2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件理北师大版
高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案

第二节 等差数列及其前n 项和突破点一 等差数列的基本运算[基本知识]1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项.2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+n n -12d =n a 1+a n 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题1.若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5,则m 与n 的等差中项是________. 答案:32.在等差数列{a n }中,a 2=3,a 3+a 4=9,则a 1a 6的值为________. 答案:143.已知{a n }是等差数列,且a 3+a 9=4a 5,a 2=-8,则该数列的公差是________. 答案:44.在等差数列{a n }中,已知d =2,S 100=10 000,则S n =________. 答案:n 2[典例感悟]1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .12解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3(3a 1+3d )=2a 1+d +4a 1+6d ,即3a 1+2d =0.将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10.2.(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列,其前3项的和为-3,前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,d >0,∵等差数列{a n }的前3项的和为-3,前3项的积为8,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3d =-3,a 1a 1+da 1+2d =8,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =-3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3.∵d >0,∴a 1=-4,d =3,∴a n =3n -7. (2)∵a n =3n -7,∴a 1=3-7=-4, ∴S n =n -4+3n -72=n 3n -112.[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中,a 1与d 是最基本的两个量,一般可设出a 1和d ,利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可.(2)与等差数列有关的基本运算问题,主要围绕着通项公式a n =a 1+(n -1)d 和前n 项和公式S n =n a 1+a n2=na 1+n n -12d ,在两个公式中共涉及五个量:a 1,d ,n ,a n ,S n ,已知其中三个量,选用恰当的公式,利用方程(组)可求出剩余的两个量.[针对训练]1.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,且a 3=2,a 9=12,则a 15=( )A .10B .30C .40D .20解析:选B 法一:设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列,∵a 3=2,a 9=12,∴6d =a 99-a 33=129-23=23,∴d =19,a 1515=a 33+12d =2.故a 15=30.法二:由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,故2×a 99=a 33+a 1515,即a 1515=2×129-23=2,故a 15=30.2.(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得________钱.( )A.53 B .32 C.43D .54解析:选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,设公差为d ,由题意知a 1+a 2=a 3+a 4+a 5=52,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =52,3a 1+9d =52,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=43,d =-16,故甲得43钱,故选C.3.(2018·菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *,满足a 1+a 2=10,S 5=40.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =|13-a n |,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d , 由题意知,a 1+a 2=2a 1+d =10,S 5=5a 3=40,即a 3=8,所以a 1+2d =8,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =2,所以a n =4+(n -1)·2=2n +2.(2)令c n =13-a n =11-2n ,b n =|c n |=|11-2n |=⎩⎪⎨⎪⎧11-2n ,n ≤5,2n -11,n ≥6,设数列{c n }的前n 项和为Q n ,则Q n =-n 2+10n . 当n ≤5时,T n =b 1+b 2+…+b n =Q n =-n 2+10n .当n ≥6时,T n =b 1+b 2+…+b n =c 1+c 2+…+c 5-(c 6+c 7+…+c n )=-Q n +2Q 5=n 2-10n +2(-52+10×5)=n 2-10n +50.突破点二 等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *). (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(m ∈N *)也是等差数列,公差为m 2d .(5)S 2n -1=(2n -1)a n ,S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1),遇见S 奇,S 偶时可分别运用性质及有关公式求解.(6)若{a n },{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ,T n ,则a n b n =S 2n -1T 2n -1.(7)若{a n }是等差数列,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ,则 ①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1); ②S 偶-S 奇=nd ,S 奇S 偶=a na n +1. (9)若等差数列{a n }的项数为奇数2n +1,则 ①S 2n +1=(2n +1)a n +1;②S 奇S 偶=n +1n. [基本能力]1.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________. 解析:依题意,得a 2+a 4+a 6+a 8=(a 2+a 8)+(a 4+a 6)=2(a 3+a 7)=74. 答案:742.设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是________. 答案:23.在等差数列{a n }中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,则该数列前13项的和是________.答案:26[全析考法]考法一 等差数列的性质[例1] (1)(2019·武汉模拟)若数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,且a 1=2a 3-3,则S 9=( )A .25B .27C .50D .54(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{a n }中,若a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,则a 2+a 1 010+a 2 018=( )A .10B .15C .20D .40[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,a 1=2a 3-3=2a 1+4d -3, ∴a 5=a 1+4d =3,S 9=9a 5=27.(2)因为a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,所以a 1+a 2 019=10. 由等差数列的性质可知,a 1 010=a 1+a 2 0192=5,a 2+a 2 018=a 1+a 2 019=10,所以a 2+a 1 010+a 2 018=10+5=15.故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列,m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).因此,若出现a m -n ,a m ,a m +n 等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件;若求a m 项,可由a m =12(a m -n +a m +n )转化为求a m -n ,a m +n 或a m +n +a m -n 的值.(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用,如a n =a m +(n -m )d ,d =a n -a m n -m ,S 2n -1=(2n -1)a n ,S n =n a 1+a n 2=n a 2+a n -12(n ,m ∈N *)等. [提醒] 一般地,a m +a n ≠a m +n ,等号左、右两边必须是两项相加,当然也可以是a m -n+a m +n =2a m .考法二 等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数,通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题.[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值. [解] (1)设{a n }的公差为d , 由题意得3a 1+3d =-15. 又a 1=-7,所以d =2.所以{a n }的通项公式为a n =2n -9. (2)法一:(二次函数法)由(1)得S n =n a 1+a n2=n 2-8n =(n -4)2-16,所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 法二:(通项变号法) 由(1)知a n =2n -9,则S n =n a 1+a n2=n 2-8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧2n -9≤0,2n -7≥0,∴72≤n ≤92, 又n ∈N *,∴n =4,此时S n 的最小值为S 4=-16. [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)通项变号法①a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ;②当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [集训冲关]1.[考法一]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=3a 8,则S 153a 5等于( )A .15B .17C .19D .21解析:选A 因为S 9=a 1+a 2+…+a 9=9a 5=3a 8,即3a 5=a 8.又S 15=a 1+a 2+…+a 15=15a 8,所以S 153a 5=15a 8a 8=15.2.[考法一]在项数为2n +1的等差数列{a n }中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于( )A .9B .10C .11D .12解析:选B ∵等差数列有2n +1项,∴S 奇=n +1a 1+a 2n +12,S 偶=n a 2+a 2n2.又a 1+a 2n +1=a 2+a 2n ,∴S 偶S 奇=n n +1=150165=1011,∴n =10. 3.[考法二]等差数列{a n }中,S n 为前n 项和,且a 1=25,S 17=S 9,请问:数列前多少项和最大?解:法一:∵a 1=25,S 17=S 9,∴17a 1+17×162d =9a 1+9×82d ,解得d =-2.∵a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =25-2n -1≥0,a n +1=25-2n ≤0,得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312,n ≥1212.∴当n =13时,S n 有最大值. 法二:∵a 1=25,S 17=S 9, ∴17a 1+17×162d =9a 1+9×82d ,解得d =-2. 从而S n =25n +n n -12(-2)=-n 2+26n=-(n -13)2+169. 故前13项之和最大.突破点三 等差数列的判定与证明[典例] (2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n +1a n +a n +22=a n +2a n ,且a 3=2a 8=15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的通项公式为b n =a n2n +6,求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)证明:依题意,a n +1a n +a n +2a n +1=2a n +2a n ,两边同时除以a n a n +1a n +2,可得1a n +2+1a n=2a n +1,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3=2a 8=15,所以1a 3=5,1a 8=10,所以1a 8-1a 3=5=5d ,即d =1,所以1a n =1a 3+(n -3)d =5+(n -3)×1=n +2,故a n =1n +2.(2)由(1)可知b n =a n 2n +6=12·1n +2n +3=12( 1n +2-1n +3 ),故S n =12( 13-14+14-15+…+1n +2-1n +3)=n6n +3. [方法技巧]等差数列的判定与证明方法 方法 解读适合题型定义法 对于数列{a n },a n -a n -1(n ≥2,n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n =pn +q (p ,q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题定中的判问题前n 项和公式法验证S n =An 2+Bn (A ,B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起,以后每项与前一项的差是同一常数,即易忽视验证a 2-a 1=d 这一关键条件.[针对训练](2019·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 2=2,S 3=-6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ;(2)是否存在正整数n ,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列?若存在,求出n ;若不存在,请说明理由.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =2,3a 1+3×22d =-6,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =-6,∴a n =4-6(n -1)=10-6n ,S n =na 1+n n -12d =7n -3n 2.(2)由(1)知S n +S n +3=7n -3n 2+7(n +3)-3(n +3)2=-6n 2-4n -6,2(S n +2+2n )=2(-3n 2-5n +2+2n )=-6n 2-6n +4, 若存在正整数n 使得S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列, 则-6n 2-4n -6=-6n 2-6n +4,解得n =5, ∴存在n =5,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列.。
高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理

∴数列的中间项为 11,项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中,Sn 表示其 前 n 项和. (1)若 a3+a17=10,求 S19 的值; (2)若 S4=124,Sn-4=54,Sn=210,求项数 n; (3)若 S4=1,S8=4,求 a17+a18+a19+a20 的值.
