任意平面区域的高质量有限元网格自动剖分
有限元网格剖分
有限元网格剖分有限元计算的本质在于可以将连续的场域问题转变为离散的场域问题进行求解，而在这个由连续场域向离散场域转变的过程的核心在于有限元模型的网格划分。
进行有限元计算的主要过程体现在：首先确定出能和边值问题相对应的泛函数及可以相互等价的变分问题，进行有限元网格划分，将连续的场域离散成离散场域，在有限单元上利用一个已知的函数，例如线性的或者二次的，将有限单元上的未知连续函数近似的表示出来，求解泛函数的极值，得到一系列的方程组，进行方程组的求解，求解结束后将计算的结果进行显示，如果需要其它的一些场量时需要进行后处理等。
在上述的有限元求解的过程中，有限元模型的网格划分其中最为关键的一个环节，有限元模型的网格划分直接决定了有限元法在解决实际问题中所体现的能力，更是直接决定了有限元计算软件的计算精度。
一个有限元计算软件如果前处理的程序性能不够强大，则它的通用性就不会太强。
有限元模型的网格划分模块时有限元计算软件的前处理部分的主要模块。
有限元模型单元的大小和疏密度的合理设置，是保证计算精确性的重要保障，而有限元网格的合理性是建立在网格自动剖分程序所形成的初步网格的基础之上的，需要进一步的细分网格环节来实现合理的网格划分。
而有限元软件的自适应网格细分不需要依靠计算机用户的网格划分经验，仅仅凭借着有限元软件自带的功能就可以实现有限元网格的合理细化。
当前随着计算机的快速发展，网格剖分的算法已经得到了更大程度上的完善和发展，一些更为发展的求解域都可以进行网格的合理剖分。
有限元网格的自适应剖分软件能够利用软件自身的功能属性自动决定出网格在哪一个地方需要进行网格的进一步细化，细化的具体程度是多少，进而得到一个较为合理的网格划分，并且在该模型上可以获得较为准确的计算结果。
有限元网格的进一步细分的目的在于能够使得软件根据计算场域的特征和计算场量的分布情况合理的设置网格，使得模型中的每一个单元的计算精确性基本相同。
网格剖分的自适应软件彻底的改变了以往网格划分计算人员剖分经验的依赖性，而且还能够在数量较小的节点单元的情况下获取较高的计算求解精度。
有限元网格自动生成及修改方法
关键字：柴油机有限元网格在计算机交互辅助设计中常常要进行多方案的结构有限元对比分析计算，三维有限元实体网格的划分及修改是一项极为繁琐的工作.目前的有限元软件对复杂柴油机的零部件，如活塞、机体、缸盖等结构的前处理功能有一定局限［1］，本研究以几种典型的柴油机的零部件为例讨论三维有限元网格生成算法，通过采用这些方法可进行三维有限元网格辅助生成修改工作.1轴对称结构模型的有限元网格自动生成轴对称结构也是工程设计中常用的零件结构，在柴油机中活塞可视为轴对称结构.图 1 为轴对称结构体有限元三维网格沿着z轴旋转，即可形成轴对称结构体的三维有限元网格。
这一三维有限元网格自动生成算法简单、实用，可用于完成大多数轴对称结构有限元网格的自动生成.图 2 为6108 型柴油机活塞的三维网格模型（四分之一模型）.低散热气缸盖的气道口及气门座镶圈等部分也可用这一算法自动生成.图1轴对称结构体（缸套）三维网格.模型的自动生成图2活塞的三维网格模型2特殊形状零件的有限元网格自动生成由于柴油机零件的形状千差万别，不同形状零件要求采用不同的算法对其生成网格，下面以气缸盖排气道为例，叙述特殊形状零件的网格生成算法.排气道是气缸盖中最复杂的部分之一，低散热气缸盖又增加了陶瓷隔热层和耐热钢衬套，陶瓷的厚度仅0.7～1.5mm,结构更为复杂，无论是手工划分还是计算机生成都较为困难.为了采用计算机辅助生成陶瓷隔热层三维网格，首先需对气道表面进行表面网格划分，形成类似于边界元分析的表面网格，作为三维网格生成的基础，然后再进一步生成三维网格.2.1计算机辅助三维网格生成算法由表面网格生成三维网格，要向表面a内侧法向量n方向、距离为L （气道壁厚）处增加一个新表面从而形成三维网格［2，3］.已知平面法矢量n(i,j,k) 和平面上任一点r(x0, y0, z0)，原平面方程为(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k=0,即n(r-r0)=0.平面沿n方向平移L，平面上一点r(x0, y0 ,z0) 的新坐标为，则新平面方程为：(x-x1)i+(y-y1)j+(z-z1)k=0.由于新的表面各节点位置已经改变（即新表面位置已知，但四个节点位置未知），问题的关键即转化为求新的节点.为找出新的节点，可将与单元相邻的各单元新表面找出，若相交则可得交线，交线相交得交点，即为所求新表面的节点，见图 3.其中节点的坐标(x,y,z) 可由求得［2，3］.为加速计算过程，还对算法加以改进.从图 3 可以看出，除第一层外，每个单元只需计算一个节点，其余节点与其他单元的节点重复.有时表面各节点并不共面，无法确定法向量.此时可将任一顶点相连，构成两个三角形的平面分别加以计算，算出的节点按一定结构写入文件形成网格.这一算法结果较精确，但计算比较复杂，每个节点需要先求出新平面方程再解一个方程组，费时较长.图3新表面节点的求取2.2计算机辅助网格生成快速算法图 4 为四边形网格，要向箭头方向增加距离为L的一个新表面，一个比较直观的方法是分别将节点1，2，3 和4向内侧伸长L，算法如图5所示.原网格任一节点a伸长L至，以微分法［3］求节点：n=a/|a|.对以上各节点分别加以计算后，将和1,2,3,4 等各节点坐标按一定的数据结构写入数据文件，即形成了新增加的网格.这一算法简单直观，计算耗时少.对于由80个六面体单元组成的气缸盖排气道网格，计算一个方案只需要10～15s （使用586/133微机，包括数据的输入、输出）.