2019-2020学年广东省江门市数学高二(下)期末监测试题含解析

2019-2020学年广东省江门市数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 （ ） A ．12p p B ．1221(1)(1)p p p p -+- C ．121p p - D ．121(1)(1)p p ---【答案】B 【解析】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p 1(1－p 2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p 2(1－p 1)，则恰有一人解决问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．故选B. 点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.2．211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值等于（ ） A ．1 B ．－1C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的计算方法，可得11i i -+的值，进而可得211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，可得答案．【详解】解：根据复数的计算方法，可得21(1)1(1)(1)i i i i i i --==-++-， 则()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题． 3．设是平面内的两条不同直线，是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是（ ） A ．11,l m l n ⊥⊥B ．12,m l m l ⊥⊥C ．12,m l n l ⊥⊥D ．1//,m n l n ⊥ 【答案】B 【解析】 试题分析：A ．不能得出，所以本题条件是的不充分条件；B ．，当时，不一定有故本命题正确；C ．不能得出，故不满足充分条件；D ．不能得出，故不满足充分条件；故选B.考点：平面与平面垂直的方法.4．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．28π+B ．88π+C ．48π+D ．68π+【答案】A 【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为4,2,1的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为24211282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A. 5．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。

【详解】 由伸缩变换得，代入，有，即.所以变换后的曲线方程为.故选：C 。

【点睛】本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

6．已知ABC ∆的边AB ，AC 的长分别为20,18，120BAC ∠=︒，则ABC ∆的角平分线AD 的长为（ ） A ．180319B ．9019C ．18019D ．90319【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得9101919AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果. 【详解】如图，因为AD 是ABC ∆的角平分线，所以2010189BD AB DC AC ===， 所以1019AD AB BD AB BC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()10910191919AB AC AB AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+-=+，即9101919AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v .两边平方得2AD =u u u v222211180 8120100182109182019219⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以18019AD AD ==u u u v ，故选C .【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=v v v v ；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =v v .7．以()1,0F 为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．22y x = C ．24x y =- D ．22x y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p 的值，即可写出抛物线的标准方程． 【详解】因为抛物线的焦点坐标是()1,0F ， 所以抛物线开口向右，且p =2， 则抛物线的标准方程24y x =. 故选：A ． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题．8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2xf x m =-；∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21xf x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为12232πππ⨯+⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.10．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为 A ．1B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】试题分析：,,,60,0,0AC l BD l AC BD AC BA AB BD ⊥⊥∴=⋅=⋅=ou u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q Q CD CA AB BD ∴=++u u u r u u u r u u u r u u u r2CD ∴===u u u r考点：点、线、面间的距离计算11．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A ．64 B ．72 C ．60 D ．56【答案】A 【解析】分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为24848C =因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为842216+++= 因此比赛进行的总场数为48+16=64， 选A.点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力.12．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的所有项系数和是（ ） A ．0 B ．1C ．256D ．512【答案】B 【解析】 【分析】令1x =，可求出展开式中的所有项系数和. 【详解】令1x =，则9121x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即展开式中的所有项系数和是1，故选B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．一只蚂蚁位于数轴0x =处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x =1处的概率为________.【答案】49【解析】 【分析】3秒后，这只蚂蚁在x =1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，由n 次独立重复试验的概率计算即可。

【详解】3秒后，这只蚂蚁在x =1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，所以223124339P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查独立重复试验概率的计算，属于基础题。

