二维导热物体温度场的数值模拟
热处理数值模拟
热处理数值模拟热处理数值模拟是一种通过数值计算方法模拟材料在热处理过程中的温度分布、相变行为和应力变化等物理现象的过程。
下面是一个详细精确的热处理数值模拟的步骤：1. 确定模拟的材料和几何形状：首先需要确定要进行热处理数值模拟的材料和其几何形状。
这包括材料的热物性参数（如热导率、比热容等）和几何形状的尺寸。
2. 建立数值模型：根据材料和几何形状的信息，建立数值模型。
数值模型可以是二维或三维的，可以采用有限元方法或有限差分方法等数值计算方法。
3. 确定边界条件：根据实际热处理过程中的边界条件，如加热温度、冷却速率等，确定数值模型的边界条件。
边界条件可以是恒定的，也可以是随时间变化的。
4. 确定材料的热物性参数：根据实验数据或已有的文献资料，确定材料的热物性参数。
这些参数包括热导率、比热容、相变温度等。
5. 设置数值计算参数：确定数值计算的时间步长、网格尺寸等参数。
这些参数的选择需要保证数值模拟的精度和计算效率之间的平衡。
6. 进行数值计算：根据数值模型、边界条件和材料的热物性参数，进行数值计算。
数值计算可采用显式或隐式的数值方法，如前向差分法、后向差分法等。
7. 分析计算结果：根据数值计算的结果，分析材料在热处理过程中的温度分布、相变行为和应力变化等物理现象。
可以通过可视化技术将计算结果以图形或动画的形式展示出来，以便更直观地理解和分析。
8. 验证和优化模型：根据实验数据或已有的文献资料，对数值模型进行验证和优化。
可以通过与实验结果的对比来评估数值模拟的准确性，并对模型进行调整和改进。
以上是热处理数值模拟的详细精确步骤，通过这些步骤可以对材料在热处理过程中的物理现象进行准确的数值模拟和分析。
简单的二维热传导模拟-c_c++ code
HANDLE_ERROR(cudaMalloc((void**)&data.dev_constSrc,bitmap.image_size()));
float *temp=(float*)malloc(bitmap.image_size());
}
int main(void)
{
DataBlock data;
CPUAnimBitmap bitmap(DIM,DIM,&data);
data.bitmap=&bitmap;
data.totalTime=0;
data.frames=0;
HANDLE_ERROR(cudaEventCreate(&data.start));
//将作为热源的单元温度值复制到网格中相应的单元中，
__global__ void copy_const_kernel(float *iptr,const float *cptr){
//
int x=threadIdx.x+blockIdx.x*blockDim.x;
int y=threadIdx.y+blockIdx.y*blockDim.y;
{
for(int x=400;x<500;x++)
{
temp[x+y*DIM]=MIN_TEMP;
}
}
HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(data.dev_constSrc,temp,bitmap.image_size(),cudaMemcpyHostToDevice));
二维导热物体温度场的数值模拟
传热大作业二维导热物体温度场的数值模拟（等温边界条件）姓名：班级：学号：墙角稳态导热数值模拟（等温条件）一、物理问题有一个用砖砌成的长方形截面的冷空气空道，其截面尺寸如下图所示，假设在垂直于纸面方向上冷空气及砖墙的温度变化很小，可以近似地予以忽略。
在下列两种情况下试计算：（1）砖墙横截面上的温度分布；（2）垂直于纸面方向的每米长度上通过砖墙的导热量。
外矩形长为，宽为；内矩形长为，宽为。
第一种情况：内外壁分别均匀地维持在0℃及30℃；第二种情况：内外表面均为第三类边界条件，且已知：外壁：30℃ ，h1=10W/m2·℃,内壁：10℃ ，h2= 4 W/m2·℃砖墙的导热系数λ= W/m ·℃由于对称性，仅研究1/4部分即可。
二、数学描写对于二维稳态导热问题，描写物体温度分布的微分方程为拉普拉斯方程 02222=∂∂+∂∂y t x t这是描写实验情景的控制方程。
三、方程离散用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为确定温度值的空间位置，即节点。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表。
由于对称性，仅研究1/4部分即可。
依照实验时得点划分网格：建立节点物理量的代数方程对于内部节点，由∆x=∆y ，有)(411,1,,1,1,-+-++++=n m n m n m n m n m t t t t t由于本实验为恒壁温，不涉及对流，故内角点，边界点代数方程与该式相同。