节点处的法向量算法如图 6 所示,有n=(n1+n2+n3+n4)/4,或写成分量形式：in=(i1+i2+i3+i4)/4;jn=(j1+j2+j3+j4)/4;kn=(k1+k2+k3+k4)/4.在进行有限元分析时，经常采用8节点以上的实体元，以提高计算精度，其网格自动划分方法与8节点实体元基本一致.以20节点实体元为例，采用上述算法，首先计算生成单元的各顶点，然后除与原单元共用棱仍采用原单元的中间节点外,其余各棱计算出后形成一个20节点的新单元.图4四边形网格的新表面图5节点的求取图6节点法向量快速算法有一定的局限性，只有当棱与平面垂直时计算才是准确的.由图7可知，当沿α角伸长L1 时，其实际壁厚为L3 ，显然L3 较L1 为小.图7棱与面垂直关系当气道为圆管状，圆周上的单元数为N1 时，角的平均值为=2π/(2N1)=π/N1;当气道剖面为圆环状，单元划分层数为N2 时，角β的平均值为=π/2-π/(2N2).低散热排气道形状复杂，网格划分工作量很大，采用计算机辅助网格生成算法二次计算，可迅速地完成网格划分工作，图8 是低散热气缸盖排气道有限元网格自动生成的结果示意图（图中显示了排气道网格的一层，未显示单元中间节点）.外层为合金气道网格，内中间层为陶瓷隔热层网格，内层为耐热气道衬套网格.图8低散热排气道有限元网格示意图1-内层；2-内中层；3-外层在柴油机零部件计算机辅助设计中，采用以上计算机辅助三维网格生成算法划分修改三维网格，可节省大量时间和费用.迅速地找出最佳方案，是零部件交互式设计的一个重要有效的方法.参考文献1Kobayshi S. A Review on the Finite-Element Method and Metal Forming Process Modeling. J Appl Metal Work, 1982, 2 (3): 163～1692孙家广，许隆文.计算机图形学.清华大学出版社，1986.3李庆扬.数值分析.华中理工大学出版社，1992.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
04---提高有限元网格自动剖分成功率的研究---沈 霖,吴 蕙,张 帆,张 芸
提高有限元网格自动剖分成功率的研究沈 霖，吴 蕙，张 帆，张 芸(郑州机械研究所，河南 郑州 450052)摘 要：本文主要论述了当前CAE分析软件系统中存在自动网格剖分成功率较低的原因，提出了一些改进网格剖分的智能化算法和实现的措施，使CAE软件系统中网格自动剖分成功率有了很大提高, 从而提高了分析解决复杂实际工程问题的能力。
实践证明：该方法是有效可行的。
关键词：有限元；网格剖分；人工智能1 概述有限元技术经过几十年的发展，其应用范围日益扩展，正成为各个工程领域不可缺少的一种常规软件工具。
特别是最近十余年，在传统的有限元求解器的前后加上了前处理和后处理程序，使有限元分析系统的应用更加普及。
有限元前处理程序与通用的CAD软件接口，可使CAD造型产生的模型直接馈入有限元求解器，解决了有限元在实际应用中需要准备大量输入数据这一瓶颈问题；而图形化的后处理使有限元产生的输出数据更加直观和便于分析。
在前处理网格剖分这一研究领域，虽然已经提出了许多算法，但由于有限元需要处理的工程问题十分复杂，几何模型五花八门，目前国际上还未找到一种通用的可以保证对全部几何模型都能成功的通用算法。
例如目前著名的ANSYS通用CAE软件，在其相关资料中就指出：采用自动网格剖分的缺点是在某些情况下可能失败。
在商品化软件市场上，CAE软件自动网格剖分的成功率是软件性能的竞争焦点之一。
提高网格剖分成功率的两个关键技术是：（1）有些复杂模型，采用各种技巧和多种剖分尺寸都无法通过，这一般是剖分程序在某些关键点上限制过紧，或由于计算中的舍入误差等造成。
要提高这一类问题的剖分成功率应该放宽剖分核心程序在这些关键点上的剖分限制，同时应该矫正由于限制放宽带来的问题。
（2）有相当多的模型对剖分尺寸敏感，仅在某一特定剖分尺寸区域可以顺利通过剖分，有时需要在一些特征区域，例如孔、圆角处采用局部加密措施。
对于这一类问题主要采用一定的人工智能算法，如对小特征区域的自动加密算法，对薄壁结构等比较困难的模型采用特征区域探测算法等等。
有限元网格体绘制中的剖切算法
ｉ ｇ ．Ｔｈｓ ａ ｖ ｎａ ｅ ｊｓ ｒ ｇ ｐ ａ ｏ ｈ ｒ ｂｇ ｐ ｏ ｌｍ ． Ｕｓ ａｌ ｏ ｍｐ ｒａ ｔｉｆｒ ｔｏ ｓ ｏ ｓｕ ｅ ｒ ｍａ ｅ ｉ ｄ ａ ｔｇ ｕ ｔｂ ｉ ｓｕ ｎ ｔ ｅ ｉ ｒ ｂｅ ｎ ｕ ｌ ｓ ｍｅ ｉ ｏｔ ｎ ｎｏ ｍａｉｎ ｉ ｂ ｃ ｒ ｄ ｏ ｙ
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Ｄ ｐ 。 ｎ ｉｅｎｎ ｅｈ ｍｃ， ｌ ｎＵｎｖｒ ｔ ｆ ￣ｈ ａｏｙ， ｌ ｎ１６ ２ ） ｅ ｔ ，Ｅ ｇｎｅ ＇ Ｊ ｃ ａ ＇ Ｄａｉ ｉｅｓｙｏ －ｎｌｇ Ｄａｉ １０ ４ ｇ￣ ｓ ａ ｉ ａ
了一种体绘 制中任意封闭多面体 的刹切和多种变换 函散 ， 并进一步展现 了数据 场内部的数据 分布情况． 另外 ・ 由于 通过二里树 对多剖切体情况下 Ｓｅ ｃ 参照 值的合 并 ， 得算 法在每一切层上 的绘制 次数达到最少 ， ｔｎ ｉ ｌ 使 同时还统一了
削 切 体 前后 表 面 Ｓ ｅｃｌ 作 ， 减 少 了 不 必要 的 法 线 运算 ，Ｌ 大 大 加 快 了 复体绘 制 剖切 有 限 元 网格 文章 编号 ：１０ ９１ ２ ０ ） １０ ５ ８ ０ ６８ ６ （ ０ ２ ０ ０ ５Ｏ
