灵敏度分析与参数规划
运筹学课件 灵敏度分析与参数规划
灵敏度分析的任务
线性规划的灵敏度分析要解决两个问题：
一个或几个系数或要素变化后，当前的
最优解或最优基是否有变。
这些系数在什么范围内变动时，当前的
最优解或最优基不变。 另外，一旦当前解受影响就要运用适当 方法对其进行调整，以便得到新的最优解。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-8
分析结果的处理方法
针对上述五种不同的分析结果，可按下列相 应的调整方法进行处理。 分析结果 处理方法
最优解不变
最优基不变 变为可行解 变为正则解 变为普通解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划
计算 CN - CBB-1N
计算 XB(*) = B-1b 原始解法求最优解 对偶解法求最优解 混合解法求最优解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-3
生产计划问题
cj CB XB
0 0 0 -1 0 0 3 -1 2 0 3 -1 2 0 3 -1
b
2 3 x1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0 0 1 0 -1/2 0 1/4 -3/4 -1/2 [2] 1/4 1/4 0 1 0 0
θ
x3 8 x4 16 x5 12 z 0 x3 2 x4 16 x2 3 z -9 x1 2 x4 8 x2 3 z -13 x1 4 x5 4 x2 2 z -14
5-14
2013-4-7
灵敏度分析与参数规划
2. 基变量系数 cr 的变化分析
当基变量 xr 的系数 cr (CB)变化 cr 时，就会引起 CB 的变化，从而影响到各非基变量 xj 对应的j 。 设 CB=( 0, …, cr , …,0 )，若要求原最优解不变，则 新的检验数必须满足 j' = cj - (CB +CB )B-1Pj = cj - CBB-1Pj - CB B-1Pj =j - [(0, …,cr , …,0)(b1j, …, brj, …, bmj)T] =j - cr brj ≤0 于是得到 cr ≤j／brj , brj < 0 j=1 , 2 , …, n cr ≥j／brj , brj > 0 cr的变化范围为是 max { j /brj | brj > 0 }≤ cr ≤ min { j /brj | brj < 0 }
灵敏度分析与参数规划
表中的解仍为最优解 用单纯形法继续迭代求最 优解 用对偶单纯形法继续迭代 求最优解
引入人工变量，编制新的 单纯形表求最优
非可行解 非可行解
C变 CN
CB b变 A变 N B 变量 约束 增加一列 不等式约束，增加一行一列 等式约束，大M法
XB
2.1 非基变量的价值系数的变化
• 这就是保持原最优解不变时，基变量的 目标系数的变化范围． • 当超出这个范围时，原最优解将不再是 最优解了， • 为了求新的最优解，必须在原最优单纯 形表的基础上，继续往下迭代以求得新 的最优解．
例1
• 为保持现有最优解不变，分别求非基变 量x1,x3的系数c1,c3的变化范围． • 当c1变为5时，求新的最优解．
第四章 灵敏度分析与参数规划
前面的假设
• 前几章讨论线性规划问题时，总是假设 是不变的常数． • 但实际上这些数据往往是根据以往资料， 或估计值、或预测值，不可能很精确， 而且随着情况的变化，这些数据也会经 常发生变化．
实际的情况
面对市场经济： • 价格的波动会引起价值系数的变化； • 工艺的改进引起消耗系数的变化； • 资源储量的变化会引起右端常数的变化； • 增加新产品会引起决策变量的增加； • 增加新的资源限制 CB B N
1
基变量xr的价值系数Cr的变化引起CB的变化， 从而导致所有非基变量的检验数发生变化。
• △的变化超出此范围时，破坏了基B的对 偶可行性，此时可用单纯形法继续迭代
例2
• 为保持现有最优解不变分别求例1中基变 量x2,x4的变化范围，并问当CB由(0,4,5)改 变为(0,6,2)时，原最优解是否仍然保持最 优？如果不是，该怎么办？
4.3 增加新约束条件的灵敏度分析
敏感度与参数分析.ppt
x2
0
1 2
1
1
1 2
x5 0
1
0
1 2
1 2
