高二数学期末模拟题理
四川省眉山市仁寿县重点中学2022-2023学年高二下学期理科数学期末模拟试题(一)及参考答案
仁寿县重点中学2021级数学科高二（下）期末模拟（一）理科数学一、选择题1、已知复数213i z z -=-，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.83.随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()400E X =，()300D X =，则p 等于( ) A ．14B ．12 C ．13D ．344、将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有 A ．15种B ．18种C ．19种D ．21种5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（ ）A ．100，28B ．200，28C ．100，40D ．200，406、若2022220220122022(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果错误的是（ ）A ．01220221a a a a +++⋯+=B ．20220242022132a a a a ++++⋯+=C ．202212220220222a a a ++⋯+= D ．20212322320224044a a a a +++⋯+=7、如图是一个计算：的算法流程图，若输入，则由上到下的两个空白内分别应该填入（）A ．12(1)n S S n -=--⋅，2n n =-B ．1(1)n S S n -=--⋅，1n n =- C ．1(1)n S S n -=+-⋅，2n n =-D ．1(1)n S S n -=+-⋅，1n n =-8.国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰二中站点乘车去红山公园游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系．假设两人的出发时间是独立的，在8:00到8:30之间到达7路公交赤峰二中站点是等可能的，则两人不需要发短信联系就能见面的概率是 A ．12B ．34C ．59D ．569、函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12x =为函数()f x 的零点 B ．2x =为函数()f x 的极大值点 C ．函数()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()2f -是函数()f x 的最小值10、已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（ ）A ．e (1)(2)f f >B ．()()e 10f f -<C ．()()e 21f f ->-D ．()()2e 11f f ->11、已知函数()||2e xf x x =-，若()ln 4a f =，21ln e b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>12.已知函数()()32ln f x x a x x=--，若不等式()0f x >有且只有三个整数解，则实数a的取值可以为（ ） ①ln5100 ② ln225③ln224④ln524A.① ②B.① ③C.② ④D. ②③ 二、填空题13、 712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数为______.14.甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为．15、已知函数1()sin 2cos 2f x x x =，该函数的最大值为__________．16.已知变量()12,0,x x m ∈ (m >0)，且12x x <，若2112xxx x <恒成立，则m 的最大值________．三、解答题17.第19届亚运会组委会消息，亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.为此某校举办了以“迎亚运”为主题的篮球和排球比赛，每个学生只能报名参加一项，某调研组在校内参加报名的学生中随机选取了男生､女生各100人进行了采访，其中参加排球比赛的归为甲组，参加篮球比赛的归为乙组，调查发现甲组成员96人，其中男生36人. 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计（1）根据以上数据，补充上述22⨯列联表，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析学生喜欢排球还是篮球是否与“性别”有关；（2）现从调查的男生中，按分层抽样选出25人，从这25人中再随机抽取3人发放礼品，发放礼品的3人在甲组中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.参考公式：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++. 参考数据：18、某公司生产医用外科口罩，由于国内疫情得到了较好地控制，口罩的销量有所下降，因此该公司逐步调整了口罩的产量，下表是2021年5～11月份该公司口罩产量（单位：万箱）：由散点图可知产量y （万箱）与月份x 具有线性相关关系． （1）求线性回归方程，并预测12月份的产量；（2）某单位从该公司共购买了6箱口罩（其中有4箱5月份生产，2箱为6月份生产），随机分发给单位研发部门和销售部门使用，其中研发部门4箱，销售部门2箱，使用中发现5月份生产的口罩不符合质量要求，单位要求该公司给予更换，求分发给销售部门的2箱口罩中至多有1箱需要更换的概率．附：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-；参考数据：7114.91i i y ==∑，71111.86i ii x y==∑，721476i i x ==∑．19、已知函数21()()x f x alnx a R x-=-∈．（1）当52a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，212()x x x <，证明：2121220x x alnx alnx --+<．20、某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当e m =时，直线2by ax =+是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值．22、已知函数()x f x e =，2()g x mx =．R m ∈，e 为自然对数的底数． （1）如果函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求m 的取值范围； （2）若直线1y kx =+是函数()y f x =图象的一条切线，求实数k 的值； （3）设12x x ，R ∈，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．理科数学答案1、【答案】B2、【答案】C【解析】某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：＝0.7．故选：C．3.【答案】A【解析】X服从二项分布~(,)X B n p，且()400E X=，()300D X=，则400(1)300 npnp p=⎧⎨-=⎩，解得14p=．