中 圈法 分 类 号 ： ３ １７ ＴＰ ９． ２
文献 标 识 码 ： Ａ
Ｃｕ ｔｎｇ Ａｌ ｏ ｉ ｈ ｉ ｈｅ Ｖ ｏ ｕ ｅ Ｒｅ ｅ ｉ ｆ ＦＥＭ ｔ ｉ ｇ ｒ ｔ ｍ ｎ ｔ ｌ ｍ ｎｄ ｒ ｎｇ ｏ
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有限元网格剖分与网格质量判定指标
有限元网格剖分与网格质量判定指标李海峰１ 吴冀川２ 刘建波１ 梁宇兵１１．中国工程物理研究院计算机应用研究所，绵阳，６２１９００２．新加坡国立大学，新加坡，１１９０７７摘要：讨论了网格剖分中的一些常见问题，阐述了网格剖分中应遵循的要求，介绍了近十多年来网格剖分方法的研究进展，回顾了网格剖分的各种算法，并比较了各种算法的优缺点。
基于工程计算需求，提出了网格质量要求及判定指标，探讨了网格质量优化问题。
同时，介绍了当前广泛使用的网格剖分前处理商业软件及其应用状况，并结合工作实际，给出了复杂模型网格剖分的具体实例。
最后展望了网格剖分的发展趋势。
关键词：网格剖分；有限元；算法；网格质量；判定指标中图分类号：Ｏ２４２．２１ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００４－１３２Ｘ．２０１２．０３．０２５Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｓｈ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｃｒｉｔｅｒｉａ ｏｆ Ｍｅｓｈ ＱｕａｌｉｔｙＬｉ Ｈａｉｆｅｎｇ１ Ｗｕ Ｊｉｃｈｕａｎ２ Ｌｉｕ Ｊｉａｎｂｏ１ Ｌｉａｎｇ Ｙｕｂｉｎｇ１１．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ＣＡＥＰ，Ｍｉａｎｙａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ，６２１９００２．Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ，Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ，１１９０７７Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｔｈｅ ｄｅｍａｎｄｓ ｏｆ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒ－ａｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｅｘｐｏｕｎｄｅｄ，ｔｈｅ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｅｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ｔｈｅ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎ ｌａｓｔ ｔｅｎ ｙｅａｒｓ ｗｅｒｅ ｒｅｔｒｏｓｐｅｃｔｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｗｅｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ．Ｂａｓｅｄ ｏｎｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｂｒｏｕｇｈｔ ｕｐ ｔｈｅ ｍｅｓｈ ｑｕａｌｉｔｙ ｄｅｍａｎｄｓａｎｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎｄｅｘ，ｅｘｐｌｏｒｅｄ ｔｈｅ ｍｅｓｈ ｑｕａｌｉｔｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｐｒｅｐｒｏｃｅｓｓｏｒｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐ－ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌ ｓｏｆｔｗａｒｅｓ，ｔｈｅｎ ｇａｖｅ ｏｕｔ ｓｅｖｅｒａｌ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａ－ｔｉｏｎ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅ ｔｒｅｎｄｓ ｏｆ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ；ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｍｅｓｈ ｑｕａｌｉｔｙ；ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎｄｅｘ收稿日期：２０１１—０２—２８０ 引言随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法已迅速从工程结构强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
高质量CAD文件的网格划分与有限元分析
高质量CAD文件的网格划分与有限元分析随着科技的不断发展，计算机辅助设计（CAD）在各行各业中得到了广泛的应用。