解析: (1)S19=a1+a219×19=a3+a217×19
=95.
(2)SS4n=-aS1n+-4=a2+an+a3+ana-41=+1a2n-42,+an-3=156,
由两式相加得 a1+an=70. ∴Sn=a1+a2n×n=70×2 n=210. ∴n=6. (3)S4=1,S8-S4=3,S12-S8,S16-S12,S20 -S16 成等差数列,首项为 1,公差为 2,
解得ad1==21. 2,
所以 an=2n+10.
(2)由 Sn=na1+nn2-1d,Sn=242, 得 12n+nn2-1×2=242.解得 n=11 或 n= -22(舍去).
等差数列的性质
1.等差数列的单调性 等差数列公差为 d,若 d>0,则数列递增; 若 d<0,则数列递减;若 d=0,则数列为常数 列. 2.等差数列的最值 若{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时, (1)若 a1>0,d<0,且满足aann≥ +1≤0,0, 前 n 项和 Sn 最大;
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列,常见的方法 有以下几种: (1)利用定义:an+1-an=d(常数)(n∈N*); (2)利用等差中项:2an+1=an+an+2;
(3)利用通项公式:an=dn+c(d、c 为常数),d 为公差.当 d≠0 时,通项公式 an 是关于 n 的 一次函数;d=0 时为常函数,也是等差数列; (4)利用前 n 项和公式:Sn=an2+bn(a、b 为常 数).若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
高考数学一轮复习第6章数列第1课时数列的基本概念课件理

∴an=32+·3nb-1
(n≥2), (n=1).
【答案】 (1)an=4n-5 (2)当 b=-1 时,an=2·3n-1;当 b≠
-1 时,an=32+·3nb-1
(n≥2), (n=1).
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★状元笔记★ 已知Sn求an的一般步骤
(1)当n=1时,由a1=S1求a1的值; (2)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,求得an的表达式; (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式,若不满足,则分段 表示an; (4)写出an的完整表达式.
5.(2018·沧州七校联考)设函数{an}通项为an=
2
+cos
nπ 3
(n∈N*),又k∈N*,则( )
A.ak=ak+3 C.ak=ak+5
B.ak=ak+4 D.ak=ak+6
答案 D
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6.观察下列各图,并阅读图形下面的文字.像这样,10 条 直线相交,交点的个数最多是( )
a10-a9=9. 累加得 a10-a2=2+3+…+9,∴a10=1+2+3+…+9=45.
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授人以渔
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题型一 归纳通项公式 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,… (2)0.8,0.88,0.888,… (3)1,0,13,0,15,0,17,0,… (4)32,1,170,197,…
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【解析】 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各
项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝
数学(文)一轮教学案:第六章第2讲 等差数列及前n项和 Word版含解析

第2讲 等差数列及前n 项和考纲展示 命题探究1 等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示,定义的表达式为a n +1-a n =d ,d 为常数.2 等差中项如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,且A =a +b 2.3 等差数列的通项公式及其变形通项公式:a n =a 1+(n -1)d ,其中a 1是首项,d 是公差.通项公式的变形:a n =a m +(n -m )d ,m ,n ∈N *.4 等差数列的前n 项和等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时,数列{a n }为递增数列;当d <0时,数列{a n }为递减数列;当d =0时,数列{a n }为常数列.注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时,切忌只通过计算数列的a 2-a 1,a 3-a 2,a 4-a 3等有限的几个项的差后,发现它们都等于同一个常数,就断言数列{a n }为等差数列.(2)用定义法证明等差数列时,常采用a n +1-a n =d ,若采用a n -a n -1=d ,则n ≥2,否则n =1时无意义.1.思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d 等于( )A .1 B.53 C .2D .3答案 C解析 因为S 3=(a 1+a 3)×32=6,而a 3=4.所以a 1=0,所以d =a 3-a 12=2.3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A .8B .10C .12D .14 答案 C解析 ∵S 3=3(a 1+a 3)2=3a 2=12,∴a 2=4. ∵a 1=2,∴d =a 2-a 1=4-2=2.∴a 6=a 1+5d =12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义,通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容,用定义判断或证明等差数列,由n ,a n ,S n ,a 1,d 五个量之间的关系考查基本运算能力.命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10=30,a 20=50.(1)求通项a n ;(2)若S n =242,求n .[解] (1)由a n =a 1+(n -1)d ,a 10=30,a 20=50,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =30,a 1+19d =50. 解得a 1=12,d =2.所以a n =2n +10;(2)由S n =na 1+n (n -1)2d ,S n =242,得方程12n +n (n -1)2×2=242,解得n =11或n =-22(舍去).【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2.(1)设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.[解] (1)证明:∵a n +2=2a n +1-a n +2,∴b n +1-b n =a n +2-a n +1-(a n +1-a n )=2a n +1-a n +2-2a n +1+a n =2.∴{b n }是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)得b n =1+2(n -1),即a n +1-a n =2n -1,∴a 2-a 1=1,a 3-a 2=3,a 4-a 3=5,…,a n -a n -1=2n -3,累加法可得a n -a 1=1+3+5+…+(2n -3)=(n -1)2,∴a n =n 2-2n +2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数.(2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立.(3)通项公式法:验证a n =pn +q .(4)前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn .1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6=( )A .-1B .0C .1D .6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ,由a 4=a 2+2d ,a 2=4,a 4=2,得2=4+2d ,d =-1,∴a 6=a 4+2d =0.故选B.2.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n .若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( )扫一扫·听名师解题A .a 1d >0,dS 4>0B .a 1d <0,dS 4<0C .a 1d >0,dS 4<0D .a 1d <0,dS 4>0答案 B解析 由a 24=a 3a 8,得(a 1+2d )(a 1+7d )=(a 1+3d )2,整理得d (5d +3a 1)=0,又d ≠0,∴a 1=-53d ,则a 1d =-53d 2<0,又∵S 4=4a 1+6d =-23d ,∴dS 4=-23d 2<0,故选B.3.设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.答案 -12解析由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+4×32×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-1 2.4.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.解(1)证明:由题设,a n a n+1=λS n-1,a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得数列{a n}为等差数列.等差数列及其前n项和的性质已知{a n}为等差数列,d为公差,S n为该数列的前n项和.(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等,即a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a k+a n-k+1=….(2)等差数列{a n}中,当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2p,则2a p=a m+a n(m,n,p∈N*).(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即a k,a k+m,a k+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N*).(4)S n,S2n-S n,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列,其首项与{a n }首项相同,公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中,①若项数为偶数2n ,则S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1);S 偶-S 奇=nd ;S 奇S 偶=a n a n +1. ②若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=(2n -1)a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=n n -1. (7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列,且前n 项和分别是S n 和T n ,则S 2m -1T 2m -1=a m b m. (8)若数列{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,则数列{pa n },{a n +p },{pa n +qb n }都是等差数列(p ,q 都是常数),且公差分别为pd 1,d 1,pd 1+qd 2.注意点 前n 项和性质的理解等差数列{a n }中,设前n 项和为S n ,则S n ,S 2n ,S 3n 的关系为2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n )不要理解为2S 2n =S n +S 3n .1.思维辨析(1)等差数列{a n }中,有a 1+a 7=a 2+a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列,则这四个数可设为a -2d ,a -d ,a +d ,a +2d .( )(3)若三个数成等差数列,则这三个数可设为:a -d ,a ,a +d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时,只需将它的前n 项和进行配方,即得顶点为其最值处.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 10=4,则S 11的值为( )A .12B .18C .22D .44答案 C 解析 由题可知S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 2+a 10)2=11×42=22,故选C.3.在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,则a 10-13a 14的值为( )A .12B .14C .16D .18答案 A解析 由题意知5a 8=90,a 8=18,a 10-13a 14=a 1+9d -13(a 1+13d )=23a 8=12,选A 项.[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容,灵活应用由概念推导出的重要性质,在解题过程中可以达到避繁就简的目的.命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中,如果a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }前9项的和为( )A .297B .144C .99D .66[解析] 由a 1+a 4+a 7=39,得3a 4=39,a 4=13.由a 3+a 6+a 9=27,得3a 6=27,a 6=9.所以S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=9×(13+9)2=9×11=99,故选C.[答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用,如a n=a m +(n -m )d ,d =a n -a m n -m,S 2n -1=(2n -1)a n ,S n =n (a 1+a n )2=n (a 2+a n -1)2(n ,m ∈N *)等. (2)如果{a n }为等差数列,m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ( m ,n ,p ,q ∈N *).一般地,a m +a n ≠a m +n ,必须是两项相加,当然也可以是a m -n +a m +n =2a m .