故选A．4、【答案】B5.【解答】根据图1可得出学生的总人数为：2000+4000+4000＝10000，样本容量为10000×2%＝200，抽取的初中生人数为：4000×2%＝80，根据图2得初中近视眼人数为：80×50%＝40，故选：D．6、【答案】C7、【答案】A8. 【答案】C【解析】设两人分别于x时和y时到达约见地点，则12{12xy<<<<，要使两人不需发短信即可见面，则必需1166x y -≤-≤，又两人到达地铁站的所有时刻(),x y 的各种可能结果可用图中的正方形内（包括边界）中的点来表示，两人不需发短信即可见面的所有时刻(),x y 的各种可能结果用图中的阴影部分（包括边界）来表示，所以，所求概率211543194S P S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===阴影正方形，故选C ．9、【答案】C【解析】由()f x '的图象可得，当<2x -时，'()0f x <，当122x -<<时，'()0f x >，当122x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >所以()f x 在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在(),2-∞-和1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以2x =为()f x 的极小值点，所以B 选项错误，C 选项正确；12x =是()f x '的零点，但不一定是()f x 的零点，所以A 错误；()2f -是函数()f x 的极小值，但不一定是最小值，所以D 错误.故选：C 10、【答案】B【解析】由题意，构造函数()()ex f x g x =，x ∈R 则2()e e ()()()()(e )e x x x x f x f x f x f x g x ''--'==因为不等式()()f x f x '>恒成立，所以()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，对于A 选项，因为(1)(2)g g <，即2(1)(2)e ef f <，即e (1)(2)f f <，故A 选项错误对于B 选项，因为(1)(0)g g -<，即10(1)(0)e ef f --<，即e (1)(0)f f -<，故B 选项正确对于C 选项，因为(2)(1)g g -<-，即21(2)(1)e ef f ----<，即e (2)(1)f f -<-，故C 选项错误对于D 选项，因为(1)(1)g g -<，即1(1)(1)e ef f --<，即2e (1)(1)f f -<，故D 选项错误；故选：B 11、【答案】D【解析】因为()()()2||||2e e x x f x x x f x --=--=-=，可得函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，则()2e x f x x =-，可得()e 2x f x x '=-，构建()()x f x ϕ'=，则()e 2xx ϕ'=-，令()0x ϕ'<，解得0ln 2x ≤<；令()0x ϕ'>，解得ln 2x >；所以()x ϕ在[)0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，可得()()()ln 221ln 20x ϕϕ≥=->，即0f x 在[)0,∞+上恒成立，故()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为()()21ln 22e b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，且 1.122ln 40>>>，所以()()()1.122ln 4f f f >>，即c b a >>.故选：D. 12. 【答案】A【解析】因为()()32ln f x x a x x=--定义域为()0,∞+，由()0f x >，可得()2ln 1x a x x >-，即不等式()2ln 1xa x x >-有且只有三个整数解， 令()2ln xg x x =，则()212ln x g x x-'=，所以当0e x <<时()0g x '>， 当e x >时()0g x '<，则()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，又()10g =，所以当01x <<时()0g x <，当1x >时()0g x >， 易知函数()1y a x =-()0x >的图象恒过点()1,0， 在同一平面直角坐标系中作出()1y a x =-()0x >与()2ln xg x x=的图象如下图所示：由题意及图象可知0a >，要使不等式()2ln 1xa x x >-有且只有三个整数解， 则()()()()414515a g a g ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩，即ln 4316ln 5425a a ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得ln 5ln 210024a <≤，故符合题意的有① ②. 故选：A.13、【答案】358-【解析】712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为()77721711CC 22r rrrrr r T x x x +-+⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令752r +=，求得3r =，可得展开式中含5x 项的系数33781C 235⎛⎫⋅- =-⎪⎝⎭. 故答案为：358-． 14.【答案】【解析】根据题意可得这两个零件中恰好有一个一等品的概率为：＝．故答案为：．15、23【解析】由题意，函数()()223sin cos sin 1sin =sin sin f x x x x x x x ==--，令sin x t =且[]1,1t ∈-，则3()y g t t t ==-，从而()()()2131313g t t t t '=-=， 令()0g t '=，解得13t =23t =，当31t -<<时，()0g t '<；当33t <<时，()0g t '>；31t <<时，()0g t '<，所以()g t 在3(1,)-上单调递减；在33⎛ ⎝⎭上单调递增；在3⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减．因为()10g -=，323(g =()f x 232316.【答案】e【解析】不等式两边同时取对数得2112ln ln xxx x <，即x 2lnx 1＜x 1lnx 2，又()12,0,x x m ∈即1212ln ln x x x x <成立， 设f （x ）＝ln xx，x ∈（0，m ），∵x 1＜x 2，f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在（0，m ）上为增函数，函数的导数221x ln x1ln x x ()x x f x '⋅--==，由f ′（x ）＞0得1﹣lnx ＞0得lnx ＜1，得0＜x ＜e ，即函数f （x ）的最大增区间为（0，e ），则m 的最大值为e 故答案为：e 17.