巧用面积法解题几例
巧用面积法 妙解几何题
－
【 】 如 图 ，在菱 形 Ａ Ｃ 中 ，对 角 解 Ｂ Ｄ 线 ＡＣ与 Ｂ 相 交 于 Ｏ，设 Ａ ａ ０＿ ， 。 Ｄ ｏ＝，Ｂ ｂ Ａ ， 因 为 菱 形 的 边 长 是 两 条 对 角 线 长 的 比 例 中 项 ， 所 以 Ｂ
ＡＤ ｘＡ ｘｓ ＿ ＲＤ Ｂ ｉ Ｂ ｎ／ Ｄ×ＡＣ ×ｓ ｃ ｉ ｎ
证明 ．Ａ ． Ｄ是 ．Ｂ Ｃ的平分线 ． ．Ａ －
． ． ＢＡＤ一．ＤＡＣ －。 ．． ． ．
例 ３已知 菱 形 的边 长 是两 条 对 角线 长 的 比例 中项 ， 那么 菱 形 的一 个 锐角 是 （ ）
Ａ．３ ０ ０ Ｂ．４ ０ ５ Ｃ．０ ６０ Ｄ．０ ９‘
由三角形 的面积，得
４ ８
，
日
Ｄ
ｃ
：
一
２
Ｃ
ｃ＝ ａ・ ｂ √ ，Ａ 过 Ａ ２２ ２ ， 曲 Ｅ上Ｂ 于 Ｅ Ｃ ，则 由菱形 的面积可
得即 ｃ・ＡＥ＝２ａ× Ａ三 ＣＤ Ｅ× Ｂ ＝Ａ ｂ
‘ ． ． ．
而 ＝Ｂ 瓦 Ｄ
一
・ ・ ＝ ・
Ａ ； 口＝ Ｅ √ ６ ｃ 即 Ａ ＝ 二Ａ Ｅ Ｂ
ｘ 用 面 积 法 ５
妙 解 几 何 题
王 中 兴
（ 江省 嵊 州市 甘霖 镇 中学 浙 江 嵊州 ３ ２ ６ ） 浙 １ ４ ４
中圈分类号 ． ４ Ｇ
文献标识码 ： Ａ
文章编号：０ ８ ９ ５ （０ ）１ ０ ７ ０ １ ０ — ２ Ｘ２ １ １ － １ — ２ １ １
几 何题 千 姿 百态 ，如 果 能 从 图形 的面 积 关 系人 手 来 研 究 图 运动 至 Ａ 点 ） ，０Ｏ 的 圆心在 Ｂ Ｐ上 ，且 ０Ｏ 分别 与 ＡＢ 、ＡＣ相 形 的度量关系和位置关系 ，就能巧妙地找到比较简单 的途径。 切 ， 当点 Ｐ运动 ２秒钟 时 ， ０ｏ 的半径 是 （ ） Ａ． ２￣１ １ １１ Ｂ．５￣ ２ ｍ ｃ． １ ５ 本 文谈 谈 用 面 积法 解 几 何题 的思 路和 方 法 。 ｃ ｍ Ｄ．锄 ２ 利 用 面 积 作为 解 题 的等 量 关 系 ７ ５ ３ １ 、通 过 对 同一 图形 的面 积 ，采 用 不 同角 度 的分 析 ，根 据 同 【 】在 黜 △ Ｂ 中， ‘Ａ ＝０ｍ，Ａ ＝ ｃ 解 ＾ｃ ．Ｂ１ ＂ ｃ Ｃ ８ｍ 图形 的面 积 相 等这 一 特 征 ， 列 出相 应 的等 式 ，从 而 使 问题 解 ＢＣ ｃ ＝６ ｍ
四边形面积计算的巧妙方法
四边形面积计算的巧妙方法几何学中，计算四边形面积是一个基本的问题。
然而，对于不规则四边形或者没有给定高度的四边形，计算面积可能会变得复杂。
在本文中，我将介绍一些巧妙而简单的方法来计算四边形的面积。
方法一：使用矩形面积公式进行计算对于具有直角的四边形，我们可以使用矩形的面积公式来计算。
矩形的面积公式为“长乘以宽”。
因此，如果我们可以找到四边形的一条边的长度和与之垂直的边的长度，那么我们可以利用这个公式来计算面积。
举个例子，假设我们有一个具有直角的四边形，其中一条边的长度为5，与之垂直的边的长度为3。
我们可以将这个四边形看作是一个长方形，其中5作为长，3作为宽。
因此，它的面积为5乘以3，即15平方单位。
方法二：分割成简单的形状计算对于不规则的四边形，我们可以将其分割成几个简单的形状，如矩形、三角形或梯形，并计算每个形状的面积，然后将它们相加。