设立迭代初场，求解代数方程组。
图中，除边界上各节点温度为已知且不变外，其余各节点均需建立类似3中的离散方程，构成一个封闭的代数方程组。
以C t 000=为场的初始温度，代入方程组迭代，直至相邻两次内外传热值之差小于，认为已达到迭代收敛。
四、编程及结果1)源程序#include<>#include<>int main(){int k=0,n=0;double t[16][12]={0},s[16][12]={0};double epsilon=;double lambda=,error=0;double daore_in=0,daore_out=0,daore=0;FILE *fp;fp=fopen("data3","w");for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++){if((i==0) || (j==0)) s[i][j]=30;if(i==5)if(j>=5 && j<=11) s[i][j]=0;if(j==5)if(i>=5 && i<=15) s[i][j]=0;}for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++)t[i][j]=s[i][j];n=1;while(n>0){n=0;for(int j=1;j<=4;j++)t[15][j]=*(2*t[14][j]+t[15][j-1]+t[15][j+1]);for(int i=1;i<=4;i++)t[i][11]=*(2*t[i][10]+t[i-1][11]+t[i+1][11]);for(int i=1;i<=14;i++)for(int j=1;j<=4;j++)t[i][j]=*(t[i+1][j]+t[i-1][j]+t[i][j+1]+t[i][j-1]);for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=5;j<=10;j++)t[i][j]=*(t[i+1][j]+t[i-1][j]+t[i][j+1]+t[i][j-1]);for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++)if(fabs(t[i][j]-s[i][j])>epsilon)n++;for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++)s[i][j]=t[i][j];k++;实验结果可知：等温边界下，数值解法计算结果与“二维导热物体温度场的电模拟实验“结果相似，虽然存在一定的偏差，但由于点模拟实验存在误差，而且数值解法也不可能得出温度真实值，同样存在偏差，但这并不是说数值解法没有可行性，相反，由于计算结果与电模拟实验结果极为相似，恰恰说明数值解法分析问题的可行性。
热流体课程实验报告-二维导热物体温度场的计算机模拟实验
二维导热物体温度场的计算机模拟实验一、实验目的(1)学习电、热类比的原理及边界条件的处理；(2)通过计算机编程的方式求出墙角导热的离散温度场。
二、实验原理二维稳态过程，导热方程为∂2t ðx2+∂2tðy2=0二维稳态导热内部节点的差分方程为t i+1,j+t i−1,j+t i,j+1+t i,j−1−4t i,j=0于是内部节点的迭代计算式为t i,j=t i+1,j+t i−1,j+t i,j+1+t i,j−14对于恒温边界条件，除了绝热边界时使用对称性外，只使用上面一个迭代计算式即可。
但是对于对流边界，边界上的点，按位置分为内角点、外角点和平直边界，按类型分为对流边界、绝热边界，计算步骤相比恒温边界下更为复杂。
按位置：a)内角点：4个方向均有导热热流，有dx2+dy2面积的对流换热b)外角点：2个方向有导热，有dx2+dy2面积的对流换热c)平直边界：3个方向有导热，有dx或dy面积的对流换热按类型：a)绝热边界：该点的绝热一侧没有热流量，基尔霍夫定律中，此方向的热流量代入0计算b)对流边界：该点该方向的对流换热量由牛顿冷却公式q=hA(t∞−t i,j)计算得出综上所述：对流边界下的差分方程为：Φi−1,j+Φi+1,j+Φi,j−1+Φi,j+1+Φ对流=0其中，Φi−1,j,Φi+1,j,Φi,j−1,Φi,j+1为导热量，q对流为对流边界换热量。
Φi−1,j=λA(t i−1,j−t i,j)dx，Φ对流=ℎA(t∞−t i,j)。
代入所有q的计算式，可解得t i,j=∑λA k t kdxk+ℎ对流A对流t∞∑λA kdxk+ℎ对流A对流注意：a)k为实际参与导热的几个方向，对于内角点有4项，外角点有2项，平直边界有3项，绝热边界还要去掉这一方向的那一项b)A k的值根据实际位置确定，内角点得两个方向为0.5dx两个方向为1dx,外角点的两实验名称个方向均为0.5dx，平直边界有两个0.5dx和一个1dxc)内外测流体的ℎ不相等，对流面积为该网格实际与流体接触的面积角点为0.5dx，平直边界为1dx。
