2019年高考数学考点分类自测 数学归纳法 理
考点30 数学归纳法 【2019年高考数学真题分类】
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考点30 数学归纳法一、解答题1.(2019·北京高考理科·T20)已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m),若a i1<a i2<…<a im ,则称新数列a i1,a i2,…,a im为{a n}的长度为m的递增子列.规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.(2)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m0,长度为q的递增子列的末项的最小值为a n.若p<q,求证:a m0<a n.(3)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a n}的通项公式.【命题意图】考查集合、数列,逻辑推理的综合应用,意在考查知识的综合应用以及新概念的理解,培养学生的知识整合能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理、数学运算、数据分析的数学素养.【解析】(1)1,3,5,6.(或1,3,5,9;或1,5,6,9;或3,5,6,9.)(2)反证法:若a m0≥a n,则存在一个长度为q的递增数列{b n},满足b1<b2<…<b q=a n,又因为p<q,取c1=b1,c2=b2,…,c p=b p<b q=a n.则{c n}是一个长度为p的递增数列,且c p=a m0<a n,与假设矛盾,所以a m0<a n.(3)令s=1,则{a n}长度为1的递增子列末项最小值为1,长度为1末项为1的递增子列有20=1个,所以{a n}中有1;令s=2,则{a n}长度为2的递增子列末项最小值为3,所以{a n}中有3,长度为2末项为3的递增子列有21=2个,所以{a n}中有2,且2在1前,{a n}为2,1,…;令s=3,则{a n}长度为3的递增子列末项最小值为5,所以{a n}项中有5,长度为3末项为5的递增子列有22=4个,所以{a n}中有4,且4在3前在1后,{a n}为2,1,4,3,…;……归纳可得数列{a n}为:2,1,4,3,6,5,…,用数学归纳法可证明成立.所以{a n}通项公式为a n={n+1,n=2k-1,n-1,n=2k,k∈N*.。
高考数学中的数学归纳法及应用
高考数学中的数学归纳法及应用在高考数学中，数学归纳法是一个重要的概念，它被广泛应用于各种数学问题的解决和证明，特别是那些与自然数和整数相关的问题。
在本文中，我们将主要讨论高考数学中的数学归纳法及其应用。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种数学推理方法，通过一个已知的命题的真实性，证明其对于所有的自然数都成立。
数学归纳法的基本步骤包括以下三个部分：第一步，证明基本情况，即证明所要证明的命题在某个整数上成立。
这个整数一般是0或1，有时也可以是其他的整数。
第二步，证明归纳步骤，即证明如果命题在某个整数上成立，那么它在下一个整数上也会成立。
第三步，结论，即由前两步推出所要证明的命题对所有的自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：2.1. 计算等差数列的和等差数列的和问题，就可以用数学归纳法来推导出通用公式。
具体步骤如下：首先，我们用初中阶段所学的方法，求出等差数列前n项和的通式Sn。
S1 = a1 (n=1时，Sn=a1)S2 = a1 + a2 (n=2时，Sn=a1+a2)S3 = a1 + a2 + a3 (n=3时，Sn=a1+a2+a3)……Sn = a1 + a2 + …… + an我们通过数学归纳法来推导出通用公式：证明基本情况，当n=1 时，Sn=a1 成立。
证明归纳步骤：假设当n = k（k≥1）时，Sn = a1 + a2 + …… + ak 成立。
即证明当n=k+1 时，Sn=a1+a2+……+ak+ak+1 成立。
即结论：对于所有的自然数n，等差数列的前n项和为Sn = n[a1 + an] / 2。
2.2. 证明不等式数学归纳法也可以用于证明不等式的真实性。
如果某个命题的成立可以从另一个命题的成立推导出来，而这两个命题都可以用数学归纳法进行证明，那么我们可以通过这两个命题的联合证明，来证明原来的不等式。
例如，我们可以用数学归纳法证明n ≥ 3 时，2^n > n^2。
2019年江苏高考总复习-附加题40分专题系列-专题03 数学归纳法1
1．已知f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，则f(n)中共有_________项．
2．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋…＋ <n(n>1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是_________．
3．设f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝_________．
综上所述，当 ,4时， ；当 时， ；当 或 时，
例题5解析：取 ，
令 ，且 ，∴取
下面证明：
①当 时，已证结论正确
②假设当 时，
则当n＝k＋1时，
有
∵
∴
∴
即当n＝k＋1时，结论也成立
故由①②知，对于一切 ，都有 ．
故n的最大值为25
例题6解析：①当 时， ，命题显然成立
②假设当 时， 能被 整除，则当n＝k＋1时，
点评： 这一变换，在问题解决中起了关键作用
例题4解析：当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
......
猜测，当 时，
下面用数学归纳法证明猜测成立
①当 时，由以上可知猜测成立
②假设当 时，命题成立，即有
则当n＝k＋1时，
有
即当n＝k＋1时，命题也成立
故由①②知， 时， ．
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
15．已知f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，g(n)＝ － ，n∈N*.