这个方法适用于大多数不规则四边形。
例如，假设我们有一个不规则四边形，其中一条边的长度为6，与之垂直的边的长度为4，而另外两条边的长度为7和5。
我们可以将这个四边形分割成一个矩形和两个三角形来计算。
首先，我们可以将其分割成一个宽度为4的矩形和两个三角形。
矩形的面积为6乘以4，即24平方单位。
同时，两个三角形的面积可以分别计算为7乘以4除以2和5乘以4除以2，即14和10平方单位。
然后，将这些形状的面积相加：24加上14加上10，得到总面积为48平方单位。
方法三：使用海伦公式计算对于具有给定边长和对角线长度的四边形，我们可以使用海伦公式来计算面积。
海伦公式适用于任何四边形，包括不规则四边形。
海伦公式如下：面积 = 根号下（s - a） * （s - b） * （s - c） * （s - d）其中，a、b、c和d是四边形的边长，s是四边形的半周长，即（a + b + c + d）/ 2。
举个例子，假设我们有一个边长分别为7、8、9和10的四边形，我们可以使用海伦公式来计算面积。
用面积法求解几何问题
人教版 初中解决几何问题有很多方法，在这些方法中很容易被大家忽略的是面积法. 面积法既能解决题目中直接涉及面积的问题，也可解决一些题目中不涉及面积的问题. 在平时的学习、解题过程中，如果有意识的使用面积法.，可以使有些几何图形性质的证明、几何问题的解决等起到事半功倍的作用.对有些几何题，如果单纯用图形的几何性质、全等三角形或相似三角形等知识来解答，会使计算或证明过程很复杂，而用面积法却可以轻松得到解决.下面举例说明.例1 如图1，E 、F 分别为□ABCD 的边CD 、AD 上的点，且AE=CF ，设AE 、CF 交于P ，求证：BP 平分∠APC .证明 连BE 、BF ，∵AE=CF ，∴ 三角形ABE 的面积等于三角形FBC 的面积即ABE FBC S S ∆∆=∴ 点B 到AE 、FC 的距离相等.即点B 到∠APC 的两边P A 、PC 的距离相等，∴ BP 平分∠APC .例2 如图2，已知：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线.求证：AB BD AC CD=. 分析 由于AD 是∠A 的平分线，且在△ABD 与△ADC 中，BD 、DC 边上的高相等，因此可利用三角形面积公式来证明.证明 设△ABC 中BC 边上的高为h ，则12ABD S BD h ∆=⋅， 12ACD S CD h ∆=⋅. 又 过D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则12ABD S AB DE ∆=⋅， 12ACD S AC DF ∆=⋅. 于是 11221122ABD ADC BD h AB DE S S CD h AC DF ∆∆⋅⋅==⋅⋅. ∵ ∠1=∠2， ∴ DE =DF . 故 AB BD AC CD=. .1. 例3 如图3，P 为△ABC 内任意一点，连AP 、BP 、CP 并分别延长交对边于D 、E 、F ，求证：1PD PE PF AD BE CF++=. 分析 本题应用了线段的比转化为面积的比来解决.证明 设P 到BC 、CA 、AB 三边的距离分别为x y z 、、，三边上的高为a b c h h h 、、.