函数图象的变换、作图与超越方程的解(精品有答案绝对好)

函数图象的变换、作图与超越方程的解前言：函数图像有几种变换：平移变换、对称变换、翻折变换.我们也常遇到根据函数)(x f y =的图像，作出函数a x f y a x f y x f y x f y x f y +=+===-=)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|x f y x f y ==的图像的区别.一．按向量平移后函数图像的解析式1。

点的平移我们知道，如果点()y x P ,按向量()k h a ,= 平移后的对应点为()y x P ''',，那么例1.(1)点Ｐ(3,4)按向量()3,1--=a 平移后的新点Ｑ的坐标为 ．(2)点Ｐ按向量()3,1--=a 平移后得到新点Ｑ的坐标为(3,4)，那么点Ｐ的坐标为： ．２.函数图像的平移定理：求函数)(x f y =的图象按向量()k h a ,=平移后新图像的函数解析式为：()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；证明：在平移后新图象上任取一点()y x P ,，而点Ｐ是由Ｑ(x 0,y 0)按()k h a ,=平移后得到．由点平移公式知 由于点Ｑ(x 0,y 0)=(x-h,y-k)在函数y=f(x)的图像上，故其坐标代入函数表达式成为恒等式．从而的得平移后新图像的函数解析式：()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=； 平移后的函数图象的解析式是用x －h 替换y ＝f （x ）中x ，是用y-k 替换y ＝f （x ）中y,使用起来很方便。

例2.抛物线y ＝－2x 2－4x －3向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式．例3 将一抛抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得的抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋3,求此抛物线的解析式．例4 已知把直线y ＝－3x ＋2平移后经过点A （－4，2），求平移后得到的直线的解析式，并说明是向左还是向右平移几个单位得到的．例5、已知两条抛物线： C1：y ＝x 2－2x ＋5 C2：y ＝x 2－4x ＋7问抛物线C1经过怎样的平移后与抛物线C2重合？3.按向量平移重要结论如下：结论1 原来的点()y x P ,按()k h a ,= 平移后得到的新点为()k y h x P ++',；结论2 函数()x f y =的图象按向量()k h a ,=平移后的新图像函数解析式为 ()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；结论 3 曲线C '按向量()k h a ,=平移后得到图象C ，若C 的解析式为()x f y =，则C '的函数解析式为()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；结论4 曲线C ：()0,=y x f 按向量()k h a ,= 平移后所得曲线C '的方程为()0,=--k y h x f ；结论 5 曲线C '按向量()k h a ,=平移后得到曲线C ，若C 的方程为()0,=y x f ，则C '的方程为()0,=++k y h x f 。

运用上述结论解题，可提高思维起点，直达解题目标。

4.向量平移公式与以前的左加右减，上加下减是一致的让我们换一个角度看解按向量平移：记()0,h b = 、()k c ,0= ，则c b a +=，所以要将点P 按向量a 平移至对应点P '，可以先将它 向右平移h 个单位（当h>0时）或向左平移h 个单位（当h<0时），到达点Q 处；再将点Q 向上平移k 个单位（当k>0时）或向下平移h 个单位（当k<0时），就得到对应点P '（如图所示）。

那么这与以前初中所学的函数图像平移规律＂左加右减，上加下减＂是一致的．注意到图像平移中左移实质就是图像按向量()0,h a = 平移，只是其中的h<0而已；图像平移中右移实质就是图像按向量()0,h a = 平移，只是其中的h>0而已；图像平移中上移实质就是图像按向量()k a ,0= 平移，只是其中的k<0而已；图像平移中下移实质就是图像按向量()k a ,0= 平移，只是其中的k >0而已；5.对于周期函数，已知函数在一个周期上的表达式如何求在其它区间上的表达式。

通常就是对所求区间的x 经过平衡平移变换成已知区间上的量，利用已知区间上的表达式得到所求区间的表达式。

例. 已知以4为周期的函数 (](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,cos 1,1,1)(22x x x m x f x π，其中0>m .若方程3)(x x f =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( B ) (A)),(38315(B) )7,(315 (C)二．对称与翻折变换 ①y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）关于y 轴对称；②y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）关于x 轴对称；③y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）关于原点对称；④y ＝f －1（x ）与y ＝f （x ）关于直线y ＝x 对称；⑤y ＝|f （x ）|的图象可将y ＝f （x ）的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f （|x |）的图象：可将y ＝f （x ），x ≥0的部分作出，再利用偶函数关于x=0(y 轴)的对称性作出图像． ⑦y ＝f （|x －a |）的图象：可将y ＝f （x-a ），x ≥a 的部分作出，再利用函数关于x=a 的对称性作出图像． ⑧y ＝|f （x ）-b|的图象：可将y ＝f （x ）图像向上平移b 个单位，再把y ＝f （x ）-b 图像中x 轴下方的部分P Q例6.已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是 ( )例7.已知函数2()21,()1,x f x g x x =-=-构造函数()F x ，定义如下：当 |()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么()F x （ ）A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值1-，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最小值，也无最大值练习：已知y ＝f （x ）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f （x ）的解析式是（ ） A ．1||22+-x x B ．x 2－2|x |＋1C ．|x 2－1|D ．122+-x x三、伸缩变换①y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的纵坐标伸（A ＞1）缩（0＜A ＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a ＜1）缩（a ＞1）到原来的a1，纵坐标不变而得到． ［举例8］函数|1|12|log |)(2--=x x f 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.练习１.已知定义在]2,2[-上的函数)(x f y =的图象如图49-2所示，分别画出)2(),(2),(,)(),(),(x f y x f y x f y x f y x f y x f y ====-=-=。

图49-2练习２．已知函数⎩⎨⎧<≤-≤≤=)01()10()(2x x x x x f ，如图49-5所示，请作出（1）),()3(),()2(),1(x f x f x f --（4）)23()5(,)(x f x f 。

图49-5练习３.作出高斯函数(或称取整函数)y=[x] ， y= x -【x 】={x}的图像. ([x]表示不超过x 的最大整数;{x}表示x 的非负纯小数. 任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，1）称为小数部分函数。

)取整函数：y=[x] ， [x]表示不超过x 的最大整数;{x}表示x 的非负纯小数. 任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，1）称为小数部分函数。

性质1 对任意x ∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.性质2 对任意x ∈R,函数y={x}的值域为[0,1).性质3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2]性质4 若n ∈Z,x ∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.性质5 若x,y ∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.性质6 若n ∈N+,x ∈R,则[nx]≥n[x].性质7 若n ∈N+,x ∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n 的倍数.性质8 设p 为质数,n ∈N+,则p 在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+….四．函数的图像与方程的解研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.［举例9］已知函数1)(,12)(+=-=ax x g x x f ，若不等式)()(x g x f >的解集不为空集，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.变式1：已知函数f(x)=2x +x,g(x)=log 2x+x,且存在实数a 和b 满足f(a)=5,g(b)=5,那么a+b= .变式2：方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标。

若方程044=-+ax x 的各个实根x 1,x 2,x 3,⋯,x k ,(k ≤4)所对应的点)4,(ii x x （i=1,2,⋯,k ）均在直线y=x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . [举例10]若曲线1||2+=x y 与直线b kx y +=没有公共点，则b k ,应当满足的条件是 .例11．已知偶函数()()f x x R ∈满足(2)()f x f x +=，且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =根的个数是___ . 例12.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________．［例13］方程kx ＝2)2(1--x 有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围．例14（1）求4454)(22++++=x x x x x f 的单调区间，并比较)25(-f 与)210(-f 的大小。