CAD文件的网格划分与有限元分析是CAD领域的重要课题，对于高质量CAD文件的生成和设计优化具有重要的意义。
本文将介绍CAD文件的网格划分方法以及有限元分析的基本原理，旨在为高质量CAD文件的制作提供参考。
一、CAD文件的网格划分方法网格划分是CAD文件的基础工作，它将复杂的几何形状划分为小块的网格单元，为后续的有限元分析提供了基础。
常见的网格划分方法有以下几种：1. 三角剖分法三角剖分法是一种常用的网格划分方法，它将几何形状划分为若干个三角形，并通过连接三角形的边来构成网格。
三角剖分法简单易行，适用于较为简单的几何形状。
2. 四边形单元划分法四边形单元划分法将几何形状划分为若干个四边形，并通过连接四边形单元的边构成网格。
相比于三角剖分法，四边形单元划分法可以更好地适应复杂的几何形状。
3. 其他方法除了上述两种方法外，还有很多其他的网格划分方法，如四面体划分法、六面体划分法等。
这些方法根据实际需求和几何形状的特点来选择合适的网格划分方式。
二、有限元分析的基本原理有限元分析是一种常用的工程分析方法，它通过将结构或实体划分为多个小单元，利用数值解法求解每个小单元的位移和应力分布，从而得到整体的应力和变形情况。
有限元分析的基本原理包括以下几个步骤：1. 离散化将结构或实体离散化为多个小单元，每个小单元具有相应的节点和连接关系，构成有限元网格。
网格的划分可以使用前文提到的网格划分方法，确保网格的质量和准确性。
2. 建立刚度矩阵根据小单元的几何形状和材料性质，建立每个小单元的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了小单元内部的力学行为，是有限元分析的基础。
3. 组装刚度矩阵将所有小单元的刚度矩阵根据节点的连接关系组装成整体的刚度矩阵。
刚度矩阵的组装需要考虑节点的边界条件和连接关系。
4. 施加边界条件根据实际问题的边界条件，在整体刚度矩阵中施加相应的边界条件。
二维任意平面三角形网格自动剖分的实现
单 元 时动 态地 把 静 态波 前 加入 到 动态 波前 来 降 低
算 法 的计 算复 杂 性 和 增 大 程 序 的 自动 化 程 度 ， 改 变 了以往 添 加过 渡 线来 连接 内外 环 的方 法 ． 最后 ，
复 杂一 项 费 时 、 建 烦 琐 、 至 极 其 困难 的工 作 ． 甚 网格 自动 生 成技 术 不
但 节省 了大 量 的 时 间， 且减 少 了差错 ， 来 了计 而 带 算 的高 效性 和 可靠 性 ． 因此 ， ２ 从 ０世纪 ７ ０年 代开
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文 章 编 号 ：１０ ０ ０—１ ４ （０ ２ ０ —０ ９ —０ ６６２０ ）３ １６ ４
二 维 任 意 平 面三 角形 网格 自动 剖 分 的 实 现
李 博 ，谢 德馨 ，白保 东
处理 ． 由于 使 用 了 Ｖｉ ａ Ｃ＋ ＋语 言 ＭＦ ｓｌ ｕ Ｃ类 库 进 行 网 格 剖 分 数 据 链 表 的 管 理 ， 得 编 程 容 易 ， 个 使 整
程 序 简 单 实 用 ． 后 ， 量 算 例 显 示 了算 法 的 可 靠 性 和 适 用 性 ． 最 大 关 键 词 ：网 格 自动 生 成 ；三 角 化剖 分 ； 前 推 进 法 ；ＭＦ 波 Ｃ类 库 文献标识 码 ： Ａ 中 图分 类 号 ：Ｔ １２ Ｍ ５
为了 改善 网 格 的质 量 ， 初 始 网格 进 行 了 拓 扑 优 对
化 、 密 和光 滑 处理 ． 加
网格 自动 剖 分 技 术 是 与 软 件 环 境 密 切 相 关
(完整版)有限元网格剖分方法概述
有限元网格剖分方法概述在采用有限元法进行结构分析时，首先必须对结构进行离散，形成有限元网格，并给出与此网格相应的各种信息，如单元信息、节点坐标、材料信息、约束信息和荷载信息等等，是一项十分复杂、艰巨的工作。
如果采用人工方法离散对象和处理计算结果，势必费力、费时且极易出错，尤其当分析模型复杂时，采用人工方法甚至很难进行，这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。
因此，开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。
有限元网格生成技术发展到现在, 已经出现了大量的不同实现方法，列举如下：1．映射法映射法是一种半自动网格生成方法，根据映射函数的不同，主要可分为超限映射和等参映射。
因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高，故被广泛采用。
映射法的基本思想是：在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点，并按某种规则连接结点构成网格单元。
也就是根据形体边界的参数方程，利用映射函数，把参数空间内单元正方形或单元三角形(对于三维问题是单元立方体或单元四面体)的网格映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。
这种方法的主要步骤是，首先人为地把分析域分成一个个简单可映射的子域，每个子域为三角形或四边形，然后根据网格密度的需要，定义每个子域边界上的节点数，再根据这些信息，利用映射函数划分网格。
这种网格控制机理有以下几个缺点：（1）它不是完全面向几何特征的，很难完成自动化，尤其是对于3D区域。
（2）它是通过低维点来生成高维单元。
例如，在2D问题中，先定义映射边界上的点数，然后形成平面单元。
这对于单元的定位，尤其是对于远离映射边界的单元的定位，是十分困难的，使得对局部的控制能力下降。