显然有BPC a ABC S PD x AD h S ∆∆==， APC b ABCS PE y BE h S ∆∆==， APB c ABCS PF z FC h S ∆∆== 三式相加得1PD PE PF AD BE CF++=. 例4 如图4，矩形ABCD 中，,,AB a BC b ==M 是BC 的中点，DE AM ⊥ 于E . 求证：224DE a b =+证明 连DM ，∵ M 是BC 的中点， ∴1=22AMD ABCD ab S S ∆=矩形，12AMD S AM DE ∆=⋅ ∴ AM DE ab ⋅=又22142AM a b =+ ∴ 224DE a b=+ 例 5 如图5，E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、CD 上，若3,4,5,CEF ABE ADF S S S ∆∆∆===则AEF S ∆= .解析 连AC ，设ACF S x ∆=，ACE S y ∆=. 则45y x +=+ ∴ 1y x =+ ①又 5,3x CD y AB x CF CF +==， ∴ 53x y x += ② 由①、②联立方程组 解得 5, 6.x y ==∴ 35638.AEF S x y ∆=+-=+-=例5 如图6，梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O . 设梯 .2. 形ABCD 的面积为S ，△AOD 的面积为1S ，△AOD 的面积为2S ，△AOD 的面积为3S 12S S 、230x Sx S +=的两根.分析 利用面积之比可以转化为线段之比的办法，可以解决这一问题. 证明 ∵ 1233,.S S DO OC S OB S AO== ∴1223.S S DO OC S OB AO⋅⋅=⋅ ∵//AD BC ， ∴DO AO OB OC =. ∴12231S S S ⋅= ,123.S S S = ① 又∵ 1232S S S S =++ 12122S S S S =++212()S S =，∴12S S S = ② 12S S 、230x Sx S +=的两根.以上几个例子，若用其它方法解答，其过程要繁琐得多.像这样的问题还很多，如果在学习过程中有意采用面积法，既能提高学习、解题效率，又能提高分析问题、解决问题的能力，实现解题能力的全面提高..3.。
巧用面积法解决问题
巧用面积法解决问题
作者：刘国成
来源：《初中生世界·九年级》2016年第06期
面积法解决几何问题是一种常用的重要方法，巧用面积法解题有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.现就几种类型举例说明，供同学们参考.
一、巧用面积法求线段长
例1 如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8.现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
.
【点评】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定.考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力.在解题中，如遇有多条垂线就可联想到用三角形的面积，巧妙地将三角形的面积分解成几个三角形面积的和或差解题较为简便.
