小学奥数教案-第18讲-重叠问题(教)
【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第18讲 重叠问题(教师版)
圆表示会游泳的人数， 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： (人)，全班人数为： (人)．
例3、在 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有 人，既采了樱桃又采了杏的有 人，既没采樱桃又没采杏的有 人，问：只采了杏的有多少人？
重叠部分恰好是边长为 厘米的正方形，
如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，
而实际上这部分只需计算一次就可以了．
所以，组合图形的面积 长方形面积 正方形面积 重叠部分．
于是，组合图形的面积： (平方厘米)．
5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?
【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，
所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长 (厘米)．
例2、两张长 厘米，宽 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，
重叠部分恰好是边长为 厘米的正方形，
如果利用两个 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 人， 圆表示采了樱桃的人数， 圆表示采了杏的人数．
长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，
则至少采了一种的人数为： (人)，
而至少采了一种的人数 只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏的人数，
《重叠问题》教学设计
《重叠问题》教学设计一、教学目标本节课的教学目标主要有以下几个方面：1.让学生了解什么是重叠问题。
2.掌握通过图形解决重叠问题的方法和技巧。
3.具备通过计算面积解决重叠问题的能力。
4.培养学生的逻辑思维，提高其对问题的解决能力。
二、教学准备1.教材：教材《小学数学》（三年级上册）P47。
2.教具：彩纸、剪刀、胶水、尺子、笔。
3.实物：教材中的彩色卡片。
三、教学过程1. 导入环节教师可以通过实物展示，或者幻灯片等形式简单地介绍重叠问题。
然后请学生针对以下问题思考并回答：•你们生活中遇到过哪些重叠问题？•重叠问题是什么？2. 活动一：利用图形解决重叠问题让学生分为小组，每组为一类人，设定不同的身份和不同的行为。
利用不同的颜色的纸片进行标注，然后请学生进行思考，如何设计图形，解决人物是否发生重叠的问题。
教师可以进行点拨，引导学生寻找规律。
然后请学生整理分享。
3. 活动二：通过计算面积解决重叠问题教师可以给学生展示通过计算面积进行解决重叠问题的例子，然后请学生进行讨论。
针对教材中的例子，教师可以通过问题导向，带领学生尝试计算每个图形的面积。
之后针对教材中的题目进行讲解，引导学生掌握计算的方法和技巧。
4. 活动三：游戏巩固为了巩固学生的知识点，教师可以设计一个游戏。
将班级平分为两个队，每队派出一名代表，两名代表在黑板上竖直排列地画出一条线段。
随机选择一张纸片，代表一种图形，两名代表根据纸片上的要求，分别画出两条对应的线段，然后问两条线段是否重叠。
学生通过快速判断是否重叠，进行竞赛。
四、课堂小结通过上述的活动，学生通过图形的方式更加直观的了解了重叠问题，同时通过计算面积的方式，学生也练习了自己的运算技巧，培养了逻辑思维和解决问题的能力。
重叠问题教案
重叠问题教案教案标题：重叠问题教案教学目标：1. 学生能够理解和解决涉及重叠问题的数学题目。
2. 学生能够运用适当的策略和方法解决各种类型的重叠问题。
3. 学生能够应用所学的知识解决实际生活中的重叠问题。
教学重点：1. 理解重叠问题的概念和特点。
2. 掌握解决重叠问题的基本策略和方法。
3. 运用所学知识解决实际生活中的重叠问题。
教学难点：1. 能够灵活运用不同的解决方法解决重叠问题。
2. 能够将所学知识应用到实际生活中的重叠问题中。
教学准备：1. 教师准备多种类型的重叠问题题目。
2. 准备黑板、白板或投影仪等教学工具。
教学过程：引入：1. 教师可以通过一个简单的问题引入，例如：小明有两个圆形的纸片，分别是红色和蓝色，他将红色纸片放在蓝色纸片上，两者完全重叠。
请问红色纸片上的图案是否完全被蓝色纸片遮盖住了？为什么？2. 引导学生思考并讨论，引出重叠问题的概念。
探究：1. 教师通过展示不同类型的重叠问题，引导学生分析问题的特点和解决方法。
2. 学生在教师的指导下，尝试解决一些简单的重叠问题，并分享解题思路和方法。
讲解：1. 教师根据学生的探究和讨论，总结出解决重叠问题的基本策略和方法，并进行讲解。
2. 教师通过示范解决一些中等难度的重叠问题，引导学生理解和掌握解题方法。
练习：1. 学生进行个人或小组练习，解决一些与课堂教学内容相符的重叠问题。
2. 教师巡回指导学生，解答他们在解题过程中遇到的问题。
拓展：1. 学生进行更复杂的重叠问题练习，挑战他们的解题能力。
2. 学生可以设计一些实际生活中的重叠问题，并与同学分享解决方法。
总结：1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调重叠问题的重要性和应用价值。
2. 学生回顾所学内容，提出问题和疑惑，教师进行解答和澄清。
作业：布置适当的练习题，要求学生独立完成，并在下节课检查和讨论。
教学延伸：教师可以引导学生进一步研究和探讨与重叠问题相关的数学概念和方法，如平移、旋转等。
《重叠问题》说课稿教案
《重叠问题》说课稿教案第一章：教学目标1.1 知识目标（1）让学生理解重叠问题的概念，知道重叠问题是指两个或多个图形相互覆盖的部分。
（2）培养学生运用画图、列举等方法分析解决重叠问题的能力。