（3）各映射块之间的网格密度相互影响程度很大。
也就是说，改变某一映射块的网格密度，其它各映射块的网格都要做相应的调整。
其优点是：由于概念明确，方法简单，单元性能较好，对规则均一的区域，适用性很强，因此得到了较大的发展，并在一些商用软件如ANSYS等得到应用。
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第21卷 第3期应用力学学报Vol.21 No.3 2004年9月CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Sep.2004文章编号:1000 4939(2004)03 0125 04任意平面区域的高质量有限元网格自动剖分李梅娥 周进雄(西安交通大学 西安 710049)摘要:实现了任意平面区域的高质量三角形有限元网格自动剖分。
初始化时利用广度优先搜索查找孔及凹槽中需删除的三角形,不需定义有向边界,可十分方便地定出实际剖分区域;给出了一种方便、快捷的点定位法,可大大提高程序运行速度;利用Delaunay网格优化算法实现了对三角形形状的控制,可使三角形最小角达到35 ;分割坏三角形时,按最小角由小到大的顺序处理,使三角形网格在满足质量要求的同时网格数量较少。
关键词:高质量三角化;Delaunay优化;任意平面区域中图分类号:TB115 文献标识码: A1 引 言在有限元分析过程中,三角形有限元网格应用最广,如何快速、高效地生成高质量三角形网格是人们研究的重要课题之一。
衡量三角形网格质量的常用指标有三角形最小角、最大角、边长比等。
在有限元计算中,三角形网格最小角过小,会增大离散误差,降低求解精度,甚至导致病态代数方程组,因此,三角形形状应尽量接近正三角形,避免尖角。
最早可以控制三角形形状的算法是由Baker等人[1]提出的,该算法可保证生成的三角形网格没有钝角,即所有角度都不超过90 ,且最小角不小于30 。
随后又出现了一些基于四叉树的三角形形状优化算法[2]。
上述方法都使用了背景网格,且生成的网格数量较大。
1995年,Ruppert提出了一种完全不同的网格形状优化方法,称为Delaunay优化(Delaunay refinement)[3],这是因为该算法在优化过程中仍保持Delaunay三角化性质,选取插入点位置时也遵照Delaunay三角化准则。
该方法具有以下特点:不需要背景网格,算法简单、易实现;在满足相同网格质量要求的前提下,生成的网格三角形数量少;生成的网格没有方向性。
本文利用Delaunay优化算法实现了对三角形形状的控制,并在确定计算区域、点定位等几个方面进行了改进,实现了任意复杂平面区域的高质量有限元网格剖分。
2 初始三角形网格形成平面直线图PSLG(Planar Straight Line Graph)是任意平面区域的归一化描述,因为任何二维曲线均可以使用小直线段进行拟合。
PSLG由一个点集和线段集组成,且线段的端点必须包含在点集中,这些线段称为约束边。
本文的有限元网格自动剖分就以PSLG描述的任意平面区域作为研究对象。
初始三角化就是将PSLG点集内的点作为三角形的顶点,在约束边界给定的区域内形成一组很粗的三角形。
首先采用Lawson逐点插入法(Incremental In sertion Algorithm)将PSLG点集内的点联接成Delaunay三角形网,即无约束Delaunay三角化。
其次,插入PSLG中的约束边线段。
较常用的方法是通过对角线交换去掉所有与该约束边相交的基金项目:国家自然科学基金项目(项目编号10202018) 来稿日期:2003 01 10 修回日期:2003 04 11第一作者简介:李梅娥,女,1972年生,西安交通大学材料科学与工程学院讲师,博士;研究方向:铸造凝固过程宏、微组织数值模拟三角形棱边,最终使得该约束边成为三角形网中的一条或几条边,并恢复约束Delaunay三角化[4]。
上述过程都是在PSLG给定点集的凸包中进行,但实际剖分区域可能并不是凸多边形,而且多边形内部可能有孔,因此,需删除给定剖分区域以外的多余三角形,包括孔及凹槽中的三角形。
本文采用广度优先搜索查找孔及凹槽中的三角形,即对任一多余三角形,分别判断它相邻的三个三角形是否也为多余三角形,再分别对这三个三角形的相邻三角形都进行判断,重复这一过程,直到遇到约束边。
因此,对孔而言,只需给出孔中某一点的坐标,找到该点所在的三角形,即可找出孔中所有三角形;对凹槽的处理也是如此,对凸包边界上某一三角形而言,若它在凸包边界上的边不是约束边,表明该三角形需删除,从该三角形开始,可找出该处凹槽中的所有三角形。
采用上述方法不需定义有向边界,可十分方便地定出实际剖分区域。
3 点的定位在三角化过程中,判断某一点位于网格的哪一个三角形中是程序中占用时间比例较大的操作之一,因此其运行效率对程序整体速度十分重要,如果每定位一个点时对所有三角形都进行判断,势必浪费大量时间,为此本文提出了一种比较好的点定位算法。
点定位时,从某一已知三角形开始查找,进入一个三角形后,可以从另两条边离开这个三角形,由哪一条边离开采用如下方法判断:如图1,若由BC边进入ABC,先判断P与边AB、AC的关系,若点P 位于有向线段AB的右侧,则由AB边离开,如P1点;若点P位于有向线段C A的右侧,则由AC边离开,如P2点;若上述两条件均满足(如P3点),则经过A点作一条垂直于BC的直线,根据点在该垂线的哪一侧来确定由哪一条边离开。
由于P3位于垂线右侧,因此,从AC边离开。
图2为查找点P所在三角形的过程示意图。