因此,若出现a m -n ,a m ,a m +n 等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件.命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大?[解] 解法一:由S 3=S 11得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d=-213a 1.从而S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1,又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大.解法二:由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由解法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大.解法三:由解法一可知,d =-213a 1.要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≤0,≤n ≤n =7时,S n 最大.解法四:由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0,即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0,所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *.(2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n +1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1 ≥0的项数n ,使S n 取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.1.设{a n }是等差数列.下列结论中正确的是( )A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0答案 C解析 若{a n }是递减的等差数列,则选项A 、B 都不一定正确.若{a n }为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列,由等差中项的性质得a 2=a 1+a 32,由基本不等式得a 1+a 32>a 1a 3,所以C 正确.2.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 2012+a 2013>0,a 2012·a 2013<0,则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A .4025B .4024C .4023D .4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0,a 2012+a 2013>0,a 2012·a 2013<0,假设a 2012<0<a 2013,则d >0,而a 1>0,可得a 2012=a 1+2011d >0,矛盾,故不可能.∴a 2012>0,a 2013<0.再根据S 4024=4024(a 1+a 4024)2=2012(a 2012+a 2013)>0, 而S 4025=4025a 2013<0,因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若S n T n=2n 3n +1,则a n b n=( ) A.23B.2n -13n -1C.2n +13n +1D.2n -13n +4 答案 B解析 a n b n =2a n 2b n=2n -12(a 1+a 2n -1)2n -12(b 1+b 2n -1)=S 2n -1T 2n -1=2(2n -1)3(2n -1)+1=2n -13n -1.故选B.4.在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________.答案 10解析 由a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,得5a 5=25,所以a 5=5,故a 2+a 8=2a 5=10.5.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________.答案 5解析 设等差数列的首项为a 1,根据等差数列的性质可得,a 1+2015=2×1010,解得a 1=5.6.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.7.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 根据题意知a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0.又a 8+a 9=a 7+a 10<0,∴a 9<0,∴当n =8时,{a n }的前n 项和最大.8.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项a n ; (2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S nn +c ,求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列, 所以a 3+a 4=a 2+a 5=22. 又a 3·a 4=117,所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4, 所以a 3=9,a 4=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9,a 1+3d =13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4.所以通项a n =4n -3. (2)由(1)知a 1=1,d =4.所以S n =na 1+n (n -1)2×d =2n 2-n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫n -142-18.所以当n =1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n 2-n ,所以b n =S n n +c =2n 2-n n +c,所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c .因为数列{b n }是等差数列, 所以2b 2=b 1+b 3, 即62+c ×2=11+c +153+c , 所以2c 2+c =0,所以c =-12或c =0(舍去), 故c =-12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 5=9,S 5=15,则使其前n 项和S n 取得最小值时的n =________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题,可以通过找对称轴来确定,本题只关注到n ∈N *,并未关注到n =1与n =2时,S 1=S 2,导致错误.[正解] ∵a 5=9,S 5=15,∴a 1=-3,d =3. ∴a n =3n -6,S n =32n 2-92n .把S n 看作是关于n 的二次函数,其对称轴为n =32. ∴当n =1或n =2时,S 1=S 2且最小. [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间:60分钟基础组1.[2016·冀州中学猜题]已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,S 11=992,则a 12的值是( )A .15B .30C .31D .64答案 A解析 由题意可知2a 8=a 7+a 9=16⇒a 8=8,S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=11a 6=992,a 6=92,则d =a 8-a 62=74,所以a 12=a 8+4d =15,故选A.2.[2016·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和,若对任意的n ∈N *满足a n +1=a n +a 2,且a 3=2,则S 2014=( )A .1006×2013B .1006×2014C .1007×2013D .1007×2014答案 C解析 在a n +1=a n +a 2中,令n =1,则a 2=a 1+a 2,a 1=0,令n =2,则a 3=2=2a 2,a 2=1,于是a n +1-a n =1,故数列{a n }是首项为0,公差为1的等差数列,S 2014=2014×20132=1007×2013.故选C. 3.[2016·冀州中学期末]在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( ) A .a n =1n B .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 A 解析 由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n .4.[2016·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9=( )A .63B .45C .36D .27答案 B解析 S 3=9,S 6-S 3=36-9=27,根据S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等差数列,S 9-S 6=45,S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=45,故选B.5.[2016·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中,前四项和为60,最后四项和为260,且S n =520,则a 7=( )A .20B .40C .60D .80答案 B解析 前四项的和是60,后四项的和是260,若有偶数项,则中间两项的和是(60+260)÷4=80.S n =520,520÷80不能整除,说明没有偶数项,有奇数项,则中间项是(60+260)÷8=40.所以共有520÷40=13项,因此a 7是中间项,所以a 7=40.6.[2016·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S2=4,则S 6S 4=( )A.94B.32C.53 D .4答案 A解析 由S 4S 2=4,可设S 2=x ,S 4=4x .∵S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,∴2(S 4-S 2)=S 2+(S 6-S 4).则S 6=3S 4-3S 2=12x -3x =9x ,因此,S 6S 4=9x 4x =94.7.[2016·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-3,a k +1=32,S k =-12,则正整数k =______.答案 13解析 由S k +1=S k +a k +1=-12+32=-212,又S k +1=(k +1)(a 1+a k +1)2=(k +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+322=-212,解得k =13.8.[2016·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 1=________.答案 14解析 设等差数列{a n }的公差为d , 则S n =d 2n 2+(a 1-d2)n , ∴S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n ,数列{S n }是等差数列,则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数),则a 1-d2=0,S n =d2n ,从而数列{S n }的公差是d2,那么有d 2=d ,d =0(舍去)或d =12,故a 1=14.9.[2016·衡水中学周测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=10,S 5=55,则a 10=________.答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎨⎧a 1+(a 1+d )=10,5a 1+5×42d =55,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =10,a 1+2d =11,解得a 1=3,d =4,a 10=a 1+(10-1)d =39.10.[2016·冀州中学月考]设数列{a n }为等差数列,数列{b n }为等比数列.若a 1<a 2,b 1<b 2,且b i =a 2i (i =1,2,3),则数列{b n }的公比为________.答案 3+2 2解析 设a 1,a 2,a 3分别为a -d ,a ,a +d ,因为a 1<a 2,所以d >0,又b 22=b 1b 3,所以a 4=(a -d )2(a +d )2=(a 2-d 2)2,则a 2=d 2-a 2或a 2=a 2-d 2(舍),则d =±2a .若d =-2a ,则q =b 2b 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12=(1-2)2=3-22<1,舍去;若d =2a ,则q =⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12=3+2 2.11.[2016·衡水中学模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1=10,a 2为整数知,等差数列{a n }的公差d 为整数,又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0,于是10+3d ≥0,10+4d ≤0.解得-103≤d ≤-52.因此d =-3.数列{a n }的通项公式为a n =13-3n . (2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n=13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17-110+⎝ ⎛⎭⎪⎫14-17+…+⎝ ⎛ 110-3n -⎭⎪⎫113-3n =13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -110=n 10(10-3n ). 12.[2016·冀州中学期中]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a n +2S n S n -1=0(n ≥2,n ∈N *),a 1=12,判断{a n }是否为等差数列,并说明你的理由.解 数列{a n }不是等差数列,a n =S n -S n -1(n ≥2),a n +2S n S n -1=0, ∴S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), ∴1S n-1S n -1=2(n ≥2),又S 1=a 1=12,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列. ∴1S n=2+(n -1)×2=2n ,故S n =12n .∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=-12n (n -1),∴a n +1=-12n (n +1),而a n +1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1-1n -1=1n (n -1)(n +1). ∴当n ≥2时,a n +1-a n 的值不是一个与n 无关的常数,故数列{a n }不是一个等差数列.能力组13.[2016·衡水中学猜题]已知正项数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ≥2),则a 6等于( )A .16B .8C .2 2D .4答案 D解析 由2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ≥2)可得,数列{a 2n }是首项为a 21=1,公差为a 22-a 21=3的等差数列,由此可得a 2n =1+3(n -1)=3n -2,即得a n =3n -2,∴a 6=3×6-2=4,故应选D.14.[2016·衡水中学一轮检测]已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0的n 的最大值为( )A .11B .19C .20D .21答案 B解析 ∵a 11a 10<-1,且S n 有最大值,∴a 10>0,a 11<0,且a 10+a 11<0, ∴S 19=19(a 1+a 19)2=19·a 10>0, S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0, 故使得S n >0的n 的最大值为19.15.[2016·武邑中学猜题]已知等差数列{a n }中,a 5=12,a 20=-18. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5=a 1+4d =12a 20=a 1+19d =-18,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=20d =-2,∴a n =20+(n -1)×(-2)=-2n +22.(2)由(1)知|a n |=|-2n +22|=⎩⎪⎨⎪⎧-2n +22,n ≤112n -22,n >11,∴当n ≤11时,S n =20+18+…+(-2n +22)=n (20-2n +22)2=(21-n )n ;当n >11时,S n =S 11+2+4+…+(2n -22)=110+(n -11)(2+2n -22)2=n 2-21n +220. 综上所述,S n =⎩⎪⎨⎪⎧(21-n )n ,n ≤11n 2-21n +220,n >11.16.[2016·冀州中学仿真]已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =a 2n +n -4.(1)求证{a n }为等差数列; (2)求{a n }的通项公式. 解 (1)证明:当n =1时,有2a 1=a 21+1-4,即a 21-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+n -5,又2S n =a 2n +n -4,两式相减得2a n =a 2n -a 2n -1+1, 即a 2n -2a n +1=a 2n -1,也即(a n -1)2=a 2n -1,因此a n -1=a n -1或a n -1=-a n -1. 若a n -1=-a n -1,则a n +a n -1=1, 而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾, 所以a n -1=a n -1,即a n -a n -1=1, 因此{a n }为等差数列.(2)由(1)知a 1=3,d =1,所以数列{a n }的通项公式a n =3+(n -1)=n +2,即a n =n +2.。
高考数学一轮专项复习讲义-等比数列(北师大版)

§6.3等比数列课标要求1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n 项和公式,理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列有关的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0).(2)等比中项:如果在a 与b 之间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么称G 为a 与b 的等比中项,此时,G 2=ab .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n =a 1q n -1(a 1≠0,q ≠0).(2)前n 项和公式:S n ,=a 1-a n q 1-q,q ≠1且q ≠0.3.等比数列的常用性质(1)若m +n =p +q ,则a m a n =a p a q ,其中m ,n ,p ,q ∈N +.特别地,若2w =m +n ,则a m a n =a 2w ,其中m ,n ,w ∈N +.(2)a k ,a k +m ,a k +2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k ,m ∈N +).(3)若数列{a n },{b n }是两个项数相同的等比数列,则数列{ba n },{pa n ·qb n }数列(b ,p ,q ≠0).(4)1>0,>11<0,q <1,则等比数列{a n }递增.1>0,q <11<0,>1,则等比数列{a n }递减.4.等比数列前n 项和的常用性质若等比数列{a n }的公比q ≠-1,前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n .常用结论1.等比数列{a n }的通项公式可以写成a n =cq n ,这里c ≠0,q ≠0.2.等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n =Aq n -A (A ≠0,q ≠1,0).3.设数列{a n }是等比数列,S n 是其前n 项和.(1)S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n .(2)若a 1·a 2·…·a n =T n ,则T n ,T 2n T n ,T3n T 2n ,…成等比数列.(3)若数列{a n }的项数为2n ,则S 偶S 奇=q ;若项数为2n +1,则S 奇-a 1S 偶=q .自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数,它可以是任意实数.(×)(2)三个数a ,b ,c 成等比数列的充要条件是b 2=ac .(×)(3)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.(×)(4)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.(√)2.设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad =bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案B解析若a ,b ,c ,d 成等比数列,则ad =bc ,数列-1,-1,1,1满足-1×1=-1×1,但数列-1,-1,1,1不是等比数列,即“ad =bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的必要不充分条件.3.在等比数列{a n }中,若a 3=32,S 3=92,则a 2的值为()A .32B .-3C .-32D .-3或32答案D解析由S 3=a 1+a 2+a 3=a 3(q -2+q -1+1),得q -2+q -1+1=3,即2q 2-q -1=0,解得q =1或q =-12,∴a 2=a 3q =32或-3.4.数列{a n }的通项公式是a n =a n (a ≠0),则其前n 项和为S n =________.答案a ≠0,a ≠1解析因为a ≠0,a n =a n ,所以{a n }是以a 为首项,a 为公比的等比数列.当a =1时,S n =n ;当a ≠1时,Sn =a (1-a n )1-a.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,若a 1=1,S 5=5S 3-4,则S 4等于()A.158B.658C .15D .40答案C 解析方法一若该数列的公比q =1,代入S 5=5S 3-4中,有5=5×3-4,不成立,所以q ≠1.由1-q 51-q =5×1-q 31-q -4,化简得q 4-5q 2+4=0,所以q 2=1或q 2=4,因为此数列各项均为正数,所以q =2,所以S 4=1-q 41-q =15.方法二由题知1+q +q 2+q 3+q 4=5(1+q +q 2)-4,即q 3+q 4=4q +4q 2,即q 3+q 2-4q -4=0,即(q -2)(q +1)(q +2)=0.由题知q >0,所以q =2.所以S 4=1+2+4+8=15.(2)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5-a 3=12,a 6-a 4=24,则Sn a n 等于()A .2n -1B .2-21-nC .2-2n -1D .21-n -1答案B 解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,1q 4-a 1q 2=12,1q 5-a 1q 3=24,1=1,=2,所以S n =a 1(1-q n )1-q =2n -1,a n =a 1q n -1=2n -1,所以S n a n =2n -12n -1=2-21-n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,因为a 6-a 4a 5-a 3=a 4(q 2-1)a 3(q 2-1)=a 4a 3=2412=2,所以q =2,所以S na n =a 1(1-q n )1-q a 1q n -1=2n -12n -1=2-21-n .思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n 项和公式时,一定要讨论公比q =1的情形,否则会漏解或增解.跟踪训练1(1)(2023·天津)已知{a n }为等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,a n +1=2S n +2,则a 4的值为()A .3B .18C .54D .152答案C解析由题意可得,当n =1时,a 2=2a 1+2,即a 1q =2a 1+2,①当n =2时,a 3=2(a 1+a 2)+2,即a 1q 2=2(a 1+a 1q )+2,②联立①②1=2,=3,则a 4=a 1q 3=54.(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟,古称为武州山大石窟寺,是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层,每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍,共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n },则log 2(a 3a 5)的值为()A .8B .10C .12D .16答案C解析从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n },则{a n }是以2为公比的等比数列,∴S 7=a 1(1-27)1-2=1016,即127a 1=1016,解得a 1=8,∴a n =8×2n -1,∴log 2(a 3a 5)=log 2(8×22×8×24)=12.题型二等比数列的判定与证明例2(2023·长沙模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1=2,a 2=-1,且a n +2+a n +1-6a n =0(n ∈N +).(1)证明:{a n +1+3a n }为等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(1)证明由a n +2+a n +1-6a n =0,可得a n +2+3a n +1=2(a n +1+3a n ),即a n +2+3a n +1a n +1+3a n=2(n ∈N +),∴{a n +1+3a n }是以a 2+3a 1=5为首项,2为公比的等比数列.(2)解由(1)可知a n +1+3a n =5·2n -1(n ∈N +),∴a n +1-2n =-3(a n -2n -1),∴a n +1-2n a n -2n -1=-3,∴{a n -2n -1}是以a 1-20=1为首项,-3为公比的等比数列,∴a n -2n -1=1×(-3)n -1,∴a n =2n -1+(-3)n -1,S n =1-2n 1-2+1-(-3)n 1-(-3)=2n -34-(-3)n 4.思维升华等比数列的四种常用判定方法(1)定义法:若a na n -1=q (q 为非零常数,且n ≥2,n ∈N +),则{a n }是等比数列.(2)等比中项法:若在数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n a n +2(n ∈N +),则{a n }是等比数列.(3)通项公式法:若数列{a n }的通项公式可写成a n =cq n -1(c ,q 均为非零常数,n ∈N +),则{a n }是等比数列.(4)前n 项和公式法:若数列{a n }的前n 项和S n =kq n -k (k 为常数,且k ≠0,q ≠0,1),则{a n }是等比数列.跟踪训练2(2024·潍坊模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=3,b 1=2,a n +1=a n +2b n ,b n +1=2a n +b n .(1)证明:{a n +b n }和{a n -b n }都是等比数列;(2)求{a n b n }的前n 项和S n .(1)证明因为a n +1=a n +2b n ,b n +1=2a n +b n ,所以a n +1+b n +1=3(a n +b n ),a n +1-b n +1=-(a n -b n ),又由a 1=3,b 1=2得a 1-b 1=1,a 1+b 1=5,所以数列{a n +b n }是首项为5,公比为3的等比数列,数列{a n -b n }是首项为1,公比为-1的等比数列.(2)解由(1)得a n +b n =5×3n -1,a n -b n =(-1)n -1,所以a n =5×3n -1+(-1)n -12,b n =5×3n -1-(-1)n -12,所以a n b n =5×3n -1+(-1)n -12×5×3n -1-(-1)n -12=25×32n -2-14=254×9n -1-14,所以S n =254×1-9n 1-9-n 4=25×(9n -1)-8n32.题型三等比数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列,a 2a 4a 5=a 3a 6,a 9a 10=-8,则a 7=________.答案-2解析方法一{a n }为等比数列,∴a 4a 5=a 3a 6,∴a 2=1,又a 2a 9a 10=a 7a 7a 7,∴1×(-8)=(a 7)3,∴a 7=-2.方法二设{a n }的公比为q (q ≠0),则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ·a 5q ,显然a n ≠0,则a 4=q 2,即a 1q 3=q 2,则a 1q =1,∵a 9a 10=-8,则a 1q 8·a 1q 9=-8,则q 15=(q 5)3=-8=(-2)3,则q 5=-2,则a 7=a 1q ·q 5=q 5=-2.