第3章-均匀各项同性湍流
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第七章第三节均匀各向同性湍流
7
二、两点脉动速度相关矩
以Bij表示M点脉动速度和M’点脉动速度间 的相关矩，即
Bij = u i u ′j
Bi , j (r ) = [ B LL (r ) − B NN (r )]
BLL = u f (r )
2
ξ iξ j
r
2
+ B NN (r )δ ij
若以f(r)和g（r）分布表示纵向和横向相关系数，则
∂ri ∂r ri ∂ri = = δ ij =3 ∂ri r ∂ri ∂r j
u 2 r df r df 2 Bi , j (r ) = 2 [− ri r j + ( f + )r δ ij ] 2 dr 2 dr r
r1，2，3为r在（x1，x2，x3）在直角坐标系的分量
9
三、两点速度三元相关矩
3
Keller与Friedman的思路
Keller与Friedman的思路
Reynolds平均 一点平均
N-S方程
Reynolds方程
− (u i′u ′j )
方程不封闭
怎么办？
R=0,τ＝0 两点相关矩 v v v v v Bij ( x , t ; r ,τ ) = u i′ ( x , t )u ′j ( x + r , t + τ )
B p, j v r = B1 (r ) r
B p , j = pu ′j = B1 (r )
rj r
= pu ′ ρ
rj r
18
各向同性湍流场 压力速度相关矩
由各向同性的定义
⎧ puθ = − puθ ′ ⎪ ′ ⎨ ′ ⎪ puϕ = − puϕ ⎩ ′
⎧ p ′uθ = − p ′uθ ⎪ ⎨ ⎪ p ′uϕ = − p ′uϕ ⎩
二、两点脉动速度相关矩
以Bij表示M点脉动速度和M’点脉动速度间 的相关矩，即
Bij = u i u ′j
Bi , j (r ) = [ B LL (r ) − B NN (r )]
BLL = u f (r )
2
ξ iξ j
r
2
+ B NN (r )δ ij
若以f(r)和g（r）分布表示纵向和横向相关系数，则
∂ri ∂r ri ∂ri = = δ ij =3 ∂ri r ∂ri ∂r j
u 2 r df r df 2 Bi , j (r ) = 2 [− ri r j + ( f + )r δ ij ] 2 dr 2 dr r
r1，2，3为r在（x1，x2，x3）在直角坐标系的分量
9
三、两点速度三元相关矩
3
Keller与Friedman的思路
Keller与Friedman的思路
Reynolds平均 一点平均
N-S方程
Reynolds方程
− (u i′u ′j )
方程不封闭
怎么办？
R=0,τ＝0 两点相关矩 v v v v v Bij ( x , t ; r ,τ ) = u i′ ( x , t )u ′j ( x + r , t + τ )
B p, j v r = B1 (r ) r
B p , j = pu ′j = B1 (r )
rj r
= pu ′ ρ
rj r
18
各向同性湍流场 压力速度相关矩
由各向同性的定义
⎧ puθ = − puθ ′ ⎪ ′ ⎨ ′ ⎪ puϕ = − puϕ ⎩ ′
⎧ p ′uθ = − p ′uθ ⎪ ⎨ ⎪ p ′uϕ = − p ′uϕ ⎩
03-均匀各向同性湍流
质疑的核心：湍动能耗散率不是一个常数
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
24
局部各向同性湍流的结构函数（5）
标度律
Kolmogorov的修正
层次结构标度律-佘振苏
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
25
局部各向同性湍流的结构函数（6）
随机函数的增量
大尺度的脉动相互抵消
脉动速度增量的统计矩
IFE , Zhejiang University
二阶 结构 函数
三阶 函数
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
18
局部各向同性湍流的结构函数（补充）
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
19
不可压缩均匀各向同性湍 流
− − − − 动力学方程 卡门-霍华斯方程 卡门-霍华斯方程应用 能量传输链
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
2
均匀各向同性的相关函数谱张量（1）
均匀各向同性湍流
均匀湍流
均匀各向同性湍流
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
14
不可压缩均匀各向同性湍流（8）
能量传输链
能量谱方程
记
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
15
不可压缩均匀各向同性湍流（9）
能量传输链
特征尺度
惯性区
IFE , Zhejiang University
各向同性湍流Karman-Howarth方程的精确解
a. for all of these four solutions： a1 > 0,
b. only for the secondary solution：σ > 0 ； c. only for the third solution： 0 < σ < 5 .
