浅谈数学类比法解决数学问题

已知一个球 的半径为 Ｒ， 则此球 的面积
为 ４Ｒ ， ７ 体积为普积 。 ｃ ．
ｏ
所谓结构类 比是 在新 的认识知识 结构
已知 条件 、 结论 与 已知 公 式 、 定理 的条 件 、 由此可见从平面到空间的转化有一一对 中 ， 将它们进行类 比的一种思想 应关系． 平面对空间分别是 ： 点对线 ， 线对面， 结论极其相似 ， 方法． 又分 为条 件联想 公 式 的结 构 类 比、 这 结 面对体．
第 ３ 卷第 １ １ ０期
２１ ０ ２年 １ ０月
数学教学研究
６ ３
浅 谈 数 学类 比法 解 决数 学 问题
吴翠 萍
（ 湖南怀化学 院 预科部 ，湖南 怀化 ４ ８０ ） １Ｏ ０
摘
要： 本文叙述 了什 么是类比题 以及类 比方法在解 决数 学问题 中的运 用． 中分 另 阐述 了类 比的 文
行四边形 的长增大 ３ ， ０ 宽缩小 ３ ， Ｏ 则平 行 四边形 的面积 不变 ．很 明显 看 出该 新命 题 ”
是 错误 的． 实上 Ｓ＝ａ ， 事 ｂ 为原 来平 行 四边 形 的面积 ， 变化 后 的平 行 四边 形 的面 积 为 Ｓ ：
ａ ｂ ：ｎ １ ． ） （ － ０ ３ ＝ａ － Ｏ ０ ａ ， １１ （ ＋０ ３ ｂ １ ． ） ｂ ． ９ ｂ 可
１ Ｅ ＋２ ＋ｍ］ －ｆ （ ｍ）
＝ … 一＿ ｚ ， ＝ ＝ 厂 ） （
＋２ １ 。 （—３ ）－ ｘ ｚ （一ｚ ） １ ， ￣４ ｙ ． ２－ 分析 令 —ｔ —ｔ ｇＣ， ｇＡ， ｇＢ，一ｔ 则
在 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＿１０的条 件下 ， － ８。
ｔ ＋ ｔ ｇＡ ｇ Ｂ＋ ｔ ｇ Ｃ＝ ｔ ｇＢｔ ｇ Ａｔ ｇ Ｃ，
推 出
这个公 式 的证 明是
ｔ （ ＋ Ｂ） ｇＡ 一 一 １ ，
呈 一 丝 旦 一 堡 － － １ ｔ２ 。 一ｔ － ｇＡ １ Ｂ ’ 一ｔ２ １ ｇｃ
一
！ ｇ
圣ｇ旦 兰 ！ ！ ｇ
．
１ ｔ Ａ １ ｔ Ｂ１ ｔ Ｃ’ 一 一 一
ｔ ｇ Ａ＋ｔ ｇ Ｂ一 １ ｔ ｇ Ｂ． － ｇＡｔ
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１ ０ ， ８ ￣则
２ Ａ＋ ２ Ｂ＋ ２ － ３ ０ ， Ｃ＿ ６ 。 ｔ （ Ａ＋ ２ ｇ２ Ｂ＋ ２ ＝ Ｏ。 Ｃ）
所谓结论联想 定理 、 公式 的结构类 比是
从结论联想定理 、 公式． 通过“ 执果索 因” 的分 ｔ （Ａ＋ ２ ＝ ｔ（ ６ 。 ２ ） － ｔ２ ｇ２ Ｂ） ｇ ３ ０ － Ｃ ＝ ｇ Ｃ。 析法找到论证的途径 ， 从而使定理及公式与 本题产 生结 构类 比的思 想方 法． 例 ６ 求 证 ： １ ｔｌ） １ ｔ２） １ （ ＋ ｇ 。（ 十 ｇ 。（ ＋ 可 以推 出
概念 、 分类 、 用。 点讲述 有益 类比与有害类比、 向类 比、 向类比三种 不 同类比方法在解题 中的 作 重 纵 横
巧妙运 用， 学生 学会 用类比的方法解决数学问题， 让 降低解题难度 ， 而达到解题 目的． 从 关键词 ： 学问题 ； 数 类比法 ； 思维拓展
中 图分 类 号 ： ６ ３ ６ Ｇ ３ ．