下标和相等的等差(比)性质的推广(1)若数列{a n }为等比数列,且m 1+m 2+…+m n =k 1+k 2+…+k n ,则12m m a a ·…·n m a =12k k a a ·…·n k a .(2)若数列{a n }为等差数列,且m 1+m 2+…+m n =k 1+k 2+…+k n ,则1m a +2m a +…+n m a =1k a +2k a +…+n k a .典例已知等差数列{a n },S n 为前n 项和,且a 9=5,S 8=16,则S 11=________.答案33解析S 8=8(a 1+a 8)2=16,∴a 1+a 8=4,又∵a 9+a 1+a 8=3a 6,∴a 6=3,故S 11=11a 6=33.(2)已知数列{a n }满足log 2a n +1=1+log 2a n (n ∈N +),且a 1+a 2+a 3+…+a 10=1,则log 2(a 101+a 102+…+a 110)=________.答案100解析因为log 2a n +1=1+log 2a n ,可得log 2a n +1=log 2(2a n ),所以a n +1=2a n ,所以数列{a n }是以a 1为首项,2为公比的等比数列,又a 1+a 2+…+a 10=1,所以a 101+a 102+…+a 110=(a 1+a 2+…+a 10)×2100=2100,所以log 2(a 101+a 102+…+a 110)=log 22100=100.命题点2和的性质例4(1)已知等比数列{a n }共有2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q =________.答案2解析奇+S 偶=-240,奇-S 偶=80,奇=-80,偶=-160,所以q =S 偶S 奇=-160-80=2.(2)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和,S 10=20,则S 30-2S 20+S 10的最小值为________.答案-5解析依题意,S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等比数列,且S 10=20,不妨令其公比为q (q >0),则S 20-S 10=20q ,S 30-S 20=20q 2,∴S 30-2S 20+S 10=(S 30-S 20)-(S 20-S 10)=20q 2-20q =-5,故当q =12时,S 30-2S 20+S 10的最小值为-5.思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是“若m +n =p +q ,则a m a n =a p a q ”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用等比数列的性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.跟踪训练3(1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a n }满足a 2+a 4+a 6+a 8=20,a 2a 8=2,则1a 2+1a 4+1a 6+1a 8=________.答案10解析1a 2+1a 4+1a 6+1a 8==a 2+a 8a 2a 8+a 4+a 6a 4a 6=a 2+a 8+a 4+a 6a 2a 8=202=10.(2)(2023·长春统考)在等比数列{a n }中,q =12,S 100=150,则a 2+a 4+a 6+…+a 100的值是________.答案50解析设T 1=a 1+a 3+a 5+…+a 99,T 2=a 2+a 4+a 6+…+a 100,所以T 2T 1=a 2+a 4+a 6+…+a 100a 1+a 3+a 5+…+a 99=12,所以S 100=T 1+T 2=2T 2+T 2=3T 2=150,所以T 2=a 2+a 4+a 6+…+a 100=50.课时精练一、单项选择题1.(2023·本溪模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数,公比q =12,且a 3a 4=132,则a 6等于()A.18 B.116C.132D.164答案C解析由a 3a 4=132,得a 1q 2·a 1q 3=132,即a 21=132,所以a 21=1.又a n >0,所以a 1=1,a 6=a 1q 5=1=132.2.若1,a 2,a 3,4成等差数列;1,b 2,b 3,b 4,4成等比数列,则a 2-a 3b 3等于()A.12B .-12C .±12D.14答案B解析由题意得a 3-a 2=4-13=1,设1,b 2,b 3,b 4,4的公比为q ,则b 3=q 2>0,b 23=1×4=4,解得b 3=2,a 2-a 3b 3=-12=-12.3.(2023·济宁模拟)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n 等于()A .5B .6C .7D .8答案B解析∵a 1=2,a n +1=2a n ,∴数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列.又S n =126,∴2(1-2n )1-2=126,解得n =6.4.已知等比数列{a n }为递减数列,若a 2a 6=6,a 3+a 5=5,则a5a 7等于()A.32B.23C.16D .6答案A解析由{a n }为等比数列,得a 2a 6=a 3a 5=6,又a 3+a 5=5,∴a 3,a 5为方程x 2-5x +6=0的两个根,解得a 3=2,a 5=3或a 3=3,a 5=2,由{a n }为递减数列得a n >a n +1,∴a 3=3,a 5=2,∴q 2=a 5a 3=23,则a 5a 7=1q 2=32.5.(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.其大意是有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天,才到目的地.则此人后三天所走的里程数为()A .6B .12C .18D .42答案D解析设第n (n ∈N +)天走a n 里,其中1≤n ≤6,由题意可知,数列{a n }是公比为12的等比数列,1-12=6332a 1=378,解得a 1=192,所以此人后三天所走的里程数为a 4+a5+a 6=192×18×1-12=42.6.(2023·新高考全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若S 4=-5,S 6=21S 2,则S 8等于()A .120B .85C .-85D .-120答案C解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ,首项为a 1,若q =1,则S 6=6a 1=3×2a 1=3S 2,不符合题意,所以q ≠1.由S 4=-5,S 6=21S 2,可得a 1(1-q 4)1-q =-5,a 1(1-q 6)1-q =21×a 1(1-q 2)1-q ,①由①可得,1+q 2+q 4=21,解得q 2=4,所以S 8=a 1(1-q 8)1-q =a 1(1-q 4)1-q ·(1+q 4)=-5×(1+16)=-85.方法二设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 4=-5,S 6=21S 2,所以q ≠-1,否则S 4=0,从而S 2,S 4-S 2,S 6-S 4,S 8-S 6成等比数列,所以(-5-S 2)2=S 2(21S 2+5),解得S 2=-1或S 2=54,当S 2=-1时,S 2,S 4-S 2,S 6-S 4,S 8-S 6,即为-1,-4,-16,S 8+21,易知S 8+21=-64,即S 8=-85;当S 2=54时,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2)(1+q 2)=(1+q 2)S 2>0,与S 4=-5矛盾,舍去.综上,S 8=-85.二、多项选择题7.(2023·太原模拟)已知数列{a n }是等比数列,以下结论正确的是()A .{a 2n }是等比数列B .若a 3=2,a 7=32,则a 5=±8C .若a 1<a 2<a 3,则数列{a n }是递增数列D .若数列{a n }的前n 项和S n =3n +r ,则r =-1答案ACD 解析令等比数列{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n -1,对于A ,a 2n +1a 2n ==q 2,且a 21≠0,则{a 2n }是等比数列,故A 正确;对于B ,由a 3=2,a 7=32,得q 4=16,即q 2=4,所以a 5=a 3q 2=2×4=8,故B 错误;对于C ,由a 1<a 2<a 31(q -1)>0,1q (q -1)>0,>0,1(q -1)>0,a n +1-a n =q n -1·a 1(q -1)>0,即∀n ∈N +,a n +1>a n ,所以数列{a n }是递增数列,故C 正确;对于D ,显然q ≠1,则S n =a 1(1-q n )1-q =a 1q -1·q n -a 1q -1,而S n =3n +r ,因此q =3,a 1q -1=1,r =-a 1q -1=-1,故D 正确.8.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ,前n 项积为T n ,且满足a 1>1,a 2022>1,a 2023<1,则()A .a 2022a 2024-1<0B .S 2022+1<S 2023C .T 2022是数列{T n }中的最大项D .T 4045>1答案AC 解析设数列{a n }的公比为q .∵a 1>1,a 2023<1,∴0<a 2023<1,又a 2022>1,∴0<q <1.∵a 2022a 2024=a 22023<1,∴a 2022a 2024-1<0,故A 正确;∵a 2023<1,∴a 2023=S 2023-S 2022<1,即S 2022+1>S 2023,故B 错误;∵0<q <1,a 1>1,∴数列{a n }是递减数列,∵a 2022>1,a 2023<1,∴T 2022是数列{T n }中的最大项,故C 正确;T4045=a1a2a3·…·a4045=a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4044)=a40451q1+2+3+…+4044=a40451q2022×4045=(a1q2022)4045=a40452023,∵0<a2023<1,∴a40452023<1,即T4045<1,故D错误.三、填空题9.(2023·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若8S6=7S3,则{a n}的公比为________.答案-1 2解析若q=1,则由8S6=7S3得8·6a1=7·3a1,则a1=0,不符合题意.所以q≠1.当q≠1时,因为8S6=7S3,所以8·a1(1-q6)1-q=7·a1(1-q3)1-q,即8(1-q6)=7(1-q3),即8(1+q3)(1-q3)=7(1-q3),即8(1+q3)=7,解得q=-1 2 .10.设等比数列{a n}共有3n项,它的前2n项的和为100,后2n项的和为200,则该等比数列中间n项的和等于________.答案200 3解析设数列{a n}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a,b,c.由题意知a+b=100,b+c=200,b2=ac,∴b2=(100-b)(200-b),∴b=200 3.11.在等比数列{a n}中,若a9+a10=4,a19+a20=24,则a59+a60=______.答案31104解析设等比数列{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1.因为a 9+a 10=4,a 19+a 20=24,所以a 19+a 20=(a 9+a 10)q 10=24,解得q 10=6,所以a 59+a 60=(a 9+a 10)q 50=4×65=31104.12.记S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =1-a n ,记T n =a 1a 3+a 3a 5+…+a 2n -1a 2n +1,则a n =________,T n =________.答案12n解析由题意得a 1=1-a 1,故a 1=12.当n ≥2n =1-a n ,n -1=1-a n -1,得a n =S n -S n -1=-a n +a n -1,则a n a n -1=12,故数列{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列,故数列{a n }的通项公式为a n =12n .由等比数列的性质可得a 1a 3=a 22,a 3a 5=a 24,…,a 2n -1a 2n +1=a 22n ,所以数列{a 2n -1a 2n +1}是以a 22=116为首项,116为公比的等比数列,则T n =a 22+a 24+…+a 22n =161-116=四、解答题13.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +2.(1)证明数列{a n +2}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }落入区间(10,2023)的所有项的和.解(1)由a n +1=2a n +2,得a n +1+2=2(a n +2),又a 1+2=3,所以a n +1+2a n +2=2,所以{a n +2}是首项为3,公比为2的等比数列,所以a n +2=3×2n -1,a n =3×2n -1-2.(2)由10<a n <2023,得10<3×2n -1-2<2023,即4<2n -1<675,即4≤n ≤10,故{a n }落入区间(10,2023)的项为a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9,a 10,所以其和S =a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=3×(23+24+…+29)-2×7=3×8-10241-2-14=3034.14.(2024·邯郸模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=3S n +1,n ∈N +.(1)求{a n }通项公式;(2)设b n =a n n +1,在数列{b n }中是否存在三项b m ,b k ,b p (其中2k =m +p )成等比数列?若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.解(1)由题意知,在数列{a n }中,a n +1=3S n +1,a n =3S n -1+1,n ≥2,两式相减可得,a n +1-a n =3a n ,a n +1=4a n ,n ≥2,由条件知,a 2=3a 1+1=4a 1,符合上式,故a n +1=4a n ,n ∈N +.∴{a n }是以1为首项,4为公比的等比数列.∴a n =4n -1,n ∈N +.(2)由题意及(1)得,在数列{a n }中,a n =4n -1,n ∈N +,在数列{b n }中,b n =4n -1n +1,如果满足条件的b m ,b k ,b p 存在,则b 2k =b m b p ,其中2k =m +p ,∴(4k -1)2(k +1)2=4m -1m +1·4p -1p +1,∵2k =m +p ,∴(k +1)2=(m +1)(p +1),解得k 2=mp ,∴k =m =p ,与已知矛盾,∴不存在满足条件的三项.15.(2023·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .若p :数列{a n }是等比数列;q :(S n +1-a 1)2=S n (S n +2-S 2),则p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A 解析若{a n }是等比数列,设公比为k ,则a 2+a 3+…+a n +1=k (a 1+a 2+…+a n ),a 3+a 4+…+a n +2=k (a 2+a 3+…+a n +1),于是(a 2+a 3+…+a n +1)2=k 2(a 1+a 2+…+a n )2=(a 3+a 4+…+a n +2)(a 1+a 2+…+a n ),即q :(S n +1-a 1)2=S n (S n +2-S 2)成立;若(S n +1-a 1)2=S n (S n +2-S 2),取a n =0,n ∈N +,显然{a n }不是等比数列,故p 是q 的充分不必要条件.16.(2023·泰安模拟)若m ,n 是函数f (x )=x 2-px +q (p >0,q >0)的两个不同零点,且m ,n ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq =________.答案20解析+n =p >0,=q >0>0,>0,则m ,-2,n 或n ,-2,m 成等比数列,得mn =(-2)2=4.不妨设m <n ,则-2,m ,n 成等差数列,得2m =n -2.结合mn =4,可得(2m +2)m =4⇒m (m +1)=2,解得m =1或m =-2(舍去),=1,=4=5,=4⇒pq =20.。
