§1.6晶体对称性
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
晶体结构的对称性
晶体的对称性1. 晶体的宏观和微观对称性晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。
有四种类型的对称操作和对称元素旋转旋转轴反映反映面(镜面)反演对称中心旋转反演反轴由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。
故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。
有三种类型的对称操作和对称元素平移点阵螺旋螺旋轴滑移滑移面2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。
晶体中点阵与对称元素的制约关系为：对称面和对称轴的取向定理在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂直，并与一组平面点阵平行。
(对称轴包括旋转轴、反轴和螺旋轴；对称面包括反映面、滑移面)∙对称轴的轴次定理在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6这五种。
3. 7个晶系和32个晶体点群∙根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。
晶体特征对称元素立方晶系四个按立方体的对角线取向的3重轴六方晶系唯一的6重轴四方晶系唯一的4重轴三方晶系唯一的3重轴正交晶系三个互相垂直的2重轴或二个互相垂直的对称面单斜晶系一个2重轴或对称面三斜晶系无∙由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素：1、2、3、4、6、m、i、。
∙与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。
由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。
固体物理§1.6晶体的对称性
A′ 1
A 1
A
A′
19
例题1：立方系的对称性简析。 例题 ：立方系的对称性简析。 (1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
20
(2)四个三度轴 空间对角线 四个三度轴(空间对角线 四个三度轴 空间对角线)
21
(3)六个 度轴 六个2度轴 六个
22
(4)三个和四度轴垂直的对称面 三个和四度轴垂直的对称面
O(对称心 对称心 )
A
( x, y, z)
y
x
A′
(− x,− y,−z)
10
(2) 2象转轴——实际上就是对镜象 。 实际上就是对镜象m。 象转轴 实际上就是对镜象
z(u轴)
A′′
A
( x, y, z)
(− x,− y, z) −
和O-xy对称面 对称面 的操作相当。 的操作相当。
O(对称心 对称心 )
z
O
A
( x, y, z)
A′
A
y
A′
x
( x, y,−z)
O-xy 相当于镜面。 相当于镜面。
8
度旋转—反演轴 象转轴) 四、n度旋转 反演轴 象转轴 度旋转 反演轴(象转轴
1.象转轴 象转轴 (1)定义 定义 先绕u轴转动 中心反演， 先绕 轴转动2π/n，再经过中心反演，晶体自动重 轴转动 ，再经过中心反演 合，则称 轴为 度旋转 反演轴，又称为 度象转轴。 则称u轴为 度旋转—反演轴 又称为n度象转轴 轴为n度旋转 反演轴， 度象转轴。 只有1， ， ， ， 。 只有 ，2，3，4，6。 (2)符号表示 符号表示 2.n度象转轴简析 度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分 度象转轴实际上并不都是独立的， 度象转轴实际上并不都是独立的 析，可以得到象旋转轴只有 4 是独立的。 是独立的。
晶体的对称性
x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31
a32
a33
（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对 称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴 若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演 轴 这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作 （a）n度旋转对称轴
1-晶体结构及其对称性(研)
二维蜂窝格子 (非布拉菲格子)
如果将A、B两个原子看作为一 个基元，则点阵结构就如前页所示 ，格子就是布拉菲格子了。
14种布拉菲格子:
1.简单三斜； 2.简单单斜， 3.底心单斜； 4.简单正交， 5.底心正交， 6.体心正交， 7.面心正交； 8.六角； 9.三角； 10.简单四方， 11.体心四方； 12.简单立方， 13.体心立方， 14.面心立方。
（3）金刚石结构（ diamond ）：
碳的同素异构体。 经琢磨后的金刚石又称钻石。 无色透明、有光泽、折光力极强，最硬的物质。
金刚石结构是复式晶格结构，基元中有两个碳原子A、B， 布拉菲格子是面心立方。
或可视为两个面心立方子晶格，沿体对角线平移1/4 体对角 线长度套构而成，如图所示．
金刚石晶体的配位数是4, 这4个碳原子构成一个 正四面体，碳-碳键角为109º28´。
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
注意：晶向指数与晶面指数的表示差异。
晶向指数表示晶列取向，用中括号[…]表示； 晶面指数表示晶面方向，用圆括号(…)表示。
§1.3 倒格子
一、定义
晶体的布拉菲点阵由三个原胞基矢 、a1 、a2 来a描3 述．
定义三个新矢量：
b1
2
(,a2
其中： a1 轴[100]， a2 轴[010]， a3 轴[001]，
a1 轴 [1 00] 等，其中－1的负号放在1的上面。
二、晶面和晶面指数
任意三个不共线的格点，构成一个晶面．
与晶列性质类似，晶面也具有下面三个方面的性质： 任一晶面上都有无穷多个格点； 任一晶面都有无穷多个互相平行的晶面，构成一个晶面簇； 每一个晶面簇都将晶体中所有的格点包含无遗．
晶体的对称性和分类
2
4
2 4
晶体中独立的宏观对称操作 (或对称元素)只有8种,
即：1、2、3、4、6、i、4m、 。其中数字n(1、2、
3、4、6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心
反演（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜
面这）。种表示方法属于国际符号(International not
ation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮(Ma
晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而, 晶体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶 格能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称 为晶体的微观对称性.
