4.2一元二次方程的解法(2)
4.2 一元二次方程的解法(2)
第3课时 一元二次方程的解法（2）班级_____ 学号_____姓名_______一、知识点：1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为)0()(2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义.2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法. 二、典例精析 例1、解方程：（1）2670x x ++= （2）462+=x x练习：用配方法解下列方程（1）0342=+-x x （2）0132=-+x x （3）211063x x --=例2、用配方法解下列方程（1）253x x -+=- （2）01322=--x x （3）2(2)2(2)10x x +-+-=例3、用配方法解关于x 的方程20x px q ++=，其中24p q ≥．三、随堂练习1、完成下列配方过程（1）28x x ++_____2(___)x =+ （2）22____(___)x x x -+=-（3）221____(___)3x x x ++=+ （4）229____(___)4x x -+=- 2、若22497()255x mx x -+=+，则m 的值为___________． 3、将方程2530x x --=化成2()x m n +=的形式为___________．4、①如果代数式226x x m -+是一个完全平方式，那么______m =．②如果代数式29x mx -+是一个完全平方式，那么______m =．5、用配方法解方程2670y y -+=，得2()y m n +=，则_______,______m n ==．6、如果矩形的长和宽为x 和y ，且052422=+--+y x y x ，则矩形的周长为______________7、用配方法解下列方程（1）26160x x --=（2）2320x x +-=（3）240x +-=（4）2640x x -+=（5）2(1)10(1)90x x +-++=（6）2226940x ax a b -+-=（7）22(10x x ++=（8）22224x x -=四、课后作业 1、填空 （1）2a ba ++（ ）2(___)a =+ （2）24y y -+（ ）2(___)y =-（3）25y y ++（ ）2(___)y =+ （4）252x x -+（ ）2(___)x =- （5）2x px ++（ ）2(___)x =+（6）2b x x a++（ ）2(___)x =+2、将方程210x --=化成2()x m n +=的形式，正确的是（ ）A．2(9x = B．2(3x = C．2(1x = D．2(1x -= 3、用配方法解关于x 的一元二次方程2222x mx n m -=-（,m n 是常数），解为（ ）A ．12,x m n x m n =+=-B ．12,x m n x n m =+=-C ．12,x m n x n m =-=-D ．12,x m n x m n =-=--4、用配方法解下列方程 （1）2680x x ++=（2）24120x x +-=（3）21024x x -=-（4）28150x x -+=（5）22990x x +-=（6）2520y y ++=（7）2317024x x ++=（8）220y ay a +-=（9）2(21)32(21)x x +-=+（10）2(34)2(43)80x x -+--=5、已知a 、b 、c 是直角三角形的三边，且两直角边a 、b 满足等式22222()2()150a b a b +-+-=，求斜边c 的值．6、将方程230x x P -+=配方后得到21()2x m +=（1）求常数P 与m 的值． （2）求此方程的解．★7、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边①当2222a ab c bc +=+，试判断△ABC 的形状； ②证明22220a b c ac -+-<．。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
4.2一元二次方程的解法——配方法2
配方法
我们通过配成完全平方式的方法, 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 完全平方式的方法 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 用配方法解一元二次方程的方法的 平方根的意义: 平方根的意义:
助手:
如果x2=a,那么 ± a . 那么x= 如果 那么
解:根 题 得 :根 据 意 10 =15t −5t2. 即 2 −3t = −2. t 2 2 3 3 2 t −3t + = −2+ . 2 2 2 1 , 球 到 ; 最 点 答: 在s时小 达 10m 至 高 3 1 t − = . 后 落在 s时其 度 为 m 下 , 2 , 高 又 10 . 2 4
2
8 x + x =1. 3 2
2
5.开方 根据平方根意义, 开方: 5.开方:根据平方根意义,方程两 边开平方; 边开平方; 求解: 6.求解 解一元一次方程; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解 写出原方程的解. 定解: 7.定解:写出原方程的解.