【解析】（1）列联表补充如下：零假设为0H ：学生选择排球还是篮球与性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 2200(36406064)15011.538109610410010013⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.0.001828x =，依据小概率值0.001α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.（2）按分层抽样，甲组中男生9人，乙组中男生16人，则X 的可能取值为0,1,2,3，()()31216916332525C C C 28540,1,C 115C 115P X P X ======()()21639169332525C C C144212,3C 575C 575P X P X ======，X ∴的分布列为数学期望()144216210123115115575575575E X =⨯+⨯+⨯+⨯=18、【答案】(1)0.265 4.25y x =-+；预测12月份的产量为1.07万箱 (2)35【解析】(1)()156789101187x =⨯++++++=，711114.91 2.1377i i y y ===⨯=∑，所以71722217111.8678 2.130.265476787i ii ii x y xyb xx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()2.130.2658 4.25a y bx =-=--⨯=，所以0.265 4.25y x =-+．所以当12x =时0.26512 4.25 1.07y =-⨯+=，故预测12月份的产量为1.07万箱．(2)从6箱中抽取2箱共有2615C =种，即基本事件总数为15，至多有1箱为5月份生产的事件数为1124229C C C +=，故所求概率93155P ==． 19、【解析】（1）由22225112()1025202x x a f x x x x x xx -+'=--=-<⇒-+>⇒>或102x <<， ()f x ∴的单调减区间为1(0,),(2,)2+∞；由1()022f x x '>⇒<<，()f x ∴的单调增区间为1[,2]2．（2）证明：当0a 时，()0f x '<， ()f x ∴单调递减，无极值点，不满足条件．当02a <时，2222211()1010,40a x ax f x x ax a x x x-+'=--=-=⇒-+==-<，()0f x '<， ()f x ∴单调递减，无极值点，不满足条件．当2a >时，22211()10a x ax f x x x x -+'=--=-=，即210x ax -+=，△240a =->的两根为1x ，2x ．由韦达定理得12121x x ax x +=⎧⎨⋅=⎩，12x x <，1201x x ∴<<<，满足条件．要证2121220x x alnx alnx --+<，即证21122122x x x x a lnx lnx -+<=-，即证2211221212112(1)2(),1x x x x x lnx lnx ln x x x x x --<-<++，令21(1,)x t x =∈+∞则只需证222222214(1)(),(1,)()011(1)(1)t t t lntg t lnt t g t t t t t t ---'<=-∈+∞⋅=-=>++++， ()g t ∴在(1,)+∞单增，()g t g >（1）0=，得证．0m 时，0m 时，函数单调递增区间为（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，设切点为000(,ln e )x x x +，则切线斜率()00e kf x x ==+'，切线方程为00001(ln e )e ()y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即001e ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，01e a x ∴=+，02ln 2b x =-，0012ln e 2a b x x +=++-， 令1()2ln e 2g x x x =++-，221221()(0)x g x x x x x '-=-+=>，令()0g x '<，可得102x <<，令()0g x '>，得12x >， ∴可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，min 1()e 2ln 22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即a b+的最小值为e 2ln 2.-22、【解析】（1）()2x h x e mx =-，()'2xh x e mx =-要使()h x 在()0,+∞上单调递增，则()'0h x ≥在()0,+∞上恒成立.∴20xe mx ->，∴min2x e m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，令()2xe p x x =，()()21'2x e x p x x -= 当01x <<时，()'0p x <，()p x 单调递减，当1x >时，()'0p x >，()p x 单调递增 ∴当x=1时，()p x 有最小值为()12e p =，∴2em ≤ （2）∵()xf x e =，∴()'xf x e =，设切点为()00,x x e ，则0001x x e kx k e ⎧=+⎨=⎩∴()ln 100k k k k -+=>，令()ln 1p k k k k =-+，()'ln p k k =∴01k <<时，()'0p k <，()p k 单调递减，当k ＞1时，()'0p k >，()p k 单调递增 ∴k ＝1时，()min 0p k =，∴()0p k =时，k ＝1.∴实数k 的值为1.（3）要证()()()()()122121212f x f x f x f x x x x x +->>-只要证()122121212x x x x e e e e x x x x +->>-，两边同时除以1x e 得： 212121112x x x x e e x x --+->-，令210t x x t =->，得：112t t e e t+->，所以只要证：()220tt e t -++>，令()()22tp t t e t =-++∴()()'11t p t t e =-+，()''0t p t te ⎡⎤=>⎣⎦，∴()()00p t p >=即()220tt e t -++>，∴原不等式成立.。
西安中学高二数学下学期期末考试试题理含解析
当 时, 。
当 时,原不等式等价于 ，解得 ，∴ ；
②当 时，原不等式等价于 ，
＝2（2 1
≥3+4 7．
当且仅当x ，y＝4取得最小值7．
故选C．
【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值,注意乘1法和满足的条件：一正二定三等,考查运算能力,属于中档题．
11。 已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在 ， 上的单调性,结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
所以 ,
令 所以函数g(x）在(0，+∞)上单调递增，
由题得
所以函数g（x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对 ,不等式 恒成立，
所以 ，
因为a〉0,所以当x≤0时，显然成立。
当x＞0时， ，
所以 ,所以函数h（x)在（0,1）单调递减，在(1，+∞)单调递增。
所以 ，
所以a＜e,
所以正整数 的最大值为2.
