信号与系统连续时间信号和系统时域分析
第二章 信号与系统的时域分析
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
连续时间系统的时域分析实验报告
连续时间系统的时域分析实验报告实验目的本实验旨在通过对连续时间系统的时域分析，研究信号在时域上的特性，包括信号的时域图像、平均功率、能量以及系统的时域响应。
实验原理连续时间系统是指输入输出都是连续时间信号的系统。
在时域分析中，我们关注的是信号在时间上的变化情况。
通过观察信号的时域图像，我们可以了解信号的波形和时域特性。
实验装置与步骤实验装置•函数发生器•示波器•连接线实验步骤1.将函数发生器和示波器连接起来，并确保连接正常。
2.设置函数发生器的输出信号类型和幅度，选择合适的频率和幅度。
3.打开示波器并调整合适的触发方式和触发电平。
4.观察示波器上的信号波形，并记录下观察到的时域特性。
实验数据与分析实验数据根据实验装置和步骤，我们得到了如下的实验数据：时间（ms）电压（V）0 01 12 23 14 05 -1实验分析根据实验数据，我们可以绘制出信号的时域图像。
从图像中可以看出，信号在时域上呈现出一个周期性的波形，且波形在[-1, 2]范围内变化。
由此可知，输入信号是一个连续时间周期信号。
接下来，我们可以计算信号的平均功率和能量。
平均功率表示信号在一个周期内平均消耗的功率，而能量表示信号的总能量大小。
首先，我们计算信号的平均功率。
根据公式，平均功率可以通过信号在一个周期内的幅值的平方的平均值来计算。
在本实验中，信号的周期为5ms，幅值范围为[-1, 2]，所以信号的平均功率为：平均功率= (∫[-1, 2] x^2 dx) / T由此可知，信号的平均功率为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) / 5 = 1.2。
接下来，我们计算信号的能量。
根据公式，信号的能量可以通过信号在时间上的幅值的平方的积分来计算。
在本实验中，信号在整个时间范围内的幅值范围为[-1, 2]，所以信号的能量为：能量= ∫[-1, 2] x^2 dx由此可知，信号的能量为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) = 7。
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
[例2-3]求序列 x(n) b u(n 1) 变换及收敛域。
n
x ( n)
n
b nu (n 1) z n
b 1 z (b 1 z ) 2 (b 1 z ) n
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z
n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
ze ze
jT ST
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解：
信号与系统第三章
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结在信号与系统的学习过程中，公式总结是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和掌握知识。
下面将对信号与系统中常见的公式进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念公式总结。
1. 信号的分类：连续时间信号，x(t)。
离散时间信号，x[n]2. 基本信号：单位冲激函数，δ(t)或δ[n]阶跃函数，u(t)或u[n]3. 基本性质：奇偶性，x(t) = x(-t)，x[n] = x[-n]周期性，x(t) = x(t+T)，x[n] = x[n+N]二、时域分析公式总结。
1. 基本运算：时移性质，x(t-t0)或x[n-n0]反褶性质，x(-t)或x[-n]放大缩小，Ax(t)或Ax[n]2. 基本运算公式：加法，x1(t) + x2(t)或x1[n] + x2[n]乘法，x1(t)x2(t)或x1[n]x2[n]三、频域分析公式总结。
1. 傅里叶变换：连续时间信号，X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt。
离散时间信号，X(e^jω) = Σx[n]e^(-jωn)。
2. 傅里叶变换性质：线性性质，aX1(ω) + bX2(ω)。
时移性质，x(t-t0)对应X(ω)e^(-jωt0)。
频移性质，x(t)e^(jω0t)对应X(ω-ω0)。
四、系统分析公式总结。
1. 系统性质：线性性，y(t) = ax1(t) + bx2(t)。
时不变性，y(t) = x(t-t0)对应h(t-t0)。
2. 系统时域分析：离散卷积，y[n] = Σx[k]h[n-k]连续卷积，y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。
3. 系统频域分析：系统函数，H(ω) = Y(ω)/X(ω)。
五、采样定理公式总结。
1. 采样定理：连续信号采样，x(t)对应x[n]，x[n] = x(nT)。
重建滤波器，h(t) = Tsinc(πt/T)。
六、傅里叶级数公式总结。
1. 傅里叶级数：周期信号的傅里叶级数展开。
信号与系统实验报告
信号与系统实验报告一、信号的时域基本运算1．连续时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号值就等于两输入信号相加（乘）。
由于b=2，故平移量为2时，实际是右移1，符合平移性质。
两实验之二心得体会：时域中的基本运算具有连续性，当输入信号为连续时，输出信号也为连续。
平移，伸缩变化都会导致输出结果相对应的平移伸缩。