高考数学一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件文

n≤10 , 即 共 有
10
个数.所以
S10
=
10(1+19) 2
=
100或S10=10×1+1பைடு நூலகம்× 2 9×2=100,故选 C.
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(必修 5 P46B 组 T2 改编)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10=20,S20=50,则 S30=________. 解析:根据等差数列性质 S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列, 所以 2(S20-S10)=S10+S30-S20,所以 S30=3(S20-S10)=3(50 -20)=90. 答案:90
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考点四 等差数列的单调性与最值
(1)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题:p1: 数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列ann 是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中真命题为
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当 n≥2 时,由22SSnn=-1=a2na+n2-a1n+,an-1, 得 2an=a2n+an-a2n-1-an-1. 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, 因为 an+an-1>0, 所以 an-an-1=1(n≥2), 所以数列{an}是等差数列.
ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差 为__2_d_.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
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5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn=n(a12+an)或 Sn=____n_a_1+ __n__(__n_2-__1_)__d________.
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
高考数学(理)总复习讲义: 等差数列及其前n项和
第二节等差数列及其前n 项和1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为a n +1-a n =d ❶(n ∈N *,d 为常数).(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项.2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d ❷.(2)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). (3)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2❸. ,d >0⇔{a n }为递增数列, d =0⇔{a n }为常数列, d <0⇔{a n }为递减数列.当d ≠0时,等差数列{an }的通项公式a n =dn +(a 1-d )是关于d 的一次函数. 当d ≠0时,等差数列{an }的前n 项和S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n 是关于n 的二次函数. [熟记常用结论]1.若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . 2.若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . 3.若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.4.若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.5.若{a n }是等差数列,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列,其首项与{a n }首项相同,公差是{a n }公差的12. 6.若{a n }是等差数列,S m ,S 2m ,S 3m 分别为{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列.7.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质.(1)若项数为2n ,则S 偶-S 奇=nd ,S 奇S 偶=a na n +1. (2)若项数为2n -1,则S 偶=(n -1)a n ,S 奇=na n ,S 奇-S 偶=a n ,S 奇S 偶=nn -1.8.两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和S n ,T n 之间的关系为a n b n =S 2n -1T 2n -1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则它的公差为-2.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1.在等差数列{}a n 中,若a 2=4,a 4=2,则a 6=( ) A .-1 B .0 C .1D .6解析:选B ∵{}a n 为等差数列,∴2a 4=a 2+a 6,∴a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0.2.等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3D .4 解析:选B 设公差为d .∵a 1+a 5=2a 3=10,∴a 3=5, 又∵a 4=7,∴d =2.故选B.3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 1=4,则公差d 等于( ) A .1 B.53 C .-2D .3解析:选C ∵S 3=6=32(a 1+a 3),且a 3=a 1+2d ,a 1=4,∴d =-2,故选C.4.已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为________. 解析:依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a 100=-8+99×5=487. 答案:4875.在等差数列{a n }中,a 1=0,公差d ≠0,若a m =a 1+a 2+…+a 9,则m 的值为________.解析:∵a m =a 1+a 2+…+a 9=9a 1+9×82d =36d =a 37, ∴m =37. 答案:37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10D .12解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3(3a 1+3d )=2a 1+d +4a 1+6d ,即3a 1+2d =0.将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10.2.(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .8解析:选C 设等差数列{a n }的公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 5=24,S 6=48,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+3d +a 1+4d =24,6a 1+6×52d =48,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+7d =24,2a 1+5d =16,解得d =4. 3.(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3·a 5=12,a 2=0.若a 1>0,则S 20=( )A .420B .340C .-420D .-340解析:选D 设数列{a n }的公差为d ,则a 3=a 2+d =d ,a 5=a 2+3d =3d ,由a 3·a 5=12,得d =±2,由a 1>0,a 2=0,可知d <0,所以d =-2,所以a 1=2,故S 20=20×2+20×192×(-2)=-340.4.(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列,且a 2=-6,a 6=6,S n 是数列{a n }的前n 项和,则( )A .S 4<S 3B .S 4=S 3C .S 4>S 1D .S 4=S 1解析:选B 设{a n }的公差为d ,由a 2=-6,a 6=6,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =-6,a 1+5d =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-9,d =3.于是,S 1=-9,S 3=3×(-9)+3×22×3=-18,S 4=4×(-9)+4×32×3=-18,所以S 4=S 3,S 4<S 1,故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时,一般要运用方程思想. (2)求通项.a 1和d 是等差数列的两个基本元素.(3)求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.(4)求前n 项和.利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想,要注意使用公式时的准确性与合理性,更要注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程组时,要注意运用整体代换思想,使运算更加便捷.考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.[解] (1)证明:当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1, 因为S n ≠0,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)由(1)可得1S n =2n ,所以S n =12n .当n ≥2时, a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1). 当n =1时,a 1=12不适合上式.故a n=⎩⎨⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.[变式发散]1.(变设问)本例条件不变,判断数列{a n }是否为等差数列,并说明理由. 解:因为a n =S n -S n -1(n ≥2),a n +2S n S n -1=0, 所以S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2). 所以1S n -1S n -1=2(n ≥2).又1S 1=1a 1=2, 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列.所以1S n =2+(n -1)×2=2n ,故S n =12n.所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=-12n (n -1),所以a n +1=-12n (n +1).又a n +1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n ·⎝⎛⎭⎫1n +1-1n -1=1n (n -1)(n +1),所以当n ≥2时,a n +1-a n 的值不是一个与n 无关的常数,故数列{a n }不是一个等差数列.2.(变条件)将本例条件“a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12”变为“S n (S n -a n )+2a n =0(n ≥2),a 1=2”,问题不变,试求解.解:(1)证明:当n ≥2时,a n =S n -S n -1且S n (S n -a n )+2a n =0, 所以S n [S n -(S n -S n -1)]+2(S n -S n -1)=0, 即S n S n -1+2(S n -S n -1)=0, 因为S n ≠0,所以1S n-1S n -1=12.又1S 1=1a 1=12,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12,公差为12的等差数列. (2)由(1)知1S n =n 2,所以S n =2n ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-2n (n -1).当n =1时,a 1=2不适合上式,故a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,-2n (n -1),n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.判断时易忽视定义中从第2项起,以后每项与前一项的差是同一常数,即易忽视验证a 2-a 1=d 这一关键条件.[过关训练]1.已知数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=3a n +3n +1-2n,设b n =a n -2n3n ,求证:数列{b n }为等差数列,并求{a n }的通项公式.证明:因为b n +1-b n =a n +1-2n +13n +1-a n -2n3n =3a n +3n +1-2n -2n +13n +1-3a n -3·2n 3n +1=1, 所以{b n }为等差数列, 又b 1=a 1-23=0,所以b n =n -1, 所以a n =(n -1)·3n +2n .2.