14。 设 .若曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，则 ______。
【答案】：
【解析】
试题分析:因为,曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，所以， = = ，解得, ．评：简单题,利用定积分的几何意义，将面积计算问题，转化成定积分计算．
15. 直线 与曲线 相切，则 的值为________．
A. 己申年B. 己酉年C. 庚酉年D。 庚申年
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
2023-2024学年山东省滨州市高二上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省滨州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，公比为q ，则21S a =（）A ．2B ．qC ．2qD ．1q+【正确答案】D 【分析】根据211111S a a q q a a +==+求解即可.【详解】因为{}n a 等比数列，10a ≠，所以212111111S a a a a q q a a a ++===+.故选：D2．下列关于抛物线2y x =的图象描述正确的是（）A ．开口向上，焦点为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．开口向右，焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．开口向上，焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．开口向右，焦点为1,02⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】把2y x =化成抛物线标准方程2x y =，依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点坐标即可解决.【详解】2y x =，即2x y =.则21p =，即12p =故此抛物线开口向上，焦点为10,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：A3．若直线20x ay ++=与直线230x y --=平行，则=a （）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【正确答案】A【分析】根据给定条件列式计算，再进行验证即可作答.【详解】因直线20x ay ++=与直线230x y --=平行，则1(2)10a ⨯--⨯=，解得2a =-，当2a =-时，直线220x y -+=与直线230x y --=平行，所以2a =-.故选：A4．在空间直角坐标系中，已知点(3,0,4)A ，(1,4,2)B -，则线段AB 的中点坐标与向量AB的模长分别是（）A ．(1,2,3)；5B ．(1,2,3)；6C ．(2,2,1)--；5D ．(2,2,1)--；6【正确答案】B【分析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.【详解】因点(3,0,4)A ，(1,4,2)B -，所以线段AB 的中点坐标为(1,2,3)，||6AB =.故选：B5．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足12200a a a ++⋅⋅⋅+=，则（）A ．0d =B ．100a =C ．12190a d +=D ．5150a a +=【正确答案】C【分析】根据等差数列前n 项和，即可得到答案.【详解】∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列，∴1220120192002a a a a d ⨯++⋅⋅⋅+=+=，∴12190a d +=.故选：C6．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio 完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线221x y m-=（0m >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为20x my -=，则此双曲线的离心率为（）AB C ．2D【正确答案】B【分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到2m =1a =，2b =，c =，再求离心率即可.【详解】双曲线221x y m-=()0m >，1a =，b =因为双曲线的一条渐近线方程为20x my -=，即2y x m=，所以2m 4m =，所以1a =，2b =，c =，ce a==.故选：B7．已知直线+(0)y x t t =>与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，当AOB 的面积最大时，t 的值是（）A ．1B C ．2D ．【正确答案】C【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出AOB 的面积是关于t 的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心(0,0)到直线+(0)y x t t =>的距离d =弦长AB 为.1122AOBSAB d =⋅⋅=⨯当24t =，即2t =时，AOBS 取得最大值.故选：C.8．已知(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()g x f x a =+有两个零点，则实数a 的取值范围是A ．1a >B ．1a <-C ．1a <-或0a =D ．1a ≥【正确答案】B【分析】依题意画出函数()f x 的图象，将函数的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可得到不等式，从而解得；【详解】解：因为(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩画出函数图象如下所示：函数()()g x f x a =+有两个零点，即函数()y f x =与y a =-有两个交点，所以1a ->所以1a <-故选：B本题考查函数方程的综合应用，数形结合思想的应用，属于中档题.二、多选题9．下列直线方程中斜率1k ≠的有（）A ．1x y +=B ．1x y -=C ．tan1y x =⋅D ．4y xπ=【正确答案】ACD【分析】把所给直线方程化成斜截式直线方程，直接读取斜率k ，与1进行比较即可.【详解】选项A ：1x y +=可化为1y x =-+，斜率1k =-，则有1k ≠.判断正确；选项B ：1x y -=可化为1y x =-，斜率1k =.判断错误；选项C ：tan1y x =⋅，斜率tan1tan 14k π=>=，则有1k ≠.判断正确；选项D ：4y x π=，斜率14k π=<，则有1k ≠.判断正确.故选：ACD10．已知曲线E 的方程为22x y x y +=+，则（）A ．曲线E 关于直线y x =对称B ．曲线E 围成的图形面积为2π+C ．若点00(,)x y 在曲线E 上，则0x ≤≤D ．若圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则r 的最小值为【正确答案】ABC【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.【详解】对于A ，曲线E 上任意点(,)x y 有：22x y x y +=+，该点关于直线y x =的对称点(,)y x 有22y x y x +=+，即曲线E 上任意点(,)x y 关于直线y x =的对称点仍在曲线E 上，A 正确；对于B ，因点(,)x y 在曲线E 上，点(,)x y -，(,)x y -也都在曲线E 上，则曲线E 关于x 轴，y 轴对称，当0,0x y ≥≥时，曲线E 的方程为22111()()222x y -+-=，表示以点11(,)22为圆心，2为半径的圆在直线1x y +=上方的半圆(含端点)，因此，曲线E 是四个顶点为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以曲线E 围成的图形面积是211224()2222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，B 正确；对于C ，点00(,)x y 在曲线E 上，则2200002200111(||)(||)222x y x y x y ⇔-+-+=+=，则有2011(||)22x -≤，即01||2x ≤，解得01122x +-≤≤，而[[⊆，C 正确；对于D ，曲线E 2=，圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则min r =，D 不正确.故选：ABC11．已知函数323f x ax ax b =-+（），其中实数0R a b >∈，，点2A a （，），则下列结论正确的是（）A ．f x （）必有两个极值点B ．当2b a =时，点10（，）是曲线y f x =（）的对称中心C ．当3b a =时，过点A 可以作曲线y f x ='（）的2条切线D ．当56a b a <<时，过点A 可以作曲线y f x =（）的3条切线【正确答案】ABD【分析】对f x （）求导，得到()f x 的单调性，判断f x （）的极值点个数可判断A ；当2b a =时，计算()()20f x f x +-=可判断B ；当3b a =时，设切点为()2000,36B x ax ax -，求出过点A 的切线方程，通过求∆可判断C ；设切点为()32000,3C x ax ax b -+，求出过点A 的切线方程，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=所以过点A 可以作曲线y f x =（）的切线条数转化为()y g x =与y b =图象的交点个数即可判断D.【详解】对于A ，()()23632f x ax ax ax x '=-=-，令()0f x '=，解得：0x =或2x =，因为0a >，所以令()0f x ¢>，得0x <或2x >，令()0f x '<，得02x <<，所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值.