2
The use of these above exact solutions would be presented in our further publications.
2a1
2
when
k
=1−σ
，
f
(ξ
)
=
− a1 ξ 2
e4
F⎜⎛σ ,2,
a1
ξ
2
⎟⎞
⎝ 4⎠
when
σ
=
1，
f
(ξ
)
=
− a1 ξ 2
e4
F ⎜⎛
1
,1,
a1
ξ
2
⎟⎞
⎝2 4 ⎠
The detailed analysis could be seen in appendix 1. The convergent conditions at infinite must be satisfied
Key words: isotropic turbulence, KH equations, exact solution
Introduction
The ideas of similarity and self-preservation have played an important role in the development of turbulence theory for more than a half-century. The traditional approach to search for similarity solutions in turbulence has been to assume the existence of a single length and velocity scale, then ask whether and what conditions the averaged equations of motion admit to such solutions. In the development of this ideas, Karman (von Karman,1938) firstly gave the analysis solutions of Karman-Howarth equation for the decaying turbulence. Sedov (Sedov,1944,1951) gave anther method to obtain the special solutions of KH equations. In this paper, we found that a complete set of exact solutions exists. Following the methods adopted by Sedov, new solutions have been given, both for three-dimensional and two-dimensional isotropic turbulence.
第三章_湍流模型
第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图Direct Numerical Simulation包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。
湍流的数学模型简介精心整理版共88页
可用通用微分方程表示。
一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方 程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程（不可压） ❖ N-S方程
ui ui ui'
将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均
流动与瞬间脉动流动的叠加：
'
及 t的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然
后作适当假设使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型。
代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）
主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式， 以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留湍流各项异性 的基本特点。
3.2 湍流模型具体介绍
第2章 湍流的数值模拟方法简介
2.2 模型比较
湍流模型方法 (RANS方法)
大涡模拟方法 (LES方法)
给出了时间平均的流动信息，易于工程应用
抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷 诺数，不具普适性
介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANS
不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空 气动力学。
、 k-g 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-ε模型。
针对k-ε模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。
▪ 重整化群k-ε模型（renormalization group，RNG model） ▪ 可实现k-ε模型（realizable k-ε model） ▪ 多尺度k-ε模型（multiscale model of turbulence）