周期 函数． 分析 由条件 （ ＋ ） ｚ 一 （ｌ ７ ，
扎 扎 １ （ ２ （ ＋ ） ＋ ）
３
③ １ ×３ ２ Ｘ４ ×４ ×２ ＋ ×３ ＋３ ×５
＋ … ＋ ｎ ｎ １ （ ＋ ２ （＋ ）咒 ）
一
≠０联想它的结构类 比公式 厂 ） ｇｚ 则 ） （ 一ｔ ，
学家 ， 他能够洞察类似之间的类似． ”
２ 类 比分 类
分析 等式 ：
因为 ｎ ｂ均为正实数 ， ， 由均值不
，推 出 ｎ ６≤ ｉ ，
２ １ 有益 的类 比与 有 害的 类 比 ．
ｎ＋ ｂ一 ２≥ ２
由于类 比所 得 的结 果 有 或 然 性 ， 有 有 才 益 的类 比与有 害 的类 比． 如平 行 四边 形 的长
即箐煞 一ｔ ， ｇ ２ Ｃ
ｔ Ａ＋ ｔ Ｂ＋ ｔ Ｃ ｇ２ ｇ２ ｇ２
＝ ｔ Ａｔ Ｂｔ Ｃ， ｇ２ ｇ２ ｇ２
ｔ ３ ） （ ＋ ｔ４ 。 － ２ ｇ 。 … １ ｇ ４ ） 毖．
分析 联想公式 Ａ 一手， ＋Ｂ 则
（ ＋ ｔ （ ＋ ｔ － ２ １ ｇ Ａ） ｔ ｇ Ｂ） ．
周长为 ２ｃ， ７ 面积 为 ｒ． ｒ ２
因此可以得出用类 比方法与其他方法共
同解决数学问题 ， 才是解决数学问题 的关键 和方 向， 是思 维发展 的必 要 条件 之一 ． 更 缺乏
思考 的人永 远 只会站 在原 点上 ． 抹愈 黑 ， 越 结 果就 可想 而知．
２ ２ ２ 结构类 比 ．．
所 以 － ｚ 是 ４ 以为周 期 的周期 函数 ． 厂 ） ｍ （ 由此 可见 ， 决 本 题 关 键 之 一 是 运 用 了 解 倍角公 式 ：
ｔｎ ａ 一 ａ （＋ ，
而在 ２ ＋２ ＋２ ＝３０的条件下证明 Ａ Ｂ Ｃ ６。
ｔ Ａ＋ ｔ Ｂ＋ ｔ Ｃ ｇ２ ｇ２ ｇ２
得 出
而
（ ＋ ｔ （ ＋ ｔ １ ｇＡ） １ ｇＢ）
一 １ ｔ ｇ Ｂ＋ ｔ ＋ ｇ Ａｔ ｇＡ＋ ｔ ｇＢ
一 １ ｔ ｇ Ｂ＋ １ ｔ ｇ Ｂ ＋ ｇ Ａｔ － ｇ Ａｔ
＝ ｔ Ａｔ Ｂｔ Ｃ， ｇ２ ｇ２ ｇ２
而 ｔ（ 号 一＋ａ ａｚ ）・ｔＺ ｎ 十 １ ｎ， 一
故 此题 得解 ．
再 用倍 角 的正切公 式 即可解 决 问题．
证明 设 ｚ— ｔ ｙ ＝ｔ — ｔ ｇ Ａ， ＝ ｇＢ， ： ｇＣ，
２２２ ２ 结论 联想 定理 、 式 的结构 类 比 ．． ． 公
数学教学研 究
第 ３ 卷第 １ 期 １ ０
２１年 １ ０２ Ｏ月
单， 整体 退到 局部 ， 些 都是退 的策略． 这 时是错 误 的． 我们都 希 望得 到正 确 的 ， 错误 但 的地 方 并 不可 怕 ， 也 为 开 发 我们 的大脑 指 这 明了另 一个 方 向 ， 索 其 他 方 法解 决 数 学 问 探
≤， ＋ ，３√ 所 １ｉｌ－＋＞ ，以 （ ＋￣ － ｎ Ｉ ． ｃ
≥ １所 以 ａｃ １ ， ｂ＝ ．
由此还可 以类 比当 ａ ｂ Ｃｄ ＋ ｎ ，， ， ６Ｒ ， ＋６
＋ 丢 ÷ ４。ｃ １ ｃ 一 ｆ 一，口 ＝ ＋ ａ ） ＋ 则ｂ ． ＋ Ｃ ＋ ｄ
陌生退到熟 悉 ， 抽象退 到具 体， 复杂退 到简
见平行 四边形的面积减少了 ９ ． 这种类 比运用 了以退求进 的策略． 由一 以上说 的是 有 害 类 比， 面 论 述 有 益 类 般退 到特殊 ， 知 退 到 已知 ， 面退 到 反 面 ， 下 未 正
