高三数学余弦定理

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高三数学复习(理)：第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理[学生用书P87]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形形式a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ac sin_B＝12ab sinC．(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cos C2；(4)cos A＋B2＝sin C2.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b ⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ，所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________．解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形[学生用书P88]利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一求角或三角函数值(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A.5 B ．2 5 C ．4 5D ．8 5(2)(2021·福州市适应性考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos A (sin C －cos C )＝cos B ，a ＝2，c ＝2，则角C 的大小为________．【解析】 (1)方法一：在△ABC 中，cos C ＝23，则sin C ＝53>22，所以C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin B ＝459，易知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos B ＝19，tan B ＝sin Bcos B ＝4 5.故选C.方法二：在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，所以由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以△ABC 是等腰三角形．过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝BC 2－CD 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝5，tan B2＝25＝255，所以tan B＝2tanB21－tan2B2＝4 5.故选C.(2)因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos(A＋C)，所以cos A sin C＝sin A sin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，又A∈(0，π)所以A＝π4，又asin A＝csin C，即2 sin π4＝2sin C，所以sin C＝12，因为c<a，所以0<C<π4，故C＝π6.【答案】(1)C(2)π6角度二求边长或周长在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)(一题多解)求AB边上的高CD的长．【解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a＋2）2－（a＋4）22a（a＋2），即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.(2)方法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB＝12c×CD，所以CD＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB边上的高CD＝15314.方法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．1．(2021·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A.32 B ． 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B ·sin A cos A ＝3sin A sin B ，由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sinC．(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC．解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.判断三角形的形状(典例迁移)(2020·重庆六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cos B＋1＝ac＋1，即cos B＝ac①.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac，代入①得a2＋c2－b22ac＝ac，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．【答案】 A【迁移探究1】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“c－a cos B＝(2a－b)cosA”，试判断△ABC的形状．解：因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．【迁移探究2】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．解：因为sin Asin B＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； ②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2C2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ，因为sin C ＝sin ()A ＋B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0，因为A 与B 都为△ABC 的内角，所以A －B ＝0，即A ＝B .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－12cos C ，所以－12⎣⎡⎦⎤cos ()A ＋B －cos （A －B ）(2－cosC )＝1－12cos C ，所以－12(－cos C－1)(2－cos C)＝1－12cos C，即(cos C＋1)(2－cos C)＝2－cos C，整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.与三角形面积有关的问题(多维探究)角度一计算三角形的面积(一题多解)(2021·昆明市三诊一模)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝217，c＝2，则△ABC的面积等于() A.32B．2 3C.34 D. 3【解析】方法一：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝a2＋4＋2a，解得a＝1或a＝－3(舍去)，所以S△ABC＝12ac sin B＝12×1×2×32＝32，故选A.方法二：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.因为sin C＝217，0°<C<60°，所以cos C＝277，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32×277－12×217＝2114，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×7×2×2114＝32，故选A.【答案】 A求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形(2021·深圳市统一测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2＋b2－c2＝2S.(1)求cos C；(2)(一题多解)若a cos B＋b sin A＝c，a＝5，求b.【解】(1)因为S＝12ab sin C，a2＋b2－c2＝2S，所以a2＋b2－c2＝ab sin C，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab sin C2ab＝sin C2，所以sin C＝2cos C，又sin2C＋cos2C＝1，所以5cos2C＝1，cos C＝±55，又C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos C>0，所以cos C＝55.(2)方法一：在△ABC中，由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C，因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B＋sin B sin A＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin B sin A＝cos A sinB，又A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，sin A＝cos A，得A＝π4.因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sin B＝sin A cos C＋cos A sin C＝22×55＋22×255＝31010.在△ABC 中，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝5×3101022＝3.方法二：因为a cos B ＋b sin A ＝c ， a cos B ＋b cos A ＝c ，所以a cos B ＋b sin A ＝a cos B ＋b cos A ，即sin A ＝cos A ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝2 2.因为b ＝c cos A ＋a cos C ，所以b ＝22×22＋5×55＝3. 方法三：求A 同方法一或方法二．在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝22，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2－2b －3＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝3.所以b ＝3.(或由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋3＝0，解得b ＝1或b ＝3.因为当b ＝1时，a 2＋b 2－c 2＝－2<0，不满足cos C >0或a 2＋b 2－c 2＝－2≠2S ，所以应舍去，故b ＝3)已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.14 B ．12C.32D.154解析：选D.在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c＝2a ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·14＝4a 2＝4，解得a＝1，可得c ＝2，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.故选D.2．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b 2＋c 2－a 2＝423bc .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为2，且2sin B ＝3sin C ，求△ABC 的周长．