Contents
1
湍流导论
2
湍流的数学模型简介
3
一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方 程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程（不可压） ❖ N-S方程
ui ui ui'
将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均
流动与瞬间脉动流动的叠加：
'
及 t的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然
后作适当假设使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型。
代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）
主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式， 以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留湍流各项异性 的基本特点。
3.2 湍流模型具体介绍
第2章 湍流的数值模拟方法简介
2.2 模型比较
湍流模型方法 (RANS方法)
大涡模拟方法 (LES方法)
给出了时间平均的流动信息，易于工程应用
抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷 诺数，不具普适性
介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANS
不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空 气动力学。
、 k-g 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-ε模型。
针对k-ε模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。
▪ 重整化群k-ε模型（renormalization group，RNG model） ▪ 可实现k-ε模型（realizable k-ε model） ▪ 多尺度k-ε模型（multiscale model of turbulence）
Contents
1
湍流导论
2
湍流的数学模型简介
3
第3章 均匀各项同性湍流
2 洛强斯基(1939)不变量
上面 称为洛强斯基不变量，它表示各向同性湍流场 衰减过程中某种统计特征量的守恒性。 3．均匀各向同性湍流的后期衰变 各向同性湍流的衰减后期，湍流脉动量很小，这时3阶相关 和2阶相关相比是高阶小量，因而可略去不计，于是不可压缩 各向同性湍流的后期衰变方程简化为：
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.1 不可压缩均匀湍流的 阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 不可压缩均匀湍流的2阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 动力学方程
谱张量动力学方程
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程 方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。 由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。 于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。 在能量传输过程中，压强在各个脉动分量间起调节作用，如 果物理空间中初始脉动场的动能在各个分量间分配不均匀，压强 梯度将使它们逐渐均分。
3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输
1 含能波数和含能尺度 谱最大值的波数定义为含能波数 kin ，它的倒数定义为含能尺度L，即
可以估计含能尺度的量级等于
在含能尺度范围内(又称含能区)，湍动能通过惯性传输能量， 而湍动能耗散几乎可以忽略，也就是说，含能尺度范围内，惯性主 宰湍流运动，因此含能尺度范围又称惯性区。
上面 称为洛强斯基不变量，它表示各向同性湍流场 衰减过程中某种统计特征量的守恒性。 3．均匀各向同性湍流的后期衰变 各向同性湍流的衰减后期，湍流脉动量很小，这时3阶相关 和2阶相关相比是高阶小量，因而可略去不计，于是不可压缩 各向同性湍流的后期衰变方程简化为：
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.1 不可压缩均匀湍流的 阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 不可压缩均匀湍流的2阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 动力学方程
谱张量动力学方程
