一元二次方程的解法复习
解：
x 10
2
3
x 10 3
x 10 3
或
x 10 3
x1 10 3，x2 10 3
（2）
2
2 x 6 x 3 0 ——配方法
2
2
解： 2x 6x 3 0 3 x 3x 0 2 9 3 2 x 3x 0 4 4 3 2 3 (x ) 0 2 4 3 2 3 (x ) 2 4 3 3 3 3 3 3 x x1 ，x2 2 2 2 2
考点三
一元二次方程的判别式及其根与系数的 关系 1. 根的判别式：一般地，式子b2-4ac叫做一元 二次方程ax2 bx c 0 a 0根的判别式，通常用
希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac.
2. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 两个不相等的实数根； 方程有__________ 两个相等 的实数根； (2)b2-4ac=0 方程有__________ 没有 (3)b2-4ac＜0 方程 ____________ 实数根. (1)b2-4ac＞0
方法或步骤
化为1 ，即方程 1. 将二次项系数___________ 两边同除以二次项系数a，得 b c x2 x 0 a a
配 方 法
2. 移项，使方程左边只含有二次项和一 常数 次项，右边为___________ ，即 所有一元 b c 2 x x 二次方程 a a ax2 bx c 0 3. 方程两边都加上一次项系数一半的平 方； a 0 完全平方公式 ，即 4. 原方程变为__________________
b b2 4ac x 2a 4a 2
5. 直接开平方，得两个一元一次方程； 6. 解这两个一元一次方程得原方程的两 个根
2
适用题型
方法或步骤
1. 把方程化为
公 式 法
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；
所有有根
的一元二
2. 确定a、b、c的值； 3. 求出b2-4ac的值； 4. 将a、b、c的值代入x=
类型三 一元二次方程的应用 例3(’15原创)巴西世界杯的某纪念品原价188元， 连续两次降价a 0 0后售价为118元，下列所列方程中 正确的是(
0 2
B
0
)
A. 188 1 a 0 188 B.
188 1 a
0
2
188
C. 188 1 2a 0 0 188
C. x1＝1 + 2 ，x2＝1 - 2
用配方法解一 元二次方程
D. x1=-1 + 2 ，x2＝-1 - 2
解 析 ： 方 程 x2 ＝ 2x+1, 变 形 得 ： x2-2x=1, 配 方 得 ： x22x+1=2,即（ x-1） 2=2,开方得： x-1=± ,2 解得： x1=1+
,x2=1- 2
D. x1=-2，x2=-4
A. x1=2，x2=4
C. x1=-2，x2=4
解析：用因式分解法，∵x2+2x-8=0， ∴(x-2)（x+4）=0，即x1=2，x2=-4．
拓展变式1 (’14宁夏)
一元二次方程
x2=2x+1的解是（ C ）
A. x1=x2=1
B. x1=1 + 2 ，x2＝-1 - 2
一元二次方程
中考考点清单 考点一 一元二次方程及有关概念 1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一 元），并且未知数的最高次数是 2（二次） 的整式方程，叫做一元二次方程. 2. 一般形式 :ax2+bx+c=0( 其中 a 、 b 、 c 为常 数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、 一次项和常数项， a 、 b 分别称为二次项系 数和一次项系数.
b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降
率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有
a(1-m)n=b.
(2)利润等量关系: A.利润＝售价-成本； B.利润率＝利润成本×100%. (3)面积问题常见图形归纳如下：
第一：如图①,矩形ABCD长为 a，宽为 b ，空白部分的 宽为 x ，则阴影部分的面积表示为 a 2xb 2x . 第二：如图②,矩形 ABCD长为 a，宽为b ，阴影道路的宽 为x，则空白部分的面积为 a x b x . 第三：如图③,矩形 ABCD长为a，宽为 b，阴影道路的宽 为x，则空白部分的面积为 a x b x .
A
)
解析 : 根据已知假设每盆花苗增加 x株，则每盆花苗有（ x+3）株，
得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得 x 3 4 0.5x 15 .
