尺规作图画角
三角形的尺规作图
三角形的尺规作图
06
应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
解决几何问题
通过尺规作图，可以确定给定条件的 三角形形状，如等腰三角形、直角三 角形等。
通过三角形的尺规作图，可以解决各 种几何问题，如求三角形面积、证明 线段相等或垂直等。
证明几何定理
利用三角形的尺规作图，可以证明几 何定理，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理 等。
在奥林匹克数学竞赛中，三角形的尺规作图是常用的解题技巧之 一，用于解决几何问题。
数学奥林匹克国家队选拔赛
在数学奥林匹克国家队选拔赛中，三角形的尺规作图也是重要的考 察内容之一。
国际数学奥林匹克竞赛
在国际数学奥林匹克竞赛中，三角形的尺规作图也是选手必须掌握 的基本技能之一。
THANKS.
三角形的尺规作图
汇报人： 2024-01-02
目录
• 尺规作图的基本知识 • 三角形的性质和分类 • 三角形的尺规作图方法 • 特殊三角形的尺规作图 • 三角形的尺规作图技巧 • 三角形的尺规作图应用
尺规作图的基本知
01
识
尺规作图定义
尺规作图
使用无刻度的直尺和圆规进行图 形构造的方法。
限制条件
现代应用
尺规作图在几何学、工程 制图等领域有广泛的应用 。
02
三角形的性质和分
类
三角形的基本性质
三角形的不变形性
三角形的三边长度和三个 角的大小在尺规作图过程 中保持不变。
三角形的稳定性
三角形是一种稳定的几何 图形，不易发生形变。
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等 于180度。
三角形的边和角
直角三角形
总结词
直角三角形是一种有一个角为直角的三角形，其作图方法需要利用勾股定理。
八年级数学上册第1章知识点解读：尺规作图(青岛版)
知识点解读：尺规作图“尺规作图”问题是几何学习的重要内容之一，那么如何学好“用尺规作线段和角”呢？一、理解“尺规作图”的含义1、只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.显然，尺规作图的工具只能是直尺和圆规.其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆弧等.值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.2、基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1、用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2、用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1、已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2、求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3、作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.四、典题精析例1 如图，已知线段a 和b （a>b ）.求作：线段c ，使c=a －b.解析：作法：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取线段AB=a ；（3）在线段AB 上截取AC=b.则线段BC 就是所求作的线段.评注：用尺规作图，首先要弄明白所作的是什么图形，要作这个图形应从哪里入手.一些复杂的图形都是由简单的基本作图得到的.本题就是两次利用“作一条线段等于已知线段”.例2 如图，已知∠α和∠β（∠α>∠β），求作∠AOB ，使∠AOB =∠α－∠β.解析：作法：（1）作射线OA ；（2）以射线OA 为一边作∠AOC=∠α；（3）以O 为顶点，以射线OC 为一边，在∠AOC的内部作∠BOC=∠β.则∠AOB 就是所求作的角.评注：本题同样是两次运用基本图形——“作一个角等于已知角”.值得注意M B αβ A O C βα- ab α β的是作∠BOC时，应在∠AOC的内部，为什么不在∠AOC的外部呢？答案非常明显是两角的和.。
北师大版七年级数学下册用尺规作图作角课件
1
2
问题解决
请用没有刻度的直尺和圆规, 完成本节课开始 提出的问题.
B
F
H
D
A
G
C G’ E
以点C为顶点作∠FCE =∠BAC，则∠FCE的边CF 所在的直线即为所求.
拓展提升 过直线外一点P作已知直线l的平行线.
已知：直线l及l外一点P，
求作：直线l′，使l′过P点且l′∥l.
作法：1.过点P任意作直线a与l 交于Q. 2.以P为顶点，直线a为角的一边，在直线a同旁作 ∠2，使∠2=∠1(如图)，则∠2的另一边所在直线l′ 即为所求.
思考：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中 的基本作图，你能利用它作出其他图形吗？ 提示：可以作角的和、差、倍角及与角有关的图.
随堂练习
你会作两个角 的和了吗？
1.已知：∠1，∠2， 求作：∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2.
1
2
随堂练习
你会作两个角 的差了吗？
2.已知：∠1，∠2，
求作：∠CDE，使得∠CDE= ∠1-∠2.
C，交OB于点D; (3)以点O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′A′于点C′; (4)以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于
点D’ ；
(5) 过点D’作射线O’B’.∠A’O’B’就是所求的角.
B D
B' D'
O
CA
O'
C' A'
议一议
如图，2-26已知∠AOB,∠EO'F,利用尺规作图，比较 他们的大小。
课堂小结
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧” 先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相 同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离 为半径.