所以A 正确；对于B ，当2b a =时，()3232f x ax ax a =-+，()()()32322232232f x a x a x a ax ax a -=---+=-+-，()()20f x f x +-=，所以点10（，）是曲线y f x =（）的对称中心，所以B 正确；对于C ，当3b a =时，()3233f x ax ax a =-+，令()()236f x g x ax ax '==-，()66g x ax a '=-，设切点为()2000,36B x ax ax -，所以在B 点处的切线方程为：()()()200003666y ax ax ax a x x --=--，又因为切线过点()2,A a ，所以()()()2000036662a ax ax ax a x --=--，化简得：200312130x x -+=，()21243130∆=-⨯⨯<，所以过点A 不可以作曲线y f x ='（）的切线，所以C 不正确；对于D ，()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在C 点处的切线方程为：()()()32200000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,A a ，所以()()()322000003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得：320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b=-++=所以过点A 可以作曲线y f x =（）的切线条数转化为()y g x =与y b =图象的交点个数.()()()()2261812632612g x ax ax a a x x a x x '=-+=-+=--,则()g x 在()(),1,2,-∞+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，()()16,25g a g a ==，如下图所示，当56a b a <<时，过点A 可以作曲线y f x =（）的3条切线.故D 正确.故选：ABD.12．如图所示，已知12,F F 分别为双曲线2213y x -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记12AF F △的内切圆1O 的面积为1S ，12BF F △的内切圆2O 的面积为2S ，则（）A ．圆1O 和圆2O 外切B ．圆心1O 一定不在直线AO 上C ．212⋅=S S πD ．12S S +的取值范围是[]2,3ππ【正确答案】ABC【分析】由双曲线定义及圆的切线长定理，数形结合可以顺利求得1O 的横坐标，同样由数形结合可得到直线AB 的倾斜角取值范围为2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，接下来再去求值、证明即可解决.【详解】双曲线2213y x -=的12a b c ===，，渐近线方程为y =、y =，两渐近线倾斜角分别为3π和23π，设圆1O 与x 轴切点为G过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭由双曲线定义和圆的切线长定理可知1O 、2O 的横坐标均为a ，即1O 2O 与x 轴垂直.故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(1,0)G ，圆1O 和圆2O 两圆外切.选项A 判断正确；由双曲线定义知，12AF F △中，12AF AF >，则AO 只能是12AF F △的中线，不能成为12F AF ∠的角平分线，则圆心1O 一定不在直线AO 上.选项B 判断正确；在122O O F △中，12290O F O ∠= ，122O O F G ⊥，则由直角三角形的射影定理可知2212F G O G O G =⋅，即212()c a r r -=⋅则121r r ⋅=，故2221212S S r r πππ⋅=⋅=.选项C 判断正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知21AF F ∠的取值范围为2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则121O F F ∠的取值范围为,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故12121121tan tan r F G O F F O F F =⋅∠=∠∈⎝则22212121211()(),S S r r r r ππ+=+=+13r ⎛∈ ⎝令11(),,33f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,3单调递增.(1)2f =，110(33f =，10(3)3f =，11(),,33f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭值域为102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故2121211(),S S r r π+=+13r ⎛∈ ⎝的值域为102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.选项D 判断错误.故选：ABC数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
(某某市区中学)高二(上学期)数学(理)期末复习质量监测模拟考试试题卷(附答案解析)
（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（）A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞02.已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（）A. 11B. 22C. 33D. 443.“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（）A. x2=4yB. x2=2yC. x2=6yD. x2=2y5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A. 2B. 4C. 4D. 87.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A. B. 2 C. D. 18.直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（）A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5B. 平面A′BD⊥平面A′BCC. 平面A′BD⊥平面A′CDD. A′D与BC所成角为60°10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的方程可以是-y2=1C. |OP|=aD. △PF1F2的面积为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（）A. A1M∥B1QB. AA1⊥PQC. A1M∥面D1PQB1D. PQ⊥面A1ACC112.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A. |PQ|的最小值为4B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）4C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______．14.直线2x+y-1=0的倾斜角是______．15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ．16.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程；（II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．18.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．19.如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）设的中点为，求证：平面；（2）求四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）21.如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．22.（本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）1.【答案】B【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b 满足的条件，故选：B．由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论．本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题．2.【答案】D【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D.3.【答案】A【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立．当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0，若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则，解得a=2或a=-2，即必要性不成立．故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，故选：A（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）由消去y得．则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y=由得，△2=8p2-8p=0，得p=．则抛物线的方程是x2=2y．故选：B．如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p．本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误；当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误；当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确．