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程 方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。 由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。 于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。 在能量传输过程中，压强在各个脉动分量间起调节作用，如 果物理空间中初始脉动场的动能在各个分量间分配不均匀，压强 梯度将使它们逐渐均分。
3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输
1 含能波数和含能尺度 谱最大值的波数定义为含能波数 kin ，它的倒数定义为含能尺度L，即
可以估计含能尺度的量级等于
在含能尺度范围内(又称含能区)，湍动能通过惯性传输能量， 而湍动能耗散几乎可以忽略，也就是说，含能尺度范围内，惯性主 宰湍流运动，因此含能尺度范围又称惯性区。
[理学]第七章第四节局地均匀各向同性湍流
![[理学]第七章第四节局地均匀各向同性湍流](https://img.taocdn.com/s3/m/7f508498cd22bcd126fff705cc17552707225e80.png)
六、Ko1mogorov的修正部分
几十年来，Ko1mogorov理论已获得很大成 功，在大气中，在海洋中，在实验室中，人们 几乎到处都观测到了这个理论所预测的2/3湍 谱。它不仅有重要的理论意义，是湍流发展史 中一个具有里程碑意义的成就，而且在许多工 程应用中有直接应用价值。
人们在大量实验观测中看到了Ko1mogorov 理论所预测的结果。
υ3
(
) −α / 4
1 − 3α
=υ2 4 ε
r 1 +α
24
α
ε
α=2/3
Dll (r) = Cε 2 / 3r 2 / 3 Dnn (r) = C ′ε 2 / 3r 2 / 3
粘性子区湍流速度结构函数
对于粘性子区，r<<l0，将β(r/l0)展开得
β ( r ) = β (0) +
l0
∂β
有
Dpp (r) ~ ρ υx1 εx2 x3
x1=?，x2=?，x3＝？
压力结构函数Dpp(r)
根据量纲理论，得到
M 2 L−2T −4 = ( ML −3 ) x1 ( L2T −1 ) x2 ( L2T −3 ) x3
⎧ ⎪⎨−
2
=
2 = x1 −3x1 + 2x2
+
2x3
⎪⎩ − 4 = −x2 − 3x3
Dln n (r)
=
(r
∂ ∂r
+ 1)Blll
(r)
结构函数的微分方程
从 Karman-Howarth 方 程 出 发 可 以 得 到 相 应的支配结构函数的微分方程
(d dr
+
4 r )[Dlll
内燃机缸内的流动
∫ lI′ =
∞
g ( x)dx
0
(3-1b)
它相应于普朗特理论中的混合长度，(定义：流体微团从一层跳入另一层，经过一段不与 其它流体微团相碰撞的距离)，可以证明
lI′ = 0.5lI
(3-1c)
与此相似，可定义湍流积分时间尺度
∫ τ I
=
∞
f (t)dt
0
(3-2)
其中f(t)是同一空间点(x0)，不同时间脉动速度的欧拉时间自相关系数
空间相关系数能较好地反映涡团的平均尺度。于是可引入湍流长度积分尺度或简称湍流尺度：
∞
∫ lI = 0 f (x)dx
(3-1a)
-3-
第 3 章 缸内气流运动 式中，f(x)为湍流纵向自相关系数，其定义为
f (x) = u(x0 )u(x0 + x) u2 (x0 ) u2 (x0 + x)
其中， x0 和 x0 + x 分别为 A、B 两点的坐标，u(x)是与两点连线平行的脉动速度分量（图
宋金瓯 内燃机中的流体运动
第三章 缸内气流运动
在内燃机整个工作循环中，缸内气体充量始终进行着极其复杂而又强烈瞬变的湍流流动。 这种湍流运动决定了各种量在缸内的输运及其空间分布，它对可燃混和气形成、火焰传播、 燃烧品质、缸壁传热及污染物形成等都具有直接的、本质的影响。组织良好的缸内空气运动 可以提高汽油机的火焰传播速率、降低燃烧循环变动、适应稀燃和层燃；同样可以提高柴油 机的燃油空气混合速率，提高燃烧速率，促进燃烧过程中空气与未燃燃料的混合（热混合）。 但是，内燃机缸内流动极其复杂，它受到进气状态、工况和燃烧室结构等多种因素制约，因 而不存在对各种发动机都通用的流动规律，甚至不同研究者所得结果不乏相互矛盾之处，这 更加表明了深入研究缸内流动的必要性。
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脉动压强满足Poisson方程：
上面三式构成了不可压湍流的基本方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
下面考察不可压缩均匀湍流场中的湍动能和雷诺应力的演化。对于不 可压缩均匀湍流，一点的统计相关量的空间导数等于零，因此它的湍动能 利雷诺应力方程可以简化为：
由上式可见，均匀湍流场中湍动能总是耗散的
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程
脉动压强和速度相关项的作用使湍流脉动速度各向同性化， 一旦湍流场达到各向同性状态，压强—速度相关项就不再有任 何作用。
上式即为不可压缩各向同性湍流的2阶纵向速度相关方程。最早 由Karman和 Howarth(1938)导出，称为卡门--霍华斯方程。Karman-Howarth方程是线性偏微分方程，较之原始变量的N—S方程要简单 得多，不过，Karmnn--Howarth方程仍然是不封闭的。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。