用尺规作三角形、用三角形全等测距离 (2)
4.4&4.5用尺规作三角形、用三角形全等测距离尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.注意：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.题型1：基础尺规作图1.作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【变式1-1】如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【变式1-2】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．已知两边及其夹角作三角形已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件"边角边"来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶题型2：已知两边及夹角做三角形2.已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【变式2-1】如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）已知两角及其夹边作三角形已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶题型3：已知两角及夹边做三角形3.已知：线段a，∠α，∠β．求作：△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β．【变式3-1】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：题型4：已知三边做三角形4.已知线段a、b、c，如图，求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b．（不写作法，保留作图痕迹）【变式4-1】如图所示，已知线段a、b、h（h＜b）．求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．（要求：写出作法，并保留作图痕迹）题型5：利用尺规作图做全等三角形5.已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）【变式5-1】已知△ABC，（1）请用直尺和圆规作一个三角形，使所画三角形与△ABC全等；（2）请简要说明你所作的三角形与△ABC全等依据．利用三角形全等测两点之间的距离原理由于两个全等三角形的对应边相等，因此，利用三角形全等可以测量难以直接测量或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，根据是全等三角形的对应边相等.方法（1）构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形；（2）构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形；（3）构造三边分别相等的两个全等三角形.注意：利用三角形全等测两地之间的距离，关键是构建全等三角形、利用全等三角形的对应边相等间接计算两地之间的距离题型6：利用三角形全等测两点之间的距离6.如图，为了测量出池塘两端A、B之间的距离，小明先在地面上取一点C，分别连接AC，BC并延长至E，D，使CE=AC，CD=BC．这时，他测量出DE的长度是82米，就知道了A，B两点之间的距离．点A，B之间的距离是多少？请说明其中的道理．【变式6-1】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【变式6-2】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【变式6-3】如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．题型7：利用建立三角形全等的模型解实际问题7.为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？【变式7-1】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【变式7-2】如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．要求：（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由．【变式7-3】如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E 处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF=1米，BE=CD=20米，BD=58米，试求单元楼AB的高．。
初中数学尺规作图画角平分线 新课标 华东师大版ppt资料
第二页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
第七页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
可以看出，所画的射线OC是 （3）分别以 、 为圆心，
（5）经过
作
。
（4）以
为圆心，以 半径作弧，交
；
∠O的角平分线，根据图中的作图痕迹， 试把下图所示的角四等分
（3）分别以 、 为圆心， 第八页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
你能画一个角的角平分线
并写出画图步骤吗？
第五页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
试一试
试把下图所示的角四等分
第六页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
• 任意画一个三角形， 画出三个内角的角平 分线.（不写画法，保 留作图痕迹）
第七页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
联系知识综合运用
• 已知：两条线段 a、t
尺规作图画角平 分线
第一页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
复习
• 看图填空。
• （1）在
上截取
•
=
=
；
（2）以
为圆心，以
为半径作弧，交
于
。
第1题
第2题
第二页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
• （3）分别以
• 以大于 1 E F
于
2、
、
为圆心，
的长为半径作弧，两弧交
；
• （4）以O为圆心，以任意为半径作弧，
分别交 AOB的两边OA、OB
于
、
。
第三页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
求作一个角等于已知角 POQ，
• 作法：（1）作
O1P1；
• （2）以O为圆心，以
交
；交
角的比较和尺规作图(角)
角的比较
还最后一个内容：
角的比较
B
O
角的比较
A
B’ B D
D’
O
C
A
O’
C’
A’
角的比较
试一试：
请你任意画一个角，然后用尺规作图 的方法作一个角等于已知角
角的比较
• 如图,已知∠ABC和∠DEF,试用尺规作图方
法比较两角的大小.
角的比较
小结：
• 本节课主要研究了角的大小比较的方法 和
用尺规作图法作一角等于已知角
角的比较
练习：
中山市民众镇新平中学
钟飞云
角的比较
[教学目标]
• 1。会用两种方法比较两个角的
大小 • 2。会用直尺圆规画一个角等于 已知角
角的比较
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、引入
1，试一试 同学们，你们要比较两个同学的身高有 哪些方法？
角的比较
2，回忆 两条线段大小比较的两种方法
A
B C D
• （1）叠合法
• （2）测量法
角的比较
角的比较
（1）测量法
•
小学我们学过用量角器测量一个角，角 的大小也可以按其度数比较．度数大的角 则大，度数小的则小．反之，角大度数大， 角小度数小．
角的比较
（2）叠合法
(顶点必须重合；一边必须重合；另一边落在其余 一边的同旁。角的大小只与角的开口程度有关，而 与角的边画出部分的长短无关。）
三种情况
• 1，∠1 = ∠2 • 2, ∠1 < ∠2 • 3, ∠1 > ∠2
角的比较
1
2
记作：∠1 = ∠2
返回
角的比较
尺规作图.精选
第9讲尺规作图1.尺规作图定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图2.五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作一条直线与已知直线垂直。
3.五种基本作图步骤：（1）作一条线段等于已知线段求作：线段AB等于线段a作法：如图，①先画射线AC．②然后用圆规在射线AC上截取AB＝a．线段AB就是所要作的线段．（2）作一个角等于已知角求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：如图，①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．（3）作已知角的平分线求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC。
OC就是所求的射线．（4）作线段的垂直平分线求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．（5）经过已知点作这条直线的垂线情况a：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线情况b：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．★注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．4.三角形的外接圆、三角形的内切圆的作法。
尺规作图作一个角等于已知角
∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB.