面积法不仅可以巧妙地求出线段的长、证明线段相等、证明线段比相等、求线段和差，而且可以从一点到一个角的两边的距离相等，证明这个点在角平分线上，希望同学们加以体会，细心研究，灵活应用面积法解题.。
多边形的面积趣味题
多边形的面积趣味题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多边形在我们生活中无处不在，无论是建筑物的外形、地图上的国界线还是日常生活中的各种形状，都离不开多边形的影子。
而多边形的面积是一个让我们感到神秘又充满挑战的概念。
今天，让我们来一起探讨一些关于多边形面积的有趣题目，希望能够让你领略到数学的乐趣。
1. 假设有一个六边形，其中每个边长为5cm，相邻两边之间的夹角为120度。
请计算出这个六边形的面积。
我们可以将这个六边形看作是由两个等边三角形和一个梯形组成的。
每个等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= 底边长度* 高/ 2因为该等边三角形的底边长度和高均为5cm，所以每个等边三角形的面积为：5 * 5 / 2 = 12.5cm²然后，我们来计算梯形的面积。
梯形的面积可以通过以下公式计算：面积= (上底+ 下底) * 高/ 2这里的上底和下底都是5cm，高是边长5cm的两边之间的高。
根据三角形的计算方法，该高度可以为5*sin(60°)=5*√3 / 2=2.5√3 cm。
梯形的面积为：(5 + 5) * 2.5√3 / 2 = 12.5√3 cm²将两个等边三角形的面积和一个梯形的面积相加，得到这个六边形的面积为：12.5 + 12.5 + 12.5√3 = 25 + 12.5√3 cm²2. 现在我们来探讨一个更有趣的题目。
假设有一个正方形的边长为10cm，我们要将这个正方形切割成4个完全不同形状的多边形，并且每个多边形的面积相等。
请问你能想到哪几种方法将这个正方形切割出来呢？我们来想一种方法。
我们可以将这个正方形分成四个三角形，每个三角形都有一个角是90度，另外两个角是45度。
这样切割出的四个三角形的面积都是25cm²，且面积相等。
除了这种方法外，我们还可以将正方形分成几何图形更为复杂的方式。
比如可以将一个正方形切割成一个三角形、一个梯形和两个长方形。
【初中数学】巧用面积法解题
【初中数学】巧用面积法解题许多问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。
我用面积法证明了线段的相等性例1.已知：如图1，ad是△abc的中线，cf⊥ad于f，be⊥ad交ad的延长线于e。
验证：CF=be。
图1证明：连接EC，从BD=DC，，将两面分别相加，得到故所以be=CF。
注：直接由得更简洁。
二.用面积法证两角相等例2如图2所示，C是AB线上的一个点，△ ACD和△ BCE是等边三角形，AE和BD 相交于o。
求证：∠aoc=∠boc。
图2证明：过点c作cp⊥ae，cq⊥bd，垂足分别为p、q。
因为△ ACD和△ BCE是等边三角形，所以ac=cd，ce=cb，∠acd=∠bce，所以∠ ace=∠ DCB所以△ace≌△dcb所以AE=BD，可得cp=cq所以∠ OC即∠aoc=∠boc三、用面积法证明线段不等式例3.如图3，在△abc中，已知ab>ac，∠a的平分线交bc于d。
