公因数和公倍数1
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数和最小公倍数的定义在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个常见的概念，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的定义、性质和相关应用。
一、最大公因数的定义最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。
例如，12和30的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和30的最大公约数是6。
最大公因数的求法有多种方法，其中最常用的是辗转相除法。
该方法的基本思想是，用较大的数去除以较小的数，再用余数去除以刚才的除数，如此反复，直到余数为0为止。
最后一次除数即为最大公约数。
例如，求出120和84的最大公约数：120÷84=1 (36)84÷36=2 (12)36÷12=3 0因此，最大公约数是12。
二、最小公倍数的定义最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，6和8的公倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24。
最小公倍数的求法也有多种方法，其中最常用的是分解质因数法。
该方法的基本思想是，将每个数分解成质因数的乘积，然后将这些质因数的最高次幂相乘即可。
例如，求出12和18的最小公倍数：12=2×318=2×3将它们的质因数分解乘起来，得到2×3=36，因此最小公倍数是36。
三、最大公因数和最小公倍数的性质最大公因数和最小公倍数有许多重要的性质，下面列举其中的几个：1. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。
即，设a、b为两个整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。
证明：设a=p^α×p^α×…×p^α，b=p^β×p^β×…×p^β，其中p、p、…、p是不同的质数，α、α、…、α、β、β、…、β是非负整数。
公倍数和公因数
公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。
只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的。
最小的公因数是1.6、求两个数的最大公因数的特殊情形：1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
3）假如两个数都是质数或者两个数是继续的天然数，那末这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外另有别的的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=2424是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1.11、1与任意非零天然数的公因数只要1个，就是1.12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
公因数与公倍数
学生姓名年级五年级授课时间9：00 教师姓名魏老师课题因数和倍数（三）教学目标1、复习公因数、公倍数的意义及几个数的公因数、公倍数的求法。
2、最大公因数、最小公倍数的意义及几个数的最大公因数、最小公倍数的求法。
3、两种特殊情况的最大公因数、最小公倍数的求法。
重点理解最大公因数、最小公倍数的意义及求法。
难点两种特殊情况的最大公因数、最小公倍数的求法。
教学过程一、公因数与公倍数的定义1、公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2、公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3、互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。
二、公因数与公倍数的求法例1. 分别求出下列各组数的公因数与公倍数。
12和18 15和30 5和6 解：（1）12的因数有（1、2、3、4、6、12）； 12的倍数有（12、24、36、48、60、72……）；18的因数有（1、2、3、6、9、18）； 18的倍数有（18、36、54、72、90……）；12和18的公因数是（1、2、3、6）； 12和18的公倍数是（36、72……）；其中最大的公因数是（6）。
其中最小的公倍数是（36）。
试一试（2）15的因数有（）； 15的倍数有（）；30的因数有（）； 30的倍数有（）；15和30的公因数是（）； 15和30的公倍数是（）；其中最大的公因数是（）。
其中最小的公倍数是（）。
（3）5的因数有（）； 5的倍数有（）；6的因数有（）； 6的倍数有（）；5和6的公因数是（）； 5和6的公倍数是（）；其中最大的公因数是（）。
其中最小的公倍数是（）。
三、用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数。
例2. 分别求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
12和30 91和21 12、20和24解：（1）12和30的最大公因数是2×3＝6； 91和21的最大公因数是7； 12、20和24的最大公因数是2×2×3＝12；最小公倍数是2×3×2×5＝60。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。