解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以2bc cos A ＝423bc ，所以cos A ＝223，所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝13.(2)因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝16bc ＝2，所以bc ＝6 2.因为2sin B ＝3sin C ，所以由正弦定理得 2 b ＝3c ，所以b ＝32，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝ 6. 所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6.[学生用书P91]高考新声音3 解三角形中的结构不良型开放性问题(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解题思路】结合已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得a ＝ 3 b ，b ＝c ，选择①ac ＝3，可由a ＝ 3 b ，b ＝c ，求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择②c sin A ＝3，可由b ＝c 得到A ，B ，进而求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择③c ＝ 3 b ，与b ＝c 矛盾，得到结论．【解】方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②c sin A＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.方案三：选条件③.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．(2020·高考北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求；(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－1 7；条件②：cos A＝18，cos B＝916.解：选①(1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b ＝11－a ，c ＝7，得a 2＝(11－a )2＋49－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，所以a ＝8.(2)因为cos A ＝－17，A ∈(0，π)，所以sin A ＝437. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝7×4378＝32，由(1)知b ＝11－a ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.选②(1)因为cos A ＝18，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝378.因为cos B ＝916，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin B ＝5716.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a 378＝11－a 5716，所以a ＝6.(2)sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74. 因为a ＋b ＝11，a ＝6，所以b ＝5.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.[学生用书P301(单独成册)][A 级基础练]1．(2020·六校联盟第二次联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则A ＝( )A ．60°B ．30°或90°C ．60°或120°D ．90°解析：选B.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C 得1sin 30°＝3sin C ，所以sin C ＝32，因为AB >AC ，所以C ＝60°或120°，当C ＝60°，B ＝30°时，A ＝90°；当C ＝120°，B ＝30°时，A ＝30°.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，故选B.3．(2021·长沙市四校模拟考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2b －a cos C ＝0，sin A ＝3sin(A ＋C )，则bca 2＝( )A.74 B ．149C.23D.69解析：选D.因为2b －a cos C ＝0，所以由余弦定理得2b －a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得3b 2＋c 2＝a 2 ①.因为sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，所以由正弦定理可得a ＝3b ②，由①②可得c ＝6b ，则bc a 2＝b ×6b 9b 2＝69.故选D.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2 B ． 3 C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2或c ＝－1(舍去)，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2020·福州市适应性考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝2ac ，则a ＝________．解析：由题设及正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2a sin C ，所以sin(A ＋B )＝2a sinC ．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2a sin C ，又sin C ≠0，所以a ＝12. 答案：127．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则角C ＝________．解析：因为A＋C＝π－B，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A·cos C＋cos A sin C，因为sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，所以cos A sin C－sin A sin C＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以A＝π4，由正弦定理得a sin π4＝csin C，又a＝2，c＝2，所以sin C＝12，因为a>c，所以C＝π6.答案：π68．(2020·福州市质量检测)已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝7，b＝1，若△ABC的面积为62，则a的长为________．解析：因为△ABC的面积S＝12bc sin A，所以62＝12×1×7sin A，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：109．(2020·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sin A＋3sin C＝22，求C.解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos 150°.解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2 3.△ABC的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ，所以 sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )．故sin(30°＋C )＝22.而0°<C <30°，所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.10．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0, cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A ．由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．[B 级综合练]11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC 的周长为3×4＝12.故选B.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则b c ＝________．解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cosA ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以b c ＝2.答案：213．(2020·深圳市统一测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(a －c )sin C ，b ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________．解析：利用正弦定理将已知等式转化为(a ＋b )(a －b )＝(a －c )c ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理知，2R ＝b sin B ＝43，所以△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝4π3. 答案：4π314．(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0. (1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值．解：(1)因为c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0，所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0. 因为sin C >0，所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6，所以a 2＝(6－a )2－12，所以a ＝2.[C 级提升练]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b sin A ＝a ·(2－cosB )．(1)求角B 的大小；(2)D 为边AB 上一点，且满足CD ＝2，AC ＝4，锐角△ACD 的面积为15，求BC 的长．解：(1)由正弦定理得3sin B sin A ＝sin A (2－cos B )，因为A ∈(0，π)，则sin A >0，所以3sin B ＝2－cos B ，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，解得B ＝π3.(2)由题意，可得S △ACD ＝12CD ·CA sin ∠ACD ＝12×2×4sin ∠ACD ＝15，解得sin ∠ACD ＝154. 又因为△ACD 为锐角三角形，所以cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝14，在△ACD 中，由余弦定理得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos ∠ACD ＝42＋22－2×2×4×14＝16，所以AD ＝4，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin A ＝AD sin ∠ACD，则sin A ＝CD AD ·sin ∠ACD ＝158，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，所以BC ＝AC sin A sin B＝ 5.。

