参考答案及评分标准(A卷)

广东商学院试题参考答案及评分标准
2006-2007学 年 第一学 期
课程名称 概率论与数理统计 课程代码 课程负责人 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，其对立事件A 表示 甲种产品滞销，乙种产品畅销
2、 概率具备非负性、完备性和 可列可加性
3、 假设事件A 和B 满足(|)1P B A =，则A 与B 的关系是 A B ⊂
4、 如果事件A 和B 是互不相容的，且()0.3,()0.4P A P B ==，则()P A B += 0.7
5、 0-1分布的分布律{}P X k == 1(1)0,1k k
p p k --=
6、 二项分布(,)B n p 的分布律{}P X k == (1)0,1,2,,k k n k
n C p p k n -
-=
7、 正态分布2(,)N u σ的方差为 2
σ
8、 设随机变量X 的期望()E X u =，方差2
()D X σ=，则对任意给定的正数ε，有{}P X u ε-≥≤ 2
2σε
9、 历史上最早的中心极限定理是 棣莫拂—拉普拉斯定理
10、设(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为其联合概率密度，(),()X Y f x f y 分别为X 与Y 的边缘密度，若对任意,x y ，有 (,)()()X Y f x y f x f y = 则称,X Y 相互独立。

二、选择题（每小题2分，共10分）
1.在下列四个条件中，能使)()()(B P A P B A P -=-一定成立是（ ） A 、B A ⊂ B 、A 、B 独立 C 、A 、B 互不相容 D 、A B ⊂
2.设在每次试验中，事件A 发生的概率为)10(<<p p ，p q -=1，则在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率是（ ）
A 、n
p B 、n
q C 、n
p -1 D 、n
q -1
3.设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是（ ） A 、A 与BC 独立 B 、AB 与C A 独立 C 、AB 与BC 独立 D 、B A 与C A 独立
4.设随机变量ξ服从正态分布),(2
σμN ，则随σ的增大，概率{}σμξ<-P
A 、单调增大
B 、单调减小
C 、保持不变
D 、非单调变化
5.将一枚硬币重复掷n 次，以ξ和η分别表示正面向上和反面向上的次数，则ξ和η的相关系数等于 A 、-1 B 、0 C 、
2
1
D 、1 答案：DDACA
三、计算题（每小题6分，共24分）
1、 一个袋子装有10个大小相同的球，其中3个黑球，7个白球，求：从袋子中任取两个球，刚好一个白球一
个黑球的概率。

解：10个球中任取两球的取法有210C 种，其中一个白球，一个黑球的取法有11
37C C 种，记B 为事件“刚好取到一个白球一个黑球”，则11
372
10217
()4515
C C P B C ===。

2、已知()0.3,()0.4,(|)0.5P A P B P A B ===，试求(|),(|)P B A P A B A B 。

解：由乘法公式，()(|)()0.50.40.2P AB P A B P B ==⨯=，
因此 ()0.22(|)()0.33
P AB P B A P A =
==，
又因为B A B ⊂ ，所以()B A B B = ，从而
(|)(|)1(|)()0.2311()0.55
P A B A B P AB A B P AB A B P AB P A B ==-=-=-=。

3、某商品收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求将所有的产品开箱混放，求任取一个为废品的概率。

解：记事件A 、B 分别为甲、乙两厂的产品，C 为废品，则：
301005201204
(),()3010020120930100201209(|)0.06,(|)0.05P A P B P C A P C B ⨯⨯=
===
⨯+⨯⨯+⨯==
由全概率公式54
()()(|)()(|)0.060.050.05699
P C P A P C A P B P C B =+=
⨯+⨯=。

4、 设随机变量X 的分布函数为2
0,
0(),
0 1.1,1x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪<⎩
求X 的密度函数。

解：X 的密度函数为0,02,01()()2,
010,0,1x x x f x F x x x x
≤⎧<<⎧⎪
'==<<=⎨⎨
⎩⎪≤⎩
其它。

四、计算题（每小题8分，共24分）
1、 设(,)X Y 的概率密度是24
(2),01,0(,)50,y x x y x
f x y ⎧-≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它，求关于X 的边缘密度函数
解：20
2412
()(2)(2)(01)55
x
X f x y x dy x x x =
-=-≤≤⎰
，
即2
12(2)01
()50,X x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它。

2、 设2~(,)X N u σ，求()E X 。

解：先求标准正态变量X u
Z σ
-=
的数学期望。

因为Z
的概率密度为2
2
()()t t t ϕ-=-∞<<+∞
所以22
2
2()|0t t E Z te dt +∞
-
-
+∞
-∞
-∞
=
=
=。

因X u Z σ=+ 即得()()E X E u Z u σ=+=。

。

3、 已知22~(1,3),~(0,4)X N Y N ，且X Y 和的相关系数12XY ρ=-
，设32
X Y
Z =
-，求()D Z 。

解：
因22()3,()4,1
cov(,)34()62
11()()()()2cov(,)7
329432
XY D X D Y X Y X Y X Y
D Z D D X D Y ===
=⨯⨯-=-=-=+-=且
所以
五、应用题（每小题8分，共16分）
1、 在整数0至9中先后按下列情况任取两数X Y 和：第一个数抽取后放回再抽取第二个数，求在
(09)Y k k =≤≤的条件下X 的分布律。

解：1111{,},{}101010010
P X i Y k P Y k ===
⨯=== 1
{,}1
100{|},0,1,,91{}1010
P X i Y k P X i Y k i P Y k ========= 。

2、 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表
示“被诊断者患有癌症”，则有(|)0.95,(|)0.95P A C P A C ==。

现在对自然人群进行普查，设被试验的
人患有癌症的概率为0.005,即()0.005P C =，试求(|)P C A 。

解：已知(|)0.95,(|)1(|)0.05,()0.005,()0.995P A C P A C P A C P C P C ==-===，
由贝叶斯公式可得： (|)()
(|)0.087
(|)()(|)()
P A C P C P C A P A C P C P A C P C =
=+ 六、证明题（6分）
设A ，B 为两个事件，()0,()0,P A p P B q =>=>且1,p q +>证明1(|)1p
P A B q
-≥-。

证明： ()()()()
(|)()()
P AB P A P B P A B P A B P B P B +-=
=
由于()1P A B ≤ ，于是有 ()()111(|)1()P A P B p q p
P A B P B q q
+-+--≥
==-。

教师（签名）：戴宏亮
2006 年 12 月 20 日。