在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。
两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。
而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。
求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。
对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。
对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。
最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。
公倍数和公因数一
第三单元练习一班级：姓名：
一、找出下面每组数的最小公倍数。
4和9 10和14 6和8 15和20 8和12 3和7
13和7 24和36 15和5 10和3 15和30 8和9
二、找出下面每组数的最大公因数。
77和11 30和45 63和36 35和40 7和10 26和39 84和56 22和55 30和20 15和45 10和21 22和33
三、找出每组数的最小公倍数和最大公因数。
1和9 9和15 10和12 32和48 15和30 21和6 30和18 12和20 18和27 14和35 24和16 18和90
四、填空。
1、a＝3b，（ａ、ｂ大于0），则ａ﹑ｂ的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
2、如x和y是连续两个奇数，那么x和y最小公倍数是（），最大公因数是（）。
3、a＝b＋1，（a、b不为0），那么a、b最大公因数是（），最小公倍数是（）。
五、解决问题。
1、小朋友做游戏，分成8人一组或6人一组都正好，做游戏的小朋友至少有多少个？
2、用长5厘米,宽3厘米的长方形拼成正方形，拼成的正方形的边长最小是多少厘米？需要
多少个这样的长方形？
3、有两根绳子，一根长16米，另一根长20米，现在要把它们剪成同样长的小段，且没有
剩余，每段绳子最长多少米？能剪多少段？
4、把一张长24厘米，宽16厘米的长方形纸剪成大小相等的正方形，且没有剩余，这些正
方形的边长最大是多少厘米？可剪出几个这样的正方形？
5、张华和李军参加社区服务，张华每5天去一次，李军每4天去一次，6月30日两人同时
参加社区服务后，几月几日他们会再次相遇？。
质数合数因数倍数公因数公倍数的概念
质数合数因数倍数公因数公倍数的概念
质数、合数、因数、倍数、公因数、公倍数是数学中常见的概念。
它
们在数学中有着重要的作用，也是我们日常生活中经常会用到的概念。
首先，质数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7等。
而能够被除了1和自身以外的其他正整数整除的数称为合数，例如4、6、8、9等。
需要注意的是，1既不是质数也不是合数。
其次，因数是指能够整除一个数的正整数，例如6的因数有1、2、3、6。
而倍数则是指一个数的整数倍，例如6的倍数有6、12、18等。
接着，公因数是指两个或多个数共有的因数，例如12和18的公因数
有1、2、3、6。
而公倍数则是指两个或多个数共有的倍数，例如12
和18的公倍数有36、72等。
最后，我们来看一下这些概念在数学中的应用。
在分解质因数时，我
们需要将一个数分解成若干个质数的乘积，这就需要用到质数和因数
的概念。
而在求最大公约数和最小公倍数时，我们需要用到公因数和
公倍数的概念。
此外，在解决一些实际问题时，也会用到这些概念，
例如在计算最少需要多少个瓷砖铺满一个房间时，就需要用到公因数
和公倍数的概念。
总之，质数、合数、因数、倍数、公因数、公倍数是数学中非常基础的概念，它们在数学中有着广泛的应用。
掌握这些概念不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以帮助我们解决实际问题。
公倍数
第3讲 公因数和公倍数1.定义：如果一个数同时是几个数的因数，那么我们就称它为这几个数的公因数。
几个数的公因数中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是这几个数的公倍数。
几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。
2.求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法。
1．短除法：例 求8，12的最大公因数和最小公倍数。
求9，36，48的最大公因数和最小公倍数。
2．分解质因数法：分解质因数是求最大公因数的最直接的方法。
求最大公因数是求所有数公有质因数的积,而且取相同质因数的最低次方。
求最小公倍数是求所有数只要出现质因数的积,而且取相同质因数的最高次方。
例如：36=2232⨯240=324⨯×5【36，48】=72053224=⨯⨯（36，48）=12322=⨯3．辗转相除法：例 从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是______毫米。
第一、二次剪下847×847平方毫米的正方形。
第三、四次剪下边长308毫米的正方形。
第五次剪下边长231毫米的正方形。
第六、七，八次剪下边长77毫米的正方形。
以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法。
以上过程可用算式表示如下：2002＝847×2＋308847＝308×2＋231308＝231×1＋77231＝77×3由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零。
