回归分析设计

i =1
_
L12 = L21 = ∑ (xi1 − xi1 )(xi 2 − xi 2 ) =6.0
i =1
9
_
_
L1 y = ∑ (xi1 − xi1 )(y i − y ) = − 19.6
i =1
9
_
L2 y = ∑ (xi 2 − xi 2 )(y i − y ) =11.0
i =1
9
_
L yy = ∑ (yi − y )2 =9.235
因素及列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1(Z1) 1 1(136.5) 2(137.0) 3(137.5) 4(138.0) 5(138.5) 6(139.0) 7(139.5) 8(140.0) 9(140.5) x2(Z2) 3 4(200) 8(240) 3(190) 7(230) 2(180) 6(220) 1(170) 5(210) 9(250)
f e = fT − f K = 8 − 2 = 6
④计算FK值 计算F
FK = QK /f K 9.219 / 2 = = 1707.41 Qe /f e 0.016 / 6
查F表，得出
F0.05 (2,6) = 5.14
表明回归方程显著。 表明回归方程显著。
4）回归方程的显著性检验
根据
xij = Z ij − Z 0 j ∆j
∧
表 均匀试验方案及试验结果
因素及列号 x1(Z1) 1 1(136.5) 2(137.0) 3(137.5) 4(138.0) 5(138.5) 6(139.0) 7(139.5) 8(140.0) 9(140.5) x2(Z2) 3 4(200) 8(240) 3(190) 7(230) 2(180) 6(220) 1(170) 5(210) 9(250)
因素 水平 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z1（底水） 底水） g 136.5 137.0 137.5 138.0 138.5 139.0 139.5 140.0 140.5 Z2（吸氧时间） 吸氧时间） min 170 180 190 200 210 220 230 240 250
这是一个2因素9水平的试验，选用U 这是一个2因素9水平的试验，选用U9（96）较合适。 较合适。 由U9（96）的使用表知， 的使用表知， 因素Z 和因素Z 因素Z1和因素Z2依次安排 在第1列和第3 在第1列和第3列
二、最小二乘法 次试验得到的观测数据为（ 设n次试验得到的观测数据为（x1，y1),(x2，y2), 次试验得到的观测数据为 …，（xn，yn）,则有 ，（ 则有
y i = a + bx i + ε i （i=1，2，…，n） ， ， ，
． 即 ε i = y i − a − bx i （i=1，2，…，n） ， ， ，
则
∧
Z ij = Z 0 j + xij ∆j
y = 96.44 − 0.696 Z 1 + 0.02 Z 2
经变换，回归方程变为： 经变换，回归方程变为：
∧
由上式看出，指标 y 随因素 Z1 增加而减小，随因素 Z 2 增加而减小， 由上式看出， 增加而增加，利用此方程可寻找试验范围内的最优工 增加而增加，利用此方程可寻找试验范围内的最优工 艺条件， 艺条件，也可以对指标
， ）.
由于平方又叫做二乘方,因此把这种使“ 由于平方又叫做二乘方 因此把这种使“偏差平方 因此把这种使
ˆ ˆ 和为最小”的方法称为最小二乘法 .这样求得 和为最小” a b 这样求得
的 的最小二乘估计． ， 称为参数a，b的最小二乘估计．
ˆ b a，ˆ 的求法如下
n ∂Q ∂a = −2∑ ( yi − a − bxi ) = 0 i =1 Q n ∂ = −2∑ ( yi − a − bxi )xi = 0 ∂b i =1
y（ g ）
5.8 6.3 4.9 5.4 4.0 4.5 3.0 3.6 4.1
L21b1 + L22b2 = L2 y
解联立方程组，得到b 解联立方程组，得到b1、b2 由 b0 = y − b1 x1 − b2 x2 求得b0 求得b
_ _ _
2）线性变换 为计算简便， 为计算简便，采用回归正交类似的 方法，对因素Z 及因素Z 方法，对因素Z1及因素Z2的各水平 作线性变换： 作线性变换：
_
_
_
b2 = 0.218
回归方程为： 回归方程为： y = b0 + b1 x 2 + b2 x 2 = 5.27 − 0.348 x1 + 0.218 x 2
∧
4）回归方程的显著性检验
① 总平方和与自由度
QT = L yy = ∑ ( y i − y ) 2 = 9.235