2.离散时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号的值是对应输入信号在每个n值所对应的运算值，当进行拉伸变化后，n值数量不会变，但范围会拉伸所输入的拉伸系数。
两实验之二心得体会：离散时间信号可以看做对连续时间信号的采样，而得到的输出信号值，也可以看成是连续信号所得之后的采样值。
二、连续信号卷积与系统的时域分析1.连续信号卷积积分两实验之一实验分析：当两相互卷积函数为冲激函数时，所卷积得到的也是一个冲激函数，且该函数的冲激t值为函数x，函数y冲激t值之和。
两实验之二心得体会：连续卷积函数每个t值所对应的卷积和可以看成其中一个在k值取得的函数与另外一个函数相乘得到的一个分量函数，并一直移动k值直至最后，最后累和出来的最终函数便是所得到的卷积函数。
3.RC电路时域积分两实验之一实验分析：全响应结果正好等于零状态响应与零输入响应之和。
两实验之二心得体会：具体学习了零状态，零输入，全响应过程的状态及变化，与之前所学的电路知识联系在一起了。
三、离散信号卷积与系统的时域分析1.离散信号卷积求和两实验之一实验分析：输出结果的n值是输入结果的k号与另一个n-k的累和两实验之二心得体会：直观地观察到卷积和的产生，可以看成连续卷积的采样形式，从这个方面去想，更能深入地理解卷积以及采样的知识。
2.离散差分方程求解两实验之一实验分析：其零状态响应序列为0 0 4 5 7.5，零输入响应序列为2 4 5 5.5 5.75，全状态响应序列为2 4 9 10.5 13.25，即全状态=零输入+零状态。
两实验之二心得体会：求差分方程时，可以根据全状态响应是由零输入输入以及零状态相加所得，分开来求，同时也加深了自己对差分方程的求解问题的理解。
信号与系统MATLAB实验-实验三 连续时间系统的时域分析
四、实验内容1、一系统满足微分方程''()5'()6()()(1)y t y t y t u t u t++=--（1）求出该系统的零状态响应的解析表达式y zs(t)，并用向量表示法绘制响应曲线。
（2）用lsim求出该系统的零状态响应；利用（1）所得结果画出该系统的零状态响应。
比较二者是否相同。
%用向量表示法绘制响应曲线clearclc%函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解。
如果有初始条件，则求出特解%MATLAB常微分方程符号解的语法是:dsolve('equation', 'condition')%其中，equation代表常微分方程式，且以Dy代表一阶微分项y'，D2y代表.一阶微分项y", condition则为初始条件。
disp('零状态响应');a=dsolve('D2y+5*Dy+6*y = u(t)-u(t-1)','y(0) = 0','Dy(0)=0')%用lsim求出该系统的零状态响应clearclcdisp('用线性常系数微分方程描述LTI系统');t=-6:0.001:6;sys=tf([1],[1 5 6]);ft2=((t>=0)-(t>=1));%ft2=heaviside(t)-heaviside(t-1);y1=lsim(sys,ft2,t);plot(t,y1);xlabel('x');ylabel('y1');title('零状态响应');grid on%axis([0, t(end), -1.1, 1.1])%axis一般用来设置axes的样式，包括坐标轴范围，可读比例等2、如图所示电路，其中121,1,1,2,L H C F R R ===Ω=Ωf(t)是输入信号，y(t)是输出响应。
信号与系统——连续时间线性定常系统时域分析
对于输入 t ，其特解为 B t t 0 0 ，单位冲激响应为 h1 (t ) e t u(t ) ， 则 y1 (t ) h1 (t ) v(t ) e (t )u (t )v( )d e
0 t t
n 1
0 ，求 y (t) =
？
（1）求齐次解：由微分方程列特征方程 n an1 n1 a1 a0 0 ，求出 n 个特
i t 征根 i，i 1,, n ，则齐次解为 yh t i 1 Ae ，有 n 个待定系数 Ai，i 1,, n ；对于 i
v d 。综上有：
零状态 t 1 t v t e t v d e u t v t 0 p
e
0
t
v t d
（3-14）
由（3-14）式可进一步推得下面的（3-19）式。 § 3.2 LTI 系统的响应 LTI 系统的微分方程：
（3-11） （3-12）
若(t)、(0)已知，则(t)、(t)可确定。 注： （3-11）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应； （3-12）的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。 LTI 系统的微分方程模型： 具有 n 个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：
不同的物理系统，输入-输出方程可能相同，但含义不同
对 H p 因式分解，基本单元为 H1 (p)
1 。 H1 (p) 对输入 v t 作用产 p
生输出 y1 (t )
1 v(t ) ，即 y1 (t ) y1 (t ) v(t ) ，齐次解 y1h (t ) e t u(t ) ； p
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pd; dt
pn ddnn t
•积分算子（Integral operator）：
2020/7/15
1 t
p
d
2、算子符号的一般运算规则。
1 .p ( a )p ( b ) x [p 2 (a b ) p a ]x b d d 2 2 x t (a b )d d a x t bx
i(t) L
e(t)
C 2 R r(t)
KCL方程
解：由图列方程
KVL方程
KVL: KCL:
2020/7/15
Ld(it)r(t)e(t).....1(.)... dt
C 2dd (rtt)r(R t)i(t).......2 (.)...