1.2 技能目标（1）培养学生用语言、图形等方式描述重叠问题的能力。
（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
1.3 情感目标培养学生积极参与课堂活动，乐于合作、分享，培养学生的数学兴趣。
第二章：教学内容2.1 教材分析本节课选用的是人教版小学数学四年级上册第107页例1和第108页的“做一做”，通过这两个例题让学生感受和理解重叠问题的意义，学会解决重叠问题的方法。
2.2 学情分析四年级的学生已经掌握了基本的图形知识，具备了一定的观察和分析能力。
他们对新鲜事物充满好奇，善于动手操作，但解决重叠问题时往往缺乏策略。
在教学中，我将以学生为主体，引导他们通过观察、操作、思考、讨论等方式，经历解决重叠问题的过程，培养他们的空间观念和解决问题的能力。
2.3 教学重难点（1）重点：让学生理解和掌握重叠问题的概念及解决方法。
（2）难点：培养学生运用画图、列举等方法分析解决重叠问题的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课（1）利用课件展示生活中的重叠现象，如衣服叠放、食物叠加等，引导学生关注重叠问题。
（2）提问：你们在生活中还见过哪些重叠现象？3.2 自主探究（2）分组讨论，分享各自的解题方法。
3.3 教师讲解（1）讲解重叠问题的概念及解决方法。
（2）引导学生运用画图、列举等方法解决重叠问题。
3.4 课堂练习（1）让学生独立完成教材中的练习题。
（2）挑选几名同学上台展示解题过程，并讲解思路。
（2）出示一些实际生活中的重叠问题，让学生课后思考和解决。
第四章：教学评价（1）学生对重叠问题概念的理解程度。
（2）学生解决重叠问题的能力和方法。
（3）学生在课堂中的参与程度和合作意识。
第五章：教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
《重叠问题》教学设计
《重叠问题》教学设计一、教材分析：《数学广角》是新教材中新增设的一个内容，它主要是介绍和渗透一些数学思想方法，使学生运用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题或数学问题。
教材例1的编排意图是借助学生熟悉的题材，通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组学生名单和实际参加了这两个课外小组总人数不相符合引起学生的认知冲突，渗透并初步体会集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。
二、学情分析：在本节课前，学生虽然已经学习过分类的思想方法，但集合这部分内容比较系统、抽象，针对三年级学生的认知水平，在这里只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。
三、设计理念：重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。
集合思想是一种重要的思想方法，统计知识是集合思想的起点。
教学设计应根据学生认知特点和数学学习起点，选择感兴趣的、生活中易理解的素材，引起学生产生知识矛盾的冲突，经历知识的形成过程，在合作活动中自主构建知识，引导学生用集合思想解决生活中简单的实际问题，经历直观表象到抽象再到具体形象的过程，体验知识的压缩过程。
根据这一理念，结合本节课教学内容，我对教材进行了再创重组，以学生熟悉的体育活动为情境导入，让学生自己去发现重复的现象，充分调动了学生已有经验，引起认知矛盾；然后通过学生合作探究活动解决矛盾，使每位学生都经历知识的产生过程，从而解决一些生活中的实际问题，进行有效的学习。
四、教学目标：1、使学生经历集合图的产生过程，会利用集合的思想方法解决简单的实际问题。
2、使学生掌握解决重叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。
3、通过活动，丰富学生对直观图的认识，培养学生的观察能力、思考能力，创新能力、评价说理能力。
4、使学生在主动参与数学活动过程中体验身边数学的价值，获得成功的体验，提高学生学习数学的兴趣。
五、教学重、难点：教学重点：掌握用直观图解决重复问题的方法。
四年级奥数第18讲-重叠问题(教)
A CB
【解析】因为 40 32 72， 72 55 ，所以必有人两项制作都完成了． 由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知： 全组人数 40 32 完成了两项制作的人数， 即 55 72 完成了两项制作的人数． 所以，完成了两项制作的人数为： 72 55 17 (人)．
于是，被覆盖面积 422 22 12 (平方厘米)．
例 3、三个面积均为 50 平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10 平方厘米．三个 纸片盖住桌面的总面积是100 厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
A
B
10
C
【解析】将图中的三个圆标上 A 、 B 、 C ．根据包含排除法， 三个纸片盖住桌面的总面积 ( A 圆面积 B 圆面积 C 圆面积）（ A 与 B 重合部分面积 A 与 C 重合部分面积 B 与 C 重合部分面积） 三个纸片共同重叠的面积， 得：100 （50 50 50）（A与 B 重合部分面积 A 与 C 重合部分面积 B 与 C 重合部分面积）10 ， 得到 A 、 B 、 C 三个圆两两重合面积之和为：160 100 60 平方厘米， 而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和， 即： 60 103 阴影部分面积， 则阴影部分面积为： 60 30 30 (平方厘米)．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和， 则至少采了一种的人数为： 46 6 40 (人)， 而至少采了一种的人数 只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏的人数， 所以，只采了杏的人数为： 40 18 7 15(人)． 例 4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级 共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？