故选：D．直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可．本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题．根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10，圆心坐标为（1，3），半径R=，则圆心到直线x-y=0的距离d=，则|AB|===4.故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则c==2，解得k=1．故选D．8.【答案】B【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x，当x＜0时，曲线的方程为，∴曲线的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．故选：B．分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数．本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．9.【答案】AB【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E=BE=DE=CE==．∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误；对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），∵A′C==，∴A′F=，DF==，AF==，AA′==3，∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°，∴A′D与BC所成角为90°，故D错误．故选：AB．对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD 的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0），∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2，∴∠PF2F1=90°，由双曲线定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，设|PF1|=2m（m＞0），则|PF2|=m，，∴2m-m=2a，即a=，又，∴c=，则e=，故A正确；，则b=，双曲线的渐近线方程为y=，选项B的渐近线方程为y=，故B错误；对于C，∵O为F1F2的中点，∴，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则，即=，即，①而|PF1|-|PF2|=2a，两边平方并整理得，，②联立①②可得，，，即|PO|=，故C正确；=，故D错误．故选：AC．由已知可得∠PF2F1=90°，设|PF1|=2m（m＞0），再由已知结合双曲线定义可得a，b，c 与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B；由O为F1F2的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得|PO|判断C；进一步求出△PF1F2的面积判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：连接MP，可得MP AD A1D1，可得四边形MPA1D1是平行四边形∴A1M∥D1P，又A1M⊄平面DCC1D1，D1P⊂平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1，连接DB，由三角形中位线定理可得：PQ DB，DB D1B1，可得四边形PQB1D1为梯形，QB1与PD1不平行，因此A1M与B1Q不平行，又A1M∥D1P，A1M⊄平面D1PQB1，D1P⊂平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正确，C正确；连接AC，由题意四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵P，Q分别为棱CD，BC的中点，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC，∵平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，∴直线AA1在平面ABCD内的射影是AC，且BD⊥AC，∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正确；∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正确．故选：BCD．连接MP，推导出四边形MPA1D1是平行四边形，从而A1M∥D1P，连接DB，推导出四边形PQB1D1为梯形，A1M与B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；连接AC，推导出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，从而PQ⊥AC，由平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，从而PQ⊥面A1ACC1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，设直线PQ的方程为x=ty+1,联立解方程组,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1，|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正确；对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF'|=x S+x T+p=10,则x S+x T=8,则线段ST的中点横坐标是=4,故B成立；对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正确；对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确；故选：ABC．设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A，结合抛物线的定义，判断B；利用抛物线的性质判断C；直线与抛物线的切线情况判断D．考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题．13.【答案】（-∞，0]【解析】解：设D（x，y），由D在AC上，得+y=1，即x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得≤•，化为（x-2）2+（y+1）2≥4，依题意，线段AD与圆（x-2）2+（y+1）2=4至多有一个公共点，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）∴≥2，解得：t≤0，则t的取值范围为（-∞，0]，故答案为：（-∞，0]．先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到所求范围．本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】π-arctan【解析】解：直线2x+y-1=0的斜率为，设直线2x+y-1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，∴θ=．故答案为：π-arctan．由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．15.【答案】10；400π【解析】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10，∴球的表面积为4πr2=400π故答案为10，400π先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球的表面积公式求得球的表面积．本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式．属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题.设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，推出∠F'AB=60°．在△F'AB 中，由余弦定理求解．结合双曲线的定义，求出，．在△F'AF中，由余弦定理推出a，c关系，得到离心率即可．【解答】解：设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，所以|AF'|=2a+2t，|BF'|=2a+t．由对称性可知，四边形AF'PF为平行四边形，故∠F'AB=60°．在△F'AB中，由余弦定理得（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°，解得．故，．在△F'AF中，由余弦定理得，，解得：．故答案为：．17.【答案】解：（I）因为圆与轴交于两点,，所以圆心在直线上，由，得，即圆心的坐标为．半径，所以圆的方程为；（II）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时可得，不符合题意；（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，过点作于点，则D为线段MN中点，∴，∴，即点C到直线l的距离，解得或k=-3；综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-11=0．【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．（I）根据题意，即可得解；（II）分类讨论，进行求解即可.18.【答案】（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=．当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，设的中点为，则为平行四边形，则，又平面，不在平面内，满足定理所需条件；（2）过点作于，根据面面垂直的性质可知平面，即正的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可.