中考题训练
命题点1 解一元二次方程
考点四
一元二次方程的应用
1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一 元一次方程（组）解应用题的步骤相同， 即审、设、列、解、验答五步.
2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面
积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以
下内容：
(1)增长率等量关系:
增长量 A.增长率＝ ×100%； 基础量
B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，
3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必 整式 方程；(2)必须只含有 须是________ __________ 未知数；(3)所含未知数的最高 1个 2 次数是____________. 提示：在一元二次方程的一般形式中要注 意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不 是一元二次方程.
4. 一元二次方程的解：使方程左右两
例、用指定的方法解下列方程：
（1） x 10 3
2
——直接开平方法
（2）2 x 6 x 3 0
2
——配方法
——公式法 ——因式分解法
（3） 9 x 10 x 4 0
2
（4） 2 x 5 x 0
2
x 10 3 （ 1）
2
——直接开平方法 两边开平方
（3）若一元二次方程的二次项系数为 1,且
一次项的系数是偶数时或常数项非常大时 ,
可考虑用配方法求解; （ 4 ）若用以上三种方法都不容易求解时 ,
可考虑用公式法求解.
常考类型剖析
类型一 解一元二次方程
例1
) B
(’14岳阳改编)一元二次方程x2+2x-8=0的根是( B. x1=2，x2=-4
)
B. 3x2+8x-3=0 D. x 2 x 3 12
解析：分别计算出判别式b2-4ac的值，然后根据b2-4ac的意
方程变形为：x2+4x-10=0，b2-4ac=42-4×1×（-10）
× B ×
C
D
√
×
b2-4ac=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实
数根 方程变形为：x2-5x-6=0，b2-4ac=（-5）2-4×1× （-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根
2. 一元二次方程的解法 适用题型 方法或步骤 1. 观察方程是否符合x2=m(m≥0)
x2=m(m≥0
直
接
2=n(n≥0)的形式； 或 ( x ± m ) ) 开 或 2. 直接开方，得两个一元一次 (x±m)2=n 方程； 平 (n≥0) 3. 解这两个一元一次方程得原
方
法
方程的两个根
适用题型
2
类型二 一元二次方程的判别式及其根与系数的关系 例2（’14深圳）下列方程没有实数根的是( A. x2+4x=10 C. x2-2x+3=0
义分别判断， 选项 A 正误 逐项分析
=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根 b2-4ac=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个
不相等的实数根
D. 188 1 a 2 0 0 188
解析：由题意得：第一次降价后的售价为188（1-a%）元， 第二次降价后的售价为188（1-a%）(1-a%)元，则所列方程 为 188 1 a 0 0 2 188 .
拓展变式3 (’14泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株
数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若
2
) D. 40
A. -8
B. 32
C. 16
解析： 根据根与系数的关系得到 α+β=-2 ， αβ=-6 ，再利 用完全平方公式得到 α2+β2= （ α+β ） 2-2αβ ，然后利用整 体代入的方法计算．根据题意得 α+β=-2 ， αβ=-6 ，所以 α2+β2=（α+β）2-2αβ=（-2）2-2×（-6）=16.故选C．
类型二 一元二次方程的判别式及其根与系数的关系 例2（’14深圳）下列方程没有实数根的是( C A. x2+4x=10 C. x2-2x+3=0
义分别判断， 选项 A 正误 逐项分析
=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根 b2-4ac=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个
不相等的实数根
每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈
利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则 可以列出的方程是(
A.3 x 4 0.5x 15 B. x 3 4 0.5x 15
C. x 43 0.5x 15
D. x 1 4 0.5x 15
边相等的未知数的值就是这个一元二
考点二 一元二次方程的解法
1. 解一元二次方程的基本思想——降次， 即把一元二次方程“降次”化为一元一次 方程来求解.
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程的解法复习课
2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
x1
26 2 2
x2
26 2 2
例题讲解
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x
2 9
2
4 17
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 .