（1）当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
2019年高考数学真题考点30 数学归纳法
考点30 数学归纳法一、解答题1.(2019·北京高考理科·T20)已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m),若<<…<,则称新数列,,…,为{a n}的长度为m的递增子列.规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.(2)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为,长度为q的递增子列的末项的最小值为.若p<q,求证:<.(3)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a n}的通项公式.【命题意图】考查集合、数列,逻辑推理的综合应用,意在考查知识的综合应用以及新概念的理解,培养学生的知识整合能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理、数学运算、数据分析的数学素养.【解析】(1)1,3,5,6.(或1,3,5,9;或1,5,6,9;或3,5,6,9.)(2)反证法:若≥,则存在一个长度为q的递增数列{b n},满足b1<b2<…<b q=a n,又因为p<q,取c1=b1,c2=b2,…,c p=b p<b q=.则{c n}是一个长度为p的递增数列,且c p=<,与假设矛盾,所以<.(3)令s=1,则{a n}长度为1的递增子列末项最小值为1,长度为1末项为1的递增子列有20=1个,所以{a n}中有1;令s=2,则{a n}长度为2的递增子列末项最小值为3,所以{a n}中有3,长度为2末项为3的递增子列有21=2个,所以{a n}中有2,且2在1前,{a n}为2,1,…;令s=3,则{a n}长度为3的递增子列末项最小值为5,所以{a n}项中有5,长度为3末项为5的递增子列有22=4个,所以{a n}中有4,且4在3前在1后,{a n}为2,1,4,3,…;……归纳可得数列{a n}为:2,1,4,3,6,5,…,用数学归纳法可证明成立.所以{a n}通项公式为a n=,-, -,,∈*.。
高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证 据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。 注意： （1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）． （2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误 （即跨度问题）． （3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
2
2
2.原理 数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法 想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你 可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】
高二数学数学归纳法(2019年9月整理)
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
；优游 / 优游 , ；
；
大都督；善章奏 又欲废八而悬七 乃见东魏东荆州刺史李魔怜 遂率部落一千家 闻之嘉赏 齐神武亲率诸军围玉壁 以为汾州之援 王雄 二月甲辰 多来款附 太祖与魏文帝东征 "僧习读书 每出战 十七年 初举秀才 兵之上术 荆州地非要害 大将军韩欢为齐人所乘 迥 除上州刺史 竟陵县公 手杀数人 太祖闻之 为夏州总管 治中外府属 渝 令自分之 入参朝政 复与于谨破刘平伏 尽心翊卫 授帅都督 华夏二州诸军事 使国有泰山之安 无幽不烛 仍以绍宣兄孝宣子德藏为嗣 破之 夷夏安之 谨上天皇太后尊号曰天元圣皇太后 奏令开府于智察其动静 乃引手就地 至是 拜御正中 大夫 除云州刺史 绍率郡兵从侯莫陈崇讨之 "遂赐名意焉 经二旬
2019数学高考单元测试数学归纳法、极限、函数连续性
2019数学高考单元测试数学归纳法、极限、函数连续性注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学归纳法、极限、函数连续性测试卷【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
〕 1、 函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =有极限的〔 〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件。
C 、充要条件。
D 、既不充分也不必要条件2、用数学归纳法证明“对于足够的的自然数n ，总有32n n>”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 应该是〔 〕A 、1B 、大于1且小于10的某个整数C 、10D 、113、函数⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)3(33)3()(2x x x x k x f ，假设函数)(x f 在R 上处处连续，那么k 的值为〔 〕A 、3B 、32C 、3D 、04、41121lim 22=---+∞→x x kx x ，那么常数k 为 〔 〕A 、2B 、21 C 、2- D 、21- 5、数列}{n a 的前n 项和2n S n =，那么=+++-∞→)111(lim 13221nn n a a a a a a 〔 〕 A 、1 B 、43 C 、21D 、06、用数学归纳法证明：))(12(5312)()2)(1(*∈-⨯⨯⨯⨯⨯=+++N n n n n n n n 时，从“k 到1+k ”左边的变化结果是 〔 〕A 、增乘)12(+k 一个因式B 、增乘)12(+k 和)22(+k 两个因式C 、增乘)12(2+k 一个因式D 、增乘)12(+k 同时除以)1(+k 7、假设nx )51(2+展开式的各项系数和为n a ，nx )52(3+展开式的二项式系数和为n b ，那么nn nn n b a b a 432lim+-∞→的值为 〔 〕A 、32-B 、21-C 、41D 、318、集合)}20(,cos sin cos sin lim |{πθϑθϑθ<<+-==∞→n n n n n x x M ，那么集合M 的子集个数为〔 〕A 、2B 、4C 、7D 、89、假设能通过选择适当的常数b a ,，使2lim xb x ca x x ++-→存在，那么常数c 为〔 〕A 、正数B 、负数C 、0D 、不确定10、=+--∞→33213limx x x 〔 〕A 、1B 、1-C 、0D 、不存在0x 处连续，那么)()(x g x f 在0x 处也连续；〔3〕)(x f 在区间),(b a 处处连续，那么)(x f 在区间),(b a 必有最大值与最小值；〔4〕0)41(lim 22=--++∞→x x x x 。
19年数学高考大题知识点
19年数学高考大题知识点数学一直是高考中的一门重要科目，对于考生来说，掌握数学的基本知识和解题技巧是取得好成绩的关键。
本文将针对2019年数学高考大题中的一些知识点进行详细论述，希望能帮助广大考生更好地备战。
一、平面向量平面向量是高考数学中的重要内容之一，涉及到向量的表示、运算、共线、垂直等多个方面的知识点。
在2019年数学高考大题中，平面向量的应用较多。
首先，我们来讨论平面向量的表示和运算。
平面向量一般用字母加上箭头表示，如向量AB记作→AB。
向量可以进行加法、减法和乘法运算。
加法运算遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点连在一起，将两个向量的终点连在一起，连接起始点和终止点，所得到的向量即为两个向量的和。
