有效地模拟复杂的湍流流动，例如气流在飞机翼上的流动、液体在流体管道中的传输等。
本文的目的是对湍流普朗特数RANS模型进行深入研究和探讨。
通过对湍流的定义、特征以及普朗特数的概念和意义进行剖析，我们将全面了解湍流模拟方法的原理和应用。
同时，我们还将探讨RANS模型的优缺点以及未来的发展方向。
通过本文的研究，我们可以更好地理解湍流普朗特数RANS模型在工程领域中的应用，并为进一步提高湍流模拟的准确性和可靠性提供参考和指导。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讨论和分析湍流普朗特数（Reynolds Average Navier-Stokes, RANS）的相关内容：首先，在引言部分对本文的目的和重点进行简要介绍，为读者提供背景信息和整体把握文章的框架。
《环境流体力学》第七章 各向同性均匀湍流
)
和
Ri, j ui (x ξ)u j (x)
p
p
u
j
(x)
ui (x
p
ξ)
u
j
(x)
ui (x' x' p
)
因为有不可压缩流体的连续性方程：u j (x) / x j 0 ，在上面第 1 式中令 p=j，在第 2 式中
令 p=i,于是(7-2-3)和(7-2-4)得证。
导出以上公式和后面一些公式时，常常用到以下导数公式：
(7-3-11)
用同样的方法，还可导出 3 阶张量的向量函数的一般表达式
Aijk f (xi xi )xi x j xk g(xi xi )xi jk h(xi xi )x jik p(xi xi )xkij 。
(7-3-12)
在轴对称湍流场往往要引入是两个向量自变量的 2 阶张量函数，其函数表达式为
f (x y) / x f (x y) / y f ( ) / ，
f (x y) / x f (x y) / y f () / ，
式中 ξ=x+y, η=x-y。 4)不可压缩流体的连续性方程在谱空间的表达形式
kiSij (k) 0 和 k j Sij (k) 0 。
对散度方程进行傅里叶变换，即得谱空间的连续性方程
Ai j Bi C j f (Bi Bi , BiCi ,CiCi , xi Bi , xiCi , xi xi ,bij BiC j , I , II , III ,) ，
(7-3-2)
其中Ⅰ, Ⅱ, III 是张量 bij 的三个主不变量。根据张量不变原理，(7-3-2)的右边必然只是不变
量的函数，这些不变量由 xi , yi ,bij 和 Bi ,Ci 等构成。
第4讲-均匀各向同性湍流讲解
能谱曲线的水平段就是在有限雷诺数条件下的惯性子区。 可以看到，湍流雷诺数愈高，惯性子区愈宽。
DOSE, Zhejiang University
26
DOSE, Zhejiang University
柯尔莫果洛夫提出，湍流能量从大尺度湍涡逐级连续地输 送到小尺度湍涡，这个湍能在尺度谱上的流动，一直到最 小的内尺度，由分子粘性把它们耗散为热能。 柯尔莫果洛夫认定湍能级串过程是一个连续输送过程，大 涡从外界得到的非均匀各向同性，在一代代、一级级地往 小尺度湍涡输送过程中被消磨掉，最后可以得到均匀各向 同性的小涡。柯尔莫果洛夫从这个物理模型中得到了唯一 决定惯性子区间湍涡统计结构的物理因子──湍能耗散率 。从此出发，人们用量纲分析法就不难得到小尺度湍涡结 构函数的2/3 定律， 以及一维湍谱或标量场湍谱的－5/3 定律。
8
均匀各向同性的相关函数谱张量（1）
均匀各向同性湍流
均匀湍流
DOSE, Zhejiang University
− 如果任意 n 点空间几何构形在空间中平移时，脉动速 度的任意 n 阶统计相关函数的值不变，则称该湍流场 是均匀的
9
均匀各向同性湍流
− 如果任意 n点统计相关函数不仅和几何构形的平移无关，而且 和几何构形的刚体转动无关，则称该湍流场是均匀各向同性的
能量谱方程
记
17
DOSE, Zhejiang University
湍动能的分布E(k):大尺度脉动含有湍动能的绝大部分，而 小尺度脉动含有很少动能（能量的绝大部分在能谱值最大 的小波数附近）。 惯性作用的输运T(k):大尺度脉动（小波数）输出能量（ T(k)<0），小尺度脉动则通过惯性输入能量 湍动能耗散vk2E(k)：小尺度脉动占有湍动能耗散的绝大 部分，而大尺度脉动的耗散很少。 上述结果描述了不可压缩各向同性湍流场中湍动能输运的 图像:大尺度湍流脉动犹如一个很大的湍动能的蓄能池， 它不断地输出能量；小尺度湍流好像一个耗能机械，从大 尺度湍流输送来的动能在这里全部耗散掉；流体的惯性犹 如一个传送机械，把大尺度脉动动能输送给小尺度脉动。 流动的雷诺数愈高，蓄能的大尺度和耗能的小尺度之间的 惯性区域愈大。
第4讲-均匀各向同性湍流
第4讲 均匀各向同性湍流
宋 丹
海洋科学与工程学系 Department of Ocean Science and Engineering
wanzhanhong@ DOSE, Zhejiang University
内容
均匀各向同性湍流的相关函数 和谱张量
− − − − 统计理论 均匀各向同性湍流 相关函数和谱张量的性质 相关函数的简化
20
DOSE, Zhejiang University
不可压缩均匀各向同性湍流（9）
能量传输链
特征尺度
惯性区 惯性子区
DOSE, Zhejiang University
耗散区
21
在流动的雷诺数很大时，湍动能谱和耗散谱几乎完全分离 。如果把各种波数的脉动成分看作不同尺度的湍涡，它可 形象地示于（b）,有一股能量以T(k)的速率从大尺度涡向 小尺度涡传输。
不可压缩流中的二阶函数
12
DOSE, Zhejiang University
均匀各向同性的相关函数谱张量（3）
相关函数和谱张量的性质 不可压缩流中的拟涡能
湍动能耗散率
13
DOSE, Zhejiang University
不可压缩均匀各向同性湍流（1）
动力学方程 谱方程
14
DOSE, Zhejiang University
8
均匀各向同性的相关函数谱张量（1）
均匀各向同性湍流
均匀湍流
DOSE, Zhejiang University
− 如果任意 n 点空间几何构形在空间中平移时，脉动速 度的任意 n 阶统计相关函数的值不变，则称该湍流场 是均匀的