44
x1
9
4
17
;
x2
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x= a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0.
x2
9
2 x
4.
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
解：原方程变形为： (2 x)2 9 16
直接开平方得：
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
一元二次方程解法知识整理
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解
专题复习：一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的5种解法方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.3. 用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).(2)定：确定a，b，c的值.(3)算：计算b2－4ac的值.(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )A.因式分解法、公式法、因式分解法B.直接开平方法、配方法、公式法C.直接开平方法、公式法、因式分解法D.公式法、配方法、公式法7.用适当的方法解下列方程:(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.方法5 用换元法解方程8.【阅读材料】解方程：x4－3x2＋2＝0.解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．【问题解决】利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.参考答案：1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=259,根据平方根的意义得,x=±53.(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.∴x 1=9,x 2=1.(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+12=0,即x 2-2x=-12.配方,得x 2-2x+12=-12+12, (x-1)2=12.∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√22.3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝53，∴x 2＋2x ＋1＝83，∴(x ＋1)2＝83，∴x ＋1＝±263，∴x 1＝－1＋263，x 2＝－1－263. (2)原方程变形为12x 2－6x ＝7，∴x 2－12x ＝14，∴x 2－12x ＋36＝50，∴(x －6)2＝50，∴x －6＝±52， ∴x 1＝6＋52，x 2＝6－5 2.（3）(x ＋74)2＝8116，∴x 1＝12，x 2＝－4.4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=-3±√52.∴x 1=-3+√52,x 2=-3-√52.(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,∴x=5±√814,∴x 1=-1,x 2=72. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.∴x=-2±√162,∴x 1=1,x 2=-3.(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,∴y=2√2±02,∴y 1=y 2=√.(5)整理得2x 2－4x －7＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－7， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－7)＝72，∴x ＝4±722×2＝2±322，∴x 1＝2＋322，x 2＝2－322.(6)整理得x 2＋2x ＋6＝0，∵a ＝1，b ＝2，c ＝6，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×6＝－20＜0，∴原方程无实数根． 5.（1）解：(x ＋3)(x －3)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝3. （2）解：x(x ＋2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2. （3）解：x(x －53)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝5 3. （4）解：(x ＋2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.（5）解：(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.（6）解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， ∴x 1＝23，x 2＝2.（7）解：(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0， 解得x 1＝－25，x 2＝－2.（8）解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0， 即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.6.C7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,∴x1=√3-1,x2=-√3-1.(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,∴(3x-2)(x-1)=0,.∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=238.解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0，整理，得(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.设x2－2x＝m，则原方程变为m2－5m＋6＝0，解得m1＝3，m2＝2.当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1；当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1± 3.所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋3，x4＝1－ 3.。
一元二次方程复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
17章一元二次方程的解法专题复习
程用直接开平方法求解
1. 方程4x2－25＝0的解为C ( )
A．x＝ 2
B．x＝ 5
5
2
C．x＝5
2
D．x＝2
5
2. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其
中无实数解的方程为( C )
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0
D．(x＋1)2＝0
类型2 当二次项系数为 1 ，且一次 项系数为偶数时，用配方法求解.
解：经验证 x 0不是方程的根，原方程 两边同除以 x2 得6x2 35x 62 35 x
设 y＝x＋1x，则 x2＋x12＝y2－2， 原方程可变为 6(y2－2)－35y＋62＝0. 解得 y1＝52，y2＝130. 当 x＋1x＝52时，解得 x1＝2，x2＝12； 当 x＋1x＝130时，解得 x3＝3，x4＝13. 经检验，均符合题意． 原方程的解为 x1＝2，x2＝12，x3＝3，x4＝31.