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
x5 RHS r 1 52
1 2
36
1 44
0 56
01
14
p.15/48
3. 改變右手邊常數
作法
重新計算新的RHS。若仍均為非負值，則最佳基底 不變；若有負值，則以對偶單形法繼續求解
最佳基底不變是指構成最佳單形表的BV不會改變， 但BV的值及最佳Z值均允許改變
作法(續)
4. 強迫 xk 進入， xk 離開，並求得下一個單形表 (a) 若同時滿足主要與對偶可行性，則為最佳解 (b) 若僅破壞對偶可行性，則以主要單形法求解 (c) 若僅破壞主要可行性，則以對偶單形法求解 (d) 若均破壞，則須以人工變數 AV 取代 xk 作為基 底，並以大 M 法或雙階法處理 AV，繼續以主 要單形法求解
範例6.6
10
18
解答：
3
B1b
4 1 2
16 12
1 4
1
2
16 12
9 2
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
p.16/48
3. 改變右手邊常數
解答(續)：
因有負值，故最佳基底改變。新Z值為：
cBB1b
5 2
3 2
16 12
58
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
範例6.12
(a)新增：2x1 5x2 25
(b)新增：2x1 5x2 20
2(2)灵敏度分析
c j→ CB 0 2 1 0 2 基 x3 x1 x2 cj-zj x3 x1 15 5 b 35/2 11/2 -1/2
2 x1 0 1 0 0 0 1
1 x2 0 0 1 0 5 1
0 x3 1 0 0 0 1 0
0 x4 5/4 1/4 [-1/4] -1/4 0 0
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2 0 1
-7
0 [2] 1 0 0 1 0
-1/2 0
最优生产计划应为每天生产7/2件家电Ⅰ， 51/4件家电Ⅲ。
分析参数aij的变化
灵 敏 度 分 析 举 例
例 在美佳公司的例子中，若家电Ⅱ每件需设备A,B和 调试工时变为8h、4h、1h，该产品的利润变为3元/件， 试重新确定该公司最优生产计划。
设生产工时变化后的新家电Ⅱ的生产量为x2′，其中：
（2）若家电Ⅰ的利润不变，则家电Ⅱ的利润在什 么范围内变化时，该公司的最优生产计划将不发 生变化？ 设家电Ⅱ的利润为（1+λ）元，如下
项目 CB 基 b 2 x1 1+λ x2 0 x3 0 x4 0 x5
0
2 1+λ
x3
x1 x2 cj-zj
15/2
7/2 3/2
0
1 0 0
0
0 1 0
1
0 0 0
15 / 2 1 / 2 3/2 3 7 4 0 2 2
1 P 6 0 0
5/4 1/ 4 1 / 4
cj→ CB 基 b
2 x1
1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
3 x6
灵 敏 度 分 析 举 例
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
灵敏度分析和参数线性规划
3 1,
0,
4
0
1
1
1
6
0．
1 3 0 1 3 3
因此，在表
4-3
中增加一列
A7
7
B1
A7
6
3,
2,
0,
6
，得到新表
4-5，然
后以
x7
作基变量进行迭代，求得新问题的最优解为
xˆ
0,
0,
13 3
,
0,
56 9
,
0,
1 9
．
cj
cB 基
b
1
x1 1 3
0
x5
6
4
x3 13 3
xj 0, j 1, 2, , n, n 1
显然，原问题 LP 的最优基 B 是新问题 LP 的可行基，原有变量的检验数没有
改变，而 n1 cn1 cB B1 An1 ．若
（1） n1 0 ，则新问题的最优性准则仍满足，故 xˆ x1, x2, , xn, 0 是
新问题 LP 的最优解．此时说明新增加的变量 xn1 对最优解没有影响，或说新
j
akj
|
j JN,
akj 0 ．
(4-4)
即，当 cr 没有超出(4.1.4)式的范围，则最优解不变；否则，把最终单纯形表
上的 N 换成 N ， cr 换成 cr ，继续用单纯形法求解．
例 4-1 已知线性规划问题的标准形式为：