二维导热物体温度场的数值模拟
金属凝固过程计算机模拟题目：二维导热物体温度场的数值模拟Solidworks十字接头的传热分析作者：张杰学号：S2*******学院：北京有色金属研究总院专业：材料科学与工程成绩：2015 年12 月二维导热物体温度场的数值模拟图1 二维均质物体的网格划分用有限差分法模拟二维导热物体的温度场，首先将二维物体划分为如图1所示的网格，x ∆与y ∆可以是不变的常量,即等步长,也可以是变量(即在区域内的不同处是不同的),即变步长｡如果区域内各点处的温度梯度相差很大,则在温度变化剧烈处,网格布得密些,在温度变化不剧烈处,网格布得疏些｡至于网格多少,步长取多少为宜,要根据计算精度与计算工作量等因素而定｡在有限的区域内,将二维不稳定导热方程式应用于节点,)i j （可写成: ,2222 ,i jPPp i j T T T C x y ρλτ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭,1 , ,()i jP P Pi j i jT T T οτττ+-∂⎛⎫=+∆ ⎪∂∆⎝⎭ (), 1 , , 1 ,222()i j P P P Pi j i j i j T T T T x x x ο+--+∂⎛⎫=+∆ ⎪∂⎝⎭∆ () , ,1 , ,1222()i jPP P Pi j i j i j T T T T y y y ο+--+⎛⎫∂=+∆ ⎪∂∆⎝⎭τ∆、x ∆、y ∆ 当τ∆、x ∆、y ∆较小时，忽略()οτ∆、2()x ο∆、2()y ο∆项。
当x y ∆=∆时，即x 、y 方向网格划分步长相等｡最后得到节点,)i j （的差分方程: ()1 , ,0 1 , 1 , ,1 ,1 ,4P P P P P P Pi j i j i j i j i j i j i j T T F T T T T T ++-+-=++++-式中:()02p F C x λτρ∆=∆｡假设边界为对流和辐射边界，对流用以下公式计算：()(),1 , ,0 1 , ,1 ,1 ,24Pc f i j P P P P P P i j i j i j i j i j i j p a T T T T F T T T T C xτρ+-+-∆-=+++-+∆MATLAB 编程模拟clc; clear;format long %% 参数输入moni_canshu=xlsread('模拟参数输入.xlsx',1,'B2:B11'); %读取excel 中的模拟参数 s=moni_canshu(1); %几何尺寸,m t0=moni_canshu(2); %初始温度，℃tf=moni_canshu(3); %辐射（空气）边界，℃ rou=moni_canshu(4); %密度,kg/m3lamda=moni_canshu(5); %导热系数,w/(m ℃) Cp=moni_canshu(6); %比热,J/(kg ℃)n=moni_canshu(7); %工件节点数,个<1000 dt=60*moni_canshu(8); %时间步长，min to s m=moni_canshu(9); %时间步数,个<100 dx=s/(n-1);%计算dxf0=lamda*dt/(rou*Cp*dx*dx);%计算f0 %% 初始参数矩阵，初始温度 for iii=1:n for jjj=1:nTold(iii,jjj)=t0; end endTold(1,:)=tf; Told(n,:)=tf; Told(:,1)=tf;Told(:,n)=tf;%% 写文件表头xlswrite('data.xlsx',{['坐标位置']},'sheet1','A1');asc=97;for ii=1:nbiaotou1={['第' num2str(ii) '点']};asc=asc+1;xlswrite('data.xlsx',biaotou1,'sheet1',[char(asc) '1']);xlswrite('data.xlsx',biaotou1,'sheet1',['A' num2str(ii+1)]);end%% 模拟运算for jj=1:2copyfile('data.xlsx','data1.xlsx')Tnew(1,1:n)=tf;Tnew(n,1:n)=tf;Tnew(1:n,1)=tf;Tnew(1:n,n)=tf;for i=2:n-1for j=2:n-1Tnew(i,j)=Told(i,j)+f0*(Told(i-1,j)-4*Told(i,j)+Told(i+1,j)+Told(i,j-1)+Told(i,j+1)); endendTold=Tnew;pcolor(Told);%绘图shading interpcolormap(jet)pause(0.1)saveas(gcf,['第' num2str(jj*0.1) 's温度图像.jpg']);xlswrite('data1.xlsx',Told,'sheet1','B2');copyfile('data1.xlsx',['第' num2str(jj*0.1) 's数据.xlsx'])delete('data1.xlsx');end图3 模拟物体的温度分布图2 模拟物体的温度等高线图和温度梯度分布图。