14．在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离的最小值是 ____ 【答案】1 【解析】试题分析：圆2ρ=的直角坐标方程为224x y +=，直线(cos 3sin )6ρθθ+=的直角坐标方程为，圆心()0,0到直线的距离632d ==，圆上的点到直线的距离的最小值为321d r -=-=. 考点：直角坐标与极坐标、距离公式.15．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有__________个． 【答案】312 【解析】 【分析】考虑个位是0和个位不是0两种情况，分别计算相加得到答案. 【详解】当个位是0时，共有55120A =种情况； 当个位不是0时，共有114424192A A A ⋅⋅=种情况.综上所述：共有120192312+=个偶数. 故答案为：312. 【点睛】本题考查了排列的应用，将情况分为个位是0和个位不是0两种类别是解题的关键.16．若函数()1,03,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则不等式()13f x ≥的解集为______________.【答案】{}|13x x -≤≤ 【解析】 【分析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令133x ≥，解得10x -≤≤， 所以不等式()13f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知复数122,34z a i z i =+=-（a ∈R,i 为虚数单位）（I ）若12·z z 是纯虚数，求实数a 的值； （II ）若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）38a =-（II ）3823a <<【解析】 【分析】（I ）计算出12z z ，由其实部为0，虚部不为0可求得a 值；（II ）计算出12z z ，由其实部小于0，虚部大于0可求得a 的取值范围．【详解】解：（I ）由复数122,34z a i z i =+=-得12·z z =（2a i +）（34i -）=3a+8+（6-4a ）i若12·z z 是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a ）≠0，解得a=-83（II ）12z z =()()()()234238643434342525a i i a i a ai i i i +++-+==+--+ 若12z z 在复平面上对应的点在第二象限，则有380640a a -<⎧⎨+>⎩解得-3823a << 【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查复数的概念与几何性质，属于基础题． 18．已知函数()x ex f x e=（e为自然对数的底数）． （1）求()f x 的单调区间； （2）是否存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出x ，否则说明理由；【答案】（1）单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞；（2）不存在，证明见解析． 【解析】分析：（1）先求一阶导函数()x 0f '=的根，求解()x 0f '>或()x 0f '<的解集，写出单调区间． （2）函数()y f x =在(),1-∞上的单调性，和函数的对称性说明不存在 详解：（1）函数()y f x =的单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞． （2）不存在正实数x 使得()()11f x f x -=+成立， 事实上，由（1）知函数()y f x =在(),1-∞上递增，而当()0,1x ∈，有()0,1y ∈，在()1,+∞上递减，有01y <<， 因此，若存在正实数x 使得()()11f x f x -=+，必有()0,1x ∈． 令()()()()1111x x x F x f x f x x e e+=+--=+-， 令()1'xxF x x e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()0,1x ∈，所以()'0F x >，所以()F x 为()0,1上的增函数，所以()()00F x F >=，即()()11f x f x +>-，故不存在正实数x 使得()()11f x f x -=+成立．点睛：方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使用．19．甲、乙两种不同规格的产品，其质量按测试指标分数进行划分，其中分数不小于82分的为合格品，否则为次品.现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下： 测试指标分数甲产品 8 12 40 32 8 乙产品71840296(1)根据以上数据，完成下面的22⨯ 列联表，并判断是否有95% 的有把握认为两种产品的质量有明显差异？甲产品 乙产品合计合格品 次品 合计(2)已知生产1件甲产品，若为合格品，则可盈利40元，若为次品，则亏损5元；生产1件乙产品，若为合格品，则可盈利50元，若为次品，则亏损10元.记X 为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望（将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率）. 附：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.702 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）没有（2）的分布列见解析，()66E X =【解析】 试题分析：(1)由题意完成列联表，然后计算可得20.717 3.841K ≈＜，则没有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异(2) X 可能取值为90,45,30,-15,据此依据概率求得分布列，结合分布列可求得数学期望()66E X =. 试题解析： (1)列联表如下： 甲产品 乙产品 合计 合格品 80 75 155 次品 20 25 45 合计10010020022200802575200.717 3.84110010015545K （）＜⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯∴没有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异 (2)依题意，生产一件甲，乙产品为合格品的概率分别为，随机变量可能取值为90,45,30,-15,90 4530 -15的分布列为：∴20．设向量3sin cos)a x x x⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭r，(cos,sin cos)b x x x=+v，x∈R，记函数()f x a b=⋅r r. （1）求函数()f x的单调递增区间；（2）在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1()2f A=，2a=ABC∆面积的最大值.【答案】 (1)5[,]()1212k k k Zππππ-+∈.（212+.【解析】分析：（1）函数()f x a b=⋅vv，根据向量坐标的运算，求出()f x的解析式，化简，结合三角函数的性质可得单调递减区间；（2）根据()12f A=，求出A，由2a=ABC∆面积的最大值.详解：（1）由题意知：()sin cosf x a b x x=⋅=⋅vv)()3sin cos sin cosx x x x-+13sin2cos2sin2223x x xπ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，令222232k x kπππππ-≤-≤+，k Z∈，则可得：51212k x kππππ-≤≤+，k Z∈，∴()f x的单调递增区间为()5,1212k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵()12f A=，∴1sin232Aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，结合ABC∆为锐角三角形，可得236Aππ==，∴4A π=.在ABC ∆中，利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即(2222b c bc =+≥（当且仅b c =时等号成立），即2bc ≤=，又sin sin42A π==，∴1sin 24ABC S bc A bc ∆== (1242+≤+=. 点睛：本题考查了三角函数的性质的运用、余弦定理和基本不等式灵活应用.21．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △的面积为2，求11b c +的值．【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。