【新教材】 新人教A版必修一 函数及其表示 教案

2019—2020学年新人教A版必修一函数及其表示教案1．函数2．函数的有关概念（1)函数的定义域、值域在函数y＝f（x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3）函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；（2）根式型；(3）对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5）三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B。

（×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ×)(3）函数f（x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √)(4）分段函数是由两个或几个函数组成的．（×）题组二教材改编2．函数f（x)＝错误!的定义域是________．答案（－∞,1）∪（1,4]3．函数y＝f（x）的图象如图所示，那么，f（x)的定义域是________；值域是________;其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0］∪[2，3］［1，5］[1，2）∪(4，5］题组三易错自纠4．已知集合P＝｛x|0≤x≤4｝，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．（填序号）①f:x→y＝错误!x;②f:x→y＝错误!x；③f:x→y＝错误!x；④f：x→y＝错误!.答案③解析对于③，因为当x＝4时,y＝错误!×4＝错误!∉Q，所以③不是从P到Q的函数．5．已知f(错误!）＝x－1，则f(x)＝____________.答案x2－1（x≥0）解析令t＝x，则t≥0，x＝t2,所以f(t）＝t2－1(t≥0），即f(x）＝x2－1（x≥0)．6．设f(x)＝错误!则f(f(－2）)＝________.答案1 2解析因为－2〈0,所以f(－2）＝2－2＝错误!>0，所以f（f（－2)）＝f错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!。

题型一函数的定义域命题点1 求函数的定义域例1 (1）(2018·江苏)函数f(x)＝错误!的定义域为________．答案｛x｜x≥2}解析由log2x－1≥0，即log2x≥log22,解得x≥2,满足x>0,所以函数f(x）＝错误!的定义域为｛x｜x≥2}．(2)函数f（x）＝错误!ln错误!＋错误!的定义域为________________．答案［－4，0）∪(0，1)解析由错误!解得－4≤x<0或0<x〈1，故函数f（x)的定义域为［－4，0）∪（0，1）．（3）若函数y＝f(x)的定义域是[0，2 020］，则函数g（x)＝错误!的定义域是（) A．[－1,2 019］B．［－1，1）∪（1，2 019]C．[0，2 020]D．[－1，1）∪(1,2 020］答案 B解析使函数f（x＋1）有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 019］．所以函数g（x）有意义的条件是错误!解得－1≤x〈1或1〈x≤2019.故函数g（x)的定义域为［－1，1)∪(1，2 019]．引申探究本例(3）中，若将“函数y＝f(x）的定义域为[0，2 020]”，改为“函数f（x－1）的定义域为[0，2 020］"，则函数g(x）＝错误!的定义域为________．答案[－2,1)∪（1,2 018]解析由函数f(x－1)的定义域为［0，2 020]，得函数y＝f（x）的定义域为［－1，2 019]，令错误!则－2≤x≤2018且x≠1.所以函数g(x）的定义域为[－2，1）∪(1，2 018］．命题点2 已知定义域求参数的值或范围例2 (1）若函数f（x)＝错误!的定义域为{x|1≤x≤2},则a＋b的值为________．答案－错误!解析函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为｛x|1≤x≤2｝，所以错误!解得错误!所以a＋b＝－错误!－3＝－错误!。

(2)设f（x)的定义域为[0，1］，要使函数f(x－a)＋f（x＋a)有定义，则a的取值范围为____________．答案错误!解析函数f（x－a)＋f(x＋a)的定义域为［a，1＋a]∩[－a,1－a］,当a≥0时，应有a≤1－a，即0≤a≤错误!；当a〈0时，应有－a≤1＋a,即－错误!≤a〈0.所以a的取值范围是错误!。

思维升华（1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组）的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．（2)求抽象函数的定义域：①若y＝f（x)的定义域为（a，b),则解不等式a<g（x）〈b即可求出y＝f（g（x）)的定义域；②若y＝f(g（x)）的定义域为(a，b)，则求出g(x）在（a，b）上的值域即得f（x）的定义域．（3）已知函数定义域求参数的值或范围,可将问题转化成含参数的不等式(组），然后求解．跟踪训练1 （1）函数y＝ln错误!＋错误!的定义域为________．答案（0,1］解析函数的定义域满足错误!解得错误!∴0<x≤1。

