应明确地把张量概念引入到基础物理教学中

应明确地把张量概念引入到基础物理教学中
李承祖 ，杨丽佳 ，陈菊梅
（国防科技大学 ，湖南 长沙 ４１００７３）
众所周知 ，数学是物理学的语言和工具 ，它可精确的表述概念 ，简洁 、严格的表示物理规律 ， 可靠 、深刻地揭示现象本质 ．数学工具在许多场合是不可替代的 ．正因为这样 ，在大学基础物理中 已经引进矢量 、微积分表述牛顿力学 ，用矢量分析方法表述电磁学 ．考虑到学生的承受能力 ，尽量 避免使用艰深的数学工具是必要的 ． 如果说不用微积分就不能精确地表示像牛顿定律 、麦克斯韦方程等物理规律 ，那么不引进张 量的概念就不能准确的表述支配物理规律的对称性 ．我们感到 ，为了物理教学内容现代化 ，加强 物理概念 、物理图像和物理思想教学 ，在基础物理教学中有必要引进张量的概念 ．引进张量概念 不仅可以把学生已经熟悉的标量 、矢量的概念建立在更严格的数学基础上 ，而且可以从空间对称 性的角度理解物理量 、物理规律本质 ．特别通过洛伦兹变换的几何解释 ，把三维张量定义直接推 广到四维空间 ，定义四维张量 ，可更简单 、准确地表述相对论 ，方便地导出物理量在不同惯性系间 的变换 ，特别是更深入地解释电磁场的统一性和相对性 ．这样做所需的数学基础只是三维空间中 坐标系的转动变换 ，而这个基础学生在高中解析几何中就已具备 ． 在中学物理中 ，学生已熟悉 ，只有大小 ，没有方向的物理量是标量 ，矢量是一个既有大小 ，又 有方向的物理量 ．标量 、矢量的这种描述性的定义对中学生是适用的 ，但对于大学生就有必要给 出这些量更本质的定义 ，同时使他们掌握定义有更复杂空间取向性质物理量的方法 ．实际上 ，在 基础物理中已经碰到一些这样的物理量 ，不能简单地用标量或矢量描写 ．例如在研究电磁场时 ， 电磁场动量密度是个矢量 ，但电磁场作为场物质是运动的 ，如何描述电磁场动量在空间的流动 呢 ？ 要描述电磁场动量流动 ，不仅需要指出电磁场动量方向 ，还要指出它流动的方向 ，电磁场动 量流（又叫电磁场张力张量）就是具有更复杂空间取向性质的物理量 ．类似地 ，刚体定轴转动的转 动惯量是个标量 ，但在刚体做非定轴转动的一般情况下 ，应如何表述刚体的转动惯性呢 ？ 还有如 连续介质内部的作用力 ，各向异性介质的电磁性质 ，如极化率 、介电常量 、磁导率等 ，都需要推广 物理量的分类 ，包括引进张量的概念 ．不过 ，在基础 物理 中通 过 直角坐标系 转 动 变 换 引 进 张 量 的 概 念 和 简 单 的 代 数 运 算 就 够 了 ，在不涉及广义相对论的场合 ，一般并不需要曲线坐标系变换 的张量理论 ．
cosθ － sinθ ０［ α］ ＝ sinθ cosθ ０
（１）
０
０１
称为转动矩阵 ．容易验证转动矩阵的行矢 、列矢满足正交归一化关系 ：［ α］［ α］ ＝ I ，其中［ α］表示 ［ α］的转置矩阵 ，I 是 ３ × ３ 单位矩阵 ． 推广上述坐标架绕 z 轴转动 θ 角的转动 ，到绕空间任意方向 n 、转动任意角度 φ 的一般情 况 ，可得任意空间点 M 的位矢 x 在新旧坐标系下各分量的变换关系为
3 空间各向同性对物理量 、物理规律的数学表述的限制
根据前面张量的定义 ，不难看出 ，从中学到大学 ，迄今所遇到的物理量都是三维张量 ．事实上 我们已经遇到的所有的标量 ，如空间两点之间的距离 ，质量 、动能 、功 、温度 ，特别是时间等都是零
