高三数学一轮复习第十五篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理
高考讲坐标系与参数方程课件理
考点三：运用坐标系解决实际问题
01
02
总结词：能够运用坐标 系解决简单的实际问题 ，提高解决实际问题的 能力。
详细描述
03
04
05
1. 能够运用坐标系解决 简单的实际问题，如位 移、速度、加速度等物 理量的表示和计算。
2. 能够运用坐标系解决 一些简单的几何问题， 如求两点之间的距离、 三角形面积等。
THANKS
感谢观看
考点二：参数方程的转化与求解
详细描述
2. 能够将普通方程转化为参数方 程，将参数方程转化为普通方程 ，并了解参数的物理意义。
总结词：了解和掌握参数方程的 基本概念和转化方法，能够求解 简单的参数方程。
1. 了解参数方程的基本概念和特 点，掌握参数方程与普通方程的 转化方法。
3. 掌握求解参数方程的方法，如 代入法、消元法等，能够求解简 单的参数方程。
它由一个原点和一组有序的坐标轴组成。
坐标系的分类
02 坐标系可分为直角坐标系、极坐标系和球面坐标系等
。
坐标系的表示方法
03
坐标系可以用图形、符号和公式等方式来表示。
坐标系的种类
直角坐标系
直角坐标系是二维平面上最常用的坐标系， 它由一个原点和两组互相垂直的坐标轴组成 。
极坐标系
极坐标系是用来描述在平面上的点和其到原点的距 离以及其与极轴的夹角的坐标系。
坐标系与参数方程的应用场景
坐标系广泛应用于各种科学领域，如物理学、化学、生物学、地理学等。在物理学中，坐标系可以描 述物体的位置和运动状态；在化学中，它可以描述分子的空间构型和原子间的相互作用；在地理学中 ，它可以描述地球上物体的位置和形态。
参数方程也被广泛应用于各种科学领域。例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹和速 度变化；在化学中，它可以描述化学反应的进程和速率；在生物学中，它可以描述生物体的生长过程 和形态变化。
(全国通用版)高考数学大一轮复习坐标系和参数方程第1节坐标系课件文新人教A版
4.(2017·北京卷)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________. 解析 由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为C(1，2)，半径长为1. ∵点P的坐标为(1，0)，∴点P在圆C外. 又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1. 答案 1
【训练 1】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：x2′y＝′＝3xy，. (1)求点 A13，－2经过 φ 变换所得点 A′的坐标； (2)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程.
解 (1)设点 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：x2′y＝′＝3xy，，得yx′′＝＝23y，x，∴xy′′＝＝13－×223＝＝－1，1.
圆心为r，π2，半 径为 r 的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)
5.直线的极坐标方程 (1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为 α，则直线 l 的极坐标方程是 θ＝α (ρ∈R). (2)直线 l 过点 M(a，0)且垂直于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ＝a . (3)直线过 M b，π2且平行于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝b .
解 析 ∵ y ＝ 1 － x(0≤x≤1) ， ∴ ρsin θ ＝ 1 － ρcos θ(0≤ρcos
∴θρ≤＝1si)n；θ＋1 cos θ0≤θ≤π2. 答案 A
Hale Waihona Puke 3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线 C的直角坐标方程为________. 解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标 方程为x2＋y2－2y＝0. 答案 x2＋y2－2y＝0
高考数学(理科)一轮复习课件：坐标系与参数方程 第1节 坐标系
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
3．(2014广东惠州市第三次调研)在极坐标系中，已知 点A、B的极坐标分别为 3，3π ， 4，6π ，则△AOB(其中O为 极点)的面积为________．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
解析：由 A、B 的极坐标可知|OA|＝3，|OB|＝4，
课时训练
1．直线 3x－2y＋1＝0 经过变换xy′ ′＝ ＝32xy， 后的直线方 程为________．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
解析：由变换xy′ ′＝ ＝32xy，
得
x＝x′3 ， y＝y′2 ，
代入直线方
程， 得 3×x′3 －2×y′2 ＋1＝0，得 x′－y′＋1＝0， 即变换后的直线方程为 x－y＋1＝0.