A’B’ 就是所求作的线段。 交射线A’ C’于点B’，
α
β
【读一读】 ：尺规作图
• ⑶过直线外一点P作已知直线l 的平行线。 并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题。
∠ A ′ O ′ B ′就是所求作的角。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
议一议
▪ ⑴这样作法正确吗？你应如何检验？ ▪ ⑵量一量，剪一剪，比一比。 ▪ (3)如果在角O外部另有一点C，你能用 尺规画∠COD，并使 ∠AOB=∠COD吗？
B
O
A
随堂练习: (任选一题)
第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。
已知∠ AOB，利用尺规作 • ⑴ ⑶过直线外一点P作已知直线l 的平行线。
以AB的长为半径画弧，
交射线A’ C’于点B’，
A’B’ 就是所求作的线段。
A’
B’ C’
▪ 利用尺规,作一个角等于 已知角. 已知：∠AOB(如图). 求作：∠AˊOˊBˊ，使 ∠ AˊOˊBˊ=∠AOB.
B
交流提纲： ⑴你是怎样思 考的； ⑵讨论：按怎 么样的顺序画 比较方便； ⑶画角时特别 应注意什么？
O
A
画一画 作法与示范
作法
示范
（1）作射线O′A′：
（2）以点O为圆心，以OC长为半径 画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径 画弧，交O′ A′于点C′； （4）以点C′为圆心，以CD长为半 径画弧，交前面的弧于点D ′ ；
（5）过点D ′作射线O ′ B ′ .
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尺规作图画角
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
课题 ：24.4.2 尺规作图（2）画角
【教学目标】：
1、使学生掌握一个角等于已知角的基本作图；；
2、初步训练学生用规范的语言叙述尺规作图的动作，达到作图准确，叙述正确；
3、灵活运用画一个角的尺规作图，画一些其他图形。
【重点难点】：
1、重点：掌握用尺规画一个角及灵活运用画一个角在画其他图形中的使用；
2、难点：画图的几何语言叙述。
【教学过程】：
一、创设问题情境，激发学生兴趣
问题：如图，要在长方形木板截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一
组对边中的一条边为AB 。
1、请过C 点画出与AB 平行的另一条边；
2、如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺能解决这个问题吗？
你想如何处理此问题？
分析：要在长方形木板上截一个平行四边形，按图的方式（平行四边形的一组对边在长方形的边
缘上），只要保证过点C 作出与AB 平行的另一条线段即可。
而要过点C 作AB 的平行线，可以通过作一个角等于BAC ∠即可。
本节我们就来一起学习用尺规作一个角等于已知角。
二、试一试
图24.4.3，∠AOB 为已知角，按下列步骤用圆规和直尺准确地画一个角等于∠AOB ．
1、画射线O ′A ′；
2、以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C ，交OB 于D ；
3、以点O ′为圆心，以OC 长为半径画弧，交O ′A ′于C ′．；
4、以点C ′为圆心，以CD 长为半径画弧，交前一条弧于D ′；
5、经过点D ′画射线O ′B ′；
所以，∠A ′O ′B ′就是所要画的角。
用量角器验证你作的角与已知角是否相等。
（相等）
你能用所学的知识说明其中的理由吗？
（因为在作图过程知道：''OD O D =，''OC O C =，''CD C D =，所以△COD ≌△C'O'D'，根据全等三角形对应角相等，可知'''AOB A O B ∠=∠。
）
三、练一练
1、利用尺规完成本节课开始提出的问题。
图
24.4.3 C B
A
2、已知AOB ∠，利用尺规作'''A O B ∠，使'''2A O B AOB ∠=∠
3、课本Ｐ100 练习2
四、做一做
请你利用直尺和圆规分别画出满足图24.4.4和图24.4.5中条件的三角形ABC.
1、已知两边及夹角； （不写画法，保留作图痕迹） 学生讨论后，教师示范。
边叙述画法边画，学生跟着画。
（1）作MBN α∠=∠； （2）在射线BM 上截取AB a =； （3）在射线BN 上截取BC b =； （4）连结AC 。
所以，△ABC 就是所画的三角形。
还有其他的画法吗？动手试一试。
（如，先线段BC a =，画MBC α∠=∠，在射线BM 上截取AB a =，连结AC ，即得△ABC ）。
你从画图得到了什么？
同学们各抒己见。
（观察一个图形是由几个点确定了，能否画出这些点，若能，就可画出这个图形，若不能，就无法画出这个图形，为了便于分析，可画出草图）。
（2）已知两角及夹边.
画完后，同学相互交流，指出对方的不足，或向对方提出问题，并请同学上板演示。
五、说一说
1、你本节学到了什么？
2、在你所学的知识中重点是什么？
3、在你所学的知识中注意什么？
4、你在本节的学习过程有何想法？
六、作业
Ｐ103 习题24.4 2、3
图
24.4.4 ‘ 图24.4.5。