由于先后插入的点多数情况下相距较近,为提高查找效率,将最后找到的三角形记录下来,作为下次查找的起始三角形。
4 网格优化方法初始三角形网格形成以后,需要对网格进一步优化,使其满足形状和尺寸要求。
图1 点定位示意图图2 查找P点所在的三角形4 1 Delaunay优化算法在任一三角形网中,若某结点位于以某约束边界线段为直径的圆内或圆上,而且该点对该约束边可见,就称该点侵入(encroach)了该约束边,该约束边称为被侵入边(encroached segment)[3]。
Delaunay优化算法是通过不断插入结点,使所有三角形都满足用户指定的形状或尺寸要求。
在插入结点时根据以下两点进行:1) 如果一条约束边被侵入,就在其中点处插入一个结点,将该约束边分割为两条较小的约束边,并通过对角线交换恢复Delaunay三角化(如图3,其中粗实线代表约束边);2) 如果某三角形形状或尺寸不满足要求,称该三角形为坏三角形,在其外接圆圆心处插入结点,并恢复Delaunay三角化,如图4。
由Delaunay三角形空外接圆性质,该操作必然使得该三角形被删除;但如果插入点侵入某约束边,就不插入该点,而是分割所有被该点侵入的约束边。
图3 分割被侵入约束边图4 去除坏三角形可以证明[5],如果T是所有边界由约束边组成的某平面区域的Delaunay三角剖分,且T没有被侵入约束边,则T中任意三角形的外接圆圆心必然位于T 内。
因此,分割被侵入约束边实质是清除了外接圆圆心在剖分域外的三角形,使得随后处理坏三角形126应用力学学报第20卷时,插入的结点都在剖分域内。
所以,在该算法中,被侵入约束边比坏三角形优先处理。
4 2 网格优化的实现本文根据Delaunay优化算法的思想,提出了一套网格优化方法,具体实施步骤如下所述。
4 2 1 第一步 分割被侵入约束边1) 初始化被侵入约束边encroached segment链表;2) 检查所有约束边线段,判断其是否被侵入,若是,加入encroached segment链表;3) 从表头取出一条被侵入边进行分割,对分割后的两个小线段也要判断其是否被侵入,若是,也加入encroached segment链表尾部;4) 重复执行3),直至链表为空;5) 重复2)~4),直到不再有被侵入边。
4 2 2 第二步 分割坏三角形1) 初始化坏三角形bad triangles链表;2) 检查所有三角形,判断其最小角或面积是否符合要求,若不符合,根据其角度大小插入到链表中合适位置,链表根据角度由小到大顺序排列,即角度小的优先处理;3) 若bad triangles链表不为空,从表头取出一个三角形t;4) 判断t是否仍在三角形网T中,若不在,返回3),否则,执行5);5) 判断t的外接圆圆心是否侵入某一条或几条约束边,!若没有约束边被侵入,就在t的外接圆圆心处插入一个结点,然后依次检查该点相邻的三角形是否符合质量要求,若不符合,将该三角形插入bad triang les链表;∀若有,将t插入bad triangles 链表中,等待重新处理,并将这些被侵入约束边放入encroached segment链表;6) 若encroached segment链表不为空,就执行以下操作:!从表头取出一条被侵入约束边,在其中点插入一个结点,分割该约束边;∀依次检查该新插入点相邻的三角形是否符合质量要求,若不符合,将该三角形插入bad triangles链表,同时依次检查该点所对的边是否为约束边,若为约束边,且该点又侵入该边,将该边加入encroached segment链表;#检查该线段分割后的两个小线段是否被侵入,如果被侵入,也加入encroached seg ment链表尾部;∃重复!、∀、#,直到encroached segment链表为空;7) 重复3)、4)、5)、6),直至bad triangles表为空。
处理坏三角形时采用排序的链表结构,按最小角由小到大的顺序进行,相比不排序的随机处理,或采用先进先出的队列,同样网格质量情况下,最后所得的网格数目小得多,只是排序需花费一定机时。
5 应用实例利用前面所述的算法编制了网格自动剖分程序,以下为该程序的一些剖分实例。
图5为某汽缸体截面的剖分结果,最小角为30 时三角形数量为217个,最小角为35 时三角形数量增加为1044个,约束条件超过35 3 ,程序就不能终止,表明利用本程序该平面区域的三角剖分最小角可达到35 3 ;图6为一只梅花鹿的剖分结果,最小角为34 时三角形数量为1279个,35 时激增为3169个,三角形最小角可达到35 1 。
图5 某汽缸体截面的三角剖分结果图6 梅花鹿的三角剖分结果6 结 论本文提供了一套高质量有限元网格自动生成方法,可对任意复杂平面区域进行剖分,并可对三角形形状和尺寸进行控制,可使三角形最小角达到35 ;127第3期 李梅娥,等:任意平面区域的高质量有限元网格自动剖分采用广度优先搜索查找孔及凹槽中的三角形,不需定义有向边界,可十分方便地定出实际剖分区域;同时给出了一种方便、快捷的点定位法;分割坏三角形时,按角度由小到大的顺序处理,使三角形网格在满足质量要求的同时网格数量较少。