（2）若函数y＝f(x）的定义域为［0,2］，则函数g(x)＝错误!的定义域是（) A．[0,1） B．[0，1]C．［0，1）∪（1，4］D．(0,1)答案 A解析函数y＝f(x)的定义域是［0,2]，要使函数g(x）有意义,可得错误!解得0≤x<1,故选A.(3）若函数f(x)＝错误!的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是________．答案［0，4]解析由题意知,mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．当m＝0时,f(x)的定义域为一切实数；当m≠0时，由错误!得0<m≤4，综上,m的取值范围是［0,4］．题型二求函数的解析式1．若f错误!＝错误!，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D.错误!－1答案 B解析f(x)＝错误!＝错误!（x≠0且x≠1)．2．已知f（x)是二次函数且f（0)＝2，f(x＋1）－f(x)＝x－1，则f（x)＝________。

答案错误!x2－错误!x＋2解析设f(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f（0)＝2，得c＝2,f(x＋1）－f（x)＝a（x＋1）2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1,即2ax＋a＋b＝x－1，∴错误!即错误!∴f(x)＝错误!x2－错误!x＋2。

3．已知函数f（x)的定义域为(0，＋∞），且f（x）＝3错误!·f错误!＋1，则f（x)＝______________。

答案－错误!错误!－错误!(x>0）解析在f（x)＝3错误!·f错误!＋1中,将x换成错误!，则错误!换成x，得f错误!＝31x·f (x ）＋1,将该方程代入已知方程消去f 错误!，得f (x ）＝－错误!错误!－错误!（x 〉0）．思维升华 函数解析式的求法（1)待定系数法:若已知函数的类型，可用待定系数法；（2)换元法：已知复合函数f （g （x ）)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；（3）配凑法：由已知条件f (g （x ））＝F （x ），可将F (x ）改写成关于g (x ）的表达式，然后以x 替代g （x )，便得f （x )的解析式；(4)消去法：已知f （x ）与f 错误!或f (－x )之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f （x ）．题型三 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例3 (1）已知f （x ）＝错误!且f (0)＝2，f (－1)＝3,则f (f (－3））等于（ ） A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0）＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f （－1）＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3,解得a ＝错误!。

故f （－3)＝错误!－3＋1＝9，从而f （f （－3）)＝f （9）＝log 39＝2。

(2）已知函数f （x ）＝错误!则f （2＋log 32)的值为________． 答案 错误!解析 ∵2＋log 31〈2＋log 32〈2＋log 33,即2〈2＋log 32〈3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f （3＋log 32)，又3<3＋log 32〈4，∴f （3＋log 32）＝错误!33log 2＋＝错误!3×错误!3log 2＝错误!×(3－1)3log 2＝错误!×3log 23－＝错误!×31log 23＝错误!×错误!＝错误!，∴f （2＋log 32)＝错误!。

命题点2 分段函数与方程、不等式问题例4 （1)设函数f （x )＝错误!则使f （x ）＝错误!的x 的集合为__________． 答案 错误!解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝错误!,解得x ＝－1； 若x >0,则｜log 2x ｜＝错误!，解得x ＝122或x ＝122－.故x 的集合为错误!.（2）已知函数f （x )＝错误!若f (a )>错误!，则实数a 的取值范围是__________． 答案 错误!解析 当a ≤0时,令2a >12，解得－1〈a ≤0；当a 〉0时,令13log a >错误!，解得0<a <错误!。

∴a ∈（－1，0］∪错误!，即a ∈错误!。

思维升华 （1）分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来．跟踪训练2 （1）已知函数f （x ）＝错误!若f （2－a )＝1，则a 等于（ ） A ．－2B ．－1 C ．－1或－错误!D ．2 答案 B解析 当2－a ≥2，即a ≤0时，令22－a －2－1＝1，解得a ＝－1；当2－a 〈2，即a >0时,令－log 2［3－(2－a )］＝1,解得a ＝－错误!,不符合，舍去．所以a ＝－1.(2）(2018·全国Ⅰ）设函数f (x )＝错误!则满足f (x ＋1）<f （2x )的x 的取值范围是（ ) A ．(－∞，－1] B ．（0，＋∞) C ．(－1,0) D ．（－∞，0） 答案 D解析 方法一 ①当错误!即x ≤－1时，f （x ＋1）〈f (2x ）即为2－(x ＋1）〈2－2x,即－（x ＋1）<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为（－∞，－1］． ②当错误!时，不等式组无解．③当错误!即－1〈x ≤0时，f (x ＋1)<f （2x ）即1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为（－1，0)．④当错误!即x 〉0时，f (x ＋1)＝1，f （2x )＝1，不合题意． 综上,不等式f (x ＋1)〈f （2x ）的解集为（－∞，0）． 故选D 。