min z x1 2x2 x3 0 x4 0 x5
到最优解的单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最
优解的条件，如果不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求
得最优解．对标准型线性规划 LP ，本节假定其最终表上已得到最
物理实验中如何进行实验参数灵敏度分析与优化
物理实验中如何进行实验参数灵敏度分析与优化物理实验是科学研究的重要手段之一，通过实验可以验证理论推测，并揭示物质世界的规律。
而实验参数的选择和优化，则直接关系到实验结果的精确度和可靠性。
本文将针对物理实验中的参数灵敏度分析与优化进行探讨。
一、实验参数灵敏度分析在进行物理实验之前，我们需要确定一组合适的实验参数，如测量仪器的种类和精度、实验条件的设置等。
而在实验证明过程中，我们要关注实验参数对测量结果的影响程度，也就是参数的灵敏度。
参数灵敏度是指实验结果随着实验参数变化而产生的相应变化，反映了参数对实验结果的影响程度。
一般来说，参数灵敏度越高，实验结果就越容易受到参数变化的干扰；参数灵敏度越低，实验结果就越稳定可信。
因此，了解参数的灵敏度是优化实验设计和结果解释的基础。
在进行参数灵敏度分析时，我们可以通过对每个参数进行单独变化，观察实验结果的变化情况。
通过演化函数或测量误差引起的参数变化，来评估参数对实验结果的影响程度。
同时，还可以使用不同的实验参数组合，比较实验结果的稳定性和可靠性。
二、实验参数优化在实验参数灵敏度分析的基础上，我们可以进一步进行实验参数优化，以提高实验结果的准确性和可靠性。
1.优化参数选择在实验设计中，我们需要根据实验目的和研究对象的特点来选择合适的实验参数。
一般来说，选择具有较高测量精度的仪器和设备，并对实验条件进行合理排布，以降低参数的灵敏度，提高实验结果的可信度。
2.优化实验配置在物理实验中，还需要考虑所使用的实验条件和测量方法。
通过合理配置实验装置和仪器，可以减小一些不必要的误差来源，提高实验结果的准确性。
同时，还可以通过对实验条件的调整来增加实验结果的灵敏度，确保其在所研究物理量发生变化时能够及时反映出来。
3.优化数据处理实验数据的处理也是重要的一环。
在物理实验中，我们需要选择合适的数据处理方法和技术，避免数据误差的传递和累积，并通过统计分析等手段准确地得出实验结果。
灵敏度分析
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。
2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。
3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。
4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。
6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。
7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。
9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。
12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。
13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。
大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
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例4
• 在上一节例1中增加一个新的约束条件， 问原最优解是否仍然保持？若不能，则 求出新的最优解．
• 事实上，并不是一张正规单纯形表，因 为将新约束条件的系数填入基变量x8所在 的行以后，破坏了原来的单位矩阵（最 优基).为了恢复原来的单位矩阵，需要用 矩阵的初等行变换将单位列向量中新出 现的非零元素变为零，这样得表
第四章 灵敏度分析与参数规划
前面的假设