3
用配方法解方程-3x2+4x+1=0 用配方法解方程 分析： 分析：对于二次项系数是负数的一元 二次方程，用配方法解时，为了便于配方， 二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二 次项系数化为1， 次项系数化为 ，再求解 4 1 2 x − x − = 0 系数化为 两边都除以-3， 解：两边都除以 ，得 系数化为1 3 3 4 1 2 移项 移项， 移项，得 x − x = 3 3 2 2
想一想
方程与 x 么关系？ 么关系？
2
5 1 − x + = 0 与方程 与方程2x2-5x+2=0有什 有什 2 2
4.2一元二次方程的解法(2)配方法1
主备人：刘景波 审核人：王海军
情境创设 因式分解的完全平方公式
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
完全平方式
1 ( x ___) 1 (1) x 2 x _____
2 2
2
2
2
2
4 ( x ___) (2) x 8 x _____ 4 5 5 2 2 ） ( y ___) (3) y 5 y （ _____ 2 2 2 2 1 （1） 1 (4) y y ____ ( y ___) 4 4 2
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x 3 5, x 3 5 得 : x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x 6 x 4 两边加9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法.
2
2
它们之间有什么关系
探究交流
x 6x 4 0
2
2 想一想如何解方程 x 23 xx 4 6x 4 0 ?
移项 2
两边加上32,使左边配成 完全平方式
x 2 3 x 3 4 3
2 2
2
左边写成完全平方的形式
( x 3) 5
2
开平方
2 2
x 10x 20 0
x x 1
2 2
x 5x 5 0
x 2.5 x 1 0
2
4x 1 x
2
2、某种罐头的包装纸是长方形，它的长 比宽多10cm，面积是200cm3，求这张 包装纸的长与宽。
4.2 一元二次方程的解法-配方法课件(2) (苏科版九年级上)
2
解 : 3x 8x 3 0.
2
x2
2
4 5 x . 3 3 4 5 x . 3 3 1 x1 , x2 3.
8 4 4 3.配方:方程两边都加上一 2 x x 1 . 3 3 3 次项系数一半的平方; 2 2 4 5 4.变形:方程左边分解因式,右边 x . 3 3 合并同类项;
你能行吗
3x2 +8x –3=0 ;
用配方法解下列方程.
1 这个方程与前4个方程不 (1) -3x=0 ; 一样的是二次项系数不是 4 1,而是3. 基本思想是: (2) x2－6x＋1＝0 如果能转化为前4个方程 的形式,则问题即可解决.
x2
你想到了什么办法?
师生合作 1
配方法
例2 解方程 3x2+8x-3=0. 1.化1:把二次项系数化为1;Biblioteka 2、解方程4 x 1 3x
2
开启
智慧
做一做 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的 高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2 . 小球何时能达到10m的高度?
解 : 根据题意得
你能行吗
10 15t 5t 2 . 即t 2 3t 2. 2 2 3 3 2 t 3t 2 . 2 2 2 答 : 在1s时, 小球达到10m; 至最高点 3 1 t . 后下落, 在2s时, 其高度又为10m. 2 4
回顾与复习
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
一元二次方程的解法(配方)
如果k＜0，那么方程
就没有实数解。
想一想
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛 点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间 t（s）有如下关系：
h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m？
练一练
1解下列方程 （1）2x2-8x+1=0
(2) 1 x2+2x-1=0
2
后一个方程中的二次项系数变为1，即方程 两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转 化为学过的方程的形式，用配方法即可求出
方程的解
如何用配方法解方程2x2-5x+2=0 呢？
试一试 用配方法解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5x10 2
移项，得 x2 5 x 1
系数化为1 移项
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
概念巩固
用配方法解下列方程，配方错误的是（C）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t2-7t-4=0化为(t-
7 2
)2=
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x- )2= 10 39
典型例题 例 解下列方程
1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2
解：（1）系数化为1，得 x2
移项，得 x2 3x
3x1
1 4
0
4
配方，得 x2 3x32 19
2 4 4
即
苏科版数学七年级上册4.2《一元二次方程的解法》(第2课时)教学设计
苏科版数学七年级上册4.2《一元二次方程的解法》（第2课时）教学设计一. 教材分析《一元二次方程的解法》是苏科版数学七年级上册4.2节的内容，本节课主要介绍了一元二次方程的解法–因式分解法和求根公式法。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的解法，并能够运用因式分解法和求根公式法求解一元二次方程。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元一次方程的解法，对解方程有一定的了解。
但一元二次方程的解法与一元一次方程的解法有很大的不同，需要学生能够理解并掌握一元二次方程的解法。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解一元二次方程的解法，能够运用因式分解法和求根公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的解决问题能力和团队合作能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生的学习积极性。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：理解并掌握求根公式法，能够灵活运用求根公式法求解一元二次方程。
五. 教学方法采用问题驱动法、自主学习法、合作交流法、案例分析法等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程的案例，用于讲解和练习。
2.准备课件，用于辅助讲解和展示。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的解法–因式分解法和求根公式法，并通过课件展示解题过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的解题案例，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）对学生的解题情况进行反馈，针对学生的错误进行讲解和指导。
5.拓展（10分钟）讲解一些一元二次方程的特殊情况，如无解和有多个解的情况，提高学生的解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的解法和注意事项。
4.2一元二次方程的解法(2)学案
2
集体备课
2
2
5 9 即x 4 16
2
开方，得 x ∴x1=
5 3 4 4
1 ，x2=2 2 问题 2:如何解方程-3x2+4x+1=0? ...