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩
变换．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
2．极坐标系 (1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点 M的__极__径__，记为ρ.以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的____极__角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的 极坐标，记作M(ρ，θ)．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
曲线 过极点，倾斜角 为 α 的直线 过点(a,0)，与极 轴垂直的直线
过点a，π2，与极 轴平行的直线
图形
极坐标方程 θ＝α(ρ∈R) 或 θ ＝π＋α(ρ∈R)
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程 第一课时 坐标系
第1节 坐标系与参数方程第一课时 坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析 直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心(1，0)，半径r ＝1， 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析 根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析 设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， 所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三 求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ， 将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四 极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ） ＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ， 得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16， 即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)； 当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形， 所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9， 即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3， 则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。
高考数学一轮单元复习 坐标系与参数方程课件
│命题趋势
命题趋势
从2010年全国高考看，这部分内容难度属中低档．考 查的重点：一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系；二 是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量．主要 考查对方程中各量几何意义的理解，知识面不太广，重在 考查基础知识．
│使用建议 使用建议
本单元内容是选修 4—4 坐标系与参数方程．共 2讲， 第72讲坐标系，第73讲参数方程．这部分内容作为高考的 选考内容，在考试中所占的分值较少，但在培养综合应用 基础知识的能力，扩大解题思路，灵活解题上作用很 大．特别是参数方程中体现的参数思想，常要渗透到高考 综合题的解题过程．为此，在复习中建议注意以下几点： 1．高度重视基础知识 以课本知识为主，不要刻意加大难度．本单元的重点 是极坐标系和利用参数求轨迹的参数方程．极坐标应重点
│使用建议
由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇，又 与解析几何的轨迹方程的求解有关，因此必须加强参数 法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法 解决实际问题的高效．希望备考时引起足够重视． 本单元共2讲，每讲1课时，45分钟单元能力训练卷1 课时，共约需3课时.
│知识框架
知识框架
│考试说明
考试说明
1．坐标系 (1)理解坐标系的作用． (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极 坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行 极坐标和直角坐标的互化．
│考试说明
(4) 能在极坐标系中给出简单图形 ( 直线、过极点或圆 心在极点的圆 ) 的方程．通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选 择适当坐标系的意义． 2．参数方程 (1)了解参数方程，了解参数的意义． (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数 方程．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．能用直线 的参数方程解决简单的相关问题．
高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理
2．极坐标与直角坐标的互化
点M
直角坐标(x，y)
互化公式
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ__si_n_θ____
极坐标(ρ，θ)
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xyx≠0
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，
第一步 且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合， 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos 第二步 θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程
要保持同解，不要出现增解或漏解
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
第三步
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρ 22sin θ－ 22cos θ－4＝0，化 简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
由坐标变换公式，得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y
－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆 C 的半径为 6.
3．[考点二]在极坐标系中，直线 ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线 ρ＝2cos θ－4sin θ 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，求实数 a 的值．
点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标． 解：设 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝3yx，， 得到
x′＝3x， y′＝12y，
由于点 A 的坐标为13，－2，
于是 x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， 所以 A′(1，－1)为所求．
全国版2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系课件
由 ρ＝2sinθ 得 ρ2＝2ρsinθ， 故圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y， 即 x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1. |2×1＋1| ∵圆心到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离 d＝ 2 32＋22 3 ＝4＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．
板块二 典例探究· 考向突破
选修4－4
坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· xλ>0， φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， yμ>0 y′＝μ·
2 2 4 －
2 2 ＝4 3. 2
5． [2017· 北京高考]在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ －4ρsinθ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为
1 ________ ．
解析 由 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. ∵点 P 的坐标为(1,0)，∴点 P 在圆 C 外． 又∵点 A 在圆 C 上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换．
考点 2
极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ， 自极点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单 位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，就建立了极坐标系． 2． 点的极坐标： 对于极坐标系所在平面内的任一点 M， 若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 角为 θ，则点 M 可用有序数对 (ρ，θ) 表示．
高考数学一轮总复习坐标系与参数方程1坐标系课件理
解 (1)ρ2 － 2 2ρcos θ＋4π － 2 ＝ 0 ， 即 ρ2 － 2ρcosθ＋ 2ρsinθ－2＝0，将xy＝ ＝ρρcsionsθθ， 代入，得曲线 C 的直角坐标 方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心 C(1，－1)，若直线 l 被曲线 C 截得的弦长最小， 则直线 l 与 OC 垂直，即 kl·kOC＝－1，因而 kl＝1，故直线 l 的直角坐标方程为 y＝x.
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程； (2)若射线 θ＝π6(ρ>0)与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点， 求|AB|.
解 (1)由xy＝ ＝2＋ 7cos7αs， inα， 得xy＝ －2＝ 7cos7αs， inα， 所以曲线 C1 的普通方程为 x2＋(y－2)2＝7. 把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入(x－1)2＋y2＝1， 得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ)2＝1， 化简得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ.