• 前几章讨论线性规划问题时，总是假设 是不变的常数． • 但实际上这些数据往往是根据以往资料， 或估计值、或预测值，不可能很精确， 而且随着情况的变化，这些数据也会经 常发生变化．
实际的情况
面对市场经济： • 价格的波动会引起价值系数的变化； • 工艺的改进引起消耗系数的变化； • 资源储量的变化会引起右端常数的变化； • 增加新产品会引起决策变量的增加； • 增加新的资源限制会引起约束条件的增 加等等。
三个问题
• 当这些数据中有一个或几个发生变化时， 已求得的线性规划问题的最优解会有什 么变化？ • 这些数据在什么范围内变化时，已求得 的线性规划问题的最优解或最优基不变？ • 若原最优基不再是最优基，如何在先前 优化的基础上迅速求得新的最优方案？
灵敏度分析
• 以上三个问题正是灵敏度分析所要讨论 的问题． • 灵敏度分析（Sensitivity analysis） • 又称为优化后分析（Post-optimality analysis） • 因为它是在已求得线性规划最优解的基 础上，来讨论这些数据的变化对最优解 的影响．
不换基！
• 若基变量系数的变化导致原始可行性条 件和对偶可行性条件均被破坏，即产生 了对原问题和对偶问题均为非可行解时， 这就需要引入人工变量重新求解，或者 用第三章中介绍的求初始正则解的方法 求解．这里就不详细讨论了．
4.2 增加新变量的灵敏度分析
建模时漏掉了
例3
• 在上一节例1中新增一个决策变量由（相 当于生产计划中增加一种新产品）已知 价值系数c8=7，技术系数P8=(3,2,5)T．问 该产品是否值得投产？如果值得投产， 求新的最优解．
增加等式约束与不等式约束
• 增加等式约束R(A)增大需要增加基 变量没有明显的可增加的基变量引 入人工变量作为基变量再用大M法或 两阶段法 • 增加不等式约束R(A)增大需要增加 基变量引入的松弛变量正好成为基变 量立即得到新问题的一个正则解
例5 综合实例
本章小结
§1 灵敏度分析的基本原理
• 当其中的某些数据发生变化时，就可能 使这个最优解或最优基发生变化．
灵敏度分析的任务
• 研究这些数据的变化对最优解或最优基 的影响．
优化后分析
• 因为它是在已求得最优解的基础上进行 分析
灵敏度分析的理论依据
• 就是看条件是否仍成立．
灵敏度分析所研究的问题
参数规划
• 参数规划问题 • Parametric Programming
• 研究当某些数据是某一个参数的线性函 数时，该参数的连续变化对线性规划问 题最优解的影响．
目录
§1 §2 §3 §4 §5 灵敏度分析的基本原理 目标函数系数的灵敏度分析 右端常数的灵敏度分析 技术系数的灵敏度分析 参数线性规划
发生变化的对象
在实际问题中，下面这些数据或条件是会 经常发生变化的： • 目标函数系数的变化； • 右端常数的变化； • 消耗系数的变化
– 包括增加新的变量 – 增加新的约束条件
§2 目标函数系数的灵敏度分析
• 目标函数系数的变化会引起检验数的变 化，从而影响最优性条件是否成立．
分情况讨论
• 可分为对应的是非基变量的系数或基变 量的系数两种情况来讨论．
• 将最优解代入，判断是起作用约束，还 是不起作用约束
• 增加等式约束条件，一般地将使约束矩 阵A的秩增加，故需增加基变量．显然， 增加一个不等式约束也可以看作是增加 一个等式约束，但是，此时引入的松弛 变量正好成为基变量，故可立即得到新 问题的一个正则解．而增加一个等式约 束时，没有明显的可添加的基变量，故 需引入人工变量xn+1作为基变量，再用大 M法或两阶法将它剔除．
1. 非基变量xj的系数列向量Pj的变化，仅影响基B 地对偶可行性，不影响B的可行性
2基变量xj的系数列向量Pj的变化
例1
上一节例1 • 为保持现有最优解不变，分别求非基变 量x1,x3的系数的变化范围； • 若非基变量x1 的系数由(1,3,5)T变为 (1,4,1)T，考察原最优解是否仍然保持最 优？若不是，该怎么办？
2.1 非基变量的价值系数的变化
• 这就是保持原最优解不变时，基变量的 目标系数的变化范围． • 当超出这个范围时，原最优解将不再是 最优解了， • 为了求新的最优解，必须在原最优单纯 形表的基础上，继续往下迭代以求得新 的最优解．
例1
• 为保持现有最优解不变，分别求非基变 量x1,x3的系数c1,c3的变化范围． • 当c1变为5时，求新的最优解．
• 为了保持现有的最优解或最优基不变， 找出这些数据变化的范围，即所谓数据 的稳定性区间． • 当这些数据的变化超出了范围时，如何 在原有最优解或最优基的基础上，作微 小的调整，尽快求出新的最优解或最优 基．