最后一个除数就是两数的最大公因数。
这是因为；两个数的最大公因数，同时是两个数的因数，也就是余数的因数。
拿这道题来说，2002和847的公因数，也就是847与308的公因数，也就是308与231的公因数，也就是231与77的公因数。
沪教版六年级 公因数与公倍数 带答案
1．理解公因数，最大公因数和素因数的意义，掌握公因数，最大公因数的基本方法；2．理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法；3．会求是互素数或有倍数关系的两个数的最大公因数与最小公倍数．（此环节设计时间在10—15分钟）➢知识概念抢答：1．几个数共有的因数，叫做这几个数的，其中最大的一个数叫做这几个数的；2．几个整数的公有的倍数叫做他们的，其中最小的一个叫做它们的.3．两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的；如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是；4．两个整数中，如果某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的；如果两个数互素，那么就是它们的最小公倍数参考答案：1、公因数，最大公因数；2、公倍数、最小公倍数；3、最大公因数，1；4、最小公倍数，它们的乘积；练一练：1．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
(1)51和34 （2）48和72 （3）32和362．在横线或括号内填上适当的数。
（）（）402（）8这两个数的最大公约数是__________，5 4这两个数的最小公倍数是__________。
参考答案：1．略；2．（5，50，10）、10、200；（此环节设计时间在40—50分钟）例题1：求12、18、24的最大公因数和最小公倍数．参考答案：最大公因数为6；最小公倍数为72；试一试：求36、108、126的最大公因数与最小公倍数．参考答案：最大公因数为18；最小公倍数为756；例题2：（1）有两个数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是504，其中一个数是42，另一个数是多少？（2）两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？（3）两个数的和是60，它们的最大公因数是12，求这两个数．参考答案：（1）72；（2）15和90，30和45；（3）12和48，24和36；试一试：（1）两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个是48，求另一个数．（2）有两个数，其中的一个数是另一个数的3倍，已知它们的最小公倍数是54，那么这两个数的最大公因数是多少？（3）两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，则这两个数的差是多少？参考答案：（1）36；（2）18；（3）20或40；例题3：（1）幼儿园的老师给班里的孩子送来40个橘子，200块饼干，平均分发完毕还剩4个橘子，20块饼试一试：一盘围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数少1颗，这盒围棋子在150到200颗之间．则这盒围棋子有 颗.参考答案：179.此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
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12
1 24和16的
公因数
4ห้องสมุดไป่ตู้
2 30 12 24 20 2和 5的
公倍数
10
13.写出每组数的最大公因数. 12和20 (12,20)=4 13和7 (13,7)=1 33和11 (33,11)=11 15和21 (15,21)=3 35和25 (35,25)=5 18和45
最多能剪多少个呢？
（1）这包糖果至少有多少粒？
（2）如果分给8个人或10个人都还 剩2粒，这包糖果至少有多少粒？
把46块水果糖和38块巧克力分别平 均分给一个组的同学，结果水果糖剩 1 块,巧克力剩3块. 你知道这个组最 多有几位同学吗?
6.把一个长18厘米、宽12厘米的长方 形纸剪成边长为整厘米数并且大小相 同的正方形，最少能剪多少个？
6dm 5dm
5dm 3dm
6dm 4dm
2.给一间长150cm、宽200cm的长 方形房间铺上地砖，选择下面哪种 规格的地砖能正好铺满？ 30cm
30cm 50cm 50cm
60cm
60cm
3.1路和2路公交车早上8：00同时从起
始站发车，1路车每隔6分发一辆，2路 车每隔8分发一辆。请问什么时候1路 和2路第二次同时发车？
(18,45)=9
14.写出每组数的最小公倍数. 4和9 [4,9]=36 15和5 [15,5]=15 6和12 [6,12]=12 8和10 [8,10]=40 10和3 [10,3]=30 12和10
[12,10]=60
1.要给一间边长12分米的正方形地面铺
上地砖，下面哪种地砖能正好铺满？为 什么？
1路车
2路车
8：00 8：06 8：12 8：18 8：24 8：30 ……
8：00 8：08
8：16
8：24 8：32
8：40
……
4.有两根圆木，一根长12米，另一 根长9米。要把它们都截成相同长 的小段。每段最长是多少米？
9米 3米 12米 3米 3米 3米 3米 3米 3米
一共截成几段？
5.有一包糖果，不论是分给8个人， 还是分给10个人，都正好分完。