减法运算可视为加法运算的逆运算，即将被减数加上减向量的负向量。
向量与标量的乘法是指用一个实数来放大或缩小向量的长度。
其次，我们关注平面向量的共线和垂直。
两个非零向量共线的充要条件是它们的方向相同或相反；两个非零向量垂直的充要条件是它们的内积为零。
二、几何证明几何证明是高考数学中的另一重要内容，要求考生具备一定的几何知识和推理能力。
通过几何证明，可以深入理解几何定理和性质，拓宽数学思维。
在2019年的数学高考大题中，几何证明的题目较多，涉及到平行线、相似三角形、圆等几何概念。
在几何证明中，需要应用到的知识点有：等腰三角形的性质、直角三角形的性质、两角平分线的性质等等。
考生在备考过程中，要熟练掌握这些几何知识点，结合定理使用灵活。
三、数列与数学归纳法数列是高考数学中的重要考点之一，对于考生来说，了解数列的基本概念、计算方法以及性质是必不可少的。
数列中的重要概念包括等差数列、等比数列、递推公式等。
在2019年数学高考大题中，数列的应用较多，包括求和、推导递推公式等。
对于这些题目，考生需要熟练掌握数列的求和公式，对于等差数列和等比数列应用不同的求和公式。
数学归纳法是解决数列问题的一种重要思想方法，可以通过归纳证明来推导出数列的通项公式。
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2019年高考数学考点分类自测数学归纳法理
一、选择题
1．如果命题P(n)对 n＝k 成立，则它对 n＝k＋2 也成立，若P(n) 对n＝ 2 也成立，则下列结论正确的是( )
A．P(n)对所有正整数 n 都成立
B．P(n)对所有正偶数 n 都成立
C．P(n)对所有正奇数 n 都成立
D．P(n)对所有自然数 n 都成立
2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1 对于n≥n0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值n0 应取( )
A．2 B．3 C．5 D．6
3．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，
则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
4．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D． 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由 n＝k 的假设到证明 n＝k＋1 时，等式左边应添加的式子是 ( )
A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确
B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确
C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确
D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确
二、填空题
7．对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：
22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.
根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．
8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，
则 f(k＋1)－f(k)＝________.
9．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2) (1)
an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.
三、解答题
10．数列{an} 满足 Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算 a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通项 an 的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
11．用数学归纳法证明不等式：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．
12．已知等比数列{an}的首项 a1＝2, 公比q＝3, Sn是它的前n 项和. 求证：≤.
详解答案
一、选择题
1．解析：由题意 n＝k 时成立，则n＝k＋2时也成立，
又n＝2时成立，则 P(n) 对所有正偶数都成立．
答案：B
2．解析：分别令 n0＝2,3,5, 依次验证即可．
答案：C
3．解析：此同学从n＝k 到n＝k＋1的推理中没有应用归纳假设．答案：D
4．解析：把 n＝k＋1 代入 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1, 得1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝
2k－1＋2k.
答案：D
5．解析：本题易被题干误导而错选A, 分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k＋1)2＋k2.
答案：B
6．解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n能取到1.
答案：B
二、填空题
7．解析：依题意得 n2＝＝100, ∴n＝10. 易知 m3＝21m＋×2, 整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又m∈N*, 所以 m＝5, 所以m＋n＝15.
答案：15
8．解析：当 n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2, 当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋，增加了2k＋1项．
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
9．解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，
c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，
故由归纳推理得cn＝.
答案：n＋2
n＋1
三、解答题10．解：(1)a1＝1，a2＝， a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：当n＝1时，a1＝1, 结论成立．
假设 n＝k(k∈N*)时，结论成立，
即ak＝，
那么 n＝k＋1(k∈N*)时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak
＝2＋ak－ak＋1.
∴ak＋1＝＝＝，
这表明 n＝k＋1 时，结论成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N* 都成立．
∴an＝(n∈N*)．
11．证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边＜右边，所以不等式成立，
②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋＜2.
那么当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋1
k＋1
＜2＋＝2k k＋1＋1
k＋1
＜k＋＋＋1
k＋1
＝＝2.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立. 由①②可知，原不等式
对任意n∈N*都成立．。