试题解析：（1）设的中点为，则又，∴∴为平行四边形∴又平面，平面∴平面(2)过点作于平面平面，∴平面，即正的高∴∴∴.考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.20.【答案】证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，-）．∴=3当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，由得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6，又∵x1=y12，x2=y22，∴x1x2=9，∴=x1x2+y1y2=3，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；综上，命题成立．【解析】设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．21.【答案】（1）证明：∵底面是菱形，∴．又平面．又又平面．（2）连接，∵SB平面，平面，平面平面，SB∥平面APC，∴SB∥OP．又∵是的中点，∴是的中点．由题意知△ABD为正三角形．．由（1）知平面，∴．又，∴在Rt△SOD中，．∴到面的距离为.【解析】主要考查了线面垂直的判定和三棱锥的体积.(1)要证明线面垂直，证明SO与平面ABCD中两条相交直线垂直即可，应用已知条件与等腰三角形的三线合一即可得到证明；(2)由SB∥平面APC的性质定理证明得SB∥OP，由(1)得高为PO，利用三棱锥的体积公式即可求出结果.22.【答案】（1）（2）（3），证明略.【解析】解：（1）设P((x，y)，由题意可得，解得，∴P．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（2）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，∴k PA+k PB=0，解得k PB=1．因此直线PA，PB，的方程分别为，，化为，．联立，解得(舍去)，，即A．同理解得B．∴k AB= = ，∴直线AB的方程为，化为．（3）S设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设直线PA的方程为：，则直线PB 的方程为．联立，解得A．同理B，∴k AB= = ．即直线AB的斜率为定值．。
河南省天一大联考2024_2025学年高二数学上学期期末考试试题理
河南省天一大联考2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题 理考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式282x x -+<－1的解集为 A.(－3，2) B.(－3，－2) C.(－3，4) D.(－2，4) 2.下列命题为真命题的是A.∃x 0∈R ，x 02＋4x 0＋6≤0 B.正切函数y ＝tanx 的定义域为R C.函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞) D.矩形的对角线相等且相互平分 3.已知直线x ＋2y ＝4过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是A.2211612x y -= B.221164x y -= C.221124x y -= D.221258x y -= 4.已知{a n }为等差数列，公差d ＝2，a 2＋a 4＋a 6＝18，则a 5＋a 7＝ A.8 B.12 C.16 D.205.已知直线l 和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l //α”是“l ⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，c ＝4，a ＝，则sinAsinB＝A.23B.3 D.37.在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，CADC ＝90°，AD ＝AB ＝3，PD ＝4，DC ＝6，则DB 与CP 所成角的余弦值为A.5B.6C.26D.138.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q>0，a 1＝1，a 12＝9a 10，要使数列{λ＋S n }为等比数列，则实数λ的值为 A.13 B.12C.2D.不存在 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝23π，b ＝b 2＋c 2－a 2。
高二数学第二学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。
高二数学理科期末模拟试题
高二数学理科试题一、选择题（第题5分共50分）1. 某企业共有职工150人，其中高级职称 15人，中级职称45人，一般职员90人，现在抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ） Ａ．5，10，15 Ｂ．3，9，18 Ｃ．3，10，17 Ｄ．5，9，162. 若向量a 在y 轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a 平行的坐标平面是（ ） Ａ．xOy 平面 Ｂ．xOz 平面 Ｃ．yOz 平面 Ｄ．以上都有可能3.使方程0x m -=有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．m -≤Ｂ．4m -≤≤Ｃ．44m -≤≤Ｄ．4m ≤≤4. 直线0ax y m ++=与直线20x by ++=平行的充要条件是（ ）Ａ．12ab bm =≠， Ｂ．002a b m ==≠，， Ｃ．112a b m ==-≠，， Ｄ．112a b m ==≠，， 5. 一枚伍分硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是（ ）Ａ．38 Ｂ．23 Ｃ．13 Ｄ．456. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）Ａ．直线 Ｂ．圆Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线7.阅读图7的程序框图，输出s 值等于（ ）A -3B -10C 0D -28. 等轴双曲线221x y -=上一点P 与两焦点12F F ，的连线相互垂直，则12PF F △的面积为（ ） Ａ．12Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．19. 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 在抛物线x y 42=上有点M ，它到直线x y =的距离为42，如果点M 的坐标为（n m ,）且+∈R n m ,，则nm的值为（ ）（A ）21（B ）1 （C ）2 （D ）2二、填空题（每题5分，共25分）11. 与直线7245x y +=平行，并且距离等于3的直线方程为 ．12. 若以连续掷两次骰子，分别得到的点数m n，作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=外的概率是 ．13. 若一算法程序框图如图，当输出21y =时输入的x 值应是 ．14. 设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为15. 令2():210p x ax x ++>，若对()x p x ∀∈R ，是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 16. 求与直线310x y +=垂直的圆224x y +=的切线方程．（12分）17. 用三种不同颜色给图中3个矩形（□□□）随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，（12分） 求（１）3个矩形颜色都相同的概率 （２）3个矩形颜色都不同的概率18. 已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0。
湖北省普通高中高二下学期期末模拟考试理科数学试题含答案
湖北省普通高中高二下学期期末模拟考试数学（理科）试题（考试范围：选修2-1、2-2；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（50分）1.观察下图，可推断出“?”应该填的数字是 （ ）?8164247594716531 A ．19 B ．192 C ．117D ．1182.函数x x x f 3cos )(=的导数是( )(A ） x x 3sin 33cos + （B ） x 3sin 31- (C) x x x 3sin 33cos - (D)x x x 3sin 3cos -3.下列说法正确的是 （ ） A ．命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B ．a ∈R,“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件 C ．“p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D ．命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题4.已知点P 是曲线13+-=x x e e y 上一动点，α∠为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α∠的最小值是 （ ） A ．0B ．4πC ．32π D ．43π 5.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为（ ） A.3 B. 23 C. 2 D.336.直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ）A ．012=--y xB ．072=-+y xC ．042=--y xD ．05=-+y x7.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 833123+-=，那么速度为零的时刻是（ ） A ．1秒B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末8.