验证：BD>CD。
图3证明了交叉点D为de⊥ AB和DF⊥ AC分别为，垂直脚分别为e和f设bc边上的高为h。
因为∠ 坏=∠ 数模转换器所以de=df因为且ad>ac因此即所以BD>CD四.用面积法证线段的和差例4已知：如图4所示，让高度在等边的一侧△ ABC是h，p是等边上的任意点△ ABC警局⊥ 英国广播公司⊥ E中的AC，PF⊥ F中的AB。
求证：pe+pf+pd=h。
图4证明：连结pa、pb、pc因为又所以因为△abc是等边三角形因此即pe+pf+pd=h用面积法证明比例公式或等积公式例5.如图5，ad是△abc的角的平分线。
验证：。
图5事实证明，德⊥ AB和DF⊥ AC通过D点，垂直脚分别为e和f。
因为ad是△abc的角的平分线，所以de=DF，则有。
做啊⊥ 穿过点a时为BC，垂直于脚时为h，则有即六.用面积比求线段的比例6如图6所示，在△ ABC，已知BC和AC两侧的AD和BF中线与M相交。
用面积法高效解题
相交 于点 ０，Ｃ＝ ｃ Ｂ Ｂ ８ｍ，Ｄ
．
． ．
＝
６ ｍ， ｃ 梯形 的高 为 ３ ｍ ｃ．
图４
又 由勾 股 定 理 ， Ｏ 得 Ｂ＝１ ， ０
・
Ｅ是 Ｂ Ｃ边上的一个动点 （ Ｅ不与 日， 点 ｃ两点重合 ） 在 ． 点 Ｅ运 动 过程 中， 点 Ｅ到 Ｂ Ａ 若 Ｄ， Ｃ的垂 线 段 分别 为 Ｅ Ｅ 你能确定 Ｅ Ｐ，Ｑ， Ｐ＋Ｅ Ｑ的值吗？ 分析 因为题 目中存 在易证 的等腰三 角形 ， 底边上 有一动点到两腰 的距 离和 ， 以想 到利 用面 积法 中“ 所 一
・
‘
．
△Ａ 为 等 边 三角 形 ， ∞
ＡＣ ＝ＡＥ ， ＤＦ ：ＡＥ．
Ｄ
ＡＡ Ｅ， Ｃ 求证 ： Ｆ＝ Ｅ Ｄ Ａ．
Ｄ
‘
．
．
’ ．
．
例 ５ 已知 ， 方 形 Ａ Ｃ 正 ＢＤ
中， Ｐ为 内一 点 ， Ａ Ｂ＝１５ ， ／ Ｐ ＿ ３。
Ａ √ Ｂ Ｐ＝ ３，Ｐ＝１求 Ｐ ， ｃ的长．
则 △Ｂ Ｐ Ｃ 坌ＡＢ Ａ， Ｐ
’
尽快 的找到全等图形． 中有大量的等边三角形 ， ６ 。 图 故 ０ 角的出现就成 了特殊标 志 ， 因而旋转关 系也就 建立 了． 把 ＡＡ Ｃ绕 Ｂ点逆时针旋 转 ６ 。 Ｂ ０ 则重 叠于 ＡＤ Ｆ， 明 Ｂ 很
．
．
Ｂ Ｂ Ｐ ＝ Ｐ＝１尸 Ｇ＝ Ｐ＝ ３， ． Ａ √
．
．
折痕 Ｅ Ｆ是线段 Ｏ Ｂ
８ｙ －
元二 次方程组 的解法对 初 中生 已不 作要 求 了． 时 ， 这 只
要 用 面 积 法 利用 对 角线 和 的关 系 两 边 平 方 ， 对 角 线 的 将
例谈面积法破解难题
ｎ × ＝ ２ × （ 丢 × 罟 × Ａ Ｂ ＋ １ ａ ｘ ） ，
１ ５
一
所 以
＋三 ｊ Ｅ ｝ ＝ 、 ／ ／ ２ ．
Ｃ
图２ Leabharlann 图１ 近三 年 任 教 初 三 毕 业 班 笔者 都将 此 题 供 学生练 习， 但 至今 没有一 人 能独 立求 解， 笔
５× １
积 的两倍 ， 设正五边形的边长 为 ａ ， 可得