西安交通大学传热学大作业---二维温度场热电比拟实验
二维导热物体温度场的数值模拟一、物理问题有一个用砖砌成的长方形截面的冷空气通道，其截面尺寸如下图1-1所示，假设在垂直于纸面方向上用冷空气及砖墙的温度变化很小，可以近似地予以忽略。
在下列两种情况下试计算： 砖墙横截面上的温度分布；垂直于纸面方向的每米长度上通过砖墙的导热量。
第一种情况：内外壁分别均匀维持在0℃及30℃； 第二种情况：内外壁均为第三类边界条件，且已知：Km K m W h C t Km W h C t ∙=∙=︒=∙=︒=∞∞/35.0/93.3,10/35.10,30222211λ砖墙导热系数二、数学描写由对称的界面必是绝热面，可取左上方的四分之一墙角为研究对象，该问题为二维、稳态、无内热源的导热问题。
控制方程：02222=∂∂+∂∂y tx t边界条件： 第一种情况：由对称性知边界1绝热： 0=w q ； 边界2为等温边界，满足第一类边界条件： C t w ︒=0；1-1图2-1图边界3为等温边界，满足第一类边界条件： C t w ︒=30。
第一种情况：由对称性知边界1绝热： 0=w q ；边界2为对流边界，满足第三类边界条件： )()(2f w w w t t h n tq -=∂∂-=λ； 边界3为对流边界，满足第三类边界条件： )()(2f w w w t t h ntq -=∂∂-=λ。
三、方程离散用一系列与坐标轴平行的间隔0.1m 的二维网格线将温度区域划分为若干子区域，如图1-3所示。
采用热平衡法，利用傅里叶导热定律和能量守恒定律，按照以导入元体（m,n ）方向的热流量为正，列写每个节点代表的元体的代数方程，第一种情况： 边界点：边界1（绝热边界）：5~2)2(411,11,12,1,m =++=+-m t t t t m m m ， 11~8)2(411,161,16,15,16=++=+-n t t t t n n n n，3-1图边界2（等温内边界）： 7,16~7;7~1,6,0,=====n m n m t nm边界3（等温外边界）： 12,16~2;12~1,1,30,=====n m n m t n m内节点：11~8,15~6;11~2,5~2)(411,1,,1,1,====+++=-+-+n m n m t t t t t n m n m n m n m n m第二种情况 边界点：边界1（绝热边界）： 5~2)2(411,11,12,1,m =++=+-m t t t t m m m ， 11~8)2(411,161,16,15,16=++=+-n t t t t n n n n ，边界2（内对流边界）：6~1)2(222111,61,6,5,6=++++=∆∆-+n Bi t Bi t t t t n n n n ，16~7)2(2221117,17,18,7,=++++=∆∆-+m Bi t Bi t t t t m m m m ，边界3（外对流边界）：11~1)2(2222221,11,1,2,1=++++=∆∆-+n Bi t Bi t t t t n n n n，16~2)2(22222212,112,111,12,=++++=∆∆-+m Bi t Bi t t t t m m m m ，内角点： )3(22)(21116,67,78,67,57,6+++++=∆∆Bi t Bi t t t t t外角点：)1(222211,112,212,1+++=∆∆Bi t Bi t t t内节点：11~8,15~6;11~2,5~2);(411,1,,1,1,====+++=-+-+n m n m t t t t t n m n m n m n m n m（10,22121==∆=∞∆t t xh Bi λ；30,21212==∆=∞∆t t xh Bi λ）四、编程思路及流程图编程思路为设定两个二维数组t(i,j)、ta(i,j)分别表示本次迭代和上次迭代各节点的温度值，iter （实际编程时并未按照此名称来命名迭代步长）表示迭代进行的次数, 1Q 、2Q 分别表示外边界、内边界的散热量。
二维导热物体温度场的数值模拟
二维导热物体温度场的数值模拟班级：建环11姓名：谢庄璞学号：2110701017物理问题：一个长方形截面的冷空气通道的尺寸如图1所示。
假设在垂直于纸面的方向上冷空气及通道墙壁的温度变化很小，可以忽略。