2．概括总结． 对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，用配方法求解时要做什么？ 首先要把二次项系数化为 1,用配方法解一元二次方程的一般步骤为：系数化为 一，移项，配方，开方，求解，定根 3 概念巩固 用配方法解下列方程，配方错误的是（C ） 7 65 A.x2+2x-99=0 化为(x+1)2=100 B.t2-7t-4=0 化为(t- )2= 2 4 2 10 C.x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0 化为(x- )2= 3 9 4.典型例题： 解下列方程 （1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2 5.探究： 一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离 h（m）与抛出后小球运动 的时间 t（s）有如下关系： h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m 6.巩固练习： 练习 1 解下列方程 1 （1）2x2-8x+1=0 (2) x2+2x-1=0 (3)2x2+3x=0 2 2 (4)3x -1=6x (5)-2x2+19x=20 (6)-2x2-x-1=0 练习 2 用配方法求 2x2-7x+2 的最小值 练习 3 用配方法证明-10x2+7x-4 的值恒小于 0 三、归纳总结： 运用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的方法和步骤是什么？ 【课后作业】 1、填空： 1 (1)x2- x+ =(x)2, 3 2 (2)2x -3x+ =2(x)2. 2、用配方法解一元二次方程 2x2-5x-8=0 的步骤中第一步是 。 3 用配方法将方程 2 x 2 x 1 变形为 ( x h)2 k 的形式是__________________. 4、用配方法解方程 2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ） A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4 3 3 C.x2-2x+1= +1 D. x2-2x+1=- +1 2 2 5、用配方法解下列方程： （1） 2t 2 7t 4 0 ； （3) 0.1x 2 0.2 x 1 0 （2） 3x 2 1 6 x （4）6x2-4x+1=0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.2一元二次方程的解法（2）
自学目标
(1) 学会用配方法解一元二次方程，即：能把一个一元二次方程化为()()2
0x h k k +=≥的形式，然后用直接开平方法解例如()()2
0x h k k +=≥的方程； (2) 在用配方法解一元二次方程的过程中，体会转化得思想 。
二、重 点：会用配方法解一元二次方程。
难 点：把一个一元二次方程化为()()2
0x h k k +=≥的形式。
三、情境引入：
1.什么是平方根？什么是完全平方公式？
2.练一练
3、什么是配方法？
先把一个一元二次方程变形为把原方程变为k h x =+2
)(的形式(其中h 、k 是常数）。
如果k ≥0时，再通过直接开平方法求出方程的解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法
4、典型例题：
例1 ： x 2-4x =－3
练一练: (1) 0132
=-+x x (2) x 2
+2x-3=0
例2 ：3y 2–2 = y
(___)
(___)(___)(222
2
2
2
2
2____21
)4(_____5)3(_____8)2(_____2)
1(-+-+=+-=++=+-=++y y y y x x x x y y x x ___)(___)(___)
(___)
(22
2
2
2
22
2____2
1
)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(-+-+=+-
=++=+-=++y y y y x x x x y y x x
练一练: (1) 2x 2+3=7x (2) -3y 2+4y+1=0
巩固练习
(1) x 2+10x+20=0 (2) x 2 –x=1
(3) 043432
=+-x x (4) 4
321412-=-x x
思维拓展：
(1) 2x 2
-3x+1的最小值 (2) -2x 2
-3x+1+最大值。