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popularly calculated by the Gauss numerical integ ral,and they are low in precision w hen the source po ints approach the element.The solution by the interpolation of unknow n function is continous,w hich makes the calculation more difficult.This paper presents an alternative way to transform the double integral in Laplace problem on 3 d into the linear integ rals on the boundary of each subdomain,so that all the singular integ rals and nonsingular integrals are calculated by analytical method.It m akes the precision and the speed of BEM im proved.Keywords:boundary element method ,lap lace equations ,ex act integral.Computation of Natural Convection in the Annulus between HorizontalConcentric Cylinders Using Spectral Element methodsChen X uej iang Qin Guoliang Wu L ong X u Zhong(Institute of Fluid M achinery,Xi %an Jiaotong University,Xi %an 710049,C hi na)Abstract:The computation of natural convection in the annulus betw een horizontal concentric cylinders using spectral element method in polar coordinates is presented in this paper.The incompressible Navier Stokes equa tions expressed in terms of primitive variables velocity and pressure and the energ y equation are computed.T he time splitting method for temporal discretization combining w ith the spectral element method for spatial dis cretization,are used.It is show n that the obtained results are in ex cellent ag reement w ith the accepted bench mark solution.Keywords:sp ectral element method,p olar coordinate,natur al convection,time sp litting method.Quality Mesh Generation of Arbitrary Planar Domain for FEML i M ei %e 1 Zhou Jinx iong 2(S chool of M aterial Science and Engi n eering,Xi %an J i aotong University,Xi %an 710049)1(S chool of Civil Engineeri ng and M echanics Xi %an J i aotong University,Xi %an 710049)2Abstract:Quality triangulation is desirable for FEM analysis.In this paper,the Delaunay refinement algorithm is utilized to control the shape of triangles.The data structure of linked list is used to store the bad triangles in dexed by their smallest angle,so that w e can alw ays split the w orst existing triangle firstly.The triangles in holes and concav ities to be removed are found by w idth first search,w hich elim inates the need of oriented11No.3 CH INESE JOURNAL OF APPLIED M ECH ANICSboundaries.An efficient point location algorithm is presented to improve the speed of triangulation.T he pro g ram is used to triangulate several PSLGs(planar straight line graph).The results indicate that the program is capable of triangulating arbitrary complex planar domain and ultimately halts for an