4_2_2波动方程、波的能量、声波
大学物理波动与声学知识点汇总
大学物理波动与声学知识点汇总在大学物理的学习中，波动与声学是十分重要的部分。
它们不仅在物理学中有着基础且关键的地位，也在众多实际应用领域发挥着重要作用。
下面让我们一起来梳理一下这部分的重要知识点。
一、波动的基本概念波动是一种常见的物理现象，它是振动在介质中的传播过程。
（一）机械波的产生条件机械波的产生需要两个条件：一是要有做机械振动的物体，即波源；二是要有能够传播这种机械振动的介质。
（二）横波与纵波根据质点振动方向和波的传播方向的关系，波可以分为横波和纵波。
横波中质点的振动方向与波的传播方向垂直，例如电磁波。
纵波中质点的振动方向与波的传播方向平行，像声波就是典型的纵波。
（三）波长、波速和频率波长是指相邻两个同相点之间的距离。
波速是指波在介质中传播的速度，它由介质的性质决定。
频率则是波源振动的频率，等于单位时间内波源完成全振动的次数。
三者之间的关系为：波速＝波长×频率。
二、波动方程波动方程描述了波在空间和时间上的变化规律。
（一）简谐波的波动方程对于简谐波，其波动方程可以表示为：y ＝ A sin(ωt kx ＋φ) 或 y ＝A cos(ωt kx ＋φ) ，其中 A 为振幅，ω 为角频率，k 为波数，φ 为初相位。
（二）波动方程的物理意义波动方程反映了在不同时刻、不同位置处质点的位移情况。
通过波动方程，可以了解波的传播特性和质点的振动规律。
三、波的能量波在传播过程中伴随着能量的传递。
（一）能量密度能量密度是指单位体积内波所具有的能量。
（二）平均能量密度在一个周期内能量密度的平均值称为平均能量密度。
（三）能流和能流密度能流是指单位时间内通过垂直于波传播方向的某一面积的能量。
能流密度则是指通过垂直于波传播方向单位面积的能流，也称为波的强度。
四、波的干涉当两列波相遇时，会产生干涉现象。
（一）干涉的条件两列波的频率相同、振动方向相同、相位差恒定，才能产生稳定的干涉现象。
（二）干涉加强和减弱两列波在相遇点的相位差为2kπ（k 为整数）时，干涉加强；相位差为(2k ＋1)π 时，干涉减弱。
第27讲_波的动力学
ym
O
y
(a )
(b)
x
dx
dx
ym
O
y
(a )
(b)
x
dx
dx
取长度为dx 的体积元
体积元在平衡位置（a）时，动能、势能和总 机械能均最大. 体积元在位移最大处（b）时，三者均为零. 波动是能量传递的一种方式 .
波场中单位体积的能量
w A sin t kx
y l y 2 2 x F t
2 2
波速
u
F
l
波速
柔软细绳和弦中横波
u F
l
Y
固体内纵波
u
G
固体内横波
u
密度 Y固体杨氏模量，G剪切模量，
二、 波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点 均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能. 以一列绳线上的横波为例分析波动能量的传播.
I LI lg I0
贝尔（B）
I LI 10 lg I0
分贝（ dB ）
几种声音近似的声强、声强级和响度
声源
引起痛觉的声音 摇滚音乐会
声强W/m2
1 10-1
声强级dB
120 110
响度
震耳
交通繁忙的街道
通常的谈话 耳语
10-5
10-6 10-10
70
60 20
响
正常 轻
树叶的沙沙声
引起听觉的最弱声音
2 2 2
T 0
1 1 在一个周期内波场中单位体积 2 2 w wdt A 的平均能量 T 2
波动理论波动方程知识点总结
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。
本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。
一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。
2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。
3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。
二、波动方程和波的能量
沿X轴负方向传播： y Acos(t x )
u
波动方程的推论
y Acos(t x )
u
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
y Acos(t x0 ) Acos(t 2πx0 )
u
反映：x0点处质点的振动方程
y Acos(t x )
• 波动方程解题
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐 波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振 幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远 近而改变。
描述波线上质点在每一位置、每一时刻的 位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f (x,t)
设一平面简谐波以速度v 沿 x 轴正方向无衰减地 传播。
设 t 时刻 O 点振动表 o 达式为，
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
ห้องสมุดไป่ตู้
求：A、f、、u。
解：
y
Acos
t
x u
0
y
2
10
3
cos
400
t
x 20
m
u 20m/s 400 A 2103m
机械波的产生和传播
复习简谐振动
机械振动
简谐振动
共振
动力学描述
振动方程
矢量描述
振动能量
振动合成
数学描述
微分方程
三角函数
F kx 动力学方程
d2x dt 2
2
x
0
运动学方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动方程
物理机械波知识点总结
物理机械波知识点总结物理机械波是指由质点振动引起的能量在介质中的传播。
在学习物理机械波的知识点时，我们需要了解波的定义、特性、波动方程、波速、脉冲和波包、干涉与衍射、驻波以及声波和弦波等内容。
首先，波可以被定义为能量传播的方式，可以是沿着一定方向传播的振动或摆动。
波的基本特性包括波长、振幅、频率和周期。
波长是指波的两个相邻点之间的距离，通常用λ表示。
振幅是指波的最大偏离位置与平衡位置之间的距离。
频率是指单位时间内波的周期性重复的次数，通常用f表示。
周期是指波一次完成一个完整振动的时间。