由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。
于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。
，或者说湍流脉
动总是衰减的，初始的湍动能在演化过程中将耗散殆尽。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.2 不可压缩均匀湍流的谱理论 对湍流速度场和压强场进行傅立叶展开，经过一系列变换，
可以得到谱空间中湍流脉动的演化方程：
忽略非线性作用，单独考察粘性耗散，有如下积分式：
粘性耗散使脉动以指数函数衰减，衰减指数和波数的平方成 正比，因此高波数成分迅速衰减，单纯衰减过程中各波段间相位 关系不变。
在能量传输过程中，压强在各个脉动分量间起调节作用，如 果物理空间中初始脉动场的动能在各个分量间分配不均匀，压强 梯度将使它们逐渐均分。
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.1 不可压缩均匀湍流的2阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 动力学方程
谱张量动力学方程
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
根据各向同性湍流的定义，要求相关张量函数在坐标系转动时 具有不变性。应用前面知识，就可以导出各向同性湍流场中各阶相 关函数的表达式。
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
1.各向同性湍流场中两点2阶速度相关函数的表达式
各向同性湍流场中2阶速度相关函数必有以下的函数式：
选定两个特定几何构形的相关：纵向相关和横向相关， 它们的定义如图3-3所示。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.3 不可压缩均匀湍流中的湍动能输运过程 谱空间中脉动动量输运的动力学方程：
湍流各个脉动成分间的相互作用有双重含义：一种是各个波段 间速度分量相互作用；另一种是同一波数下各个速度分量间的相互 作用，压强梯度和惯性分别担当这两种作用。 （1）压强在不同脉动分量间重新分配能量，而不改变给定尺度(波数) 的湍动能 （2）惯性作用产生各波段间动量传输，但不改变物理空间中各脉动分量 的平均能量
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
按照纵向相关和横向相关的定义带入，各向同性湍流场中 2阶速度相关的一般表达式，就有：
定义：沿相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点纵向 相关 定义：垂直于相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点 横向相关
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
4. 旋转系统中均匀湍流的两点速度相关
在无界旋转系统山的湍流场仍然可能是均匀的，但是由 于旋转系统中的哥氏惯性力，湍流场不再保持各向同性。即 使是无界湍流场是均匀的，这时2阶速度相关函数将是两点 相对向量 和角速度的函数，并可以写为：
坐标系转动无关的2阶张量函数表达式应是：
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
图3-7是各向同性湍流的典型传输谱 T k ， 图3-8是典型的能谱 Ek
宣 传 解 释 工 作，使
上图表示均匀湍流的定义（只表示4阶相关），在均匀湍流场中4点 统计相关函数只和4点间3个相对向量有关
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量
均匀各向同性
定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移和转动时，脉动速 度的任意n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)， 则称该湍流场是均匀各向同性的。
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.3 Karman--Howarth方程的应用
1．不可压缩均匀各向同性湍流场中湍动能耗散方程和Taylor微尺度 湍动能耗散率直接和Taylor微尺度直接相关
或者
或者
上式表明Taylor微尺度是各向同性湍流中的湍动能耗散特征尺度
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
张量函数的坐标不变性： 任何物理定律或定理，不论它足用标量表示还是用张量表示，
都应当和坐标系的刚体转动无关。
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
3.2.2 各向同性湍流的相关张量函数及其性质
N点几何构形由n-1个相对向量 1,2,....,n1完全确定，因
此各向同性湍流流场中n阶相关的表达式为：
2 洛强斯基(1939)不变量
上面 称为洛强斯基不变量，它表示各向同性湍流场 衰减过程中某种统计特征量的守恒性。
3．均匀各向同性湍流的后期衰变 各向同性湍流的衰减后期，湍流脉动量很小，这时3阶相关 和2阶相关相比是高阶小量，因而可略去不计，于是不可压缩 各向同性湍流的后期衰变方程简化为：