比：
收 稿 日期 ：０ ２ ０ —０ ２ １ —８ ２
基金项 目： 河南省 民族研究课题 “ 时期民族 预科教 育人 才培养质量研究 ” 编号 ： ＭＹ ０ ２ １ ） 新 （ ＨＮ ２ １ — ７ 与怀化学院教育教 学改 ０ 革项 目“ 民族 预科生文化 素质培养研究 ” 编号 ：０ ０ ２ （ ２ １２ ）
题． 比如 由类 比联 想得 到猜 想法 ， 而深 人 到 从
由此题可 知 ， 只要 能证 第 ③ 题 ， 解第 ① 、
证 明 １ × ３ ２×３ ４ ３×４ ×２ ＋ × ＋ ×５
十… ＋ｎｎ １（ （ ＋ ） ＋ ２ ）
由此可见 类 比 的结 论 有 时是 正 确 的 ， 有 ②就水 到渠成 ， 如鱼 得水 了．
（ 一 。 （ 一 ） １ ）１ ＋ （ 一 ） １ １ （ 一 ）
： 一
，（ ＋４ 一尢 （ ｍ） ＋３ ＋ ］ ｍ）
一
±． ±兰 ２
１ （ ＋３ 一， Ｉ ｍ） ｚ
＝— １ Ｉ —ｍ ＋ｍＪ １ ‘ （＋２一 — ，— — —） ＋ Ｊ— — — ＝ｚ — —
例 ３ （ ＋６ 。 ａ ＋ｂ ； 口 ） ＝口 ＋２ ｂ ｚ
（ 口＋６ 。 口 ＋ ３ ０ － ３ ｂ ＋６ ． ）＝ 。 ａｂ Ｆ ａ 。
论联想公式的结构类 比、 条件与结论都联想 公式的结构类 比．
２ ２ ２ １ 条 件联 想公 式 （ ．． ． 定理 ） 的结构类 比
丝 丝 丝 ２丝 ２ ！± ±至 （ ±兰
４ ’
由此深入猜想就可以得到朱世杰恒等式 ：
三 ： ＝
０
．
所谓降维类 比就是空间到平面 ， 以降维 为特征的类 比． 降维类 比是“ 以退求进” 策略
的具体运用． 降维类 比也称为减元类 比． 例 ２ 已知一 个 圆的半 径 为 ｒ则 此 圆的 ，
１
（ ÷ √ ， １有６ 丢 ）≥ 推 ≥， 口 ＋ ２ 出 既 ≤
由此可 以导 ： ＋６ 一３ ３ ｎ ＋ｃ ≥ ， 以 所
， ６ ， ｂ ． 增长原来的 ３ ， 倍 宽缩短原来 的÷ ， 则平行 四 １又有 ｎ≥ １故 得 ａ ＝１ 边形 的面 积不 变． 用 类 比得 出新 命 题 ：平 若 “
学家 ， 那是因为他善于发现判断之间的类似 ；
可以类 比两个正 实数之积等 于 １ 即： ， Ｅ ． ａｂ 如果能判断论证 之间的类 比， 他就 是一个优 十口 一ａ Ｄ ，’ｂ ． 圭 ． 秀 的数 学家 ． 可是 ， 我认 为还 应 当有 这 样 的数 Ｒ ；＋易 土＋－＝２则 ａ＝】
丝丝 ２丝 ２丝 ２ ！± ± （±墨 １
（ 号一一 关 是 找 期 数 ）ｌｔ ．键 寻 周 函 ＋ ｇ ＋ｘ
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数 学教 学研 究
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的周期 ． 因为
由“ 执果 索 因” 的分 析 法 来 找 证 题 途 径 ， 又通 过“ 由因导果 ” 的综 合 法 ， 而使 定 理 与本 题 从 产 生结构 类 比 的思 想方 法． 例 ７ 如果 ＋３ ＝ｚ ， ， ＋ 那么