《重叠问题》教案
《重叠问题》教案前置基础：学生有了一定画直观图解决问题的经验基础后继地位：为进一步学习用集合思想解决问题打下必要的基础。
核心知识点：用集合的思想解决简单的重叠问题。
教学目标：1.引导学生经历集合图产生的过程，会利用集合思想解决简单的重叠问题。
2.在探究中体验解决问题策略的多样性，渗透模型思想，发展学生分析推理的能力。
3.在交流与探索中，体会数学与生活的联系，提高孩子的应用意识。
教学层次：（一）设疑激趣（二）探究新知（三）建立模型（四）实践应用一，设疑激趣师：同学们，最近我们学校举行了一个超级热门的活动，想看吗？（想看的坐端正！）请看我们的宣传海报（等两秒）。
它要求每个班推选5名小记者(贴板书)，6名小交警（贴板书）参与活动，经过激烈角逐，我们班有这部分同学最终入围，现在，老师需要把他们的姓名牌粘贴在公示栏上(贴公示栏)，你们能帮我分一分吗？生：能。
师：好，老师给每对同桌准备了（慢）他们的姓名牌（举名牌），在我们的透明学具袋里面，请同桌两人快速的在桌面上分分类。
好，开始！师：哎，你们遇到什么问题了？谁来说说？生：我发现张书砚、苏光照这2位同学，分别参加了“小记者”“小交警”两项活动。
师：你很会观察，谁听明白他的意思了？再来说说。
生1：张书砚、苏光照，既参加了小记者活动，又参加了小交警活动。
生2：这两位同学重复参加了两项活动。
师：你的语言表达特别好，“重复”这两个字用的特别棒”教师小结：生活中像这样有重复现象的问题，在数学上我们把它叫做重叠问题。
（板书课题）师：刚才同学们说，他俩重复了参加了两项活动，那他们两个的姓名我该往哪里摆？一边放一个行不行？生：不行。
师：你觉得该放在哪里？生：放在中间吧。
师：大家同意吗？为什么？生：因为他俩重复了.二、探究新知1.师：刚开始，你就发现他俩重复了吗？生：在摆的时候才发现的。
师：那看来，老师这样用两个方框来表示的方法还不够清楚。
那你能想个办法，让大家一眼就能看出“哪些人参加了小记者，哪些人参加了小交警，那些人重复参加了两项活动”吗？把你的想法画在学具纸上，如果有困难，可以同桌或小组讨论一下。
《重叠问题》说课稿教案
一、教材分析《重叠问题》是小学数学三年级下册的一章内容，主要让学生理解重叠问题的概念，掌握解决重叠问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本章通过具体的实例，引导学生认识重叠问题，并运用图示和数学语言来表达和解决问题。
二、教学目标1. 让学生理解重叠问题的概念，能识别和表述简单的人民币单位之间的重叠问题。
2. 让学生掌握解决重叠问题的方法，能够运用图示和数学语言来表达和解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
4. 培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。
三、教学内容1. 人民币单位之间的重叠问题。
2. 解决重叠问题的方法：图示法和数学语言法。
四、教学过程1. 导入：通过人民币的实例，引导学生认识重叠问题。
2. 新课导入：讲解人民币单位之间的重叠问题，让学生理解重叠问题的概念。
3. 解决问题：教授解决重叠问题的方法，图示法和数学语言法，让学生通过图示和数学语言来表达和解决问题。
4. 练习巩固：设计练习题，让学生运用所学的方法解决实际问题，巩固新知。
5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，让学生明确重叠问题的解决方法。
五、教学评价1. 学生能理解重叠问题的概念，能识别和表述简单的人民币单位之间的重叠问题。
2. 学生能掌握解决重叠问题的方法，能够运用图示和数学语言来表达和解决问题。
3. 学生在解决问题过程中，能运用逻辑思维，提高解决问题的能力。
4. 学生能积极参与课堂活动，合作交流，提高数学素养。
六、教学重点与难点重点：1. 理解重叠问题的概念。
2. 掌握解决重叠问题的方法：图示法和数学语言法。
难点：1. 运用图示和数学语言来表达和解决问题。
2. 解决实际生活中的重叠问题。
七、教学方法1. 采用直观演示法，通过图示和实例让学生形象地理解重叠问题。
2. 采用引导发现法，引导学生自主探索解决重叠问题的方法。
3. 采用实践练习法，让学生在实际操作中巩固知识。
4. 采用合作交流法，培养学生合作意识，提高学生解决问题的能力。
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教师辅导讲义 学员编：
年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：
辅导科目：数学 教师： 授课主题
第18讲-重叠问题 授课类型
T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标
① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段
T （Textbook-Based ）——同步课堂
一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A
B ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，
C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A
B ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类
知识梳理
1．先包含——A B +
重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；
2．再排除——A B A B +-
把多加了1次的重叠部分A B 减去．