例１ ｆ ２ ０ １ ２年 贵州 省黔 东南 州 中考 数 学 试 题） 如 图２ ， 在 △ＡＢ Ｃ中， Ａ Ｂ＝４ ５ 。 ， ＡＢ ＝１ ０ ， 点 Ｐ在 Ｊ Ｅ ｝ 上， Ｂ Ｐ＝２ ， 若 ｏ（ ＝ ｝ 的 圆 心《 二 ） 在线段 Ａ Ｐ上， 且ｏ （ 二 ｝ 与 Ｂ、Ｂ 都相切 ， 试 求 ｏ《 ＝ ） 的半 径 ．
—
； ②
（ ２ ） 如图３ （ ２ ） ， 以点 Ｏ为圆心， ＯＣ为半径 的 圆 弧交 Ｏ Ａ于 点 Ｄ， 若直 线 Ｇ Ｈ与 弧 ∞ 所 在 的圆相切 于矩形 内一点 Ｆ， 求直 线 Ｇ Ｈ 的函
数关系式． （ ３ ） 在（ ２ ） 的 结 论 下，梯 形 日Ｇ的 内部 有一 点 Ｐ， 当 ｏＰ与 日Ｇ、Ｇ 、Ａ Ｂ都相 切 时， 求 ｏＪ Ｆ ） 的半径 ．
感．
能用三角 函数表达式表示） ． 作为一个有近 ３ ０ 年教龄 的数学教师， 笔者 初见 此题竞感无 处入手， 绞尽脑汁 一时也没 能 解 出， 几 天后 ， 在讲 授 “ 三 角形 的 内切 圆” 一 节 时， 推 导 内切 圆半径 的过程给笔 者带来 了灵 感
一
用面积法解决 问题． 解： 显然 正五边 形的面积等于科学方舟面
证 明勾 股 定理 ａ ＋ｂ ２＝ Ｃ ２ ； 初三 推 导三角 形
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－
Ｘ ／ ３
—
～
ｓｎ １ 。 ｉ ０ ，
实践表 明， 运用两角和差的正 、 余弦公式
ｓ ０ ＝ ｉ（０＋ ０ ） ｃ ｓ１。 ｉ ４ 。 ｓ ３ 。 １。＝１ 。 ０ ＋ ｎ ｎ
设 ＬＡ Ｃ 的 一 Ｂ
（０７年高考福建卷理 １ 题 ） ２０ ７ 分析 对于此题 ，一般的解答是运用诱 导公式及两角和的正切求得 ｃ角 的值． 但从 整体考虑 ， 最小边的得出则显繁琐 ， 如果利用 面积法 ， 将此 △ ｃ置于我们设定的图形之 中， 即有简便 的方法 ． 解 因 在 ＡＡ Ｃ￣ Ｂ Ｐ ：＝ ＝＝ ＝＝
ＡＣＢ＝９ ． ０。
因为 Ｂ ＝ ／ Ｂ Ａ ２ 、 Ｄ Ｘ— ２ Ｄ ＝ ／ Ａ － —
￣ ＣＳ ｒ Ｏ ＝ Ｏ ＝ 堡 ＝
＝ ２
．
，
例 ｌ 如图 １ ， 已 知 半 圆 ０ 的直 径
ＡＢ＝ ｌ， 弦 Ａ ８ｅ Ｉ Ｔ Ｄ＝
因为 Ｓ ｃＳ Ｓ 蛐 ， Ｂ Ｂ △ ＝
说 明．
件， 巧妙设元 ， 繁为简 ， 可化 较易获得结果 ． 解 连 Ｃ，Ｄ， Ｃ Ｂ Ｂ 设 ，Ｄ交 于点 Ｅ
因为 Ａ Ｃ ２ｃ Ｄ＝ Ｄ＝ ｍ， 所 以 ＝ ． 设 ／Ａ Ｄ ａ 则 ／ Ｂ ＝ ． Ｂ ＝ ， ＿Ｄ Ｃ ａ
又 Ａ 是 半 圆 ０ 的 直 径 ，故 ／ Ｄ Ｂ ＿Ａ Ｂ＝
８ Ｃ・ｓ ＣＳ ＝ Ｅｉ （＋ Ｃ ， Ｂ ２ｉ ＯＯ Ｂ ｓｎ ８Ｂ ） ｎ／ ａ ａ
１器￣ ８ ６ ＣＯ ， ‘ Ｏ／ Ｓ －
１ ｏ Ｏ＝８＋ ６ｃ ｓ ／ ＢＣ．
维普资讯
・４ Biblioteka ０ 中学数学月刊 ２０ 年第 ３ ０８ 期
１． ４ ６ｆ ＼
２ ・
ｓｎ１ 。得 ｉ ０ ，
ｓｎ２ ￣ ｓｎ ０。 ＋ ｉ １ ， ｉ ＋ ｉ２ ２０ ４ ： ｓｎ ０。
规避和差化积或积化和差 ， 是驾轻就熟 、 化难 为易 的一个 好 策略 ．
用 和 法 题 例
李枝团 （ 重庆 市第 ３ ６中学 ４ ０ ２ ） ００ ６
维普资讯
２０ 年第 ３ ０８ 期
故 ｓ ０ｓ ０ｓ ０＝ ｉ ２ 。ｎ４ 。ｉ ８。 盟 ｎ ｉ ｎ