例1
求椭圆x42＋y2＝1，经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝12y x，
后
的曲线方程．
[解]
由 x′＝12x， y′＝y，
得到yx＝ ＝y2′ x′. ， ①
将①代入x42＋y2＝1，得4x4′2＋y′2＝1，即 x′2＋y′2
＝1.
因此椭圆x42＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2
核心规律
如何解决极坐标问题
(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐 标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标．
(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2， ⇒tanθ＝yxx≠0.
高考数学 专题十五 坐标系与参数方程课件 理
所以△AOB面积的最大值为 3
2
. (10分)
12/10/2021
方法2 参数方程与普通方程的互化方法
1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的 消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法 等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参, 如sin2θ+cos2θ=1. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点 的坐标的影响,注意两种方程的等价性,避免产生增解的情况. 3.将普通方程化为参数方程时,应选择适当的参数,把点(x,y)的横、纵坐 标分别用参数表示,同时注意参数的意义和取值范围.
注意:相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通
方程.
12/10/2021
2.常见曲线的参数方程与普通方程
曲线 过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线
普通方程 y-y0=tan α(x-x0)
圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆
(x-x0)2+(y-y0)2=r2
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 中心在原点,焦点在y轴上的椭圆 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线 顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线
5
5
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|= 1 8 . 2
5
12/10/2021
方法技巧
方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,并 在两种坐标系中取相同的长度单位,则极坐标方程与直角坐标方程可以 互化.极坐标方程化为直角坐标方程时,通常通过构造ρcos θ,ρsin θ,ρ2的 形式进行,方程两边同乘ρ或同时平方是常用的变形方法,要注意变形的 等价性.
2019版高考数学(理科A版)一轮复习第十五章 坐标系与参数方程
程分别为cos θ+2sin θ=0,ρ2= cos2θ 4sin2θ . (1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程; (2)若点Q是椭圆C上的动点,求点Q到直线l的距离的最大值.
解题导引
解析 (1)cos θ+2sin θ=0⇒ρcos θ+2ρsin θ=0⇒x+2y=0.
ρ2= ⇒ρ42cos2θ+4ρ2sin2θ=4⇒x2+4y2=4⇒ +y2=1. x2
sin θ)- 2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解题导引
解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方
程l2:y=
1 k
(x+2).
设P(x,y),由题设得
y y
k(x 2), 1 (x 2). k
消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
例2 (2017课标全国Ⅲ,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程
为
x y
2 kt
t
,
(t为参数),直线l2的参数方程为
x y
2 m k
m,
(m为参数).设l1与l2
的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+
(1)圆心在极点,半径为R的圆的极坐标方程为ρ=R.
(2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2acos θ.
(3)圆心在点
a,
2
处且过极点O的圆的极坐标方程为⑤
ρ=2asin θ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解:(1)由公式
x
y
cos sin
,
得曲线
C1:ρ=2sin
θ与 C2:ρcos
θ
=-1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为 x2+y2=2y,x=-1.
联立方程组,解得
x
y
1. 1.
由公式
x2
tan
y x
y
2, x
0
得点 P(-1,1)的极坐标为( 2 , 3π ). 4
2.极坐标系 (1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径 ,记为ρ .以极轴 Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角 ,记为θ .有序数对(ρ ,θ )叫
做点M的极坐标,记为M(ρ ,θ ).
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作
另一条过点 A(0,2),倾斜角为 π ,直线的直角坐标方程为 y=x+2,极坐 4
标方程为ρ(sin θ-cos θ)=2,即ρsin (θ- π )= 2 . 4
反思归纳(1)求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ 之间 的关系,然后列出方程f(ρ,θ )=0,再化简并检验特殊点. (2)极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形. (3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标 方程,注意方程的等价性.
1 3 3 6
=6,由点到直线距离公式可得,所求距离为
=1.
2
12 3
答案:1
3.(2015 高考安徽卷)在极坐标系中,圆ρ =8sin θ 上的点到直线θ = π 3
(ρ ∈R)距离的最大值是
.
解析:圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2=8y,即 x2+(y-4)2=16,
反思归纳
平面上的曲线
y=f(x)在变换
:
x ' y '
x 0, y 0
的作用下得
到的方程的求法是将
x y
x' ,
y'
代入
y=f(x),得
y'
=f
x'
,整理之后得到
y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.