的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
考点一：两量重叠问题
例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C B
A
【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分
C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．
图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．
方法二：根据包含排除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小
典例分析
图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，
大圆表示C 的元素的个数．
1．先包含：A B C ++
重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．
2．再排除：A B C A B B C A C ++---
重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-
A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
A B
【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，
圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，
长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．
由1003331
÷=可知，1~100中3的倍数有33个；
由100520
÷=可知，1~100中5的倍数有20个；
由10035610
（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．
÷⨯=
由包含排除法，3或5的倍数有：3320647
+-=(个)．
从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753
-=(个)．
考点五：容斥原理中的最值问题
例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【解析】越是中间，被重复计算的越多，
最中心的区域被重复计算四次，
将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，
最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
➢课堂狙击
1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
A
C B
【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，
图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376
-=(人)，
图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721
-=(人)．
2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？
A
C B
【解析】因为403272
>，所以必有人两项制作都完成了．
+=，7255
由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：
全组人数4032
=+-完成了两项制作的人数，
即5572
=-完成了两项制作的人数．
所以，完成了两项制作的人数为：725517
-=(人)．
3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参
331，100610．
根据包含排除法，能被中任一个整除的数有3320
+
、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于
张板盖住的总面积是张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？
5、四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？
【解析】因423476+=，7663>，
所以必有人同时完成了这两项活动．
由于每个同学都至少完成了一项活动，
根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，
即76-(完成了两项活动的人数)63=．
由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．（也可画图分析）
1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．
又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．
从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，
剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．
方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：
75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．
(Summary-Embedded)——归纳总结
容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
➢ 本节课我学到了
直击赛场
名师点拨
学霸经验
➢我需要努力的地方是。