(3)x2 2x 339 0; 配方法
(4)(2x 1)2 3(2x 1). 因式分解法
(5)5x2 17 x 0 因式分解法
(6)(2x 1)2 4(3x 2)2 0 因式分解法
(7)40 x 2
600 x
640
0 化去系数的最大公因 数,再用因式分解法
(8)(x 8)2 16(x 8) 64 0 用整体完全 平方公式
(6) x2 1 0 7
2、若关于x的方程
(m 1)xm21 (m 2)x 3 0
（1）是一元二次方程, 则m的取值范围是什么
（２）是一元一次方程, 则m的取值范围是什么?
一般地，任何一个一元二次方程经过整理，____b_x____c_____0______（其中____≠0 ）
一元二次方程的解法复习课件
技巧
根据题目特点选择合适 的解法，提高解题效率。
复习建议
01
系统复习一元二次方程的 基本概念和性质，理解判 别式的意义和作用。
02
掌握一元二次方程的三 种解法，并能根据题目 特点灵活选择解法。
03
04
多做练习题，加强对知 识点的理解和记忆，提 高解题能力。
注意总结归纳，形成自 己的知识体系和方法论。
因式分解法的示例
1. 示例一：解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$。
• 将方程左边分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$。
• 分别令 $x - 2 = 0$ 和 $x - 3 = 0$，解得 $x_1 = 2$， $x_2 = 3$。
因式分解法的示例
2. 示例二：解方程 $2x^2 + x 3 = 0$。
一元二次方程的解法复习课件
contents
目录
• 引言 • 一元二次方程的基本概念 • 一元二次方程的解法-配方法 • 一元二次方程的解法-公式法 • 一元二次方程的解法-因式分解法 • 一元二次方程的应用 • 总结与回顾
01 引言
复习目的
熟练掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。 能够根据方程的特点，选择合适的解法进行求解。
一元二次方程在化学中的应用
化学反应速率问题
通过一元二次方程求解化 学反应速率与反应物浓度 之间的关系，以及反应速 率常数等问题。
化学平衡问题
在化学平衡中，一元二次 方程可用于求解平衡常数、 转化率和反应进度等问题。
放射性衰变问题
通过一元二次方程求解放 射性元素的衰变规律，以 及半衰期和衰变常数等问 题。
07 总结与回顾
一元二次方程复习课(精品)
一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数， 在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”， 而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程的解法(复习课)
一元二次方程的解法（复习课）教案一、复习目标：1、进一步熟练掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法求解方程。
2、在方程求解过程中注重方式、方法的引导，注重特殊到一般、整体代入等数学思想方法的渗透。
3、培养学生概括、归纳总结能力。
二、重点、难点：1、重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理。
2 、难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。
三、教学过程：1、引例：给下列方程选择较简便的方法⑴5x2-3x=0 运用因式分解法⑵3x2-2=0 运用直接开平方法⑶x2-4x=6 运用配方法⑷2x2+7x-7=0 运用公式法（二）复习提问：我们学了一元二次方程的哪些解法？练习一：按括号中的要求解下列一元二次方程：（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）；（2）x2+4x+2=0（配方法）；（3）3x2+2x-1=0（公式法）（4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）概括四种解法的特点及步骤：1.直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法，这是最基础的方法，与此前解一元一次方程类似。
（在降次时注意正负两个值）2.配方法：配方法就是把方程配成一个完全平方式，再用直接开平法求解，配方时，方程左右两边同时【加上一次项系数一半的平方】。
（方法：先移项，再化二次项系数为一，然后配方，最后利用直接开平法求解。
）3.公式法：用公式法解一元二次方程时首先要将方程化成一般形式，也就是ax2+bx+c=0的形式，然后才能做。
在用公式法解一元二次方程中，先算b2-4ac的值。
4.因式分解法：因式分解法就是利用所学过的分解因式的知识来求解。
一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程练习二：选用适当的方法解下列方程（1）2(1-x)2-6=0 （3）3(1-x)2=2-2x （2）（2x－1）2＋3（2x－1）＋2＝0；（4）(x+2)(x+3)=6交流讨论：1 与同桌或邻桌同学比较，看谁的解法更简单。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。