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作.
a23
y
z z a31 a32 a33 z
其中： r
x y
z
x
r
y
z
a11
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13
a23
a33
x x a11 a12 a13 x
y
y
a21
a22
a23
y
z z a31 a32 a33 z
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0
0 x
y
0
cos
sin
y
z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
晶体的对称性
晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α 。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
4、晶体的对称性
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
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B
A
B1
A
B
A1
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB ABcos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
n是整数。
2
2
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2
n : 3 2 1 0 -1;
17
五、晶体的微观对称操作
A4
1.n度螺旋轴
晶体绕u轴每转2/n角度后，再沿
4
A3
该轴的方向平移T/n的 l 倍，则晶体中的
3
原子和相同的原子重合(其中l为小于n的
整数；T为沿u轴方向上的周期矢量)。
A2
晶体只能有1，2，3，4，6度螺旋轴。 A1
如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
z A x, y, z
A
A
O
y
x
A x, y,z O-xy 相当于镜面。
8
四、n度旋转—反演轴(象转轴)
1.象转轴
(1)定义
先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重
合，则称u轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。
只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3， 4， 6
2.n度象转轴简析
晶体不能有5度或6度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示
C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示
1、 2、 3、 4、 6。 4
4.对称轴度数 度数 n 2
3
4
6
符号表示
符号
5
5. 长方形、
21
(3)六个2度轴
22
(4)三个和四度轴垂直的对称面 (5)六个和2度轴垂直的对称面
23
例题2：金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作
四个原子 位于正四 面体的四 个顶角上
24
1.绕三个立方轴转动
25
2. 绕4个立方体对角线轴转动 2 , 4
33
26
3. 绕三个立方轴转动 , 3
22
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
例：立方体的中心就是对称中心。如果将对称心放在坐
标原点上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等同。
7
三、镜象(镜面反映、对称面)
1.镜象 如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示—— ;
(2)国际符号表示——m。
§1.6 晶体的特殊对称性 对称操作 一、转动
本节主要介绍四种基本的操作——转动、反演、镜 象、象转轴。
1.转动对称操作 设晶体外形为一立方体，沿图中
所示转轴转动900，外形与原来重合。 这样的转动称为转动对称操作。该轴 称为转动轴。如果转动1800等晶体都 保持外形重合。
转动轴
1
2.转动对称操作的种类 由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的
正三角形、
正方形和正
六方形可以
在平面内周
期性重复排
列。正五边
形及其它正
n 边形则不
能作周期性
重复排列。
6
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分
析，可以得到象旋转轴只有 4 是独立的。
9
(1) 1 象转轴——实际上就是对称心i。
A点绕旋转轴(z轴)
z(u轴)
Ax, y, z
旋 转 3600 ， 在 经 过
中 心 反 演 到 A' 点 ， 晶体完全重合。实
பைடு நூலகம்
O(对称心)
y
际上即为中心反演
x
x, y,z
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
14
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3 1
4 4
15
3 2
3 1 1
4 2
4
16
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
熊夫利符号：C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C6 ,i, , S4
—— 正六面柱的对称操作有24个
29
30
1
重合。
18
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象操作
A2
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
A1
A1
该方向上的周期矢量，n为
2或4)，晶体中的原子和相
A
A
同的原子重合。
M
19
例题1：立方系的对称性简析。
(1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
20
(2)四个三度轴(空间对角线)
cos : 1
:0
2
1
0.5 0 - 0.5 -1
2
323
2 2 2 2
643
2
2
n
n 1，2，3，4，6。 分别称 为1，2，3，4，6次( 度 )转轴。
3
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义
晶体绕某一固定轴u旋转角度2/n以后，能自身重
合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1，2，3， 4，6。
加中心反演
27
4. 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演
28
例题3 正六面柱的对称性分析
1. 绕中心轴线转动 , 2 , , 4 , 5
33 3 3
—— 5个
2. 绕对棱中点连线转动π —— 3个 3. 绕相对面中心连线转动π —— 3个
4.正交变换—— 1个
5. 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
A
10
(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z(u轴)
A
Ax, y, z
x, y, z
和O-xy对称面 的操作相当。
O(对称心)
y
x
x, y,z
A
11
12
(3) 3 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称心(i)
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6
2
13
(3) 6 象转轴——实际上就是6度转轴＋对称心(i)