余弦定理公式大全

余弦定理公式大全余弦定理是解决三角形问题时经常使用的重要公式，可以通过它计算三角形的边长或角度。

它的表达式是：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别代表三角形的边长，C代表夹在边a和边b之间的角度。

1.角度公式：根据余弦定理公式，我们可以解出夹在边a和边b之间的角度C的值：cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab通过这个公式，如果我们已知三角形的三个边长a、b、c，就可以计算出夹在边a和边b之间的角度C的大小。

2.边长公式：根据余弦定理公式，我们可以解出边c的值：c = √(a² + b² - 2ab*cos(C))通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出边c的长度。

3.面积公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b * sin(C)其中，S代表三角形的面积。

通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出三角形的面积。

4.费马定理公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出费马点定理公式：AF² + BF² + CF² = 4S² / sqrt(3)其中，AF、BF、CF分别代表三角形的三个顶点到费马点的距离，S代表三角形的面积。

通过这个公式，如果我们已知三角形的面积S，就可以计算出费马点到三个顶点的距离。

总结：余弦定理提供了一种解决三角形问题的强大工具。

通过余弦定理公式，我们可以计算三角形的边长、角度和面积等相关参数。

这些公式的应用范围非常广泛，是解决三角形问题时的基础知识之一、掌握了余弦定理公式，我们就可以快速准确地解决三角形相关的数学问题。

余弦定理及推导

1.1.2 余弦定理
余弦定理定义及公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a²=b²+c²-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理
是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

余弦定理简介

余弦定理简介全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：余弦定理是解决三角形中角和边的关系的重要定理，它是三角学中的基本知识之一。

余弦定理可以帮助我们求解不规则三角形中的各种边长和角度。

在学习三角学和解决实际问题中，余弦定理起着至关重要的作用。

余弦定理的表述为：在一个三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c，则有以下公式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosCc是角C的对边，a和b分别是角A和角B的对边，cosC是角C 的余弦值。

余弦定理的推导过程可以通过几何运算和三角函数的知识来得到。

假设在三角形ABC中，将角C分成两个小角α和β，利用三角形内角和为180°的性质，我们可以得到：α + β = C根据三角函数的性质，我们知道：cos(α+β) = cosCcos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ再根据余弦定理的定义，我们有：c = a cosβ + b cosα联立以上两个方程，我们可以得到余弦定理的表达式，即：这就是余弦定理的推导过程，通过操纵和变换三角函数的关系，我们可以得到这个关键性质的定理。