如下图,三棱锥P -ABC 中,三条侧棱两两垂直,且长度相等,点E 为BC 中点,则直线AE 与平面PBC 所成角的余弦值为 （ ）A ．33B ．36C ．31D ．329.曲线2)(3-+=x x x f 上点0P 处的切线垂直于直线x y 41-=，则点P 0的坐标是（ ） A ．)0,1(-B ．)2,0(-C ．)4,1(--或)0,1(D ．)4,1(10.已知(0,)x ∈+∞，观察下列各式：21≥+xx ，3422422≥++=+x x x x x ，4273332733≥+++=+x x x x x x ，．．．，类比有n xa x n ≥+(n ∈N *)，则=a （ ） A ．n B ．2nC ．2nD ．n n二、填空题（25分）11.空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件．在平面中，类似的定理是 ． 12.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．13.直线x y =是曲线kx y sin =的一条切线，则符合条件的一个实数k 值为 ．14.若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，则该函数在点A 处的切线方程为 ．15.如图所示，点)1,0(),1,1(),0,1(),0,0(C B A O ，则曲线2x y =与x 轴围成的封闭图形的面积是 ．三、解答题（75分）16. （满分12分）已知动点P 到定点()2,0F的距离与点P 到定直线l ：22x =的距离之比为22．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若0EM FN =，求MN 的最小值．17.（满分12分）已知()f x '是()f x 的导函数，()ln(1)2(1),f x x m f m R '=++-∈，且函数()f x 的图象过点（0，-2）。
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高二数学期末模拟题（理）一、选择题（本题共10小题，每题5分，请将试题答案填在相应的答题卡上）1．设i 为虚数单位，若复数12ai i +-为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 12-B. 2-C.12D. 22．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种3．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．94．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．310 B ．13 C ．.38 D ．295．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是 ( ) A.y ︿＝－10x ＋200 B.y ︿＝10x ＋200 C.y ︿＝－10x －200 D.y ︿＝10x －2006．设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A ，B 都是I 的子集，若A B=｛1，3，5｝，则称A ，B 为“理想配集”，记作（A ，B ），问这样的“理想配集”（A ，B ）共有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．27个 D ．28个 A ．[0,]3 B ．[0,][,)26π C ．(,]23 D ．[0,)[,)23π8．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)等于（ ） A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 59．5(2)x a +的展开式中,2x 的系数等于40,则0(2)axe x dx +⎰等于（ ） A ．e B ．1e - C ．1 D ．1e +10. 当0a >时，函数2()()x f x x ax e =-的图象大致是（ ）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上）11、已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，a =________。
12．若82801282468(1),x a a x a x a x a a a a +=+++++++= 则 ．13. 随机变量ξ 的取值为0,1,2，若1(0),()1,=5P E D ξξξ===则（） 14.设曲线y ＝x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________.15．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．满足条件的函数的序号）三、解答题16．已知复数1Z 满足1(2)(1)1Z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2Z 的虚部为2，12Z Z ⋅ 是实数，求2Z .17. 数列{}n a 满足2n n S n a =-(N*)n ∈．（Ⅰ）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 18．（本小题满分l2分）已知函数bax xx f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4. （1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数()f x 的值域。
.19. （本小题满分l2分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：（1）打满3局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E ξ.20、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)'()ln ,,()()()3()()1mf x x m R xf x xx f x f b f a m b a=+∈=--<-21、已知函数（1）当m=e 时，求的极小值（2）讨论函数g 零点的个数（3）若对任意b>a>0,恒成立，求的取值范围高二数学期末模拟题（理）参考答案1-5 DBDBA 6-10 CDBAB11.36 12. 127 13. 25 14.-215. ①②17.解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158， 由此猜想1212nn n a --=(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立．②假设n ＝k 时，猜想成立，即1212k k k a --=那么n ＝k ＋1时，111112(1)(2)22=2+k k k k k k k k ka s s k a k a a a a a +++++=-=+---=+- 即∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k所以n ＝k ＋1时，猜想成立． 由①②可知，对任意n ∈N *猜想都成立，18、（1）将x 1=3, x 2=4代人方程f (x )－x +12=0得9931684a ba b⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩得1,2a b =-=，∴2(),(2)2x f x x x=≠-（2）令2t x =-，则2x t =-，0t ≠，∴22(2)4()42x t f x t x t t-===+--∵4()4t t tϕ=+-在(,2)-∞-递增，(2,0)-递减；(0,2)递减，(2,)+∞递增∴函数()f x 的值域为(,8][0,)-∞-+∞19. 令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为12312333111()().224P A C B P B C A +=+= （2）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6， 且121222111(2)()(),222P P A A P B B ξ==+=+= 12312333111(3)()().224P P A C C P B C C ξ==+=+=1234123444111(4)()().228P P A C B B P B C A A ξ==+=+=123451234555111(5)()(),2216P P A C B A A P B C A B B ξ==+=+=123451234555111(6)()(),2216P P AC B A C P B C A B C ξ==+=+= 故ξ分布列111114723456248161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20、 [解] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，又b ＝－20.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 21、解2x-(),0.()0,()0()0,().()()ln 2.() 2.em e f x x f x x e f x xx e f x f x e f x f e e ef x ''==>>>'<<<=+=(1)当时，解得单调递增；同理，当时，单调递减只有极小值所以，的极小值为32321(2)()()--(0)()=0-333()-+,0()-+1-(+1)(-1).3()()x m x x g x f x x g x m x x x x h x x x h x x x x x h x h x '==->='=>==' 令，得+，设则当变化时，，的变化情况如下表()x 画出函数h 大致的图像，20()32()320()23m m g x m g x m g x ≤>=<<所以，当或时，没有零点；当时，只有一个零点； 当时，有个零点；'2222()-()01,()-()-()ln (0)()-()+1()10(0,).-111m -()2414f b f a b a f b b f a a b a mx f x x x x x xf b b f a a mx x x x m xx x x m ϕϕ>><<--=+-><-∞=--≤+∞≤≥=--+≥（3）对任意的，恒成立等价于恒成立设（）=恒成立等价于在（0，）上单减，由在上恒成立即所以。