８ ．
中学数学月刊
・３ ・ ９
ｓＯ ４（ ｓ ） ｉＰ 。 ｚ ｉ ） ｎｓ ２ｉ ｎ 一 ｎ １ （ １
÷ 一ｉ １。 ｓ ０， ｎ
，
ｔ Ｂ÷， ——— ａ＝ ｎ
图３
不妨 令 Ｃ ３ Ｂ Ｄ：ｍ，Ｄ：
涉及三角方面的数学 问题 ， 我们总习惯 于 利用 三 角 知 识 中 的定 义 、 理 和繁 多 的 公 定 式 ， 后 实施 一 连 串的变 换 ， 简及 整 理 ， 然 化 使 其 达 到求 解 目的 ． 当然 这是 基 本 和常 规 的 处 理模 式 ，但 有 些 习题 若 干 篇 一 律 地 照 搬 方 法 ， 时并不奏效． 有 若考虑运用面积法 ， 巧设 未知元 ， 获“ 暗花明” 效果 ， 可 柳 的 以下 举 例
本题的传统做法是先降幂 ，再进行和差 化积与积化和差 ， 稍有不慎就会出错． 改用两
角和差 的正弦公 式 直接 求 出结果 ， 思路 明了 ， 过程 明快 ．
分析
为 了对 称使 用两 角 和差 的正 弦公
式 ， 原式 为 ｓ ０＋ ｉ ４ 。 ｓ ０ｓｎ ０． 化 ｉ ２ 。 ｓ ０＋ ｉ ２ 。 。 ｎ ｎ ｎ ｉ４
分析 通常 的解法是先由“ 倍角公式” 得 ＣＳ Ｏ Ｂ之值 ， 根据 同角三角函数求 出 ｓ ， ｉ 然 ｎ 后利用“ 导公式” ｓ 进而采用“ 诱 获 ｉ Ａ， ｎ 正弦 定理 ” Ｃ ， 得 值 最后 获解 ． 多 ， 步骤 运算量大 ， 且 有 复 杂 的 根 式 运 算 ． 果 将 满 足 条 件 的 如 ＡＡ Ｃ置于适合 的图形 中 ，可省略许多过 Ｂ 程， 解答颇为简捷． 解 设如图 ２ 为符合条件 的ＡＡ Ｃ Ｂ．
即 ｌ ＡＢ． Ｃ．ｉ ａ＝ｌ ＡＢ． Ｅ．ｉ ＋ ｓｎ２ Ｂ ｓｎ
Ｃ ２ｅ Ｄ＝ ｍ，求 Ｂ 的 Ｃ
长． 图１
Ｅ‘ ＢＣ‘ ｉ ， ｓｎ
（数 学通￣）０６年第 ８ 数 学问题” 《 ２０ 期“ １２ ） ６ ６ 分析 原解答 也使用 了面积法 ， 由四边形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ面积列出 以 Ｂ Ｃ为未知元 的一元 四次方 程 ，求解 过程相 当复杂 ． 里充分 利用题 目条 ． 这
叶
例 ＡＢ 中ａ ＝ ， ｝ ３ Ａｃ ｔＡ １ｔＢ ． ｎ ａ＝ ｎ
（） １求角 ｃ的大小 ； ， 求
２ Ｖ３－
＿
，
）
￣Ａ Ｂ Ａ Ｃ的面积 Ｓ ．
＂
（ ） ＡＡ Ｃ最大边 的边 长为 ２若 Ｂ 最 小 边 的边长 ．
（０７ 高考上海卷理 １ 题 ） ２０ 年 ７
／
８ｃ ＋ ，
易知 ｈ－ Ｅ 因为 ＬＡＢ ＬＤ Ｃ） － （ Ｄ Ｄ＝ Ｂ ，
故 Ｂ ＝５８７ｃ ． Ｃ １ — ＝ （ｍ）
故ｓ ×手 孚×＝． ． ２ 十× 手争 ＝ × １
．
例 ２ 在Ａ Ｂ Ａ Ｃ中，， ， 分别是三个内 口ｂＣ 角 Ａ， ｃ所对的边 ，若 ａ ２ Ｃ ， ｓ ＝ ， ＝ ， －ｉ ｃ ＿Ｔ ０ ＂
在 复杂计 算 中 ， 免运 用 多种公 式 ， 于 避 对 提高 正 确率 显得 尤为重 要 ． 例 ４ 求 ｓ ０＋Ｏ ０＋ｉ ２。Ｏ ０ ｉ ２ 。ＣＳ５ 。ｓ ０ＣＳ 。 ｎ ｎ ５
的值
故ｓ ０＋ｎ４。 ｉ２。ｎ０＝ 即 ｉ ２。 ｉ ０＋ｎ ０ ｉ４。÷， ｎ ｓ ｓ ｓ 原式＝ ÷．