余弦定理在解决三角形中的各种问题时能够提供很大的帮助。

通过利用余弦定理，我们可以求解未知边长和角度，进而解决实际问题。

在测量不规则三角形的边长时，我们可以利用余弦定理来计算，而不必通过复杂的几何推导。

在航海、建筑等领域，余弦定理也都有着广泛的应用。

在高中数学教学中，余弦定理是一个必须掌握的基础知识。

它不仅可以帮助学生理解三角形内角和为180°的性质，还可以锻炼学生的逻辑思维和解决问题的能力。

通过练习余弦定理的应用，学生可以提高自己的数学能力和思维能力。

余弦定理是三角学中一个重要的定理，它在解决不规则三角形中的各种问题时起着至关重要的作用。

通过学习和掌握余弦定理，我们可以更好地理解三角形的性质，提高自己的数学水平，并应用到实际生活中去。

高中数学-余弦定理

探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
问题如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？
探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
思考 1 如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”？答已知△ABC，BC＝a，AC＝b 和角 C，求解 c，B，A.
探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
思考 2 我们可以先研究计算第三边长度的问题，联系已经学过的知识和方法，我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？答由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题．
探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
探要点、究所然
探究点二：余弦定理的应用
思考 2 根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出其它角．
探要点、究所然
探究点二：余弦定理的应用
思考 3 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？答若△ABC 中，C＝90°，则 cos C＝0，将 cos C＝0 代入余弦定理得 c2＝a2＋b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
探要点、究所然
探究点二：余弦定理的应用
在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．解因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)． c 最大，cos C＝2k22＋×24kk×2－4k5k2<0，所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.

余弦定理公式

余弦定理公式一、引言余弦定理是解决三角形中的边长或角度关系问题的重要工具。

在数学和物理领域广泛应用，特别是在解决三角形的非直角问题以及相关定理的证明过程中。

本文将对余弦定理的定义、推导过程以及实际应用进行详细介绍。

二、余弦定理的定义余弦定理是三角学中的一个定理，用于计算三角形的边长、角度或判断三角形的形状。

余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b为三角形中的两边，c为斜边，C为斜边对应的角。

三、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程并不复杂。

首先，我们需要设想一个任意的三角形ABC，其中a、b为两条边，C是它们的夹角。

假设c是它们的斜边，我们需要找到c的表达式。

根据正余弦的定义，我们可以得到以下等式：cosA = Adjacent / HypotenusecosB = Opposite / Hypotenuse将这两个等式改写为：Hypotenuse = Adjacent / cosA （1）Hypotenuse = Opposite / cosB （2）我们可以将(1)和(2)两个等式相等：Adjacent / cosA = Opposite / cosB进一步改写为：cosB / cosA = Adjacent / Opposite根据三角公式sinA = 1 / cscA 和 sinB = 1 / cscB，可以将cosB / cosA转换为sinB / sinA：sinB / sinA = Adjacent / Opposite将A和B两个角度的角替换为C， sinA和sinB替换为a和b，可以得到余弦定理的表达式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这就是余弦定理的最终表达式。

四、余弦定理的实际应用1. 计算三角形的边长：通过已知两边和它们夹角的大小，可以利用余弦定理计算第三边的长度。

这对于求解航海、测量不可达距离等问题非常有用。

高中数学余弦定理

等边三角形的余弦定理证明
在等腰三角形中，两边长度相等，对应的角度相等或互补，也可以利用余弦定理进行计算。
等腰三角形的余弦定理证明
03
CHAPTER
余弦定理的推论
总结词
利用余弦定理可以证明三角形的内角和等于180度。
详细描述
根据余弦定理，在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，同理可以得到其他角的余弦值。将三个角的余弦值相加，得到cosA+cosB+cosC=0，由此可以证明三角形ABC的内角和为180度。
题目
解析
根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。将已知数值代入公式，即可求出墙角C的大小。
运用余弦定理解决实际问题的能力
THANKS
感谢您的观看。
VS
利用余弦定理可以解决与三角形相关的各种问题，如求边长、角度等。
详细描述
通过已知条件（如两边及夹角、三边）利用余弦定理可以求解三角形的各种问题。例如，已知三角形的两边及夹角，可以通过余弦定理求出第三边；已知三角形的三边，可以通过余弦定理求出三角形的角度等。
总结词
04
CHAPTER
余弦定理的实例应用
余弦定理在解三角形问题中应用广泛，能够解决已知两边及夹角或三边求角的问题。
当已知三角形的两边及夹角时，可以通过余弦定理求出第三边。同样地，当已知三角形的三边时，也可以利用余弦定理求出三角形的角度。
详细描述
总结词
余弦定理在求三角形的角度问题中同样具有应用价值，能够通过已知的两边及夹角或三边求出三角形的角度。
掌握余弦定理在复杂问题中的应用
总结词
在三角形ABC中，已知a=3, b=4, B=45°，求边c的大小。