angle constraint of up to 350degrees.Keywords:quality tr iangulation,Delaunay r ef inement algor ithm ,ar bitrary p lanar dom ain.Study on Effective Elastic Constants of TubesheetsHomogenization Based TheoryXie Guilan 1,2 Zhang Ping 2 Gong Shuguang 1,2 Chen Yanp ing 2(CAE Institute,School of M echanical Engineering,XiangTan University,411105)1(Institute for computational and applied M athematics,XiangT an U niversity 411105)2(Insti tute for Basic M echanics and M aterial Engineeri ng,XiangTan University 411105)3Abstract :The finite elem ent model based on multiple scale homogenization theory is built for studying on effec tive elastic constant of tube sheet.The numerical result obtained is compared w ith effective elastic constants adopted by the ASME code,and relative error is less than 0.2%.T he expanded tubes reinforcing effect is re searched,the effective elastic constants curves are obtained w hile the rate of pitch of the holes pattern is 0.4.T he numerical result implies that homogenization method is feasible to calculate the effective elastic constants of tubesheets.Keywords:design of tubesheet,eff ective elastic constant ,homogeniz ation theory ,f inite element method.Hydraulic Characteristics of Water Jets by Air Collision in Lateral Direction and Estimation on Limiting Riverbed ScourS un Jian 1 L i Yuz hu 2(Xi %an University of T echnology,Xi %an 710048)1 (T singhua University Beijing 100048,China)2Abstract:By applying the theory of the turbulent jet and the momentum equation to the air collision in lateral direction of two water jets,ex pressions of the velocity vector of the joint jet and the colliding efficiency are pro posed.Both kinds of collision in lateral direction and in up dow n one of w ater jets are analyzed and compared to g ive their differences in colliding plane angle,the colliding efficiency and the air diffusion of the joint jet,and to set up a w ay of estimation on the limiting riverbed scour.The verification through some hydraulic model show s that the forecasted basically tallies with the measured.T hus,it is show n that such an analysis is reasonable and the estimation is feasible.Research results can be used as a reference in desig ning a w ater cushion pool acted by the w ater head from high dam.Keywords:high dam water j ets later al collision p lane angle limiting riverbed scour.12 CH INESE JOURNAL OF APPLIED M ECH ANICS Vol.21。