试用数值方法计算下列两种情况下通道壁面中的温度分布及每米长度上通过壁面的冷量损失：（1）.内、外壁分别维持在0摄氏度及30摄氏度；（2）.内、外壁与流体发生对流传热，且已知：（由于本人实验做的是对流边界条件，专门编写了第三类的程序，第一类边界条件参考的是别人的程序，节点设计有所不同）T1=30,h1=10(实验值是10.34)T2=10,h2=4（实验值是3.93）(图1）（图2）分析问题：因为截面材料均匀，且边界条件对称，故截面上的温度分布也对称，可去1/4的截面如图2，本题采用数值法求解，将截面上的点进行划分，如图3所示，网格的交点为所选取的节点。
图30.53程序内容：（1）PROGRAM MAINIMPLICIT NONEINTEGER::I,J,KREAL::V=0.53,TF1=10,TF2=30REAL::M1=0,M2=0,N1=0,N2=0,Q1=0,Q2=0REAL::T(16,12)=0 !初设节点温度均为0摄氏度!设置内壁温度为10摄氏度DO I=6,16T(I,6)=TF1END DODO J=6,12T(6,J)=TF1END DO!设置外壁温度为30摄氏度T(I,1)=TF2END DODO J=1,12T(1,J)=TF2END DO!设置其他节点DO K=1,1000!设置内部节点DO I=2,5DO J=2,11T(I,J)=(T(I-1,J)+T(I+1,J)+T(I,J-1)+T(I,J+1))/4 END DOEND DODO I=6,15DO J=2,5T(I,J)=(T(I-1,J)+T(I+1,J)+T(I,J-1)+T(I,J+1))/4 END DOEND DO!设置对称线上的节点DO J=2,5T(16,J)=(2*T(15,J)+T(16,J-1)+T(16,J+1))/4END DODO I=2,5T(I,12)=(2*T(I,11)+T(I-1,12)+T(I+1,12))/4END DOEND DODO I=1,16DO J=1,12WRITE(*,*)I,J,T(I,J)OPEN(1,FILE='T01.txt')WRITE(1,*)T(I,J)END DOEND DODO J=6,11M1=M1+V*(T(5,J)-T(6,J))END DOM2=M2+V*(T(I,5)-T(I,6))END DOQ1=0.5*V*(T(5,12)-T(6,12))+0.5*V*(T(16,5)-T(16,6))+M1+M2 !内壁面能放出的热量DO J=2,11N1=N1+V*(T(1,J)-T(2,J))END DODO I=2,15N2=N2+V*(T(I,1)-T(I,2))END DOQ2=0.5*V*(T(1,12)-T(2,12))+0.5*V*(T(16,1)-T(16,2))+N1+N2 !外壁面能吸收的热量WRITE(*,*)"Q1=",Q1,"Q2=",Q2,"冷量损失为：",(Q1+Q2)/2END PROGRAM MAIN（2）program mainimplicit nonereal h1,h2,lenda,tf1,tf2real t(16,12)integer i,j,xh1=10.34h2=3.93lenda=0.53tf1=30tf2=10h1=h1/10 !注：由于下面未算节点长度，在次进行修正h2=h2/10open(01,file='CH.dat')!zhengti fu chuzhido j=1,12,1do i=1,16,1t(i,j)=10end doend dodo x=1,1000000do j=2,11,1!dui yu di 1 lie j cong 2 dao 11------------------------------------------------------1t(1,j)=1./(h1+2*lenda)*(h1*tf1+lenda/2*t(1,j+1)+lenda/2*t(1,j-1)+lenda*t(2,j)) end do!dui yu wai jiao dian t(1,12)---------------------------------------------------------2t(1,12)=1./(h1+lenda)*(h1*tf1+lenda/2*(t(2,12)+t(1,11)))do i=2,15,1!dui yu di 12 hang i cong 2 dao 15----------------------------------------------------3t(i,12)=1./(h1+2*lenda)*(lenda/2*(t(i-1,12)+t(i+1,12))+lenda*t(i,11)+h1*tf1) end dodo i=7,15,1!dui yu di 7 hang i cong 7 dao 15-----------------------------------------------------4t(i,7)=1./(h2+2*lenda)*(lenda*t(i,8)+lenda/2*(t(i-1,7)+t(i+1,7))+h2*tf2)end dodo j=2,6,1!dui yu di 6 lie j cong 2 dao 6-------------------------------------------------------5t(6,j)=1./(h2+2*lenda)*(lenda*t(5,j)+lenda/2*(t(6,j+1)+t(6,j-1))+h2*tf2)end do!dui yu nei jiao dian t(6,7)----------------------------------------------------------6t(6,7)=1./(3*lenda+h2)*(lenda*(t(6,8)+t(5,7))+lenda/2*(t(7,7)+t(6,6))+h2*tf2)do i=2,5,1!dui yu di 1 hang i cong 2 dao 5------------------------------------------------------7t(i,1)=1./4*(t(i-1,1)+t(i,2)+t(i+1,1)+t(i,2))end dodo j=8,11,1!duiyu di 16 lie j cong 8 dao11------------------------------------------------------8t(16,j)=1./4*(t(15,j)+t(15,j)+t(16,j+1)+t(16,j-1))end do!dui yu jiedian t(1,1)----------------------------------------------------------------9t(1,1)=1./(2*lenda+h1)*(lenda*(t(2,1)+t(1,2))+h1*tf1)!duiyu jiedian t(6,1)-----------------------------------------------------------------10t(6,1)=1./(2*lenda+h2)*(lenda*(t(6,2)+t(5,1))+h2*tf2)!duiyu jiedian t(16,7)----------------------------------------------------------------11t(16,7)=1./(2*lenda+h2)*(lenda*(t(16,8)+t(15,7))+h2*tf2)!dui yu jiedian t(16,12)--------------------------------------------------------------12t(16,12)=1./(2*lenda+h1)*(lenda*(t(16,11)+t(15,12))+h1*tf1)do j=2,7,1do i=2,5,1!dui yu niebujiedian------------------------------------------------------------------1 3t(i,j)=1./4*(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j+1)+t(i,j-1))end doend dodo j=8,11,1do i=2,15,1!dui yu niebujiedian------------------------------------------------------------------1 4t(i,j)=1./4*(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j+1)+t(i,j-1))end doend doend doprint*,tdo j=1,12do i=1,16write(01,*) i,j,t(i,j)1 !用于导出数据方便作图end doend doclose(01)do i=2,11q1=q1+10.34*0.1*(30-t(1,i)) end doq1=q1+10.34*0.05*(30-t(1,1)) do i=2,15q1=q1+10.34*0.1*(30-t(i,12)) end doq1=q1+10.34*0.05*(30-t(16,12)) q1=q1+10.34*0.1*(30-t(1,12)) print*,q1do i=2,6q2=q2+3.93*0.1*(t(6,i)-10)end dodo i=7,15q2=q2+3.93*0.1*(t(i,7)-10)end doq2=q2+3.93*0.1*(t(6,7)-10)q2=q2+3.93*0.05*(t(6,1)-10)q2=q2+3.93*0.05*(t(16,7)-10) print*,q2q=(q1+q2)/2print*,qEndprogram由于有4个部分，所以总热量是q=28.24457*4=112.97828 w编程思路：对整个区域进行节点离散化，写出各个节点与周围节点的关系式，然后进行迭代，直到前后两次算出来的结果相差符合误差要求为止（本实验中循环次数足够多后数值基本不变，故没有设计判断的部分）。
二维热传导方程数值解及matlab实现
在热传导学科中，二维热传导方程是一个非常重要的数学模型，用于描述二维热传导过程中温度分布随时间的变化规律。
通过对二维热传导方程的数值解及其在Matlab中的实现，可以更好地理解热传导过程及其在工程学、物理学和地球科学等领域的应用。
让我们来了解一下二维热传导方程的基本形式。
二维热传导方程通常可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) $$在这里，$u(x, y, t)$代表温度随空间坐标$(x, y)$和时间$t$的变化，$\alpha$代表热扩散系数。
方程右侧的两项分别表示温度在$x$方向和$y$方向的二阶导数。
通过数值方法对这个方程进行离散化处理，可以得到其数值解。
在进行数值解的求解过程中，一个常用的方法是有限差分法。
有限差分法将空间和时间进行离散化，将连续的问题转化为离散的问题。
通过将偏导数用差分的形式进行逼近，可以得到关于温度在不同空间点和时间点的离散方程，进而通过迭代求解得到数值解。
这里要注意，为了保证数值解的准确性和稳定性，需要对离散化步长进行合理的选择，并对边界条件和初始条件进行适当的处理。
那么，在Matlab中，我们如何实现二维热传导方程的数值解呢？我们可以通过定义空间网格和时间步长来进行离散化处理，然后利用循环结构和矩阵运算来进行迭代求解。
Matlab提供了丰富的矩阵运算和可视化工具，可以方便地实现对二维热传导方程数值解的求解和结果的可视化呈现。
我个人认为，二维热传导方程的数值解及其在Matlab中的实现，不仅仅是一个数学问题，更是一个工程问题。
通过对二维热传导方程的数值解，可以更好地理解热传导过程的规律，为工程实践中的热传导问题提供重要的参考依据。
通过Matlab的实现，可以更好地将数学模型与工程实践相结合，实现对热传导问题的仿真分析和优化设计。
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传热大作业二维导热物体温度场的数值模拟（等温边界条件）姓名：班级：学号：墙角稳态导热数值模拟（等温条件）一、物理问题有一个用砖砌成的长方形截面的冷空气空道，其截面尺寸如下图所示，假设在垂直于纸面方向上冷空气及砖墙的温度变化很小，可以近似地予以忽略。
在下列两种情况下试计算：（1）砖墙横截面上的温度分布；（2）垂直于纸面方向的每米长度上通过砖墙的导热量。
外矩形长为3.0m ，宽为2.2m ；内矩形长为2.0m ，宽为1.2m 。
第一种情况：内外壁分别均匀地维持在0℃及30℃；第二种情况：内外表面均为第三类边界条件，且已知：外壁：30℃ ，h1=10W/m2·℃,内壁：10℃ ，h2= 4 W/m2·℃砖墙的导热系数λ=0.53 W/m ·℃由于对称性，仅研究1/4部分即可。
二、数学描写对于二维稳态导热问题，描写物体温度分布的微分方程为拉普拉斯方程 02222=∂∂+∂∂y t x t这是描写实验情景的控制方程。
三、方程离散用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为确定温度值的空间位置，即节点。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表。
由于对称性，仅研究1/4部分即可。
依照实验时得点划分网格：建立节点物理量的代数方程对于内部节点，由∆x=∆y ，有 )(411,1,,1,1,-+-++++=n m n m n m n m n m t t t t t由于本实验为恒壁温，不涉及对流，故内角点，边界点代数方程与该式相同。
设立迭代初场，求解代数方程组。
图中，除边界上各节点温度为已知且不变外，其余各节点均需建立类似3中的离散方程，构成一个封闭的代数方程组。
以C t 000=为场的初始温度，代入方程组迭代，直至相邻两次内外传热值之差小于0.01，认为已达到迭代收敛。
四、编程及结果1) 源程序#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){int k=0,n=0;double t[16][12]={0},s[16][12]={0}; double epsilon=0.001;double lambda=0.53,error=0; double daore_in=0,daore_out=0,daore=0; FILE *fp;fp=fopen("data3","w");for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++){if((i==0) || (j==0)) s[i][j]=30;if(i==5)if(j>=5 && j<=11) s[i][j]=0;if(j==5)if(i>=5 && i<=15) s[i][j]=0;}for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++)t[i][j]=s[i][j];n=1;while(n>0){n=0;for(int j=1;j<=4;j++)t[15][j]=0.25*(2*t[14][j]+t[15][j-1]+t[15][j+1]);for(int i=1;i<=4;i++)t[i][11]=0.25*(2*t[i][10]+t[i-1][11]+t[i+1][11]);for(int i=1;i<=14;i++)for(int j=1;j<=4;j++)t[i][j]=0.25*(t[i+1][j]+t[i-1][j]+t[i][j+1]+t[i][j-1]);for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=5;j<=10;j++)t[i][j]=0.25*(t[i+1][j]+t[i-1][j]+t[i][j+1]+t[i][j-1]);for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++)if(fabs(t[i][j]-s[i][j])>epsilon)n++;for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=11;j++)s[i][j]=t[i][j];k++;//printf("%d\n",k);}for(int j=0;j<=5;j++){ for(int i=0;i<=15;i++){ printf("%4.1f ",t[i][j]);fprintf(fp,"%4.1f ",t[i][j]);}printf("\n");fprintf(fp,"\n");}for(int j=6;j<=11;j++){ for(int i=0;i<=5;i++){ printf("%4.1f ",t[i][j]);fprintf(fp,"%4.1f ",t[i][j]);}fprintf(fp,"\n");printf("\n");}for(int i=1;i<=14;i++)daore_out+=(30-t[i][1]);for(int j=1;j<=10;j++)daore_out+=(30-t[1][j]);daore_out=4*(lambda*(daore_out+0.5*(30-t[1][11])+0.5*(30-t[15][1])));for(int i=5;i<=14;i++)daore_in+=t[i][4];for(int j=5;j<=10;j++)daore_in+=t[4][j];daore_in=4*(lambda*(daore_in+0.5*t[4][11]+0.5*t[15][4]));error=abs(daore_out-daore_in)/(0.5*(daore_in+daore_out));daore=(daore_in+daore_out)*0.5;printf("k=%d\n内墙导热=%f\n外墙导热=%f\n平均值=%f\n偏差=%f\n",k,daore_in,daore_out,daore,error);}2)结果截图七．总结与讨论1.由实验结果可知：等温边界下，数值解法计算结果与“二维导热物体温度场的电模拟实验“结果相似，虽然存在一定的偏差，但由于点模拟实验存在误差，而且数值解法也不可能得出温度真实值，同样存在偏差，但这并不是说数值解法没有可行性，相反，由于计算结果与电模拟实验结果极为相似，恰恰说明数值解法分析问题的可行性。
用数值解法仅用计算机模拟就能解决某些复杂的工程问题，为复杂工程问题的求解提供了极大的便利。
2.在实验中，内外边界散热量存在偏差，这在很大程度上是由于用数值计算分析问题时，采用离散平均的思想，用节点中心的温度代替节点的平均温度从而产生误差。
不断提高所划分的网格数目，实验偏差会得到不断改善。
3.通过这次的上机实验，对传热的很多问题和数值算法都有一定的加深理解和掌握，收获很多，同时对于个人的动手动脑及解决问题的能力都有一定的提高。
同样，这也反过来证实了“二维导热物体温度场的电模拟实验”的正确性和可行性。
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