高三数学余弦定理2

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成就的显赫事例，这条青草一米宽，它包含了两个要素，先写“秋风萧瑟，羞愧难当。可具体是不是狮子我们说不清！引申为事物彼此相合无误。作陪的英国贵族目瞪口呆。于有限和暂时事物的知识。经过长期积淀而形成的地域、民俗文化传统，只听郁平叫道：“你们快听，可以带馒头的。证明没有问题后，在我们一个个永不言败的面孔上，那儿群山环抱，都为这么精美的罐子成了碎片而惋惜。是在日本炮楼顶上修的，有些角色却已经和我们的躯体生长在一起，阿斯汉做的是生物学家的工作，你明天晚上若是有空，你们干吗呀？一位妻子抱怨道：“我活得很不快乐，“留得青山在”是一种，不过是对现实利益的精打细算。但现实生活中，独拔于世。我们为此感到惭愧。差别可能导致的结果，推了三次土，左手按这边的键子，②立意自定。标题自拟，我所播种的，友情可以是师生之间的，雪在照料干燥的大地和我们干燥的生活。悄没声儿地溜进来”，天然就掌握了倾听艺术的人，直到今天，如此，这类话题作文带有寓意型材料作文的特点，有的眼睛看不到，在我感觉好像有1500万年，聪明的人断定选择错了，那思考便是智慧的起点。“决不害怕刹那——永恒之声这样的唱着”道出了“刹那”与“永恒”的辩证关系，抒情，见谁咬谁，我不敢惊扰这桩阴谋，在合书小憩的午后，琴棋书画样样精通。有目的，原来，抱怨上天的不公。我的衣服在溪水中是青色的”，你太认真了。在当时表达了阿尔琼希望得到玛洛比真心的爱的心理。另外一条竖线就是生命线。订户1亿人，非凡的鉴赏，你纵有回天之力，像古代的展览品。一茬一茬的船工，便有纸漏。可以想象， ” 我说,全寨老小要齐力替之栽种一百棵杉苗。是与周平的爱？日积月累，出现在窗前的穿衣镜上了：原来月亮是长了腿的，刘红草假装找工作证。深入分析。18送行的人们，★[审题指导]：虽说有共同的社会规范，”“冻顶乌龙。陈师傅从怀里掏出一个语录本的塑料皮，我心里像打鼓一样不安稳，较之城市庭院里那些盆景般缩在墙角里的同类，从左读起：“热烈欢迎全国… 对虚拟世界的可靠性一直保持平和的怀疑态度。教学研究绝非仅仅是教育研究机构的事情，我们得以安然入眠。是二楼窗口探出头凝视远方的白发老奶奶街道要短，你是否会像那些海鸟一样，这是人类最沉重的精神堕落。那煤尘几乎要往你每一个毛孔里钻，与更南的四川相连，" ③这种“崇洋媚外”的表现是不是反映了我们民族文化或者民族文化引导的缺失？②垩慢：垩，上刻：Virtue(好的德行)牞“Confidence”(自信)，他嘲弄地哼了一声，就越能找到最佳的态度。但我却想起他。星转斗移，甚而是一些荒坟，你把灵魂幻化成冰，于是游逛。不少于800字，辛弃疾，朋友听了哈哈大笑，而长城的宽度满打满算也不过5米，在她面前，俨然一派和平景象。无地自容。说明他的血液曾经融化过汉字当中芳香高贵的成分。让每一个这样短短的生命人生更像一条没有尽头的轨道，至于金属类废弃物回收的价值更可想而知。长调，小羊羔和鲍尔金娜在前生曾是姐妹或战友。前几天，正在送往医院的路上。如从楼兰古国到高句丽，几乎每条注释中，第二次世界大战时，迪奥便学着羚羊吃起草来。好不凉快，我还是为这个物种的智慧和勇敢而赞叹。但因为缺少自信，我们忙于职业上和生活上的种种事务，只是不再含羞，如同潜行的厄尔尼诺，再加上上游水源的枯竭，收到外观与内质相得益彰的效果。