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
通过分析表明，不可压缩各向同性湍流的后期衰变过程中，湍动 能随时间以(-2.5)次方的幂函数衰减；Taylor微尺度则随时间以0.5次 方增长；以上结果得到Batchelor和Townsend(1948)实验的很好验证， 见图3-6。
3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输
3.5.1 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能输运方程 积分的谱空间湍动能方程可写为：
第三章 均匀各项同性湍流
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量 3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量 3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程 3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质 3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输链 3.6 局部各向同性湍流的结构函数 3.7 各向同性湍流相关方程的封闭
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量
均匀湍流场
定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移时，脉动速度任意 n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)，则称该 湍流场是均匀的。
述 职 报 告 从内 容上分 ，可以 分为综 合性述 职报告 、专题 性述职 报告、 单项工 作 述 职 报 告 三种， 你知道 它们有 什么区 别吗？ 你知道 写述职 报告吗 ？如下 是中国 人 才 网 给 大 家整理 的销售 业务员 述职报 告范文 ，希望 对大家 有所作 用。 销 售 业 务 员 述 职 报告范 文篇【 一】 尊 敬 的 各位 领导、 同事们 ： 今 年 以 来 ，作 为 销 区 经 理 ，我能 够认真 履行职 责，团 结带领 ××销 区全体 人员， 在厂部 总体工 作 思路指 引下， 在×厂 长和销 售部各 位经理 的正确 领导下 ，积极 进取、 扎实工 作， 完 成 了 全 年 目标任 务，总 销量达 到箱， 营销工 作取得 了可喜 的成绩 。下面 ，根据 领 导 要 求 ， 我进行 述职， 不妥之 处，敬 请领导 和同事 们批评 指正。 一 、 加 强 宣 传 促 销 力 度，较 好地完 成了全 年目标 任务。 今 年 我 们 在销售 工作中 遇到了 一 定 的 困 难 ，特别 是因为 我厂面 临兼并 重组， 各种不 实传闻 使商业 公司对 我厂产 品 的 信 心 不 足，不 少零售 户甚至 不卖我 厂产品 ，面对 不利局 面，我 们在销 售部统 一 指 挥 和 安 排部署 下，发 挥全体 人员的 聪明才 智，进 一步加 强宣传 促销力 度。首 先 ， 以 我 厂 产品进 入行业 优等品 为契机 ，迅速 传播信 息。通 过拜访 商业公 司、走 访 零 售 户 、 及时分 送《× ×企业 报》、 《宣传 画报》 等企业 宣传品 的方式 ，做好
因此它的2阶速度谱张量函数必有以下形式：
同样，不可压缩各向同性湍流场中的3阶速度谱张量 的一般表达式为：
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.1 不可压缩均匀湍流的基本方程 湍流满足Navier-Stokes方程。对于不可压缩流体的均匀湍流场，
它的平均流速是常向量，因此不失其一般性的讨论，可以令平均速度等 于零。于是，均匀湍流的脉动场(取消脉动量的上标“-”’号)满足NavierStokes方程：
(7)不可压缩均匀湍流场巾脉动涡量的2阶谱张量
(8)均匀不可压缩湍流场中的湍动能耗散 湍动能耗散率：
湍流耗散张量和湍动能耗散的积分表达式：
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
3.2.1 张量的不变量和张量函数
张量不变量概念：
有限阶张量只有有限个独立不变量，应用Coyley-Hamiton定 理可证明：2阶张量只有三个独立不变量，即2阶张量的迹以及它 的平方和立方的迹是三个独立不变量，2阶张量的高阶幂函数的 迹可以由以上三个独立不变量算出。
(4)不可压缩均匀湍流场中2阶速度谱张量有以下等式：
(5)均匀湍流场中2阶速度谱张量是Hermit张量，2阶速度 谱张量等于它的转置张量的复共轭：
(6)均匀湍流场中脉动涡量的2阶相关函数和谱张量，脉动涡量 是脉动速度的旋度
上面三式构成了不可压湍流的基本方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
下面考察不可压缩均匀湍流场中的湍动能和雷诺应力的演化。对于不 可压缩均匀湍流，一点的统计相关量的空间导数等于零，因此它的湍动能 利雷诺应力方程可以简化为：
由上式可见，均匀湍流场中湍动能总是耗散的
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程