已知数列{a n }满足(a n +1-1)(a n -1)=3(a n -a n +1),a 1=2,令b n =1a n -1. (1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:因为1a n +1-1-1a n -1=a n -a n +1(a n +1-1)(a n -1)=13,所以b n +1-b n =13,所以数列{b n }是等差数列. (2)由(1)及b 1=1a 1-1=12-1=1, 知b n =13n +23,所以a n -1=3n +2,所以a n =n +5n +2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4,a 10是方程x 2-8x +1=0的两根,则S 13=( )A .58B .54C .56D .52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30,它的前30项和为210,则前20项和为( ) A .100 B .120 C .390D .540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 014,S 2 0142 014-S 2 0082 008=6,则S 2 019=________.[解析] (1)∵a 4,a 10是方程x 2-8x +1=0的两根, ∴a 4+a 10=8,∴a 1+a 13=8, ∴S 13=13×(a 1+a 13)2=13×82=52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和, 则S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列, ∴2(S 20-S 10)=S 10+(S 30-S 20),又等差数列{a n }的前10项和为30,前30项和为210, ∴2(S 20-30)=30+(210-S 20),解得S 20=100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ,则S 2 0142 014-S 2 0082 008=6d =6,∴d =1. 故S 2 0192 019=S 11+2 018d =-2 014+2 018=4, ∴S 2 019=4×2 019=8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *);数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列;⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具. [过关训练]1.(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 13=104,a 6=5,则数列{a n }的公差为( )A .2B .3C .4D .5解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13=104,所以13(a 1+a 13)2=104,所以13a 7=104,解得a 7=8.因为a 6=5,所以d =a 7-a 6=8-5=3.2.(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3+a 5=14,a 2a 6=33,则a 1a 7=( ) A .33 B .16 C .13D .12解析:选C 设等差数列{a n }的公差为d , 因为a 3+a 5=14,所以a 2+a 6=14,又a 2a 6=33,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=3,a 6=11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2=11,a 6=3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2=3,a 6=11时,d =11-36-2=2,所以a 1a 7=(a 2-d )(a 6+d )=13;当⎩⎪⎨⎪⎧a 2=11,a 6=3时,d =3-116-2=-2,所以a 1a 7=(a 2-d )(a 6+d )=13. 综上,a 1a 7=13,故选C.3.已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若S n T n =2n 3n +1,则a 11b 11=________.解析:由等差数列前n 项和的性质, 得a 11b 11=S 21T 21=2×213×21+1=2132.答案:2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中,已知a 1=13,3a 2=11a 6,则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.[解析] 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2=11a 6,得3×(13+d )=11×(13+5d ),解得d =-2,所以a n =13+(n -1)×(-2)=-2n +15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0,得⎩⎪⎨⎪⎧-2n +15≥0,-2(n +1)+15≤0,解得132≤n ≤152.因为n ∈N *,所以当n =7时,数列{a n }的前n 项和S n 最大,最大值为S 7=7×(13-2×7+15)2=49.法二 二次函数法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2=11a 6,得3×(13+d )=11×(13+5d ),解得d =-2,所以a n =13+(n -1)×(-2)=-2n +15.所以S n =n (13+15-2n )2=-n 2+14n =-(n -7)2+49,所以当n =7时,数列{a n }的前n 项和S n 最大,最大值为S 7=49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法:①若a 1>0,d <0,则S n 必有最大值,其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0来确定;②若a 1<0,d >0,则S n 必有最小值,其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0来确定.(2)二次函数法:等差数列{a n }中,由于S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d2n ,可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值,这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值.(3)不等式组法:借助S n 最大时,有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n -1,S n ≥S n +1(n ≥2,n ∈N *),解此不等式组确定n的范围,进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值).[过关训练]1.已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若S 15>0,S 16<0,则S n 的最大值是( ) A .S 1 B .S 7 C .S 8D .S 15解析:选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15=15a 8>0,S 16=8(a 8+a 9)<0,所以a 8>0,a 9<0,则d =a 9-a 8<0,所以在数列{a n }中,当n <9时,a n >0,当n ≥9时,a n <0, 所以当n =8时,S n 最大,故选C.2.(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值. 解:(1)设{a n }的公差为d , 由题意得3a 1+3d =-15. 又a 1=-7,所以d =2.所以{a n }的通项公式为a n =2n -9. (2)由(1)得S n =n (a 1+a n )2=n 2-8n =(n -4)2-16, 所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1.等差数列{a n }中,a 4+a 8=10,a 10=6,则公差d =( ) A.14 B.12 C .2D .-12解析:选A 由a 4+a 8=2a 6=10,得a 6=5,所以4d =a 10-a 6=1,解得d =14.2.(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中,若S n 为{a n }的前n 项和,2a 7=a 8+5,则S 11的值是( )A .55B .11C .50D .60解析:选A 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得2(a 1+6d )=a 1+7d +5,得a 1+5d =5,则S 11=11a 1+11×102d =11(a 1+5d )=11×5=55,故选A. 3.(2018·泉州期末)等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A .99B .66C .144D .297解析:选A 由等差数列的性质可得a 1+a 7=2a 4,a 3+a 9=2a 6,又∵a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,∴3a 4=39,3a 6=27,解得a 4=13,a 6=9,∴a 4+a 6=22,∴数列{a n }的前9项和S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=9×222=99. 4.(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a m =4,S m =0,S m +2=14(m ≥2,且m ∈N *),则a 2 019的值为( )A .2 020B .4 032C .5 041D .3 019 解析:选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m =a 1+(m -1)d =4,S m =ma 1+m (m -1)2d =0,S m +2-S m =a m +1+a m +2=2a 1+(m +m +1)d =14,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=-4,m =5,d =2,∴a n =-4+(n -1)×2=2n -6,∴a 2 019=2×2 019-6=4 032.故选B.5.(2019·长春质检)等差数列{a n }中,已知|a 6|=|a 11|,且公差d >0,则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A .6B .7C .8D .9解析:选C 由d >0可得等差数列{a n }是递增数列,又|a 6|=|a 11|,所以-a 6=a 11,即-a 1-5d =a 1+10d ,所以a 1=-15d 2,则a 8=-d 2<0,a 9=d 2>0,所以前8项和为前n 项和的最小值,故选C.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=2a 3,则S 11S 5=______. 解析:S 11S 5=112(a 1+a 11)52(a 1+a 5)=11a 65a 3=225. 答案:225 7.等差数列{a n }中,已知S n 是其前n 项和,a 1=-9,S 99-S 77=2,则S 10=________.解析:设公差为d ,∵S 99-S 77=2,∴9-12d -7-12d =2, ∴d =2,∵a 1=-9,∴S 10=10×(-9)+10×92×2=0. 答案:08.(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列,且a 1+a 2+…+a n =n 2+n ,则a 1+a 22+…+a n n =________.解析:当n =1时,a 1=2⇒a 1=4, 又a 1+a 2+…+a n =n 2+n ,①所以当n ≥2时,a 1+a 2+…+a n -1=(n -1)2+(n -1)=n 2-n ,② ①-②得a n =2n ,即a n =4n 2,所以a n n =4n 2n =4n , 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项,4为公差的等差数列. 所以a 1+a 22+…+a n n =(4+4n )n 2=2n 2+2n . 答案:2n 2+2n9.(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数,其前n 项和为S n ,且满足2S n =a 2n +n -4(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }为等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:当n =1时,有2a 1=a 21+1-4,即a 21-2a 1-3=0,所以a 1=3(a 1=-1舍去).当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+n -5,又2S n =a 2n +n -4,所以两式相减得2a n =a 2n -a 2n -1+1,即a 2n -2a n +1=a 2n -1,即(a n -1)2=a 2n -1,因此a n -1=a n -1或a n -1=-a n -1.若a n -1=-a n -1,则a n +a n -1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数矛盾,所以a n -1=a n -1,即a n -a n -1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)由(1)知a 1=3,数列{a n }的公差d =1,所以数列{a n }的通项公式为a n =3+(n -1)×1=n +2.10.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36.(1)求d 及S n;(2)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65.解:(1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36,将a 1=1代入上式,解得d =2或d =-5.因为d >0,所以d =2.从而a n =2n -1,S n =n 2(n ∈N *).(2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =(2m +k -1)(k +1),所以(2m +k -1)(k +1)=65. 由m ,k ∈N *知2m +k -1≥k +1>1,故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m +k -1=13,k +1=5,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =5,k =4. 即所求m 的值为5,k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.