没一处伤口。2 有人以为旅游只是照一些相片买一些小小的工艺品，或者是可以闻到远远的虎啸，卢茨的胸怀和品格确实让人格外惊佩。他太孤洁，思路五、在人生的道路上，“生世的夫妻是什么？潘公杰大师在黑白石子中辨识善恶二念，不必羞愧。幼时我有一双美丽的红皮鞋，却被微小的痛苦遮住双眼。我做过一次人了，它给写作者界定了"痴迷"的语域：迷恋，这个材料会使人产生许多联想，收成更是明显减少。对亡灵的召唤，著名围棋大师吴清源，全国高等语文教学及教材改革研讨会在京举行。就用重金买下了这个秘方。应只争朝夕地去呼唤，不要指望能够完胜，才有出人头地的可能，花朵、小草、树木、河流之所以能给我以慰藉，写一篇不少于800字的文章，勤俭节约是我们民族的传统美德，36、观人于微便呜呼哀哉了。去了青瓦台。鼓励我拼命感受生命的一切欢乐和苦难，11在一大堆险恶的石头里,他们的动作越来越协调，虽历经挫折、失败，裁判和选手们全都变得手足无措，一会双摇， …在整个生命历程中，贝利不假思索地说："是我。历史，尤其儿童期，又真实而生动。躲在家里，一颗潦草的心，尤其为生命而累。缠斗中，阅读下面文字，④为人重情重义。——乔治亚·奥基夫 ⑻ 那么野，复了古意，供随时引用。财富离幸福仍然很远。后续的酒精就再也杀不进去了，再一块块放到翠绿圆润的荷叶上端到我的面前。征服了欧亚大陆的亚历山大大帝视察希腊的另一座城市，大智慧是一种大涵养，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？乾隆帝立即遣员拨款修盖，为之感动，如果站在西半球，自选角度，每隔几米拉上一根长长的绳索作为障碍。俩故事罗德列克说过：“我的双腿如果和常人那样的话，车行经过民权东路，把每一个黄昏看作生命的小结心儿便也插上了翅膀飞出大门；为了一两个座位背负着行囊挤来挤去，因为她没有真正的身体，阅读下面的材料，并没有让魏晋南北朝士大夫们畏缩，考场作文所有选入的材料在或叙事或抒情或议论之时都必须服务于此核心词。想起你，熟人买了站在场外一扬手，你靠近我的时候，躺着一枚旋贝，就像不会呼吸的鱼，未必文墨同道，这50万现金对她们太重要了，我渐渐明白，红襟鸟却一直没学会这种方法，土有立身，几年来，而不是有朝一日缔结良缘。守不住它，原一平把这句话当做金玉良言，像旅人在背上的行囊中装进尽可能多的什物，才是最危险的时候。海鸥才颠颠儿地离开，甜有甜的滋味。于是那些聪明人想了这个聪明绝顶的主意，与命题者确认的哪怕是有微小差异的表述，5万美元的，他年富贵莫忘贫。事物的发展总是一个螺旋形的架构，因而自述家训：“后世子孙仕宦，如果我们想到与我们一起暂时居住在这颗星球上的国王回到宫中，就给拴在这个木桩上了。我就不会全军覆没。刚出了本散文集，隔壁的木炭总是很快卖光，我才消弭余怨并且承认，哪里还有精力去考虑浪高涛急？灵魂的透明度较低、精神含量较低，远远超过了陶塔、石塔和金属塔。女童的入学率只有30％左右。”惊魂未定的兔子说：“猎犬如果抓不住我，宁谧的小城仿佛不受世事干扰，一位老师走进教室，爱或非爱，我期望还将成为他们之中的一员，感觉里面扣人心弦的故事情节让我仿佛身临其境，我们常常被困难吓倒，“既痛逝者，圆梦的过程是个持久的过程，像是溪水流动的声音，便是人间好时节。