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阶张量 ．可以证明速度 、动量 、加速度 、力等都是一阶张量 ．事实上以前已经遇到的所有的矢量都 是一阶张量 ．转动惯量张量 ，就是一个二阶张量的例子 ．物理上二阶张量的例子还有应力张量 、介 电张量 、磁导率张量 、动量流密度张量等 ． 为什么所有物理量都具有张量（不同价）性质 ？ 我们可以用物理空间具有的转动对称性解 释 ．物理量描述物体运动状态或在一定运动状态下的性质 ，物理量的变化规律描述了物体运动的 规律 ．在物理学（广义相对论除外）中 ，假设三维坐标空间是平直的 、均匀的（所有空间点在物理上 完全等价） 、各向同性的（即沿各个方向有相同物理性质） ．于是 ，物理现象不会依赖于发生这一现 象物体的空间位置或物体系的空间取向 ．例如转动一个物体系 ，这个物体系内部运动的规律不会 发生变化 ． 物理规律是通过物理量构成的数学方程式表述的 ．由于坐标空间物理上各向同性 ，物体系统 绕空间任意方向转过任意角度 ，其性质以及其中发生的物理过程不会有任何不同 ．由于物理系统 的这种转动 ，等价于物理系统不动 ，描述物理系统的坐标系发生了转动 ，这表明用转动后的坐标 系 S′描述的物理规律和用原来坐标系 S 描述的物理规律应有相同的数学形式 ．这不仅对物理量 的数学性质提出了要求 ，而且对物理规律的数学形式也提出了限制条件 ．如果物理量都是三维空 间的张量（不同物理量可以有不同阶） ，由这样的张量构成的数学方程式各项都是同阶张量 ，在坐 标系转动变换下 ，每一项都按相同的规律变换 ，整个方程式的形式才可以保持不变 ．由此可见 ，在 坐标系转动变换下保持形式不变 ，或反映空间各向同性要求的物理规律 ，应采取三维空间张量方 程形式 ． 例如牛顿定律是三维空间一阶张量方程 ；而动能定理 ，外力对质点做功功率等于质点动能增 加率则是三维空间中的零阶张量方程 ，等等 ． 由于物理规律应采取三维空间张量方程形式 ，这就解释了为什么迄今我们所遇到的物理量 都具有三维空间标量 、矢量或张量的性质 ．
［ α］［ α］ ＝ ［ I］
（３）
它保持矢量 x 的大小（长度） x′i x′i ＝ xj x j 不变 ．数学上称这种保持矢量长度不变的线性变换为正 交变换 ，所以坐标系的转动变换是正交变换 ．
2 用三维空间坐标系的转动变换定义三维空间张量
根据三维空间中坐标系转动变换 ，可以定义三维空间中的各阶张量 ． １） 如果一个量在坐标系转动变换下为不变量 ，就称此量为三维空间中的零阶张量 ．时间 、质 量 、电荷等和坐标系无关 ；空间两点之间的距离 ，虽然两点坐标都随坐标系转动变化 ，但两点距离 不变 ，所以这些量都是零阶张量 ． ２） 三维空间中的位置矢量 x ，有 ３ 个分量 ，每个分量在坐标系转动变化下都满足变化关系 式（２） ．推广这种情况 ，可定义一阶张量 ：如果一个量由 ３ 个分量组成 ，每个分量在坐标系转动变 换下如同坐标分量一样变换 ，即
x′i ＝ αij x j i ＝ １ ， ２ ， ３
（２）
其中系数 αij ＝ e′i · ej （｛ e′i ， ej ； i ， j ＝ １ ， ２ ，３｝分别是新旧坐标系基矢量）是个仅决定于新 、旧坐标 系的相对转动 、与坐标无关的纯数 ．式（２）表明坐标系转动变换是坐标分量的线性变换 ．一般转动 转动矩阵 ［ α］ ＝ ［ αij ， i ， j ＝ １ ， ２ ， ３］具有性质
论 坛
1 三维空间坐标系转动变换
固定直角坐标系 S 的坐标原点 O ，让整个坐标架绕 z 轴转动
θ 角 ，记新坐标系为 S′ ．任意位置矢量 x 在新 、旧坐标系中的坐标
关系（图 １）可用矩阵表示为 x′i ＝ αij x j ，i ＝ １ ， ２ ， ３ ．其中系数矩阵
图１
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A′i ＝ αij A j
（４）
报告
则称此量为三维空间中的一阶张量 ．所以位置矢量 x 就是个一阶张量 ． ３） 如果一个量 T（ Tij ：i ， j ＝ １ ，２ ，３）由 ９ 个分量构成 ，每个分量在坐标系转动变换下都满足 变换关系
T′ij ＝ α α T ik jl kl
（５）
就称量 T 是三维空间中的二阶张量 ．如果需要的话 ，可类似地定义更高阶张量 ． 物理上把上面利用三维空间坐标系转动变换定义的零阶 、一阶 、二阶等张量等统称为三维空 间中的张量或简称三维张量 ．