波长、振幅、频率和周期之间的关系可以用公式v = λf表示，其中v表示波速。
在研究机械波时，我们常用的数学工具是波动方程。
波动方程描述了波的传播方式，其形式可以是一维、二维或三维的。
一维波动方程可以表示为∂^2u/∂t^2 = v^2∂^2u/∂x^2，其中u表示波动的幅度，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
在推导波动方程时，我们需要充分考虑介质的特性以及波的传播条件。
波速是衡量波的传播速度的物理量，通常用v表示。
波速与介质的物理性质有关，一般情况下，在相同介质中，波速越大，波的传播速度越快。
波速还与波长和频率有关，可以用公式v = λf表示，其中波长和频率的乘积等于波速。
脉冲和波包是波的两个重要概念。
脉冲是指波的一个暂时的集中能量传播的现象，通常是由一个短时间的振动引起的。
波包是一组波的集合，通常由连续的不同频率的波叠加而成。
脉冲和波包的传播可以通过叠加原理来描述。
干涉和衍射是波的重要现象。
干涉是指两个或多个波相遇时发生的波动现象。
干涉可以分为构造性干涉和破坏性干涉。
构造性干涉发生在两个波的振幅相加时，产生更大的振幅。
破坏性干涉发生在两个波的振幅相消时，产生更小的振幅。
衍射是指波在经过一个障碍物或绕过一个边缘时发生的现象。
衍射使得波在障碍物后面或边缘附近产生弯曲或扩散。
驻波是一种特殊的波现象，它是由两个具有相同频率和振幅的波叠加产生的。
4_2_2波动方程、波的能量、声波
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
波动(谐波波函数)
（ x − d）
· d
任一点 P
· x
所以P点的振动表达式为 所以 点的振动表达式为
y = Acos[ω t + ϕ a −
点为原点， 若a点为原点，则： 点为原点
2π
λ
( x − d )]
y = Acos[ω t −
或 或
2π
x y = Acos[ω ( t − ) + ϕ o ] u t x y = Acos[ 2 π( − ) + ϕ o ] T λ
y ( x 0 , t ) = Acos (ω t − kx 0 ) ——x0 点的谐振动方程
• 当时刻 t 确定 = t0，表达式变成 y～x关系 确定t 关系
y( x , t 0 ) = Acos(ω t 0 − kx ) —— t0时刻的波形方程 y u ——波形曲线 波形曲线 o x （t0 时刻空间各 点的位移分布） 点的位移分布） t = t0
ξ
1 4 7
u
10 13
x
8
无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处
个质点受干扰 准备离开自己的 t = 0 第1个质点受干扰 准备离开自己的 平衡位置向正方向振动 平衡位置向正 位置向
1
4
振动 状态
7
ξ =0 υ> 0
10
13
1
π ϕ=− 2
ξ
1ξ
T t= 个质点准备 第4个质点准备 个质点准备…… 4
设介质无限大、 设介质无限大、无吸收
y
点a
u x x
任意一点P坐标为 坐标为x 解：任意一点 坐标为 P点：A、ω 均与a 点的相同，但相位落后 的相同，但相位落后 点 、
波动方程和能量
x u
u
6
dEp
1Y 2
2 A2
u2
sin 2
t
x u
dV
又 u Y Y u2
dEp
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
比较动能
dEk
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
结论： 在波动过程中，任一质元的动能和势能 相等，且同相位变化。
7
波的能量
现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）
因棒元x很小，略去 上式中x的高次项，
得纵波的波动方程
2y Y 2y
t 2 x2
1
横波的情形
如图棒元的剪应变为 y ，无限缩小时为 y ，
在 x 处受弹性力为 x
x
f1
GS ( y x
)x
(G剪切模量)
在x+x处所受弹性力
f2
y GS ( x )xx
棒元所受合力
y
y
2 y
f2 f1 GS[( x )xx ( x )x ] GS x2 Δx
。后面我们将直接应用这一结论。8
质元的机械能：
dE
d Ek
d Ep
A2 2
sin 2 t
x dV u
能量密度：单位体积介质中的波动能量。
w d E A2 2 sin 2 t x
dV
u
可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相 邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的 下一个体积元的能量传播过程过程。
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，
上
下
形变最小
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章波动 (wave)
§2.1 行波
§2.2 简谐波
§2.3 物体的弹性形变（自学）
§2.4 波动方程与波速
§2.5 波的能量
§2.8 声波（自学）
§2.6 惠更斯原理与波的反射和折射§2.11 多普勒效应
引子：悬浮的小动物
究竟是什么力量使小动物悬浮在空中的？答案在本次讲课中。
二、波动方程的动力学本质（自学）
x + d d x
x x +
x∂
MLT
三、各种介质中的波速
§2.5 波的能量
一、弹性波的能量，能量密度
•波动：
波形的传播，振动状态的传播，相位的传播。
•现讨论，随着波的传播，能量也在传播。
波在弹性介质中传播时，各质元都在振动。
对一块弹性介质，
因振动 → 两者之和称此介质中弹性波的能量。
有振动动能,因形变 →有形变势能，
(一)弹性波的能量密度
2.势能密度--- 与弹性（形变）有关
2.势能密度
l2
V
⎠
⎝x
3.能量密度
(二)平面简谐波的能量密度 21⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛∂∂=t y w k ρ
)
(sin 212
22kx t A w k −=ωρω
x = x
(二)平面简谐波的能量密度
二、能流(能通量)、波的强度
三、球面波的能流（自学）通过球面1和球面2的
§2.8 声波（自学）
二、声压（拓展，了解）
A u p m ωρ=∆声压振幅：
引子：悬浮的小动物解答：能感受到声压吗？
三、声强级平面简谐波的强度为
1
作业：
习题： 2.12，2.14，2.20。