将（2）式两边微分，得
C 2d2 d r(2tt)R 1dd (rtt)dd (it)t.....(.3.)...
ddnnrt an1ddnnt1r1 ....a1ddrta0r bmddmm tebm1ddmm t1e1 ... b1ddetb0e
明显看出：表示方式得到简化。
2020/7/15
例3、由电路得到微分方程
L R 21 d id 12 i tL 1 R d d 2i1 2i tC 1 C 1((ii1 2 ii2 1))d d ff12
第二章 连续时间信号和系统的时域分析
信号分析： 任意信号f(t)分解为无穷多冲激信号的和;
信号的脉冲 分解
t
f(t)0
f()(t)d
2020/7/15
系统分析： 已知系统,已知系统输入,求系统输出.
e(t)
H(p)
r(t)
2020/7/15
时域分析方法: 以时间t为自变量的分析方法.
时域分析方法：
精确制导
雷达 通信系统 信息处理 武器控制
2020/7/15
2020/7/15
一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
ddnnrt an1ddnnt1r1 ....a1ddrta0r bmddmm tebm1ddmm t1e1 ... b1ddetb0e
四、用算子电路建立系统数学模型
类似电路分析中向量法 ：L j L ,
C 1 , j C
L pL , C 1 ,
pC
仅适用于正弦稳 态电路中
2020/7/15
例4、用算子法求系统微分方程，输出为2欧姆电阻的电流。
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
n阶常系数微分方程
e(t)
r(t)
系统
2020/7/15
二、电路系统数学模型的建立
列方程的基本依据： 1、元件特性约束：ＶＣＲ方程。 2、网络拓扑约束：KCL、KVL方程。
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
2020/7/15
例1：已知电路，求输出电容电压。 • 一阶系统：
电源：
us (t)
L1d d12 2 itR 1d d1itC 1i1C 1i2d d1ft L2d d22 2 itR 2d d2i tC 1i1C 1i2d d2ft
i1(t)
i2(t)
d p
dt
dn dt n
pn
t
• d
1
p
算子方程
2020/7/15
L 1p2i1R 1p1 iC 1i1C 1i2p1f L2p2i2R 2p2iC 1i1C 1i2p2f
电容电压： u c (t )
VCR
Ri 电阻电压：
RCduc(t) dt
KVL
RC ddcu(tt)uc(t)us(t)
2020/7/15
一阶常系数线性微分方程
• 二阶系统：
+
i(t)
Uc
-
***注：同一系统不同变量的系统模型具有同一性。
2020/7/15
例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。
2020/7/15
五、传输算子（transfer operator）
e(t)
H(p)
r(t)
D(p)r(t)=N(p)e(t)
rt
Np Dp
et
传输算子
Hp
Np Dp
2020/7/15
例5、系统的输出为2欧姆电阻的电流，求系统的传输算子。
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
2.P1xd t xdx p dt
3.1P
p
x
t dx
[
d
t]t
d
x(t
)x()
若x()0, 则1Px＝x p
4.PxPy, 其中 P不能消去 dx＝dy 两边积分 x得 yC
dt dt
2020/7/15
引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
2020/7/15
**零输入响应的一般形式：
第一步：建立数学模型； 第二步：运用数学方法处理、运算和求解（t自变量）； 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。
2020/7/15
本章重点： 1、求系统的冲激响应； 2、用卷积积分法求零状态响应。
2020/7/15
２-１ LTI系统的数学模型与传输算子
一、系统数学模型的意义及形式
数学模型
2020/7/15
例6、由模拟框图H(p)
x 2
t
x1d
1 p
x1
x 3
t
x2d
1 p
x2
1 p2
x1
23
x1f(t)2x33x2 f(t)p2 x1px1
p)x2x3 p2 x1 p x1
2020/7/15
y(t) p1 H(p)f(t)p23p2)
将（3）代入（1）
Ld(it)r(t)e(t).......1(.)... dt
得：
d2r(t) Ld(r t)
L2Cd2t
r(t)e(t)
Rdt
2020/7/15
二阶常系数线性微分方程
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
２.2 零输入响应（zero—input response）
（The zero-input response is the system response due to initial conditions.）
Dprz it0
r0,r0, rn10
例、 d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)