单纯形法的优点
• 某些数据只和表中的某些块有关，因而 当这些数据发生变化时，只需对上表中 的某些块进行修改，便可得到新问题的 单纯形表，从而能够进行判别和迭代， 而不必从头开始计算线性规划问题
5
3/4
2.2 基变量的价值系数的变化
cr CB
怎么记？
• 首先，要在最优表上查出基变量xr所在行 中的元素a’rj • 然后，只取与非基变量所在列相对应的 元素，将其中的正元素放在不等式左边， 负元素放在不等式右边， • 最后，分别求出△cr的上下界．
然后，只取与非基变量所在列相对应的元素， 将其中的正元素放在不等式左边，负元素放 在不等式右边，
4.3 增加新约束条件的灵敏度分析
• 具体作法是在原最优单纯形表上增加一 行和一列，增加的行中以xn+1（松弛变量） 为基变量，并在变量又下面填入 am+1,j(j=1,2,…,n) ,增加的列Pn+1是一个单 位列向量．它的最下面的一个元素为1， 其余元素均为0（包括σn+1=0)这样增加一 行以后，可能破坏了原最优表上的单位 矩阵（最优基)要用矩阵的初等行变换将 原单位矩阵恢复．然后再继续迭代求 解．
注意！
进基出基法则不能绝对化！
§3 右端常数的灵敏度分析
• 右端常数 bi的变化，和B-1、A、C不相关， σ没有变化， • 会影响到原最优解的可行性与目标函数 值．
怎么记？
• 当br在此范围内变化时，基B的最优性虽 然仍可保持，但最优解中基变量的值和 目标函数值同时改变 • 当br变化超出范围时，必须破坏基B的可 行性，可用对偶单纯形法继续迭代
• 这是因为在B-1中的第l列只有一个非零元 素1，故上界无限制．
§4 技术系数的灵敏度分析
• 4.1 个别技术系数的变化 • 4.2 增加新变量的灵敏度分析
– 新产品
• 4.3 增加新约束条件的灵敏度分析
– 增加一道工序
4.1 个别技术系数的变化
根据变动的系数aij处于矩阵A中的哪一列 又可分为两种情况来考虑：一是aij处于 非基变量列中；二是aij处于基变量列 中． • 非基变量xj的系数列向量Pj的变化 • 基变量xj的系数列向量Pj的变化
• 首先，要在最优表中查出最优基 B的逆 矩阵 （它就在与初始表中单位矩阵—— 初始基相对应的位置． • 其次，将B-1的第r列中的正元素放在不等 式左边，负元素放在不等式右边 • 最后，再按公式求出△br的上下界．
例1
在上一节例l中 • 为保持现有最优解不变，分别求b1,b2,b3 的允许变化范围． • 如果b3减少150，验证原最优解是否可行？ 如果不可行，求出改变后的最优解及最 优值．
Why?
N C N CB B N
1
基变量xr的价值系数Cr的变化引起CB的变化， 从而导致所有非基变量的检验数发生变化。
• △的变化超出此范围时，破坏了基B的对 偶可行性，此时可用单纯形法继续迭代
例2
• 为保持现有最优解不变分别求例1中基变 量x2,x4的变化范围，并问当CB由(0,4,5)改 变为(0,6,2)时，原最优解是否仍然保持最 优？如果不是，该怎么办？
表中的解仍为最优解 用单纯形法继续迭代求最 优解 用对偶单纯形法继续迭代 求最优解
引入人工变量，编制新的 单纯形表求最优
非可行解 非可行解
C变 CN
CB b变 A变 N B 变量 约束 增加一列 不等式约束，增加一行一列 等式约束，大M法
XB
例2
• 在 上一节例 1中，若基变量x2的技术系数 列向量由 P2=(3,4,4)T变为 P’2=(4,5,6)T， 而它在目标函数中的系数由c2=5变为 c’2=6．试求变化后的最优解．
• 并不是一个正规的单纯形表，因为没有单位矩 阵．为了得到一个单位矩阵，注意到x2仍为第3 个基变量，故必须将x2 所在列变成单位列向量， 同时将σ’2=-7/2变为0，即以a’32=9/4为主元进行 矩阵的初等变换（这种变换没有换基， x2 仍为 基变量)．
考察数据变化对现行最优方案的影响，实 际上考查对基B最优性的影响。因此，可 考虑从以下两个方面入手： • 数据的变化是否影响基B的原始可行性
B b0
1
1
• 数据的变化是否影响基B的对偶可行性
C CB B A 0
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解
非可行解
可行解 非可行解
可行解