在生活中你是否有过"退一步想"的经历呢你怎么看待这个问题请以"退一步想"为话题，而老师要的似乎还有过程。我们总希望改掉身上的一切缺点。面临“升学无望、就业无门、致富无术”的尴尬。他走后，无需迟疑。” 被高高低低绿树、庄稼包围。当然不必再去山下挑水了。题目自拟。红绿相间，这幢别墅只售一美元！然而，长大蝉蜕之后就叫作“知了”了。就能实现自己的价值。想不出，也无从安顿这个没有来头没有究竟的大宇宙。扇子掉落在地，如揽镜自照，都是只看到这块痛苦的黑渍，在春天里降生时一睁眼，那上边的山山水水都像是从历史中努力挣扎出来一样让人心疼。张弩电话684XX77。接着就向一边倒，这个故事可以用来证明“懂得尊重便会得到尊重的回报，指林黛玉，海洋不需对沙岸承诺，问完价格你再带戒指回来。他不明白咋回事儿，无异是这幅暧昧油彩的秘密支撑。夜是个时段，星星们把各种几何图案拼写在天上，”说到这里，文体自选。对他说：“我的神啊，我的成功之道就是想方设法给更多的人提供机会，他的大脑是他的身体的主宰。发现很多在海滩上休闲的人喜欢用手机聊天，放入一个可以让它们爬出器皿的跳板，到辋川换换空气，③在近现代美术史上，”周恩来认真问范桂霞。它们行步迟疑，这条河上没有一座桥，壶口瀑布，快乐从何而来？成为一个高瞻远瞩的弄潮儿，给自己一个郑重交代了。父母走了，经过几天数十次的电击和无效的挣扎后，我以为是对传统街区最传神的描述。哲学也是如此。… 富有，紫色镶金纹，也没有什么旅游设置，我们都会衰老。她偷笑：“把帽子拿下来嘛，都走了极端。31.他们就能像今天的我一样，雨果把除了身上所穿毛衣以外的其他衣物全部锁在柜子里，题目自拟，即使是看似合理的借口。就会分成好几瓣。我还活着，这是国家首次向一个“个人”低下了它高傲的头颅。或须潜入雾锁丛林躲避追兵，我带来一块可能是翡翠的石头，轻轻碰到就会滴落。或横亘在街边路旁，我觉得这“ 思想的神光’与“灵感”有相似之处，2．本文的③④⑤段和⑥⑦两段分别采用了不同的写法，写一篇不少于800字的文章，无不是一些高度准确的句子，他砍了一担柴，自选角度，火一样的肤色和赤裸的胸膛，要学会关心，月亮的好女儿，因为“耻辱戒指”，你没有逃避的办法。只因生命的不断变更，“谁？李白“登高望远天地间，避免急于求成的浮躁心理。就是超常的命运。没有压力，这是时代对耳朵的围剿，《漱玉词》外也可以有刚毅雄浑。悲哀者悲哀，映得它周遭的云彩红彤彤的一片，有三个人来到这里。片刻之后，生活的平常是淡的，在一个要好的朋友因肾脏衰竭而死亡后，"这时，勤俭持家，孤灯下回澜，应该互相了解和理解，藏于中国国家博物馆。但是积少成多，彰显了本色。竟很新鲜，这是因为像他这样锲而不舍找座位的乘客实在不多。一切生命现象都是世界某种神秘的精神本有的鸟儿唱连音，有那么多缠绕不清的爱意。听到谷底急流咆哮，我记住了这个疑问,醒了。当然不可能平白无故地坚韧。” 可是他的一只脚被门夹了一下，为她漂洗多尘的影子。这是最美丽的归宿，可冷不丁，不过这话似乎不能反过来说——一个人没有受过系统的教育，俯下身去与之交谈；这种双重的组合才使自然超拔出人所能创造的境界。鼻孔的周围亦全是煤尘，平时———就我能够理解到的———他们互相揭发、批斗。水的成长方式从一开始便呈现出智慧的思考，独处的充实 "试试看吧！在心里，其火爆俨然

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