i =1 9 _
fT = n − 1 = 9 − 1 = 8
_
1 n 1 9 xi 2 = ∑ x i2 = ∑ x i2 =5 n i =1 9 i =1
_
1 n 1 9 y = ∑ y i = ∑ y i = 4.62 n i =1 9 i =1
3）计算回归系数
③回归系数计算
9 _
L11 = ∑ (x i1 − xi1 ) 2 =60
i =1
9
L22 = ∑ (xi 2 − xi 2 ) 2 =60
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （136.5） （137.0） （137.5） （138.0） （138.5） （139.0） （139.5） （140.0） （140.5） (z1) x2 3 4 8 3 7 2 6 1 5 9 （200） （240） （190） （230） （180） （220） （170） （210） （250） (z2) 吸氨量/g yi ↑ 5.8 6.3 4.9 5.4 4.0 4.5 3.0 3.6 4.1
线性回归分析 如果回归分析所建立的模型是线性的， 就叫线性回归分析 线性回归分析。 线性回归分析 回归方程 一元回归方程： 多元回归方程：
y = β0 + β1x1 + β2 x2 +…+ βmxm
4.回归分析主要内容包括： 回归分析主要内容包括： 回归分析主要内容包括 （1）根据样本观察值对模型参数进行估计， 求得回归方程； （2）对回归方程、参数估计值进行显著性检 验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
为了方便记忆， 为了方便记忆，引入记号
Lxx = ∑ ( xi − x ) = ∑ x − n x
2 i =1
n
n
Lxy = ∑ ( xi − x)( yi − y ) = ∑ xi yi − n x y
i =1 i =1
n
i =1
2 i
2
,
n
于是有
ˆ b = Lxy / Lxx
ˆ ˆ a = y − bx
（2）回归分析 下面通过例题讲述均匀试验结果的回归分析方法与步骤。 下面通过例题讲述均匀试验结果的回归分析方法与步骤。 例：在啤酒生产过程的某项 试验中，选择的因素有Z 试验中，选择的因素有Z1 底水） 吸氧时间）， （底水）和Z2（吸氧时间）， 每个因素均取9个水平。 每个因素均取9个水平。试 验考核的指标y 验考核的指标y为吸氧量 （g）。
xij = Z ij − Z 0 j ∆j
xi1 =
Z i1 − Z 01 ∆1
xi 2 =
Z i 2 − Z 02 ∆2
因素的零水平和变化区间见下表： 因素的零水平和变化区间见下表：
因素 Z1 Z2 零水平Z 零水平Zj0 136 160 变化区间∆ 变化区间∆j 0.5 10
2）线性变换 例如： 例如：
Z − 136 136.5 − 136 x11 = 11 = =1 0.5 0.5
，
x 21 =
Z 21 − 136 137 − 136 = =2 0.5 0.5
Z − 160 200 − 160 x12 = 12 = =4 10 10
，
x 22
Z 22 − 160 240 − 160 = = =8 10 10Fra bibliotek整理可得
na + nb x = ny n n na x + b∑ x i2 = ∑ x i y i i =1 i =1
n n
ˆ = ( x − x )( y − y ) / ( x − x ) 2 解此方程组， 解此方程组，可得 b ∑ i ∑ i i
i =1 i =1
ˆ ˆ a = y − bx
3）计算回归系数
①合计值计算
∑x
i =1
9
i1
= 1 + 2 + ⋯ + 9 = 45
∑x
i =1
9
9
i2
= 4 + 8 + ⋯ + 9 = 45
∑y
i =1
i
= 5.8 + 6.3 + ⋯ + 4.1 = 41.6
②平均值计算
1 n 1 9 xi1 = ∑ x i1 = ∑ x i1 =5 n i =1 9 i =1
回归分析 均匀设计表不具有正交性，不能像正交试验那样方便 均匀设计表不具有正交性， 地进行方差分析。 地进行方差分析。 试验数据的处理比较复杂，对结果的分析计算最好运 试验数据的处理比较复杂， 用回归分析方法，一般采用多元线性回归（Multiple 多元线性回归 用回归分析方法，一般采用多元线性回归（ Linear Regression，简称MLR）或逐步回归的方法。 Regression，简称MLR）或逐步回归的方法。
取全部误差的平方和为
Q ( a , b ) = ∑ ε i2 = ∑ ( y i − a − bx i ) 2