2
2
1, 1,
故
3, 2,
所以伸缩变换为
x'
y
'
3x, 2y
即先使圆
x2+y2=1
上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍,得到椭圆 x2 +y2=1,再将 9
该椭圆的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到椭圆 x2 + y 2 =1. 94
2
反思归纳(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式x=ρcos θ 及y=ρsin θ 直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程 时常通过变形,构造形如ρcos θ ,ρsin θ ,ρ2的形式,进行整体代换.其 中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法. 但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
知识链条完善 把散落的知识连起来
知识梳理
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点
P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
:
x ' y '
x 0, y 0
的作
用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换,简称伸缩变换.
【即时训练】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系.曲线
C
的极坐标方程为ρ
cos
π 3
=1(0≤θ
<2π ),M,N
分别为 C
与
x
轴、y 轴的交点.
(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标;
解:(1)由ρcos
π 3
其中正确命题的序号是
.(写出所有正确命题的序号)
解析:①正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为
:
x '
y
'
1 x, 3 1 y， 2
则点(3,2)经过变换 后的点的坐标为(1,1); ②正确.将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数
y=sin[2( 1 x)]=sin x 的图象; 2
3
2
答案:x-y+1=0
2.(2015
高考北京卷)在极坐标系中,点
2,
π 3
到直线ρ
(cos
θ
+
3 sin θ )=
6 的距离为
.
解析:由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点(2, π )对应的直角 3
坐标为(1, 3 ),直线ρ(cos θ+ 3 sin θ)=6 对应的直角坐标方程为 x+ 3 y
①点(3,2)经过伸缩变换
:
3x' 2y '
x, y
后所得点的坐标为(1,1);
②将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=sin x
的图象;
③在极坐标系中,点(2, π )与(2,- 5π )为同一点;
3
3
④在极坐标系中,方程ρ cos θ =1 表示圆.
圆 x2 + y 2 =1. 94
解:设伸缩变换为
x y
' '
x y
0, 0,
由题知
2x 9
2
+ 2y2 4
=1,即
3
2
x2+
2
2
y2=1.
与
x2+y2=1
比较系数,得
3
2
③正确.极坐标系中,点(2, π )与(2, π +2kπ) (k∈Z)为同一点.
3
3
④错误.极坐标系中,方程ρcos θ=1 表示垂直于极轴的直线.
答案:①②③
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
【例 1】 在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆 x2+y2=1 变换为椭
【即时训练】
若函数
y=f(x)的图象在伸缩变换
:
x ' 2x,
y
'
3y
的作用下得到曲
线的方程为 y′=3sin(x′+ π ),求函数 y=f(x)的最小正周期. 6
解:由题意,把变换公式代入曲线 y′=3sin(x′+ π )得 6
3y=3sin(2x+ π ),整理得 y=sin(2x+ π ),故 f(x)=sin(2x+ π ).
(2)O1 与☉O2 的圆心距为 12 a2 = 5 ,解得 a=±2.
备选例题
【例 1】求直线ρ =
5
关于θ = π (ρ ∈R)对称的直线方程.
3cos 2sin
4
解:法一 设点 P(ρ,θ)为所求直线上一点,该点关于θ= π (ρ∈R)的对 4
称点为
P0(ρ0,θ0),则
解:(2)M
点的直角坐标为(2,0).N
点的直角坐标为
0,
2
3 3
.
所以
P
点的直角坐标为
1,
3 3
,则
P
点的极坐标为
2
3 3
,
π 6
,
所以直线 OP 的极坐标方程为θ= π (ρ∈R). 6
考点三 简单曲线的极坐标方程及应用
【例3】 在极坐标系中,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ =2sin θ 与 ρ cos θ =-1(0≤θ <2π ),求: (1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标;
θ =α (ρ ∈R) 或θ =π +α (ρ ∈R)
ρ cos θ =a
ρ sin θ =a
夯基自测
1.直线
3x-2y+1=0
经过变换
x'
y
'
3x, 2y
后的直线方程为
.
解析:由变换
x'
y
'
3x, 2y
得
x
y
x', 3 y', 2
代入直线方程,
得 3× x ' -2× y ' +1=0,得 x′-y′+1=0,即变换后的直线方程为 x-y+1=0.
为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直 角坐标是(x,y),极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为 x= ρ cos θ ,
y= ρ sin θ ,由此得ρ 2= x2+y2 ,tan θ = y x 0 .
x
3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线
圆心在极点,半径为 r 的圆
(2)若直线 C3的极坐标方程为θ = π (ρ ∈R),设 C2与 C3的交点为 M,N,求△C2MN 4