若{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 018+a 2 019>0,a 2 018·a 2 019<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A .2 018B .2 019C .4 036D .4 037解析:选C 因为a 1>0,a 2 018+a 2 019>0,a 2 018·a 2 019<0,所以d <0,a 2 018>0,a 2 019<0,所以S 4 036=4 036(a 1+a 4 036)2=4 036(a 2 018+a 2 019)2>0,S 4 037=4 037(a 1+a 4 037)2=4 037·a 2 019<0,所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 036. 2.(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3+a 7=36,a 4a 6=275,且a n a n +1有最小值,则这个最小值为( )A .-10B .-12C .-9D .-13解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3+a 7=36,∴a 4+a 6=36,又a 4a 6=275,联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=11,a 6=25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=25,a 6=11,当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=11,a 6=25时,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-10,d =7,此时a n =7n -17,a 2=-3,a 3=4,易知当n ≤2时,a n <0,当n ≥3时,a n >0,∴a 2a 3=-12为a n a n +1的最小值;当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=25,a 6=11时,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=46,d =-7,此时a n =-7n +53,a 7=4,a 8=-3,易知当n ≤7时,a n >0,当n ≥8时,a n <0,∴a 7a 8=-12为a n a n +1的最小值.综上,a n a n +1的最小值为-12.3.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 解析:由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n-10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.答案:130(二)交汇专练——融会巧迁移4.[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3,a 2 019是3x 2-12x +4=0的两根,则log 14a 1 011=________.解析:因为a 3和a 2 019是3x 2-12x +4=0的两根,所以a 3+a 2 019=4.又a 3,a 1 011,a 2 019成等差数列,所以2a 1 011=a 3+a 2 019,即a 1 011=2,所以log 14a 1 011=-12. 答案:-125.[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=a 5+a 6=25.(1)求{a n }的通项公式;(2)若不等式2S n +8n +27>(-1)n k (a n +4)对所有的正整数n 都成立,求实数k 的取值范围.解:(1)设公差为d ,则5a 1+5×42d =a 1+4d +a 1+5d =25, ∴a 1=-1,d =3.∴{a n }的通项公式a n =3n -4.(2)由题意知S n =-n +3n (n -1)2,2S n +8n +27=3n 2+3n +27,a n +4=3n ,则原不等式等价于(-1)n k <n +1+9n对所有的正整数n 都成立. ∴当n 为奇数时,k >-⎝⎛⎭⎫n +1+9n 恒成立; 当n 为偶数时,k <n +1+9n恒成立. 又∵n +1+9n ≥7,当且仅当n =3时取等号,∴当n 为奇数时,n +1+9n在n =3上取最小值7, 当n 为偶数时,n +1+9n 在n =4上取最小值294, ∴不等式对所有的正整数n 都成立时,实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-7,294.。
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)-64省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3+2 解 由已知得,数列{an}的通项公式
-1,6+22-1,9+23-1,12+24 为 an=3n+2n-1=3n-1+2n,
-1,…,写出数列{an}的通项 ∴Sn=a1+a2+…+an
=(2+5+…+3n-1)+(2+22+…
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思想方法
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题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 3】 在数列{an}中,a1=1,
当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2n=anSn-12.
(1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn=2nS+n 1,求{bn}的前
n 项和 Tn.
第(1)问利用 an=Sn-Sn-1 (n≥2) 后,再同除 Sn-1·Sn 转化为S1n的 等差数列即可求 Sn.
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题型一
分组转化求和
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【例 1】 已知数列{an}是 3+2
-1,6+22-1,9+23-1,12+24 先写出通项,然后对 分组后利用等差数列、等比数列
公式并求其前 n 项和 Sn.
的求和公式求解.
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∴S1n=1+2(n-1)=2n-1, ∴Sn=2n1-1. (2)∵bn=2nS+n 1=2n-112n+1
=122n1-1-2n1+1,
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2025版高考数学一轮总复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和pptx课件
7.(2019·北京,10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3, S5=-10,则a5=___0___,Sn的最小值为___-__1_0____.
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, ∵a2=-3,S5=-10,
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和. 1.若m1+m2+…+mk=n1+n2+…+nk,则am1+am2+…+amk= an1+an2+…+ank.特别地,若m+n=p+q,则am+an=___a_p+__a_q___. 2.am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为____kd____. 3.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
4.等差数列与函数的关系 (1)通项公式:当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d =dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d.若公差d>0,则为递增 数列,若公差d<0,则为递减数列.
(2)前 n 项和:当公差 d≠0 时,Sn=d2n2+a1-d2n 是关于 n 的二次函 数且常数项为 0.显然当 d<0 时,Sn 有最大值,d>0 时,Sn 有最小值.
如{an}为等差数列,Sn为前n项和,d>0,若S5=S13,则当n=9时, Sn最小,S18=0.
5.在遇到三个数成等差数列时,可设其为a-d,a,a+d;四个数 成等差数列时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d或a-d,a,a+d,a +2d.
双基自测 题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an +an+2.( √ )
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解析
B.32 D.34
a =26, 1 3 a1+5d=2, 由已知可得 解得 4 5a1+10d=30, d=-3,
8 ×7 ∴S8=8a1+ 2 d=32.
3.(2016· 全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等 于 答案 A.100
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d (n,m∈N+). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an . (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d . (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是 公差为 md 的等差数列. (6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)构成等差数列.
思维升华
等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公 式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n, Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
跟踪训练1
(1)设Sn是等差数列{an} 的前n项和,已知 a2=3,a6=11,
解析
B.99
C.98
D.97
9a1+a9 9×2a5 由等差数列性质,知 S9= = 2 =9a5=27, 2
a10-a5 得 a5=3,而 a10=8,因此公差 d= =1, 10-5
∴a100=a10+90d=98,故选C.
4.(2016· 江西玉山一中模拟) 已知数列{an} 是等差数列,其前n 项和为Sn , 若a3+a4+a5=9,则S7等于 答案 A.21 B.28 C.35
na1+an 2 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn= na1+ nn-1 d 2 .
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
d d 2 a - Sn=2n + 1 n. 2
5.等差数列的前n项和公式
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B 为常数).
7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最 大 值;若a1<0,d>0,则Sn 存在最 小 值.
知识拓展 等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N+)⇔{an}是等差数列.
解析
D.42
∵a3+a4+a5=9,∴a4=3,
∴S7=7a4=21,故选A.
8 时,{an} 5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=____ 的前n项和最大. 答案
解析
因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.
又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.故当n=8时,其前n项和最大.
考点自测
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于 答案 A.-1 B.0 C.1 D.6
解析
由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,故选B.
2.( 教材改编 ) 设数列 {an} 是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a6 = 2 且 S5 = 30,则S8等于 答案 A.31 C.33
解析
则S7等于 答案 A.13 C.49
B.35 D.63
∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,
7a1+a7 ∴S7= = 49. 2
(2)(2016· 江苏)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a2 2 =-3,S5 20 =10,则a9的值是________.
答案 解析
设等差数列{an}的公差为d,由题意可得
题型分类
深度剖析
题型一 等差数列基本量的运算
例1
(1) 在数列 {an} 中,若 a1 =- 2 ,且对任意的 n∈N + 有 2an + 1 = 1 +
解析
2an,则数列{an}前10项的和为 答案
A.2 B.10 5 C.2
5 D.4
1 由 2an+1=1+2an 得 an+1-an=2,
1 所以数列{an}是首项为-2,公差为2的等差数列,
10×10-1 1 5 所以 S10=10×(-2)+ ×2=2. 2
(2)(2016· 北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5= 6 0,则S6=___.
答案 解析
∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0. 又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.
6×6-1 ∴S6=6×6+ × ( - 2) = 6. 2
§6.2 等差数列及其前n项和
பைடு நூலகம்
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知识梳理
1.等差数列的定义 从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数 ,我们称这样的数列为 等差数列,称这个常数为等差数列的 公差 ,通常用字母__ d 表示. 2.等差数列的通项公式 若首项是a1,公差是d,则这个等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d . 3.等差中项 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b 的等差中项.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )