北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2020-2021学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开学分班考试数学试题(解析版)
A． y x 1和 y x2 1 x 1
B． y x0 和 y 1 x R
C． y = x2 和 y x 12
D． y (
x)2 和 y
x
(
x x )2
【答案】D 【解析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断. 【详解】
A. y x 1的定义域为 R， y x2 1 的定义域为x | x 1 ，故错误；
7．设 M 2a(a 2) 7 ， N (a 2)(a 3) ，则 M 与 N 的大小关系是（ ）
A． M N
B． M N
C． M N
D． M N
【答案】A
【解析】利用作差法求解出 M N 的结果，将所求结果与 0 作比较，然后可得 M , N 的
大小关系.
【详解】
因为
M
N
2a a
6
【点睛】 本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．
14．已知 f (x) 为一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3, 则 f (1) 的值为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】设 f (x) kx b ，代入 f [ f (x)] 4x 3, 得到 f (x) 2x 1或
2020-2021 学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开 学分班考试数学试题
一、单选题
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4, M 0,1, 2, N 2,3 则 CU M N ( )
A．2
B．3
C．2,3, 4
D．0,1, 2,3, 4
【答案】B 【解析】先求 M 的补集，再与 N 求交集． 【详解】 ∵全集 U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}， ∴∁UM＝{3，4}． ∵N＝{2，3}， ∴（∁UM）∩N＝{3}． 故选 B． 【点睛】 本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．
北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试化学试题含答案
A．N2、H2、NH3 在容器中共存 B．v 正（N2）＝3v 逆（H2） C．混合气体的总物质的量不再发生变化
D．单位时间内生成 n mol N2，同时生成 3n mol H2 11．下列属于对环境不产生污染的二次能源的是
A．煤炭
B．核能
C．风能
D．氢能
12．碘在不同状态下(固态或气态)与氢气反应的热化学方程式如下所示：
C．能使酚酞变红的溶液中： Na、Cl、SiO32、NO3
D． c(OH- )=1mol/L 溶液中： K、Na、HCO3、AlO2
5．人类的生命健康与化学息息相关。下列说法正确的是 A．油脂是人体不可缺少的营养物质 B．淀粉没有甜味，糖尿病患者多食无碍 C．重金属盐溶液能使蛋白质盐析，会使人中毒 D．纤维素在人体内能水解为葡萄糖，为人体提供营养 6．下列叙述中，正确的是（ ） A．钢铁腐蚀的负极反应为：Fe - 3e- = Fe3+ B．Cu-Zn 及 H2SO4 溶液构成的原电池中负极材料为 Cu C．无隔膜电解饱和 NaCl 溶液所得产物之一是“84”消毒液中的有效成分 D．H2-O2 燃料电池中电解液为 H2SO4，则正极反应式为：O2 + 4e- = 2O27．《厉害了，我的国》展示了中国在航空、深海、交通、互联网等方面取得 的举世瞩目的成就，它们与化学有着密切联系。下列说法正确的是（ ）
18．下列物质的实验室制取、检验及分离方法不合理的是（夹持装置已略去， 气密性已检验）。
A．
制取并检验氨气
B．
制取并检验 SO2 气体
C．
制取并提纯乙酸乙酯
D．
制取并检验乙炔
19．无机非金属材料在信息科学、航空航天、建筑及能源等领域中得到广泛 应用。下列无机非金属材料不属于含硅材料的是( )
北京市首都师范大学附属中学2020_2021学年高二英语上学期期中试题含解析
1、看清楚先行词的意义，就是理清先行词是指人、指物、时间、地点、原因。指物时不能用who或whom，指人时通常不用which等等。
2、看清楚关系词的句法功能，就是理清关系词是担任什么句子成分，是作主语还是宾语、是作定语还是状语等等。作定语通常用whose，有时也用which。作状语要用when, where, why。
【答案】7. But/ Yet
8. mean 9. on
10. quieter
【解析】
【分析】这是一篇说明文。主要说明了如今因为电池技术的进步和政府补贴的作用，电动汽车正变得常见，这种变化将对生活产生巨大的影响。道路将变得更加安静，污染水平将迅速降低，这可能会提高生活质量。
【7题详解】
考查连词。句意：但是/然而有限的范围和高昂的价格使电动车成为道路上罕见的景象。结合上下文语境可知为转折关系，故用连词but，或用连接副词yet。句首字母要大写。故填But/ Yet。
【10题详解】
考查比较级。句意：道路将变得更加安静，污染水平将迅速降低，这可能会提高生活质量。结合句意表示“更加安静”应用形容词比较级形式quieter。故填quieter。
二、完形填空(共10小题，每小题1分，共10分)
Dash of Hope
"Dash" is a symbol which represents everyday we've spent alive on earth. Therefore, how you spend your "dash" is important.
3、看清楚定语从句的种类，就是理清是限制性定语从句还是非限制性定语从句。that、why通常不引导非限制性定语从句。
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）A ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±2. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）A ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==3. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( ) A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．15. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）A ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<6. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A B ． C ．12 D ．7. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=8. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ） A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=10. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --=11. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ） A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=12. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）A ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．14. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．15. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．16. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程．18. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）点(,)P x y 在轨迹C 上，求2yx -的最小值．19. （12分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．20. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．21. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF与平面PCD所成角的正弦值等于15；②DA与平面PDF所成角的正弦值等于34；③P A与平面PDF所成角的正弦值等于3．问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线:l x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 23. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）CA ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±24. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）DA ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==25. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )CA ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴26. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( )B A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．127. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）DA ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<28. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）AA B ． C ．12 D ．29. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=30. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）BA ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 31. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ）ABD A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=32. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）CDA ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过点2)且与直线l 40y --=33. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ）BC A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=34. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）ACDA ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当2m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF【解析】设椭圆的左焦点为F '，则||||AF BF '=，所以||||||||AF BF AF AF '+=+为定值6，A 正确；ABF ∆的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，易知||AB 的范围是(0,6)，所以ABF ∆的周长的范围是(6,12)，B 错误；将y 与椭圆方程联立，可解得(A ，B ，又易知F ，所以2(60AF BF =+=，所以ABF ∆为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得(A ，B ，所以112ABF S ∆=⨯=D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．35. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．336. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．21537. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．34(,0,)55--38. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．【解析】直线()()21340m x m y m +-+--=化为 (3)240m x y x y --+--=，令30{ 240x y x y --=--=，解得1{2x y -＝．＝∴直线()()21340m x m y m +-+--=过定点12Q -（，）． ∴点M 在以PQ 为直径的圆上，圆心为线段PQ 的中点11C --（，）线段MN 长度的最大值5CN r =+==线段MN 长度的最大值5CN r =-==故答案为5⎡+⎣.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 39. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程． 解：(1)设线段BC 的中点为D ． 因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 的中点D(3,−5)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y−0−5−0=x−43−4， 即5x −y −20=0．(2)因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 边所在直线的斜率k BC =−3−(−7)0−6=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在直线的方程为y =32(x −4)， 即3x −2y −12=0．40. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）求2yx -的最小值． 解：(1)设动点M(x,y)， 根据题意得，√(x+1)2+y 2√(x−2)2+y 2=12，化简得，(x +2)2+y 2=4，所以动点M 的轨迹方程为(x +2)2+y 2=4． (2)设过点(2,0)的直线方程为y =k(x −2)， 圆心到直线的距离d =√k 2+1≤2，解得−√33≤k ≤√33， 所以yx−2的最小值为−√33．41. （12分）如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小． （1）证明：∵F,G 分别为PB,EB 中点，∴FG PE ∥，,FG PED PE PED ⊄⊂平面平面，FG PED ∴平面∥. （2）解：EA ABCD EA PD ⊥平面，∥，PD ABCD ∴⊥平面. 又ABCD 四边形为矩形，,,DA DC DP ∴两两垂直.故以D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，所以可取(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ， 则||2cos ||||m n m n θ⋅==⋅，又[0,]2πθ∈，∴平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.42. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值． 解：(1)把圆x 2+y 2−8x −12y +36=0， 化为标准方程得(x −4)2+(y −6)2=16， 所以圆心坐标为(4,6)，半径为R =4，则两圆心间的距离d =√(42+(6−2)2=5， 因为两圆的位置关系是外切，所以d =R +r ，即4+√5−m =5，解得m =4， 故m 的值为4；(2)因为圆心C 的坐标为(1,2)， 所以圆心C 到直线l 的距离d =√5=√55， 所以(√5−m)2=(12|MN|)2+d 2=(2√55)2+(√55)2，即5−m =1，解得m =4， 故m 的值为4．43. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题 处，若问题中的四棱锥存在，求AB 的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于15； ②DA 与平面PDF 所成角的正弦值等于34； ③P A 与平面PDF 所成角的正弦值等于3． 问题：若点F 是AB 的中点，是否存在这样的四棱锥，满足 ？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）证明：=90PAB ∠，AB PA ∴⊥， ∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥， 又,PA AD PAD ⊂平面，且PAAD A =，AB PAD ∴⊥平面，又AB ABCD ⊂平面，故平面PAD ⊥平面ABCD.（2）解：取AD 中点为O ，∵4PA PD AD ===，∴OA ⊥OP ，以O 为原点，OA,OP 所在直线分别为x,z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>， 则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)A D P B a C a F a --， 选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CF a DC a DP =-==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030ay x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,0,1)n =-，设CF 与平面PCD 所成角为θ，则2||315sin 5||||4CF n CF n aθ⋅===⋅+，解得1a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时22AB a ==. 选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)DA DP DF a ===，，设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z x ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,)n a a =--，设DA 与平面PDF 所成角为θ， 则||3sin 4||||2DA n DA n θ⋅===⋅，解得3a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时26AB a ==. 选③：易知P A 与平面PDF 所成角小于APD ∠，设P A 与平面PDF 所成角为θ，则sin sin sin32APD πθ<∠==，故不存在符合题意的四棱锥.44. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的 右顶点C ，求m 的值．解：(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2， 所以2a +2c =6+4√2，又椭圆的离心率为2√23， 即c a =2√23， 所以c =2√23a ， 所以a =3，c =2√2．所以b =1， 椭圆M 的方程为x 29+y 2=1;(Ⅱ)由{x =ky +m x 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2km k +9，y 1y 2=m 2−9k +9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)， 得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式， 得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0． 将①代入上式，解得m =125或m =3．。
2020-2021学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高二上学期期中考试数学试题(解析版)
北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一．选择题 1. 过点1,0A ，()0,1B 的直线的倾斜角α是（ ）A. 4πB. 3πC. 23πD. 34π『答 案』D『解 析』因为10101AB k -==--，所以tan 1α=-，tan [0,)απ∈，34απ∴=，故选：D.2. 如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ）A. 4-B. 1C. 3D. 4『答 案』A『解 析』由图可知2z i =-+，()22224434z i i i i=-+=-+=-，虚部为4-.故选：A3. 已知空间中三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nB. 若l α⊥，l β⊥，则//αβC. 若αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，则l β⊥D. 若l m ⊥，m α⊥，则//l α『答 案』B『解 析』对于A ，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误；对于B ，若l α⊥，l β⊥，则//αβ，故B 正确； 对于C ，如图，αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l β⊂，故C 错误；对于D ，如图，l m ⊥，m α⊥，l α⊂，故D 错误.故选：B. 4. 已知直线()1:210l ax a y +++=，22:0l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ）A. 0B. 2或-1C. 0或-3D. -3『答 案』C 『解 析』由12l l ⊥知：(2)0a a a ++=,解得：0a =或3a =-.故选：C .5. 已知空间中两条不同的直线m ，n ，一个平面α，则“直线m ，n 与平面α所成角相等”是“直线m ，n 平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要『答 案』B『解 析』直线m ，n 与平面α所成角相等,推不出直线m ，n 平行，例如平面内任意两直线与平面所成角都为0，但是直线可以相交； 当直线m ，n 平行时，直线与平面所成角相等成立，故“直线m ，n 与平面α所成角相等”是“直线m ，n 平行”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A.1AD AB ⋅ B. 11AD B C ⋅C.1BD BC ⋅D. 1BD AC ⋅『答 案』C 『解 析』当长方体1111ABCD A B C D -为正方体时，根据正方体的性质可知：1111,,AB AD AD B C BD AC⊥⊥⊥，所以10AB AD ⋅=、110AD B C ⋅=、10BD AC ⋅=.根据长方体的性质可知：1BC CD ⊥，所以1BD 与BC 不垂直，即1BD BC ⋅一定不为0.故选：C.7. 如图在四面体PABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB BC CA PC ===，那么直线AP 和CB 所成角的余弦值（ ）A.B. C. 12D.4- 『答 案』A『解 析』设2AB BC CA PC ====，分别取,,AB AC PC 的中点,,D E F ，连接,,,DE EF DF CD ，则//,//DE BC EF AP ，所以DEF ∠（或其补角）就是直线AP 和CB 所成的角， 又PC ⊥平面ABC ，DC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥DC ，所以2DF ===，又112DE BC ==，12FE AP ==DEF 中，22222212cos 2DE EF DF DEF DE EF +-+-∠===⨯， 所以直线AP 和CB 所成角的余弦值为.8. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC （不含端点）上的动点.三棱锥1Q A AP -的体积记为1V ，三棱锥1C A AP -的体积记为2V ，则以下结论正确的是（）A.12V V < B.12V V > C.12V V = D.12,V V 大小关系不确定『答 案』C 『解 析』由1111ABCD A B C D -为正方体，则11//CC AA ，1CC ⊄平面1AA P ，1AA ⊂平面1AA P，所以1//CC 平面1AA P，因为Q 为线段1CC 上的动点，所以Q 到平面1AA P的距离与C 到平面1AA P的距离相等，所以11Q A AP C A APV V --=，即12V V =.故选：C.9. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()4,4B --，若将军从点()2,0A -处出发，河岸线所在直线方程为2x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.B. 5C.D. 10『答 案』D『解 析』如图，点A 关于直线的对称点为A '，则A B '即为“将军饮马”的最短总路程，设(),A a b '，则()2222112a bb a -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪+⎩，解得2,4a b ==，则10A B '==，故“将军饮马”的最短总路程为10.故选：D. 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C的边界及其内部运动，若1D O OP ⊥，则11D C P△面积的最小值为（）A.B.C.D. 『答 案』B『解 析』如图所示：当点P 在C 处时，1D O OC⊥，当点P 在1B B的中点1P 时，(22222222211113,26,19OP D O D P =+==+==+=，所以222111OP D O D P +=，所以11D O OP ⊥，又1OP OC O ⋂=，所以1D O ⊥平面1OPC ，所以点P 的轨迹是线段1PC ，因为11D C ⊥平面11PC C，所以11D C P△面积最小时，11C P PC ⊥，此时111C C BCC PPC⨯===，11122D C PS=⨯=，故选：B.二、填空题（本大题共6小题，共30分）11. 写出直线:210l x y--=一个方向向量a =_________.『答案』()1,2.『解析』因为直线L:0ax by c，方向向量d为(,)b a-或(,)b a-，所以210x y--=的2,1a b==-，即一个方向向量(1,2)d =.故答案为：()1,212. 若复数2iiz-=，则复数z=________.『答案』12i-+『解析』因为2i1212i1iz i-+===---，所以12z i=-+，故答案为：12i-+.13. 在长方体1111ABCD A B C D-中，设11AD AA==，2AB=，则1AC CB⋅=_______.『答案』1-『解析』如图，由题意()()() 111 AC CB AB AD AA AD AB AD AD AD AA AD ⋅=++⋅-=-⋅+⋅+⋅21AD=-=-．故答案为-1．14. 已知直线1:10l ax y+-=，直线2:30--=l xy，12l l//，则两平行直线间的距离为______.『答案』『解 析』因为12l l //，所以111a =-，解得1a =-，故1:10l x y -+=由平行线间的距离公式知d ==，故答案为：15. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，点F 在线段BC 上，则下面四个命题中：①F BC ∃∈，//EF AC ②F BC ∀∈，EF ③F BC ∃∈，EF 与AD 不垂直④F BC ∀∈，直线EF 与平面BCD夹角正弦的最大值为3所有不正确的命题序号为_______.『答 案』①③ 『解 析』如图，对F BC ∀∈, EF 与AC 异面或相交, 故①错误； 当点F 为BC 中点时,EF 为异面直线AD 和 BC的公垂线段,此时EF 取得最小值，当F 与,B C 重合时，EF因为,AD BE AD CE ⊥⊥,BE CE E ⋂=,所以AD ⊥平面BEC ，故AD EF ⊥,故③错误；因为E 到平面BCD 的距离为定值d ，设直线EF 与平面BCD 夹角为θ，则sin ||d EF θ=,当F 为BC 中点时，易知EF 为异面直线AD 和 BC 的公垂线段,此时EF 取得最小值，sin ||dEF θ=有最大值，此时1DF DE ==,故EF ==,由直角三角形EFD 可知，EF DE DF d ⋅=⋅，解得d =，所以sin ||3d EF θ==，故④正确.故答案为：①③16. 定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离. （1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为________；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为________.『答 案』(1). 4π (2). 10+23π『解 析』（1）与定点O 距离等于1的点所围成的几何体是一个半径为1的球，所以其表面积为4π；（2）分析可知，到距离等于1的点所围成的几何体是一个棱长为1，1，2的长方体和4个高为1，底面半径为1的半圆柱以及四个半径为1的四分之一球所围成的几何体 ，所以其体积为：231144101124114122++224333πππππ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=. 故答案为：4π；10+23π.三．解答题17. 若复数22(6)(2)z m m m m i =+-+--，当实数m 为何值时， （1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点在第二象限.解：（1）若z 是纯虚数，则226020m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得3m =-；（2）若z 对应的点在第二象限，则226020m m m m ⎧+-<⎨-->⎩，解得3<1m -<-， 即m 的取值范围为()3,1--.18. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足//AD BC且12,AB AD AA BD DC =====（1）求证：AB ⊥平面11ADD A ；（2）求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值；（3）求点1C 到平面11B CD 的距离.(1)证明：1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB⊥.2AB AD ==，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(2) 解：如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，故2sin cos ,26n AB n AB n ABθ⋅====⋅.所以直线AB 与平面11B CD所成角的正弦值6；（3）解：设点1C 到平面11BCD 的距离为h ，则111111C B CD C B C D V V --=，而1111111111823323C B CD BC D V SCC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，又1B C ===1D C ===11B D =2221111B D D CB C +=，所以111B D D C ⊥，所以111111122B CD SB D DC =⨯⨯=⨯=.所以11111118333C B CD B CD V Sh h -=⨯⨯=⨯⨯=，解得h =， 所以点1C到平面11B CD的距离为3.19. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为(2,1),(4,1),(2,3).A B C -- （1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；（2）求平行四边形ABCD 的面积； （3）在ABC 中，求外心M 的坐标. 解：(1)AC 中点为()0,1，该点也为BD 中点，设(),D x y ，根据中点坐标公式得到：+4+10,122x y ==，解得：4,1x y =-=，所以()4,1D -；（2）()()4,1,2,3B C 故得到斜率为：31124k -==--，代入点()4,1B 坐标可得到直线BC ：+50x y -= ，∴A 到BC=，又根据两点间距离公式得到：BC=， ∴四边形ABCD 的面积为12=. (3) 设点(),M x y ，则MA MB MC ==，即()()()()()()222222+2+14123x y x y x y +=-+-=-+-，化简得：3+3010x y x y -=⎧⎨--=⎩ ，解得10x y =⎧⎨=⎩，所以外心M 的坐标为()1,0M ．20. 如图1，矩形ABCD ，1,2,AB BC ==点E 为AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，//PB 平面CEM .（1）求证：2MP DM =；（2）求二面角B PE C --的大小；（3）若在棱,PB PE分别取中点,F G，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由.（1）证明：设BD EC O⋂=，连接MO，//PB平面CEM，PB⊂平面PBD，平面PBD平面CEM MO=，//PB MO∴，MD ODMP OB∴=，//ED BC，12OD EDOB BC∴==，12MDMP∴=，即2MP DM=；（2）解：取BE中点Q，连接PQ，PB PE=，PQ BE∴⊥，又平面PBE⊥平面BCDE，PQ∴⊥平面BCDE，EC⊂平面BCDE，PQ EC∴⊥，BE EC==，2BC=，满足222BE EC BC+=，EC BE∴⊥，PQ BE Q⋂=，EC∴⊥平面PBE，EC ⊂平面PEC，∴平面PBE⊥平面PEC，∴二面角B PE C--的大小为90；（3）解：延长ED到N，使ED DN=，连接,,CN PN GN，,F G 分别是,PB PE 的中点，//FG BE ∴，2BC ED =，BC EN ∴=，//BC EN ，∴四边形BCNE 是平行四边形，//BE CN ∴，//FG CN ∴，则,,,F C N G 确定平面FCNG ，PEN 中，PD 是EN 边中线，且:2:1PM MD =，M ∴是PEN △的重心，又GN 为PE 边的中线，则M 在GN 上，∴M ∈平面CFG .21. 已知直线，:120l kx y k -++=，k ∈R ，直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，坐标原点为O ．（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 在x 轴上截距小于0，在y 轴上截距大于0．设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线的方程；（3）直接写出AOB 的面积S （0S >）在不同取值范围下直线l 的条数． （1）证明：直线l 的方程可变形为()()210k x y ++-=，由2010x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 过定点()2,1-； （2）解：当0x =时，12y k =+；当0y =时，12kx k +=-，()12,0,0,12k A B k k +⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭，由题120120kk k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >，则()11121111244442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯+=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14k k =，即12k =时等号成立，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=；（3）解：由（2）111211222222k S OA OB k k k k +=⨯⨯=⨯⨯+=++，令()1222f k k k =++，则直线l 的条数等价于()y f k =与()0y S S =>的交点个数，画出函数图象，由图可知，当04S <<时，直线l 有2条； 当4S =时，直线l 有3条；当4S>时，直线l 有4条.22. 已知集合12,,,)|{1,1}(1,2,,)}{(n n i A x x x x i n =⋅⋅⋅∈-=⋅⋅⋅，,n x y A ∈，12,,)(,n x x x x =⋅⋅⋅，12,,)(,n y y y y =⋅⋅⋅，其中,{1,1}(1,2,,)i i x y i n ∈-=⋅⋅⋅．定义1122n n xy x y x y x y =++⋅⋅⋅+，若0xy =，则称x 与y 正交．（1）若()1,1,1,1x =，写出nA 中与x 正交的所有元素；（2）令,}{|n B x y x y A =∈若m B ∈，证明：m n +为偶数；（3）若n A A ⊆且A 中任意两个元素均正交，分别求出8,14n =时，A 中最多可以有多少个元素． （1）解：4A 中与x 正交的所有元素为：(1,1,1,1)--，(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)--------，(1,1,1,1).--（2）证明：对于m B ∈，存在{}12(,,,),1,1n i x x x x x =∈-，{}12(,,,),1,1n i y y y y y =∈-，使得=x y m ，令1,,0,i i i i ix y x y δ=⎧=⎨≠⎩，1nii k δ==∑，当=i ix y 时，1i i x y =，当≠i i x y 时，1=-i i x y ， 那么xy1()2ni i i x y k n k k n===--=-∑，所以2m n k +=为偶数.（3）解：当8n =时，不妨设1(1,1,1,1,1,1,1,1)x =，2(1,1,1,1,1,1,1,1)x =----，在考虑4n =时，共有4种互相正交的情况即：1111111111111111------，分别与12,x x 搭配，可形成8种情况，所以8n =时，A 中最多可以有8个元素. 当14n =时，不妨设1(1,1,1)y =（有14个1），2(1,1,,1,1,1,1)y =---（有7个1-，7个1），则12,y y 正交，令1214(,,,)a a a a =，1214(,,,)b b b b =，1214(,,,)c c c c =，且它们之间互相正交，设,,a b c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外，,a b 相应位置数字都相同的共有m 个，,b c 相应位置数字都相同的共有n 个，则(14)22140ab m k m k m k =+---=+-=，所以7m k +=，7n k +=，所以n m =， 由于(142)0ac m m k k m =--++--=，所以*727,2==∉m m N ，所以任意三个元素都不正交，综上，14n =，A 中最多可以有2个元素.。
北京市昌平区第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
【分析】
把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.
【详解】直线 化成斜截式为 ，
因为 ，所以 .
故选B.
【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.
3.已知 ， ，则 的值为（）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得 ，再利用空间向量模的公式计算.
【详解】∵ ， ， , ,
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出 以及平面 的法向量后可证明 平面 .
（2）求出平面 的法向量后可求二面角 的余弦值.
（3）可证明 始终不为零，从而可证 与 都不垂直.
【详解】因为 底面 ，而 底面 ， 底面 ，
故 ， ，
又底面 是矩形，故 .
依题意满足条件的最小正方形是各边以 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使得曲线 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.
故答案为：①②
【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.
三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】解：直线 的一般方程为 ,
圆 的圆心为 ，半径为 .
直线与圆相切， , .
故选:D.
6.圆 和圆 的位置关系是（）
A.相交B.内切C.外切D.相离
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系
北京市东城第50中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
北京市东城第50中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线l 经过点(2,3)A ，(3,4)B ，则直线l 的倾斜角为（ ）．A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 2．圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切 3．直线236x y -=在y 轴上的截距为（ ）．A ．3B ．3-C ．2D ．2-4．已知两条直线1:330l ax y +-=，2:4610l x y +-=，若12l l ，则a =（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）． A ．1- B ．1 C ．0 D ．2-6．若椭圆222116x y b+=，过点(2,，则其焦距为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．设倾斜角为45︒的直线l 通过抛物线24y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点，则弦MN 的长为（ ）．A B ．C ．16 D ．8 8．由直线1y x =+上的一点向圆22(2)(1)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为A 1B ．1CD 9．已知动圆过点(1,0)，且与直线1x =-相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）． A ．221x y += B ．221x y -= C ．24y x = D ．0x =10．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）．A ．2B ．23C ．59 D二、填空题11．抛物线28y x =的准线方程是 .12．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________. 13．若不论k 取何值，直线:(1)20l k x y k +++-=恒过定点，则这个定点的坐标为__________．14．直线10x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为__________．15．若直线l 与直线1y =和70x y --=分别交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,1P -，则直线l 的斜率等于__________．16．已知F 是椭圆22:12x C y +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ PF +的最大值为__________．三、解答题17．（10分）已知三角形的三个顶点(4,6)A ，(3,0)B -，(1,4)C --，求BC 边上中线和高线所在的直线方程．18．（10）已知三个点(1,1)A --，(8,0)B -，(0,6)C ，圆M 为ABC 的外接圆． （1）求圆M 的方程．（2）设直线2y x m =+，与圆M 交于P ，Q 两点，且PQ =m 的值． 19．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点．（1）求椭圆的方程．（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．21．（9分）过点(0,3)A 作直线l 与圆22:2460C x y x y +---=交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，O 为坐标原点，求直线l 的方程．22．（9分）已知椭圆22:236C x y +=的左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B两点．（1）求椭圆C 的离心率．（2）当直线l 与x 轴垂直时，求线段AB 的长．（3）设线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 交椭圆C 交于M 、N 两点，是否存在直线l 使得3NP MP =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案1．B【详解】∵直线l 经过点(2,3)A ，(3,4)B ，∴直线l 的斜率43132k -==-， 设直线l 的倾斜角为α，则tan 1α=，又0180α︒≤<︒，∴45α=︒．故选：B ．2．C【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.【详解】圆2220x y x +-=化为标准方程为：22(1)1x y -+=圆2240x y y ++=化为标准方程为：22(2)4x y ++==212113=-<+=r r r r∴两圆相交故选：C【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．D【解析】令0x =，可得2036y ⨯-=，解得2y =-，即直线236x y -=在y 轴上的截距为2-．故选D ．4．B【解析】若12l l ，则根据直线平行的公式得到：233a -=-，解得2=． 故选B ．5．A【解析】因为直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，所以(2)1a a +=-，解得1a =-．故选A ．6．B【解析】根据题意把点(2,代入椭圆的方程可求得24b =，椭圆方程为221164x y +=，∴4a =，2b =，c ==，∴其焦距为故选B ．7．D【解析】∵直线l 的倾斜角为45︒，且过抛物线24y x =的焦点(1,0)，∴直线AB 的方程为1y x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y x =-代入24y x =可得210x bx -+=，∴126x x +=，弦12628MN x x P =++=+=．故选D ．点睛：这个题目考查了抛物线和直线的位置关系，在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.而抛物线中和焦半径有关的题型，经常和抛物线的定义联系。
北京市丰台区2020-2021学年度高二上学期期中考试数学试题Word版含解析
【答案】D
【解析】
【分析】
三次投篮共有20种，计算出三次全命中的事件的种数，然后再算对立事件的概率.
【详解】三次投篮共有20种，
三次全命中的事件有：431，113有2种，
∴该运发动三次投篮中至多两次命中的概率
应选：D.
10.一个古典概型的样本空间 和事件 ， 如下图.其中 ，那么事件 与事件 〔〕
5.直线 经过点 ，且与直线 垂直，那么直线 的方程是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
由直线垂直可得直线 的斜率，再由点斜式方程即可得解.
【详解】因为直线 的斜率为 ，直线 与该直线垂直，
所以直线 的斜率 ，
又直线 经过点 ，所以直线 的方程为 即 .
应选：A.
6.如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．假设 ， ， ，那么以下向量中与 相等的向量是〔〕
B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为 ，是必然事件；
C.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
D.三角形内角和为180°，是必然事件.
应选C
【点睛】此题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于根底题.
3.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ．
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】
【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有 种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率 ，应选C.
4.向量 ， ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用空间向量线性运算的坐标表示运算即可得解．
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
高一数学上学期期中测试卷及解析(2020-2021学年北师大版)
2020-2021学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12小题，每小题5分，共60分)1．设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()RA B (⋃= )A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合A 和集合集合B ，再求出R C A ,与集合B 求并集即可. 【详解】因为{}A |1x x =>，B {x |x 2=<-或x 2}>；R A {x |x 1}∴=≤；()R A B {x |x 1∴⋃=≤或x 2}>．故选D 【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．已知()f x 满足()x f e x =，则(1)f =（ ） A ．0 B ．1C ．eD ．ln 2【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 满足()xf e x =，利用f （1）0()f e =，能求出结果．【详解】()f x 满足()x f e x =，f ∴（1）0()0f e ==．故选A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．函数()2f x x =-的定义域为（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．[1,2)D ．[1,2)(2,)⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】依题意1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得[1,2)(2,)x ∈⋃+∞.故选：D. 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.4．下列函数()f x 中，满足对任意()12,0,x x ∈+∞，当x 1<x 2时，都有()()12f x f x >的是( ) A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，选取在()0,∞+上为减函数的函数. 【详解】由12x x <时，()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数的函数.A 选项，2yx 在()0,∞+上为增函数，不符合题意.B 选项，1y x=在()0,∞+上为减函数，符合题意.C 选项，y x =在()0,∞+上为增函数，不符合题意.D 选项，()21f x x =+在()0,∞+上为增函数，不符合题意.故选B. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性定义，考查基本初等函数单调性，属于基础题. 5．若()f x 的定义域为R 且在(0,)+∞上是减函数，则下列不等式成立的是（ ）A ．23()(1)4f f a a >-+B ．23()(1)4f f a a ≥-+C ．23()(1)4f f a a <-+D ．23()(1)4f f a a ≤-+【答案】B 【解析】 【分析】 判断34与21a a -+的大小，利用函数的单调性，即可推出结果． 【详解】解：221331244a a a ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 函()f x 的定义域为R 且在(0,)+∞上是减函数， 可得23()(1)4f f a a ≥-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，基本知识的考查．6．已知函数245y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值5，最小值1，则m 得取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[0,2] D ．[2,4]【答案】D 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数22()45(2)1f x x x x =-+=-+的对称轴为2x =，此时，函数取得最小值为1，当0x =或4x =时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围．【详解】函数22()45(2)1f x x x x =-+=-+的对称轴为2x =，此时，函数取得最小值为1， 当0x =或4x =时，函数值等于5．又2()45f x x x =-+在区间[0，]m 上的最大值为5，最小值为1，∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选D ．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解二次函数在特定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性是解决该类问题的关键． 7．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．1y x =+C ．12y x =D ．3y x =【答案】D 【解析】 【分析】选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解. 【详解】选项A 中，设函数()y f x =，()()f x f x -=，函数21y x =+是偶函数，不符合题意；选项B 中，设函数()y f x =，()()f x f x -≠±，则函数1y x =+为非奇非偶函数，选项B 不符合题意；选项C 中，函数12y x =的定义域为[0,)+∞，则12y x =为非奇非偶函数，选项C 不符合题意；选项D 中，3y x =是单调递增且满足()()f x f x -=-，则3y x =是奇函数，符合条件.故选D. 【点睛】本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题. 8．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性得到0＜a ＜1，再根据函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，分析出b 的范围.【详解】 由f (x )＝a x－b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的， 所以b ＜0. 故选：D. 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知关于x 的不等式42133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，则该不等式的解集为（ ）A ．［4，+∞)B ．(-4，+∞)C ．(-∞,-4 )D ．(]4,1-【答案】B 【解析】 【分析】先将不等式两边化为同底，然后利用指数函数单调性列一元一次不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】依题意可知，原不等式可转化为4233x x -+->，由于指数函数3xy =为增函数，故42,4x x x -+>->-，故选B.【点睛】本小题主要考查指数运算，考查指数函数的单调性以及指数不等式的解法，属于基础题. 10．已知131log 3,2,ln 3a b c π===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ． c a b >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 ． 【详解】 解：0131log a log log ππππ=<=<=，103221b =>=，1103c ln ln =<=，a ∴，b ，c 的大小关系为：b a c >>．故选：D ． 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 ．11．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,4【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点的判定定理可得函数()f x 的零点所在的区间． 【详解】 解：函数()34f x lnx x =+-在其定义域上单调递增，f ∴（2）2234220ln ln =+⨯-=+>，f （1）3410=-=-<，f ∴（2）f （1）0<．根据函数零点的判定定理可得函数()f x 的零点所在的区间是(1,2)， 故选：B ． 【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题． 12．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∪﹣1≤﹣2x ＜0，∪﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B 【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则＝【答案】12- 【解析】 【分析】利用函数的周期为2，将52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后将12x =代入题目所给解析式，由此求得函数值.【详解】 依题意，得f ＝－f＝－f ＝－f ＝－2××＝－.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性.将不属于给定区间内的自变量，通过周期性转化为给定区间内的自变量，由此求得函数值，属于基础题. 14．若10x =3,10y =4,则10x -y =__________． 【答案】34【解析】因为103,104xy==，所以10310104x x yy -==，应填答案34．15．(本题0分)函数()()212log 23f x x x =--+的值域是___________. 【答案】[)2,-+∞ 【解析】 【分析】设2230t x x =--+>，求出t 的范围，再根据12log y t =的单调性可求得结果.【详解】设t =2223(1)4x x x --+=-++，则(0,4]t ∈， 因为12log y t =在(0,4]上单调递减，所以12log 42y ≥=-，所以函数()f x 的值域为[2,)-+∞. 故答案为：[)2,-+∞. 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性求函数的值域，属于基础题. 16．设a b 23x ==，且111a b+=，则x 的值为______．【解析】 【分析】由2a =3b =x ，根据对数的定义，分别表示出a 与b ，代入111a b+=中，利用对数的运算法则即可求出x 的值． 【详解】由a b 23x ==，得到x 2a log =，x3b log =，代入111a b+=中得：x x 23111log log +=，即lg2lg3lg61lgx lgx lgx +==， 得到lgx lg6=，即x 6=． 故答案为6 【点睛】此题考查学生掌握对数的定义及运算法则，是一道基础题．三、解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)17．已知全集U =R ，若集合{}24A x x =-<< ，{}0B x x m =-<. （1）若3m =，求()U A C B ；（2）若AB A =, 求实数m 的取值范围.【答案】（1）[3,4)（2）4m ≥ 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；（2）由A B A ⋂=可得A B ⊆，利用集合的包含关系求解即可. 【详解】 （1）当时，，所以， 因为，所以；（2）由得，，所以本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题. 18．已知函数f(x)=xx 2+2．(1)判断并证明f(x)在[0,1]上的单调性； (2)若x ∈[−1,2]，求f(x)的值域．【答案】(1)见解析，(2)[−13,√24].【解析】 【分析】(1)根据函数的单调性的定义证明即可；(2)根据函数的单调性，求出函数的值域即可． 【详解】解：(1)f(x)在[0,1]上单调递增函数，证明如下： 任取0≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+2−x 2x 22+2=x 1(x 22+2)−x 2(x 12+2)(x 12+2)(x 22+2)=(2−x 1x 2)(x 1−x 2)(x 12+2)(x 22+2)因为0≤x 1<x 2≤1，所以x 1−x 2<0，0≤x 1x 2≤1，2−x 1x 2>0，x 12+2>0,x 22+2>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，∴f(x)在[0,1]上是增函数因为x 1<x 2，所以，∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x)在[0,1]上是增函数． (2)∵x ∈[−1,2]，又f(x)在[−1,√2]上递增，在[√2,2]上递减， ∴f(x)min =f(−1)=−13,f(x)max =f(√2)=√24， ∴f(x)的值域为[−13,√24].【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查求函数的最值，是一道中档题． 19．已知函数()2210f x x x =-.（1）若[1,3]x ∈-，求()f x 的单调区间和值域；（2）设函数()f x 在[,1]t t +的最小值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为[-1，25)，单调递增区间为5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，值域为[min 525()()22f x f ,12]；（2）223268,22535(),2225210,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的对称轴，根据二次函数的开口方向和对称轴即可判断； （2）讨论对称轴在区间的不同位置，即可根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）可知函数()2210f x x x =-的对称轴为52x =，开口向上， ∴ ()f x 在区间[-1,52x =]上单调递减；()f x 在区间5,32⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， min525()()22f x f ，max ()(1)12f x f ，综上，()f x 的单调递减区间为[-1, 52x =]，单调递增区间为5,32⎛⎤⎥⎝⎦，值域为[min 525()()22f x f ,12]； （2）()f x 对称轴为52x =，开口向上， ∴当52t ≥时，()f x 在[,1]t t +单调递增，2min ()()210f x f t t t ， 当512t t <<+，即3522t <<时， min 525()()22f x f ，当512t +≤，即32t ≤时，()f x 在[,1]t t +单调递减，2min ()(1)268f x f t t t ，综上，223268,22535(),2225210,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，遇到含参数的最值问题时，注意讨论对称轴与区间的位置关系.20．已知函数()()2101x x f x m m -=>+，且()325f =.（1）求m 的值，并指出函数()y f x =在R 上的单调性（只需写出结论即可）； （2）证明：函数()f x 是奇函数； （3）若()()2230f mf m +-<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2，()f x 在R 上为增函数；（2）证明见解析；（3）（3-，1）. 【解析】 【分析】 （1）由()325f =，代入解析式，解方程求出m 的值，利用指数函数的单调性即可求解. （2）利用函数的奇偶性定义即可判断.（3）利用函数为奇函数，将不等式转化为()()232f m f m <-，再利用函数为增函数可得232mm <-，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为()325f =，所以2221315m -=+，即24m =，因为0m >，所以2m =.函数()21212121x x xf x -==-++在R 上为增函数. （2）由（1）知()2121x x f x -=+定义域为(),-∞+∞.对任意(),x ∈-∞+∞，都有()()211221211221x x x x xx f x f x --------====-+++. 所以函数()f x 是奇函数， （3）不等式()()2230f mf m +-<等价于()()223f m f m <--，因为函数()f x 是奇函数，所以()()232f mf m <-，又因为函数()f x 在R 上为增函数， 所以232m m <-，即2230m m +-<. 解得231m -<<.所以实数m 的取值范围为（3-，1）. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.21．已知二次函数()f x 满足()()121f x f x x +-=-且()00f =， （1）求二次函数()f x 的解析式． （2）求函数()1()()2f xg x =的单调增区间和值域．【答案】（1）()22f x x x =-；（2）单调递增区间是(],1-∞，()g x 的值域为(]0,2.【解析】 【分析】（1）依题意设2(),0f x ax bx a =+≠，代入已知等式，建立,a b 方程关系，求解即可；（2）令()t f x =根据（1）求出()f x 单调区间，再由12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，结合复合函数的单调性，得出()g x 的单调区间，即可求出()g x 的值域. 【详解】（1）由()00f =，设2()f x ax bx =+∪()()1221f x f x ax a b x +-=++=-∪22112a a a b b ==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩∪()22f x x x =-（2）由（1）知()()221122f x x xg x -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ∪22t x x =-在(],1-∞递减，在[)1,+∞递增；12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，∪()g x 的单调递增区间是(],1-∞，单调递减区间是[)1,+∞. ∪()()12g x g ≤=，由()0g x >所以()02g x <≤，即()g x 的值域为(]0,2 【点睛】本题考查待定系数法求解析式、指数型函数的单调性和值域，掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.22．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ＞0），且f （1）2a=-． （1）求证：函数f （x ）有两个不同的零点；（2）设x 1，x 2是函数f （x ）的两个不同的零点，求|x 1﹣x 2|的取值范围； （3）求证：函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点．【答案】（1）证明见解析（2）)+∞．（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式可以证明出结论；（2）利用一元二次方程的根与系数关系，可以得到|x 1﹣x 2|的表达式，再利用配方法求出取值范围； （3）根据零点存在原理，分类讨论证明出结论. 【详解】（1）∪()12a f abc =++=-， ∪32c a b =--，∪()232f x ax bx a b =+--，∪222223464(2)22b a a b b a ab a b a ⎛⎫=---=++=++ ⎪⎝⎭， ∪a ＞0，∪∪＞0恒成立，故函数f （x ）有两个不同的零点．（2）由x 1，x 2是函数f （x ）的两个不同的零点， 则x 1，x 2是方程f （x ）＝0的两个根． ∪12b x x a +=-，1232b x x a =--，∪|x 1﹣x 2|===≥．∪|x 1﹣x 2|的取值范围是)+∞． （3）证明：∪f （0）＝c ，f （2）＝4a +2b +c ， 由（1）知：3a +2b +2c ＝0， ∪f （2）＝a ﹣c ．（∪）当c ＞0时，有f （0）＞0，又∪a ＞0， ∪()1102f =-＜，∪函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点． （∪）当c ≤0时，f （2）＝a ﹣c ＞0，f （1）＜0， ∪函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点．综上所述，函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系的应用，考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.2020-2021学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{}ln 1A x x =＜，{B y y ==，则A ∪B =( )A ． ()0,eB ． ()0,+∞C ．[)0,+∞D ．()0,e [)20,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由条件计算出A B 、集合，再计算并集. 【详解】集合{}{}ln 10A x x x x e ==＜＜＜，{{}0B y y y y ===≥，∪{}0A B x x ⋃=≥，故选C.【点睛】集合的描述法一定要辨别清楚集合所描述的对象，{B y y ==所描述的是函数值构成的集合，易错.2．函数()ln(1)f x x =-+的定义域是（ ） A ．(]1,1- B ．(1,0)(0,1]-⋃C ．(1,1)-D ．(1,0)(0,1)-【答案】C 【解析】 【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】 依题意1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<.故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3．幂函数()a f x x 的图象经过点(2,4)，则1()2f -= ( )A ．12B ．14C ．14-D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的图象过点()2,4即可求得2a =，求出函数解析式，再计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【详解】解：幂函数()af x x =的图象经过点()2,4，则24a =，解得2a =； ∪()2f x x =，∪2111224f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 4．今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ） A ．12y t = B ．2log y t = C ．123ty =⋅ D ．212y t =【答案】C 【解析】 【分析】画出散点图，观察点的分布情况，即可判断. 【详解】画出散点图如图所示，根据点的分布特征，选项C, 123ty =⋅更能体现这些的数据关系.故答案选C. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握基本初等函数的图象，能根据散点图的分布选择合适的函数模型，着重考查数形结合的能力，属于基础题.5．某同学用二分法求方程3380x x +-=在x ∪（1，2）内近似解的过程中，设()338x f x x =+-，且计算f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为A ．f （0.5）B ．f （1.125）C ．f （1.25）D ．f （1.75）【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出 该同学在第二次应计算的函数值. 【详解】∪f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，∪在区间（1，1.5）内函数f （x ）＝3x +3x –8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1 1.52+=1.25，故选C ． 【点睛】本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.6．函数21()x f x x-=的图象一定关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x =1对称【答案】C 【解析】 【分析】由21()x f x x-=知()()f x f x -=-，根据函数的奇偶性即可求解.【详解】21()x f xx-=,定义域为{|0}x x ≠， ∴2211()()x x f x f x x x---==-=--， ∴()f x 是奇函数，故图象一定关于原点对称， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，奇函数的性质，属于容易题.7．已知函数f （x ）=21,02,0xx log x a x +≤⎧+>⎨⎩，若f （f （0））=3a ，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】解：由题意，f （0）=2，f （f （0））=f （2）=1+a=3a ， ∪a=12．故选：A ． 【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则. 8．函数3log 3x y =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值得几何意义，将函数3log 3xy =，转化为333log log log 3,133,01x xx x y x -⎧≥==⎨<<⎩，再由对数的性质求解.【详解】 因为333log log log 3,133,01x xx x y x -⎧≥==⎨<<⎩，由对数的性质得：,11,01x x y x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，所以当1x ≥时，是直线y x =的一部分，当1x ≥时，是反比例函数1y x=的一部分. 故选：A 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式的求法及其图象，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 9．函数33()log 2f x x x =-在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（ ） A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】分别求得()1f ,32f ⎛⎫⎪⎝⎭,()2f ,52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()3f ,进而根据零点存在性定理进行判断即可 【详解】由题,3(1)02f =-<,33333331log 1log log 3log 02222f ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭,43333333(2)log 2log 2log 3log log 04f =-=-==<,3333353355355log log log 3log log log 022524f ⎛⎫=-=-=>=> ⎪⎝⎭, 11(3)1022f =-=>, 因此,()5202f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭,则函数()f x 的零点在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内, 故选：C【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,考查对数的运算10．已知定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数,记a =f(log 0.53), b =f(log 25),c =f(2m),则a,b,c ,的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a 【答案】B【解析】由f(x)为偶函数得m =0,所以a =2|log 0,53|−1=2log 23−1=3−1=2, b =2log 25−1=5−1=4,c =20−1=0,所以c <a <b ,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．函数()()2log 1f x ax =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,∞+ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,+∞【解析】【分析】令1t ax =-，则()2log f x t =，利用复合函数的单调性的判断分别研究内层和外层函数的单调性即可.【详解】令1t ax =-，则()2log f x t =，因为()2log f x t =在定义域内是单调递增函数，故1t ax =-也必为单调递增函数，又1t ax =-在[]1,2上要恒大于零，则有010a a >⎧⎨->⎩，解得1a >. 故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性问题，注意内层函数的值域要符合外层函数的定义域，是基础题.12．若()f x 满足对任意的实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=⋅且()12f =,则(2)(4)(6)(2020)(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅+=( ) A ．2019B ．2020C ．1009D ．1010 【答案】B【解析】 【分析】 因为()()()f a b f a f b +=,可得()()()f a b f b f a +=,令1b =,故(1)(12)()f a f f a +==,即可求得答案. 【详解】 函数()f x 对任意实数a ,b 满足()()()f a b f a f b +=∴()()()f a b f b f a +=令1b =,故(1)(12)()f a f f a +== (2)(4)(6)(2020)101022020(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f ∴+++⋯+=⨯= 故选: B.【点睛】本题主要考查了根据函数关系式求函数值,解题关键是掌握由函数关系式求值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，若()1f a =-，则a =_______． 【答案】32-【解析】【分析】当1a ≥-时，解方程ln(2)1a +=-，求出a 的值，判断a 是否存在；当1a <-时，解方程241a --=-，求出a 的值，判断a 是否存在，最后确定a 的值.【详解】 当1a ≥-时，()1f a =- 12ln(2)1e a a e -⇒+=-⇒=，而121e e-<-，故舍去； 当1a <-时，()1f a =- 324112a a ⇒--=-⇒=-<-，所以32a =-. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力.14．已知函数()f x 的定义域是（-1，2），则(21)f x +的定义域是________【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数定义域的概念列不等式，由此求得()21f x +的定义域.【详解】由于()f x 的定义域是()1,2-，所以对于函数()21f x +有1212x -<+<，解得112x -<<.所以函数()21f x +的定义域为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.15．已知函数3()31f x x x a =-++在[2,)x ∈-+∞上有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为____;【答案】（-3，1）【解析】【分析】取3()31=0f x x x a =-++，参数分离，画出图像得到答案.【详解】 33()31=031+f x x x a a x x =-++⇒=--32()31'()3301+g x x x g x x x =--⇒=-+=⇒=±画出图像：实数a 的取值范围为（-3，1）故答案为（-3，1）【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离画出图像是解题的关键.16．设函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-，求0x <时()f x 的解析式为______.【答案】()()()10f x x x x =+<【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可．【详解】解：()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-∴当0x <时，0x ->，则()(1)()f x x x f x -=-+=-，则()(1)f x x x =+，故答案为：()()()10f x x x x =+<【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的性质利用转化法是解决本题的关键，属于基础题．三、解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)17．设全集U =R ，集合{}lg()0A x x a =->，{}2340B x x x =--<.（1）当1a =时，求A B 集合；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1) (2,4)A B ⋂= (2) 2a ≤-【解析】【分析】（1）当1a =时，解对数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.（2）根据A B A ⋃=得到B 是A 的子集，解对数不等式求得集合A ，根据集合B 是集合A 的子集列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由于()lg 10lg1x ->=，即11x ->，所以{}2A x x =>.由于2340x x --<，即()()140x x +-<，所以()1,4B =-.所以()2,4A B ⋂=.（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆. 由于{}1A x x a =>+，则11a +≤-所以2a ≤-.【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查子集的概念及运算.属于基础题. 18．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【解析】【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.19．（1）已知()f x 的定义域为[]1,4，求(23)f x -的定义域.（2）已知()f x 是二次函数，且(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x .【答案】（1）21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()21f x x x =-+ 【解析】【分析】（1）根据同一对应关系下变量的范围相同来求解函数的定义域.（2）设出二次函数()f x 的表达式,结合题中的条件运用待定系数法求出函数解析式.【详解】（1）已知()f x 的定义域为[]1,4,所以对(23)f x -有1234x ≤-≤,解得2133x -≤≤,所以函数(23)f x -的定义域为21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）已知()f x 是二次函数,不妨设2()(0)f x ax bx c a =++≠,因为(0)1f =,则代入解析式中可得(0)1f c ==,又因为(1)()2f x f x x +-=,则有22(1)(1)2a x b x c ax bx c x ++++---=,化简得22ax a b x ++=,有220a a b =⎧⎨+=⎩即1a =,1b =-. 综上二次函数的解析式为:2()1f x x x =-+【点睛】本题考查了求抽象函数的定义域,同一函数的对应关系的变量相同来求解,在求函数解析式的方法有:待定系数法,方程组解法,配凑法,换元法等,需要掌握一些题型的固定解法,本题需要掌握解题方法.20．已知1()ln 1mx f x x -=-是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判定()f x 在()1,+∞上的单调性，并加以证明.【答案】（1）1m =-；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）由奇函数定义可求得m ；（2）用单调性定义证明．【详解】（1）1111()ln ln ,()ln ln 1111mx mx mx x f x f x x x x mx+-----==-=-=--+-- ()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 即11ln ln ,111mx x m x mx---=∴=-+-. （2）由（1）知12()lnln 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭. 任取12,x x 满足121x x <<，则()()()211212122222211111111x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭. 由121x x <<知，21120,10,10x x x x ->->->12122222110,1101111x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+>∴+>+> ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 1222ln 1ln 111x x ⎛⎫⎛⎫∴+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()12,()f x f x f x >∴在(1,)+∞上是减函数 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数的这两个性质一般都是根据定义求解．21．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资额成正比，设比例系数为1k ，其关系如图1；B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为2k ，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出1,k 2k 的值，写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．【答案】（1）114k =，254k =．1(),4f x x =(0)x ≥，()g x =(0)x ≥．（2）A 产品投入3．75万元，B 产品投入6．25万元时，企业获得最大利润为65(4.0625)16万元． 【解析】【分析】 （1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据可得；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业的利润为y 万元．则有()(10)y f x g x =+-，(010)x ≤≤，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题．【详解】解析：（1）设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，由题设1()f x k x =，()g x k =． 由图知1(1)4f =，所以114k =，又5(4)2g =，所以254k =．所以1(),4f x x =(0)x ≥，()g x =(0)x ≥． （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业的利润为y 万元． 1()(10)4y f x g x x =+-=+(010)x ≤≤，t =，则221051565,444216t y t t -⎛⎫=+=--+ ⎪⎝⎭(0t ≤≤． 所以当52t =时，max 6516y =，此时251510 3.7544x =-==． ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516即4.0625万元． 【点睛】本题考查函数模型的应用．已知函数模型，直接设出解析式形式代入已知数据即可得函数解析式．换元法是求得最大值的关键．22．已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.（1）证明：函数()21xf x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点； （2）若函数()12423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1m ≤【解析】【分析】（1）设()212x t x =-≤≤，可求出12t t +=的解为11,42t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，从而可知当00x =时，001221x x --=+-成立，即可证明函数()21xf x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点；（2）由题意知()()0f x f x -+=在R 上有解，令22x x t -+=，则222280t mt m -+-=在[)2,t ∈+∞上有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在[)2,t ∈+∞上根的个数，得到关于m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】证明：（1）设()212xt x =-≤≤，则12t ≤≤4，令12t t+=，则2210t t -+=， 解得11,42t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即当00x =时，001221x x --=+-，即()()00f x f x -=-成立，即函数()21xf x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点解：（2）()12423xx f x m m --+-=-⋅+-，则()()0f x f x -+=在R 上有解.即12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解， 于是()()()244222230x xxx m m --+-⋅++-=（*）在R 上有解.令22x x t -+=，则2442x x t -+=-，所以方程（*）变为222280t mt m -+-=， 设120x x <<，则()()()1212121122121222212221212222222x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=，由120x x <<，2xy =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +<，1220x x +>，即此时()112222220xx x x --+-+>，所以函数22x x y -=+在(),0-∞上单调递减；设120x x <<，则()()()1212121122121222212221212222222x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=，由120x x <<，2xy =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +>，1220x x +>，即此时()112222220xx x x --+-+<，所以函数22x x y -=+在()0,∞+上单调递增；故[)2,t ∈+∞，从而已知即222280t mt m -+-=在[)2,t ∈+∞上有解. 设()22228g t t mt m =-+-（2t ≥），分为两种情况：∪当方程有在[)2,t ∈+∞唯一解时：则()2244280g m m =-+-<或()2244280222g m m m⎧=-+-=⎪⎨--≤⎪⎩， 解()20g <得，11m <<；解()2244280222g m m m⎧=-+-=⎪⎨--≤⎪⎩得，1m =，则11m ≤<；∪当方程在[)2,t ∈+∞有两个解时：()()222244280114428012222g m m m m m m m m m m ⎧⎪⎧=-+-≥≥≤⎪⎪⎪⎪∆=--≥⇔-≤≤⇔≤≤⎨⎨⎪⎪>-⎪⎪⎩->⎪⎩或综上得1m ≤ 【点睛】本题考查了换元法的应用，考查了由二次函数零点的分布求参数的取值范围.在第二问中，通过换元将函数在R 上有局部对称点问题，转化为222280t mt m -+-=在[)2,t ∈+∞上有解.已知二次函数的零点求参数的取值范围时，常依据∆与0的大小关系，对称轴、区间端点的函数值列关于参数的不等式.2020-2021学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合|A x y ==，{}3|log 2B x x =<，则A B =（ ）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(]03,D ．()0,3【答案】C【分析】根据函数定义域求出{}|13A x x =-≤≤，根据定义域和对数运算求出{}|09B x x =<<，再求A B 即可.【详解】对于集合A ，2230x x -++≥，解得13x -≤≤， 所以集合{}|13A x x =-≤≤，对于集合B ，3log 2x <，解得09x <<， 所以集合{}|09B x x =<<， 所以{}|03A B x x =<≤.故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集运算和不等式运算，属于基础题. 2．已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-(n ∈Z )在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ） A ．3- B ．1C ．1-D ．1和3-【答案】B 【解析】 【分析】先由函数是幂函数，让其系为1，即2221+-=n n ，得到3n =-或1n =，再分别讨论，是否符合在()0,∞+上是减函数的条件. 【详解】 因为函数是幂函数 所以2221+-=n n 所以3n =-或1n =当3n =-时()18=f x x 在()0,∞+上是增函数，不合题意.当1n =时()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，成立故选：B本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则A．f（m）<f（1）B．f（m）=f（1）C．f（m）>f（1）D．f（m）与f（1）大小不确定【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，列方程求得m的两个值，再根据定义域包括原点，排除其中一个值，由此得到m的值和函数的解析式，进而得出正确的选项.【详解】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称，所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3．当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）<f（1）；当m=3时，函数f（x）=1x，在x=0时无意义，不满足题意，舍去,故选A．【点睛】本小题主要考查奇函数和偶函数定义域关于原点对称，考查奇函数的定义域，属于基础题. 4．下列哪一组函数相等（）A．f(x)=x与g(x)=x2xB．f(x)=x2与g(x)=(√x)4C．f(x)=|x|与g(x)=(√x)2D．f(x)=x2与g(x)=√x63【答案】D【解析】【分析】根据相等函数的要求依次判断两个函数的定义域和解析式是否相同，从而可求得结果.【详解】A选项：f(x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≠0}∴两函数不相等B选项：f(x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≥0}∴两函数不相等C选项：f(x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≥0}∴两函数不相等。
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北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.抛物线24x y =的焦点是 A. (1,0)- B. (1,0)C. (0,1)-D. (0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出p 即得焦点坐标.【详解】焦点在y 轴上，又2p =，故焦点坐标为()0,1，故选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2.“2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】当直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直时，2350a a a +==，即0a =，∴“2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的 既不充分也不必要条件．3.若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于( ) A. 11 B. 9C. 5D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义可构造方程求得结果.【详解】由双曲线定义可知：122326PF PF PF a -=-== 又20PF > 29PF ∴= 故选：B【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题. 4.直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)截得的弦长为( )A. B.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.【详解】由圆C 的参数方程可得圆C 的普通方程为：()()221216x y ++-=∴圆C 是以()1,2-为圆心，4为半径的圆∴圆心到直线距离d ==∴弦长为=故选：A【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( )A.63B.33C.12D.22【答案】A 【解析】 【分析】 将2by =代入椭圆方程求得,B C ，可表示出,BF CF ，由垂直关系可知0BF CF ⋅=，从而构造出关于,a c 的齐次方程，由ce a=求得结果. 【详解】将2by =代入椭圆方程得：3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭又椭圆焦点(),0F c 3,2b BF c ⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭90BFC ∠= 22222222233310444442b ac BF CF c a c a c a -∴⋅=-+=-+=-= 22223c e a ∴== 6e ∴=故选：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于,a c 的齐次方程，从而根据ce a=求得离心率. 6.设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（ ） A. 若m∥n，n ⊂α，则m∥α B. 若m∥α，n ⊂α，则m∥n C. 若α⊥β，m ⊂α，则m⊥β D. 若m⊥β，m ⊂α，则α⊥β【答案】D 【解析】【分析】在A 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在D 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，得： 在A 中，若m∥n ，n ⊂α，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故A 错误； 在B 中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 错误；在C 中，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 在D 中，若m ⊥β，m ⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A 4B. 8C. 16D. 32【答案】B 【解析】【详解】F （2，0）,K （-2，0），过A 作AM⊥准线，则|AM|=|AF|， |AM|，三角形APM 为等腰直角三角形， 设A （m 2，m ）（m ＞0）,由AM MK =得22m =+，解得2m = 则△AFK m•12m=8, 故选：B.【此处有视频，请去附件查看】8.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论．【详解】法1：设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴为2a ，()12a a >，半焦距为c ，则122F F c =，设11PF r =，22PF r =，且12r r >，椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ， 在12F PF ∆中，由余弦定理得：222221212121242cos3c r r r r r r r r π=+-=+-，由椭圆和双曲线定义可得：12112222r r a r r a +=⎧⎨-=⎩，112212r a a r a a =+⎧∴⎨=-⎩，1211211a a r e e c c +∴+==， 令221122222121222211144413124r r m c r r r r r rr r r r ====+-⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2112r r =时，max 163m =1max r c ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12max11e e ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由双曲线的对称性可知，当12r r <时，结论一致，1211e e ∴+. 法2：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴为2a ，()12a a >，半焦距为c ，则1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，则a 1+a 2＝m ，则121211a a m e e c c ++==， 由正弦定理得()sin 120πθ︒-＝2sin 60c︒， 即()2sin 120sin 60m c θ︒︒-=（1203.故选：A ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦，正弦定理的应用、函数最值的求解等知识，属于中档题. 二、填空题9.已知直线l的参数方程为112(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)，则直线l 的倾斜角为_____________． 【答案】π3【解析】 【分析】先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角.【详解】因为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以11212x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相除可得11)y x -=-，斜率3π. 【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.10.若圆22:1O x y +=与圆22:680C x y x y m ++++=相切，则实数m =______.【答案】11-或9. 【解析】分析：首先将圆C 的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果. 详解：圆C ：22680x y x y m ++++=可化为22(3)(4)25x y m +++=-， 因为22:1O x y +=与圆C 相切，所以15OC ==或15OC ==， 所以9m =或11m =-，故答案是11-或9点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11.若方程22125x y k k+=--表示的是焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________. 【答案】7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果. 【详解】由题意得：250k k ->->，解得：752k << k ∴的取值范围为7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.12.直线与双曲线2244x y -=相交于,A B 两点，若点()4,1P 为线段AB 的中点，则直线的方程是_____. 【答案】30x y --= 【解析】 【分析】由中点坐标公式可知128x x +=，122y y +=；利用点差法可求得直线斜率1k =，进而得到直线方程.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y()4,1P 为AB 中点 128x x ∴+=，122y y +=由221122224444x y x y ⎧-=⎨-=⎩两式作差可得：()()()()121212124x x x x y y y y +-=+- ∴直线斜率()1212121214y y x x k x x y y -+===-+∴直线方程为：()114y x -=⨯-，即30x y --=故答案为：30x y --=【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.13.已知圆()()221:211C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线1y x =+对称，则圆2C 的标准方程是_____.【答案】()2211x y ++= 【解析】 【分析】由圆1C 方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造方程求得圆2C 的圆心，进而得到圆2C 的标准方程. 【详解】由圆1C 的方程可知圆1C 的圆心为()2,1-，半径为1 设圆2C 的圆心为(),a b (),a b ∴与()2,1-关于直线1y x =+对称11212122b a b a -⎧=-⎪⎪+∴⎨+-⎪=+⎪⎩，解得：01a b =⎧⎨=-⎩ ∴圆2C 的圆心为()0,1-，半径为1∴圆2C 的标准方程为：()2211x y ++=故答案为：()2211x y ++=【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.14.已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2； ③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】①② 【解析】分析：运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当p 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，OP 的值取得最小，即可判断②正确；通过b 的变化，可得③不正确. 详解：椭圆(222:1066x y G b b+=<<的两个焦点分别为)216,0F b -和()226,0F b --，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ， 设(),P x y ，点P 在椭圆G 上， 且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，122262PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上， 对于①，将x 换为x -方程不变， 则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.； 对于②，由图象可得，当P 满足22x y =， 即有226b b -=， 即3b =OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ===取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y轴对称，且0b <<则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确. ，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 三、解答题15.已知动点P 与平面上点()1,0A -，()10B ,的距离之和等于. (1)试求动点P的轨迹方程C .(2)设直线:1l y kx =+与曲线C 交于M 、N 两点，当MN =. 【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =±+【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可知所求轨迹为a =1c =的椭圆，进而求得2b ，从而得到所求轨迹；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得k ，进而得到结果. 【详解】（1）2PA PB AB +=>=∴由椭圆定义可知点P 轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，且a =1c =2221b a c ∴=-= ∴动点P 的轨迹方程C 为：2212x y +=（2）将直线:1l y kx =+代入椭圆方程得：()221240k xkx ++=则2160k ∆=> 0k ∴≠设()11,M x y ，()22,N x y 122412kx x k∴+=-+，120x x =()()22221212221642141312k MN k x x x x k k ∴=+⋅+-=+⋅=+，解得：1k =± ∴直线l 的方程为：1y x =±+【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）3π【解析】 【分析】（1）作//FH AD ，根据比例关系可知1HF =，从而可证得四边形HFCB 为平行四边形，进而得到//CF BH ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作//FH AD 交PA 于H ，连接BH13PF PD=113HF AD∴==又//AD BC且1BC=//HF BC∴且HF BC=∴四边形HFCB为平行四边形//CF BH∴BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB//CF∴平面PAB（2）PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD PB BC∴⊥又AD AB⊥，//AD BC AB BC∴⊥则可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0B，()0,0,3P，()3,3,0D，()0,3,0A()3,3,3PD∴=-，()0,3,3PA=-，()3,3,0BD=设平面PAD法向量()1111,,n x y z=则11111113330330n PD x y zn PA y z⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11z =，则11y=，1x=()10,1,1n∴=设平面PBD的法向量()2222,,n x y z=则22222223330330n PD x y zn BD x y⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21x=，则21y=-，2z=()21,1,0n∴=-1212121cos,222n nn nn n⋅∴<>===-⨯122,3n nπ∴<>=二面角B PD A--为锐二面角∴二面角B PD A--的大小为3π【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.17.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()2,1在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求证：POQ ∠是定值.【答案】（1）22163x y +=；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用离心率可得2212c a =，进而得到2212b a =；将点()2,1代入椭圆方程可求得22,a b ，从而得到椭圆方程；（2）①当直线PQ 斜率不存在时，可求得,P Q 坐标，从而得到0OP OQ ⋅=，得到90POQ ∠=；②当直线PQ 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，由直线与圆相切可得到2222m k =+；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出OP OQ ⋅，整理可得0OP OQ ⋅=，得到90POQ ∠=；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：c e a ==2212c a = 2212b a ∴= ∴椭圆方程为222221x y a a+= 将()2,1代入椭圆方程得：26a = 23b ∴=∴椭圆C 的方程为：22163x y +=（2）①当直线PQ 斜率不存在时，PQ 方程为：x =或x =当x 时，P，Q，此时0OP OQ ⋅=OP OQ ∴⊥ 90POQ ∴∠=当x =90POQ ∠=②当直线PQ 斜率存在时，设PQ 方程为：y kx m =+，即0kx y m -+=直线与圆相切=2222m k =+联立220163kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222124260k x kmx m +++-=设()11,P x y ，()22,Q x y 122412km x x k ∴+=-+，21222612m x x k-=+ ()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++()2222226411212m km k km m k k -⎛⎫=+⨯+⨯-+ ⎪++⎝⎭代入2222m k =+整理可得：0OP OQ ⋅= OP OQ ∴⊥ 90POQ ∴∠= 综上所述：POQ ∠为定值90【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.18.设A 、B 分别为椭圆22143x y +=的左右顶点，设点P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N . （1）判断B 与以MN 为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.（2）记直线4x =与轴的交点为H ，在直线4x =上，求点P ，使得APN APH S S =△△. 【答案】（1）点B 在以MN 为直径的圆内，证明见解析；（2）()4,3P ± 【解析】 【分析】（1）设()00,M x y ，()4,P P y ，由M 在椭圆上可得()2200344y x =-且022x -<<；由,,P A M 三点共线可得0064,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭，表示出BM BP ⋅，可整理得到0BM BP ⋅>，从而可知MBP ∠为锐角，得到MBN ∠为钝角，从而得到B 在以MN 为直径的圆内； （2）设(),N N N x y ，()4,P P y ，由,,P B N 三点共线得到22NP N y y x =-；根据APN APHS S ∆∆=可知ABN BPH S S ∆∆=，从而构造出关于N y 的方程，求得N y ，进而得到P y ，求得P 点坐标. 【详解】（1）点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：由已知可得()2,0A -，()2,0B ，设()00,M x y ，()4,P P y ，0p y ≠M 在椭圆上，()2200344y x ∴=-…① 又点M 异于顶点,A B ，022x ∴-<< 由,,P A M 三点共线可得：00422P y y x =++，即0064,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()002,BM x y ∴=-，0062,2y BP x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()22200000062243422y BM BP x x y x x ∴⋅=-+=+-++…② 将①代入②化简可得：()05202BM BP x ⋅=-> MBP ∴∠为锐角，MBN ∴∠为钝角B ∴在以MN 为直径的圆内（2）设(),N N N x y ，()4,P P y由,,P B N 三点共线可得：422N PN y y x =--，即22N P N y y x =-又APN APH S S ∆∆=等价于ABN BPH S S ∆∆= ， 211421222N N P N N y y y x x ∴⨯⨯=⨯⨯=⇒=-， 21143Ny ∴+=，解得：32N y =±，3P y ∴=±()4,3P ∴±【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到点与圆的位置关系的判定、共线向量的坐标表示等知识；关键是能够通过三点共线构造方程，从而减少变量的个数，进而利用已知条件中的等量关系求得结果.。