脉动压强和速度相关项的作用使湍流脉动速度各向同性化， 一旦湍流场达到各向同性状态，压强—速度相关项就不再有任 何作用。
上式即为不可压缩各向同性湍流的2阶纵向速度相关方程。最早 由Karman和 Howarth(1938)导出，称为卡门--霍华斯方程。Karman-Howarth方程是线性偏微分方程，较之原始变量的N—S方程要简单 得多，不过，Karmnn--Howarth方程仍然是不封闭的。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。
由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。
于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。
，或者说湍流脉
动总是衰减的，初始的湍动能在演化过程中将耗散殆尽。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.2 不可压缩均匀湍流的谱理论 对湍流速度场和压强场进行傅立叶展开，经过一系列变换，
可以得到谱空间中湍流脉动的演化方程：
忽略非线性作用，单独考察粘性耗散，有如下积分式：
粘性耗散使脉动以指数函数衰减，衰减指数和波数的平方成 正比，因此高波数成分迅速衰减，单纯衰减过程中各波段间相位 关系不变。
在能量传输过程中，压强在各个脉动分量间起调节作用，如 果物理空间中初始脉动场的动能在各个分量间分配不均匀，压强 梯度将使它们逐渐均分。
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.1 不可压缩均匀湍流的2阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 动力学方程
谱张量动力学方程
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
根据各向同性湍流的定义，要求相关张量函数在坐标系转动时 具有不变性。应用前面知识，就可以导出各向同性湍流场中各阶相 关函数的表达式。
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
1.各向同性湍流场中两点2阶速度相关函数的表达式
各向同性湍流场中2阶速度相关函数必有以下的函数式：
选定两个特定几何构形的相关：纵向相关和横向相关， 它们的定义如图3-3所示。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.3 不可压缩均匀湍流中的湍动能输运过程 谱空间中脉动动量输运的动力学方程：
湍流各个脉动成分间的相互作用有双重含义：一种是各个波段 间速度分量相互作用；另一种是同一波数下各个速度分量间的相互 作用，压强梯度和惯性分别担当这两种作用。 （1）压强在不同脉动分量间重新分配能量，而不改变给定尺度(波数) 的湍动能 （2）惯性作用产生各波段间动量传输，但不改变物理空间中各脉动分量 的平均能量
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
按照纵向相关和横向相关的定义带入，各向同性湍流场中 2阶速度相关的一般表达式，就有：
定义：沿相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点纵向 相关 定义：垂直于相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点 横向相关
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
4. 旋转系统中均匀湍流的两点速度相关
在无界旋转系统山的湍流场仍然可能是均匀的，但是由 于旋转系统中的哥氏惯性力，湍流场不再保持各向同性。即 使是无界湍流场是均匀的，这时2阶速度相关函数将是两点 相对向量 和角速度的函数，并可以写为：
坐标系转动无关的2阶张量函数表达式应是：
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
图3-7是各向同性湍流的典型传输谱 T k ， 图3-8是典型的能谱 Ek
宣 传 解 释 工 作，使
上图表示均匀湍流的定义（只表示4阶相关），在均匀湍流场中4点 统计相关函数只和4点间3个相对向量有关
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量
均匀各向同性
定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移和转动时，脉动速 度的任意n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)， 则称该湍流场是均匀各向同性的。
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.3 Karman--Howarth方程的应用
1．不可压缩均匀各向同性湍流场中湍动能耗散方程和Taylor微尺度 湍动能耗散率直接和Taylor微尺度直接相关
或者
或者
上式表明Taylor微尺度是各向同性湍流中的湍动能耗散特征尺度
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
张量函数的坐标不变性： 任何物理定律或定理，不论它足用标量表示还是用张量表示，
都应当和坐标系的刚体转动无关。
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
3.2.2 各向同性湍流的相关张量函数及其性质
N点几何构形由n-1个相对向量 1,2,....,n1完全确定，因
此各向同性湍流流场中n阶相关的表达式为：
2 洛强斯基(1939)不变量
上面 称为洛强斯基不变量，它表示各向同性湍流场 衰减过程中某种统计特征量的守恒性。
3．均匀各向同性湍流的后期衰变 各向同性湍流的衰减后期，湍流脉动量很小，这时3阶相关 和2阶相关相比是高阶小量，因而可略去不计，于是不可压缩 各向同性湍流的后期衰变方程简化为：
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
通过分析表明，不可压缩各向同性湍流的后期衰变过程中，湍动 能随时间以(-2.5)次方的幂函数衰减；Taylor微尺度则随时间以0.5次 方增长；以上结果得到Batchelor和Townsend(1948)实验的很好验证， 见图3-6。
3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输
3.5.1 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能输运方程 积分的谱空间湍动能方程可写为：
第三章 均匀各项同性湍流
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量 3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量 3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程 3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质 3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输链 3.6 局部各向同性湍流的结构函数 3.7 各向同性湍流相关方程的封闭
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量
均匀湍流场
定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移时，脉动速度任意 n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)，则称该 湍流场是均匀的。
述 职 报 告 从内 容上分 ，可以 分为综 合性述 职报告 、专题 性述职 报告、 单项工 作 述 职 报 告 三种， 你知道 它们有 什么区 别吗？ 你知道 写述职 报告吗 ？如下 是中国 人 才 网 给 大 家整理 的销售 业务员 述职报 告范文 ，希望 对大家 有所作 用。 销 售 业 务 员 述 职 报告范 文篇【 一】 尊 敬 的 各位 领导、 同事们 ： 今 年 以 来 ，作 为 销 区 经 理 ，我能 够认真 履行职 责，团 结带领 ××销 区全体 人员， 在厂部 总体工 作 思路指 引下， 在×厂 长和销 售部各 位经理 的正确 领导下 ，积极 进取、 扎实工 作， 完 成 了 全 年 目标任 务，总 销量达 到箱， 营销工 作取得 了可喜 的成绩 。下面 ，根据 领 导 要 求 ， 我进行 述职， 不妥之 处，敬 请领导 和同事 们批评 指正。 一 、 加 强 宣 传 促 销 力 度，较 好地完 成了全 年目标 任务。 今 年 我 们 在销售 工作中 遇到了 一 定 的 困 难 ，特别 是因为 我厂面 临兼并 重组， 各种不 实传闻 使商业 公司对 我厂产 品 的 信 心 不 足，不 少零售 户甚至 不卖我 厂产品 ，面对 不利局 面，我 们在销 售部统 一 指 挥 和 安 排部署 下，发 挥全体 人员的 聪明才 智，进 一步加 强宣传 促销力 度。首 先 ， 以 我 厂 产品进 入行业 优等品 为契机 ，迅速 传播信 息。通 过拜访 商业公 司、走 访 零 售 户 、 及时分 送《× ×企业 报》、 《宣传 画报》 等企业 宣传品 的方式 ，做好
因此它的2阶速度谱张量函数必有以下形式：
同样，不可压缩各向同性湍流场中的3阶速度谱张量 的一般表达式为：
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.1 不可压缩均匀湍流的基本方程 湍流满足Navier-Stokes方程。对于不可压缩流体的均匀湍流场，
它的平均流速是常向量，因此不失其一般性的讨论，可以令平均速度等 于零。于是，均匀湍流的脉动场(取消脉动量的上标“-”’号)满足NavierStokes方程：
(7)不可压缩均匀湍流场巾脉动涡量的2阶谱张量
(8)均匀不可压缩湍流场中的湍动能耗散 湍动能耗散率：
湍流耗散张量和湍动能耗散的积分表达式：
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
3.2.1 张量的不变量和张量函数
张量不变量概念：
有限阶张量只有有限个独立不变量，应用Coyley-Hamiton定 理可证明：2阶张量只有三个独立不变量，即2阶张量的迹以及它 的平方和立方的迹是三个独立不变量，2阶张量的高阶幂函数的 迹可以由以上三个独立不变量算出。
(4)不可压缩均匀湍流场中2阶速度谱张量有以下等式：
(5)均匀湍流场中2阶速度谱张量是Hermit张量，2阶速度 谱张量等于它的转置张量的复共轭：
(6)均匀湍流场中脉动涡量的2阶相关函数和谱张量，脉动涡量 是脉动速度的旋度